Конспекты лекций по учебной дисциплине Моделирование экономических процессов для специальности 38.02.01

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Ульяновский авиационный колледж


ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЦИКЛ





Моделирование экономических процессов



КУРС ЛЕКЦИЙ

для специальности базовой подготовки
38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет
(по отраслям)













Ульяновск
2016

ББК 65в6
М 74



МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. КУРС ЛЕКЦИЙ: учеб. пособие для студентов специальностей 38.02.01 / Сост. - Г. А. Камышова - Ульяновск, УАвиаК, 2011. – 52 стр.

Курс лекций содержит теоретический материал по всем разделам курса дисциплины «Моделирование экономических процессов» по 38.02.01 Курс лекций составлен в соответствии с требованиями минимума, предусмот-ренного программой.




Одобрено, утверждено и рекомендовано к изданию ЦМК программирования и ИТ
(протокол № 4 от 10.11.2010 г.)
Ред.2 (протокол № 6 от 13 января 2016 г.)


Печатается по решению редакционно-издательского совета авиационного колледжа (протокол № 3 от 21.03.2011 г.)


Рецензенты:

Федоринова Л.Н.
Преподаватель высшей категории экономических дисциплин, директор техникума информатики, экономики и управления

Кузнецова Л.К.
преподаватель высшей категории экономических дисциплин Ульяновского авиационного колледжа



Отзывы и предложения направлять по адресу:
432067, г. Ульяновск, проспект Созидателей, 13
телефон (8-422) 20-56-71, 20-09-20
факс: 54-54-66
E-mail: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]



© Г.А. Камышова, 2011
© Ульяновский авиационный колледж, 2011
СОДЕРЖАНИЕ


Введение 4

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ 5
Тема 1.1 Классификация экономико-математических моделей и
методов 5
Тема 1.2 Методы прогнозирования 13

РАЗДЕЛ 2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 24
Тема 2.1 Использование графических средств
в экономических задачах 24
Тема 2.2 Имитационное моделирование как компьютерный
эксперимент 27

РАЗДЕЛ 3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 34
Тема 3.1 Задачи линейного программирования 34
Тема 3.2 Графическая модель задач линейного программирования 39
Тема 3.3 Свойства решений задачи линейного программирования 42

РАЗДЕЛ 4. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ 45
Тема 4.1 Двойственные задачи 45
Тема 4.2 Модель транспортной задачи 47
Тема 4.3 Задачи о назначениях 49

Использованная литература 52







ВВЕДЕНИЕ

Человек стремится познать объекты окружающего мира, он взаимодействует с существующими объектами и создает новые объекты.
Одним из методов познания объектов окружающего мира является моделирование, состоящее в создании и исследовании «заместителей» реальных объектов. «Объект-заместитель» принято называть моделью, а исходный объект – прототипом или оригиналом.
Модель – это объект, который используется в качестве «заместителя», представителя другого объекта (оригинала) с определенной целью. Модель не является точной копией объекта-оригинала: она отражает только часть его свойств, отношений и особенностей поведения. Можно создавать и использовать разные модели одного и того же объекта. Процесс создания и использования модели называют моделированием.
Различают натуральные и информационные модели. Натурные модели – реальные предметы, в уменьшенном или увеличенном виде воспроизводящие внешний вид, структуру или поведение объекта моделирования. Информационные модели – описания объекта-оригинала на языках кодирования информации.
Объект-оригинал можно заменить набором его свойств: их названий и значений. Набор свойств, содержащий всю необходимую информацию об исследуемых объектах и процессах, называют информационной моделью.
Информационные модели представляют объекты и процессы в образной или знаковой форме. По способу представления различают образные, знаковые и смешанные информационные модели.
При помощи языка мы общаемся, передавая друг другу мысли, чувства, знания об окружающем нас мире. В общении наиболее распространены такие информационные модели, как словесные описания. Усилить образность текста можно за счет его фигурного расположения, смены шрифтов или измерения начертания.
Такие особенности естественного языка, как многозначность, использование слов в прямом и переносном значениях, синонимия, омонимия и т.п. делают человеческое общение выразительным, эмоциональным, красочным. Вместе с тем, их наличие делает естественный язык непригодным для создания информационных моделей во многих сферах профессиональной деятельности (например, в системах «человек – компьютер»).
Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.
Модели используются человеком для: представления материальных предметов, объяснения известных фактов, получения новых знаний об исследуемых объектах, прогнозирования и управления и т.д.
Моделирование – одна из основных категорий научного познания, на идее моделирования базируется любой, в частности теоретический или практический, метод научного познания.


РАЗДЕЛ 1 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Тема 1.1 Классификация экономико-математических моделей и методов
План:
1.1.1 Модели и моделирование
1.1.2. Классификация экономико-математических методов

1.1.1 Модели и моделирование
Одним из основных методов научного познания является эксперимент, а самой распространенной его разновидностью в настоящее время – метод моделирования систем.
Люди издавна обращались к моделированию как методу исследования систем. В процессе создания систем приходится проводить многочисленные исследования, эксперименты и расчеты, связанные с оценкой качества функционирования систем, с выбором лучшего варианта для ее создания. Выполнять их непосредственно на реальной системе очень сложно, иногда занимает много времени и экономически невыгодно. Существуют системы, на которых просто невозможно ставить эксперименты с познавательной целью. К таким системам относится экономика страны. Значительно проще и дешевле создать модель системы и проводить на ней эксперименты.
Под моделью принято понимать систему, способную замещать оригинал так, что ее изучение дает новую информацию об оригинале. Модель должна частично или полностью воспроизводить структуру моделируемой системы, ее функции.
Под моделированием понимается процесс построения и исследования модели, способной заменить реальную систему и дать о ней новую информацию.
В общем и целом, построение моделей и их оптимизация – главные направления междисциплинарных работ, дающие возможность надежного описания систем и процессов. Они являются предпосылками для целенаправленного использования их свойств в интересах общества.
Модели способствуют плодотворному производству во всех сферах жизни так как:
сокращают издержки;
показывают несостоятельность некоторых идей;
экономят время (модели доводятся до совершенства и лишь, затем на их основе начинается производство, строительство и т.д.)
Моделирование – одна из основных категорий научного познания, на идее моделирования базируется любой, в частности теоретический или практический, метод научного познания.
Понятие модели. Материальные и информационные модели. Формализация как замена реального объекта его информационной моделью.
Модель – это новый объект, который
- замещает моделируемый объект и используется вместо него;
- сохраняет некоторые черты моделируемого объекта, важные для данного исследования;
- в разных науках один и тот же предмет исследуется под разными углами зрения, и строятся разные типы моделей.
Моделирование – это метод научного исследования явлений, объекта, процессов основанный на построении и изучении модели для получения новых знаний или дальнейшего усовершенствования характеристик объектов исследований.
Моделирование подразумевает наличие трех элементов: 1) субъекта, в качестве которого выступает человек-исследователь; 2) объекта исследования (системы); 3) модели объекта (системы), как связующего звена между субъектом и объектом.
Процесс моделирования включает в себя следующие основные этапы:
постановка проблемы (задачи), выработка цели исследования и исходных предпосылок;
переход от оригинала к модели, т.е. построение модели;
экспериментальное исследование модели. На этом этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования и позволяет получать новую информацию о моделируемой системе путем частичного изменения исходных предпосылок;
перенесение результатов, полученных при исследовании модели, на моделируемую систему (оригинал).
При моделировании необходимо формализовать задачу, т. е. информацию необходимо представить в такой форме, которая отвечала бы поставленной цели исследования. При формализации разделяется объект и имя объекта. Имя – это отражение объекта в сознании человека.
Например: Говорим летом о снеге и представляем снег. В данном случае слово «снег» – это имя объекта. Под новогодней елкой снег заменяем его моделью – ватой. При этом модель отражает некоторые свойства объекта: цвет, пушистость.
Модели делятся на две большие группы: материальные и информационные.
Материальная модель имеет реальное воплощение – цвет, форму, пропорции и т.п. т.е. их можно назвать предметными, физическими. Например: скелет человека и чучело птицы в кабинете биологии, объемная модель Солнечной системы, химические опыты и т. п.
Информационные модели нельзя потрогать. Основу таких моделей составляет информация. При таком моделировании реализуется теоретический метод познания.
Виды информационных моделей
Мысленные – формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений.
Графические – отражают внешний вид оригинала (рисунок, чертеж, план, карта и т. п.)
Структурные – отображают строение объектов и связи их параметров (схемы, диаграммы, графы).
Словесные (вербальные)– словесное перечисление основных составных частей объекта, их наиболее важных признаков и свойств.
Математические – описание объекта исследования, выполненное с помощью математической символики. Математическая модель представляет собой совокупность формул, уравнений, логических условий и т. п. Математическая модель представляет собой систему математических и логических соотношений, описывающих структуру и функцию реальной системы. Математическая модель отличается по своей физической природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели значительно удобнее, дешевле, и занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием.
Многие математические модели являются универсальными т.е. могут использоваться для исследования различных систем.
Специальные – представлены специальными знаками (ноты, химические формулы и т. п.)
Типы моделей и виды их сходства с оригиналом
Модели, используемые на практике, условно можно разделить на два типа: физические и символические. В свою очередь среди физических моделей выделяют модели геометрического подобия и модели-аналоги (аналоговые модели).
Модели геометрического подобия отражают структуру и геометрические характеристики оригинала. Эти модели имеют одну и ту же физическую природу с оригиналом и сохраняют с ним внешнее сходство. Размеры моделей могут быть пропорционально уменьшены или увеличены по сравнению с оригиналом. Например, для различных исследований строятся уменьшенные модели самолета, корабля, автомобиля, моста, гидротехнического сооружения, здания, увеличенная модель атом и т.п.
Теоретической основой для создания таких моделей служит теория подобия, основоположником которой считается Галилео Галилей.
Достоинство моделей геометрического подобия состоит:
в том, что они способны замещать сложные дорогостоящие системы, эксперименты на которых проводить либо невозможно, либо экономически невыгодно;
в их наглядности;
в их достоверности.
Недостатками таких моделей являются:
для каждой исследуемой системы приходится строить новую модель или перестраивать старую, что связано с большими затратами;
модели данного типа плохо приспособлены для исследования динамики систем.
Модели-аналоги отражают физические процессы, протекающие в оригинале, с помощью некоторых других аналогичных процессов, описываются едиными математическими соотношениями с оригиналом, однако имеют другую физическую природу.
К моделям этого типа относятся главным образом технические устройства (в частности, электрические модели), используемые для исследования реальных систем другой физической природы. Например, работу водопроводной сети города можно исследовать с помощью модели, составленной из электрических проводов. Увеличение или уменьшение силы тока, проходящего по проводам, аналогично изменению давления воды в водопроводной сети.
Существенную роль в развитии математического моделирования сыграли современные компьютеры, способные выполнять различные по сложности вычисления и логические операции с большой скоростью.
Компьютерное моделирование позволяет создавать компьютерные модели, которые передают не только структуру и геометрические характеристики оригинала, но и поведение объекта в различных ситуациях.
Компьютерная модель задает программные правила получения решения.
Одной из основных проблем моделирования является установление степени сходства оригинала и его модели. Обычно в модели отражаются не все характеристики оригинала, а лишь определенная группа характеристик. Здесь все зависит от цели исследования.
Главное в моделировании состоит в том, чтобы избежать, с одной стороны, сложности модели, а с другой – ее упрощения. Стремление отразить в модели абсолютно все свойства оригинала вызывает сложности в понимании модели и ее использовании. Чрезмерное упрощение модели приводит зачастую к искажению свойств оригинала.
Для исследования экономических систем в большинстве случаев применяется метод математического моделирования, который позволяет экономическую проблему сформулировать в виде математической задачи. При моделировании сложных систем в ряде случаев приходится использовать совокупность моделей различного типа.
Экономико-математические модели: особенности, классификация, принципы и этапы построения
Среди математических моделей важное место занимают экономико-математические модели, представляющие собой математическое описание экономических процессов и явлений. Большинство экономико-математических моделей включают в себя систему уравнений и неравенств, состоящих из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем производимой позиции, капитальных вложений, перевозок и т.п., а параметры – нормы расхода сырья, материалов, времени на производство определенной продукции, практически в каждой модели можно выделить две группы переменных:
внешние переменные – их значения определяются вне данной модели и считаются в данной модели заданными;
внутренние переменные – их значения определяются в результате исследования данной модели.
Различают структурные и функциональные экономико-математические модели. Структурные модели исследуют состав системы, взаимосвязи ее элементов. Функциональные модели позволяют анализировать поведение системы в различных ситуациях безотносительно к ее внутренней структуре.
Экономико-математические модели используются преимущественно для планирования или прогнозирования состояния системы на будущее. В этом случае модель должна показать, как будет протекать экономический процесс, если в его основу положить определенную систему экономических предпосылок. Правильность выбора предпосылок в моделях планирования и прогнозирования играет особо важную роль.
Наряду с использованием в предсказательных целях экономико-математические модели применяются для описания реально существовавших или существующих экономических процессов. Выделяют экономико-математические модели описательные и оптимизационные.
Описательные модели экономических систем представляют собой формализованную с помощью математического аппарата экономическую задачу и используются для более глубокого изучения состояния системы и взаимосвязи ее элементов. К ним относятся, например, матричные модели межотраслевых балансов народного хозяйства и экономического района, производственные функции и т.д. При определенных исходных данных задачи модели данного типа позволяют получить единственное решение. Основной недостаток этих моделей – отсутствие условия нахождения наилучшего (оптимального) решения.
Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи, и отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений и обеспечивают выбор оптимального решения. Модели определения оптимальной производственной программы, модели оптимального смешивания компонентов, оптимального раскроя, оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории, модели транспортной задачи хорошо зарекомендовали себя на практике.
Большое количество моделей, применяемых в экономике, содержит линейные зависимости. Линейные модели получили наибольшее распространение, так как для них разработаны универсальные и эффективные методы решения. Зависимости в экономике носят в основном нелинейный характер. Например, увеличение выпуска продукции на предприятии в определенное количество раз не означает, что затраты на производство этой продукции должны увеличиваться во столько же раз.
Поэтому, когда в целях упрощения модели нелинейные зависимости заменяются линейными, экономический смысл модели может быть искажен.
Экономико-математические модели делятся на статические и динамические. Статические описывают свойства моделируемого объекта, отнесенные к определенному моменту времени, динамические позволяют исследовать изменение экономического процесса на протяжении определенного отрезка времени.
Экономико-математические модели разделяются также на детерминистические (определенные), вероятностные и учитывающие неопределенность.
В детерминистических моделях все параметры и внешние переменные определены с вероятностью единица. Эти модели лишь приближенно отображают действительность, так как любой реальный объект подвергается воздействию случайных факторов.
В вероятностных моделях часть или все параметры и внешние переменные характеризуются соответствующим распределением вероятностей. Эти модели базируются на теории вероятностей.
Для определения исходных данных моделей, учитывающих неопределенность, законы теории вероятностей неприменимы.
Существуют и другие принципы классификации моделей.
Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.
Определение понятия «имитационное моделирование».
В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные трактовки:
- в первой – под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;
- во второй – этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;
- в третьей – предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится.
Основные этапы построения экономико – математических моделей.
Использование компьютера для исследования информационных моделей различных объектов и систем позволяет изучать их изменения в зависимости от тех или иных параметрах. Процесс разработки моделей и их исследование можно разделить на несколько этапов.
Построение описательной информационной модели.
Описательная модель выделяет существенные с точки зрения целей проводимого исследование параметры объекта, а несущественными пренебрегает:
Определяется объект исследования – экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех, некоторый социально-экономический процесс, технолого – экономический процесс и т.п.
Формулируется цель исследования.
В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижение поставленной цели.
Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, какие как независимые; какие как неизвестные (искомые), а какие как известные.
2.Формализация модели.
На этом этапе описательная модель преобразовывается в информационную и записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели присутствуют формулы, уравнения и т. п. Иногда используют приближенные математические методы, позволяющие получить результат с некоторой точностью.
3.Построение модели.
На этом этапе информационная модель преобразуется на язык, понятный ПК (либо кодируется одним из языков программирования, либо строится в приложении)
4.Компьютерный эксперимент.
На этом этапе происходит проверка работы модели на ПК. Если с использованием языка программирования, то программа запускается на выполнение. Если модель выполнена в одном из приложений, то, например, строятся диаграммы, графики, запросы и т. п.
5.Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели.
В случае если результаты получены не те, которые ожидались, то значит, в построении модели на одном из этапов была допущена ошибка. В этом случае надо провести корректировку модели.
Процесс моделирования обладает цикличностью, т.е. указанные этапы процесса, начиная с первого, могут быть неоднократно повторены. Каждый цикл уточняет и расширяет информацию об оригинале, приводит к постепенному совершенствованию модели.

Контрольные вопросы
Что такое модель и моделирование? Роль моделирования в практической деятельности человека.
Назовите типы моделей и дайте им краткую характеристику. Приведите примеры моделей каждого типа.
К какому типу моделей относятся графики функциональных зависимостей, чертежи, структурные схемы управления предприятиями, организациями?
Какие виды аналогии (сходства) оригинала и модели существуют? Охарактеризуйте каждый вид сходства.
Что представляют собой экономико-математические модели? На каких уровнях народнохозяйственной иерархии и для каких целей они применяются?
Как классифицируются экономико-математические модели?
Какие этапы включает процесс экономико-математического моделирования?

1.1.2. Классификация экономико-математических методов
Мы знаем, что на третьем этапе моделирования – получаем решение с помощью построенной модели.
Первая задача этого этапа – сбор и обработка исходной, достоверной информации.
Другая задача этого этапа – выбор метода получения решения.
Математические модели, созданные для целей экономики, изучаются специальной научной дисциплиной, получившей название «экономико-математические методы».
Экономико-математические методы представляют собой инструментальный набор, с помощью которого экономисты, бизнесмены, менеджеры, стремясь добиться наилучшего эффекта, «обрабатывают» свой материал.
В 1938 г. к двадцатипятилетнему профессору Ленинградского университета Леониду Витальевичу Канторовичу обратились представители фанерного треста с необычной для того времени просьбой. Требовалось рассчитать наивыгоднейшее распределение работы восьми станков при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов материалов.
Наука к тому времени не располагала методами для подобных решений. И молодому ученому ничего не оставалось, как придумать свой метод решения «станковой» задачи».
Ученый нашел общий метод решения целого ряда важнейших экономико-производственных проблем. Новый метод, названный линейным программированием, дал ответ на вопрос, как управлять предприятием, чтобы обеспечить максимально возможную прибыль.
За разработку метода ЛП и экономических моделей академик Л.В. Канторович совместно с американским профессором К. Купмансом в 1975 г. получил Нобелевскую премию по экономике.
Математическое программирование – сейчас один из основных методов обоснования производственно-экономических решений.
Каждый из экономико-математических методов, подобно разнообразным инструментам, находящимся в распоряжении специалиста имеет свою область применения.
1. Элементарная арифметика и алгебра (уравнения, функции и графики) применяются для экономических расчетов, связанных с определением долей, процентов материальных ресурсов, составлением пропорций, счетом денег, вычислением прибыли, налогов, рентабельности и т.д.
2. Арифметические и геометрические прогрессии позволяют вести расчеты, связанные с последовательностями экономических показателей и объектов (например, так называемые «пирамиды»).
3. Комбинаторика дает возможность определять результаты, возникающие при различных сочетаниях экономических объектов, их перестановках и размещениях.
4. Геометрия предназначена для вычислений, связанных с пространственными отношениями и формами объектов, интересующих экономиста.
5. Логика позволяет оценить экономическую ситуацию с точки зрения истинности или ложности используемой информации, разобраться в запутанных обстоятельствах, найти рациональный выход из затруднительного положения.
6. Линейное программирование предназначено для выработки оптимального решения экономической задачи для случая, когда ее условия и имеющиеся ограничения описываются уравнениями или неравенствами 1-й степени.
7. Нелинейное программирование служит для выработки оптимального решения экономической задачи в том случае, если ее условия и ограничения описываются уравнениями или неравенствами 2-й и более степени.
8. Динамическое программирование дает возможность выбора оптимального плана многоэтапных действий, в которых результат каждого последующего этапа зависит от предыдущего.
9. Теория вероятностей обосновывает экономические расчеты, связанные с явлениями случайного характера.
10. Математическая статистика обеспечивает сбор, обработку и анализ экономических статистических материалов.
11. Теория массового обслуживания (теория очередей) дает расчеты производственно-экономических показателей и выработку необходимых рекомендаций для массовых повторяющихся процессов обслуживания.
12. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) служит для производства экономических расчетов, связанных с явлениями случайного характера, на основе искусственно произведенных статистических материалов.
13. Теория игр служит для выработки экономических решений в условиях неопределенности, неясности ситуации, вызванной сознательными, злонамеренными действиями конфликтующей стороны.
14. Теория статистических решений применяется для выработки экономических решений в условиях неопределенности, вызванной объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны, либо носят случайный характер.
15. Сетевое планирование применяется для составления и реализации рациональных планов ведения экономических операций, предусматривающих решение задачи в кратчайший срок и с наилучшими результатами.
Применение экономико-математических методов на практике
Для решения конкретных практических экономических задач можно рекомендовать такую последовательность:
1. Уясняем задачу – ее экономический смысл. На этой основе устанавливаем цель решения.
2. Оцениваем экономическую ситуацию – определяем, от чего зависит достижение установленной цели.
3. Выбираем численный показатель, от которого достижение цели зависит в первую очередь.
4. Строим математическую модель решения, устанавливающую количественные зависимости выбранного показателя от условия задачи. Для этого подбираем соответствующий экономико-математический метод.
5. С помощью математической модели и найденного экономико-математического метода решаем задачу.
6. Проверяем правильность найденного решения.
Рассмотрим практическое применение экономико-математических методов на примере. Вам предлагают купить товар весом 100 тонн. Взвешивание производилось некоторое время тому назад, и при этом было определено процентное содержание в товаре жидкости, которое составляло 99 %. На момент покупки, за счет усушки, доля жидкости уменьшилась до 96 %. Необходимо рассчитать, сколько весит предлагаемый товар.
1. Экономический смысл задачи в том, что, рассчитывая уменьшение веса товара за счет усушки, мы не располагаем прямыми данными об уменьшающемся весе товара. Цель решения – определить, насколько снизился вес за счет усушки, по косвенным данным о сокращении процентного содержания в товаре жидкости.
2. Снижение веса зависит от изменения количества испаряющейся в процессе усушки жидкости, что отражается в сокращении ее процентного содержания в товаре.
3. Основным показателем снижения веса товара является его абсолютное изменение, а не изменение процентного содержания жидкости. Ибо изменение содержания жидкости на определенный процент вовсе не означает, что и вес товара изменится на тот же процент.
4. Математическая модель должна установить зависимость абсолютного изменения веса товара при усушке от изменения процентного содержания воды.
Поскольку в нашей задаче речь идет об определении процентов и пропорций, в качестве экономико-математического метода целесообразно избрать арифметику и алгебру.
В соответствии с алгебраическими правилами обозначим через х искомый вес товара при втором замере содержания жидкости и составим очевидное уравнение, которое и будет математической моделью нашей задачи:
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
Здесь 1 тонна – это вес сухого остатка – не испаряемой части товара, одинаковой для первого и второго замера. Этот вес определяется по результатам первого замера содержания жидкости:
100 т – 99 % от 100 т = 1 т.
5. Решая уравнение (*), получим:
х = 13 EMBED Equation.3 1415
6. Производим проверку правильности решения:
Замер
Сухой остаток
Жидкость
Всего


%
вес, т.
%
вес, т.
%
вес, т.

1-й
1
1
99
99
100
100

2-й
4
1
96
24
100
25

В рассмотренном примере нет необходимости производить оптимизацию. Требуется лишь произвести правильный расчет необходимого показателя – получить единственно возможное решение.

Тема 1.2 Методы прогнозирования
План:
1.2.1 Классификация методов прогнозирования
1.2.2 Прогнозирование с помощью временных рядов
1.2.3 Метод проецирования линейного тренда
1.2.4 Использование встроенных функций Excel для прогнозирования
1.2.5 Корреляция и регрессия

1.2.1 Классификация методов прогнозирования
Методы прогнозирования
Прогнозирование – это метод, в котором используются как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения насчет будущего с целью его определения. Если прогнозирование выполнено качественно, результатом станет картина будущего, которую можно вполне использовать как основу для планирования.
1. Неформальные методы.
Вербальная информация – информация, получаемая из радио- и телепередач, от потребителей, поставщиков, конкурентов, на торговых совещаниях, в профессиональных организациях, от юристов, бухгалтеров и финансовых ревизоров, от консультантов.
Письменная информация. Источники письменной информации о внешнем окружении – это газеты, торговые журналы, информационные бюллетени, профессиональные журналы и годовые отчеты.
Промышленный шпионаж. Шпионаж – это не новость в жизни корпорации. Иногда он оказывается успешным способом сбора данных о действиях конкурентов, и эти данные затем использовались для переформулирования целей организации. Руководители обязаны защищать данные, имеющие статус интеллектуальной собственности.
2. Количественные методы прогнозирования можно использовать для прогнозирования, когда есть основание считать, что деятельность в прошлом имела определенную тенденцию, которую можно продолжать в будущем, и когда имеющейся информации достаточно для выявления статистически достоверных тенденций или зависимостей.
Методы количественного прогнозирования:
1) Анализ временных рядов основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.
2) Казуальное (причинно-следственное) моделирование используется в ситуациях с более чем одной переменной. Казуальное моделирование – это попытка спрогнозировать то, что произойдет в подобных ситуациях, путем исследования статистической зависимости между рассматриваемым фактором и другими переменными.
3. Качественные методы прогнозирования. Когда количество информации недостаточное, или руководство не принимает сложный метод, или количественная модель получается чрезмерно дорогой, руководство может прибегнуть к качественным методам прогнозирования.
Мнение жюри. Этот метод прогнозирования заключается в соединении и усреднении мнений экспертов в релевантных сферах (релевантный – способный служить для различения языковых единиц). Неформальной разновидностью этого метода является «мозговой штурм», во время которого участники сначала пытаются генерировать как можно больше идей. Только после прекращения процесса генерирования, некоторые идеи подвергаются оценке. Это может отнимать много времени, но зачастую дает полезные результаты, особенно когда организация нуждается во множестве новых идей и альтернатив.
Совокупное мнение сбытовиков. Опытные торговые агенты часто прекрасно предсказывают будущий спрос. Они близко знакомы с потребителями и могут принять в расчет их недавние действия быстрее, чем удастся построить количественную модель. Кроме того, хороший торговый агент на определенном временном отрезке зачастую «чувствует» рынок, по сути дела, точнее, чем количественные модели.
Модель ожидания потребителя. Как можно судить по названию, модель ожидания потребителя является прогнозом, основанным на результатах опроса клиентов организации. Их просят оценить собственные потребности в будущем, а также новые требования. Собрав все полученные таким путем данные и сделав поправки на пере- или недооценку исходя из собственного опыта, руководитель зачастую оказывается в состоянии точно предсказать совокупный спрос.
Метод экспертных оценок. Этот метод в принципе представляет собой процедуру, позволяющую группе экспертов приходить к согласию. Эксперты, практикующие в самых разных, но взаимосвязанных областях деятельности, заполняют подробный вопросник по поводу рассматриваемой проблемы. Они записывают также свои мнения о ней. Каждый эксперт затем получает свод ответов других экспертов, и его просят заново рассмотреть свой прогноз и, если он не совпадает с прогнозами других, объяснить, почему это так. Процедура повторяется обычно три или четыре раза, пока эксперты не приходят к единому мнению. Анонимность экспертов является очень важным моментом.

1.2.2 Прогнозирование с помощью временных рядов
Временным рядом называется последовательность значений некоторого показателя во времени (например, объемов продаж). Существует два вида рядов: моментальные и интервальные.
Если временной ряд моментальный, то показатели х1, х2, . . . ,хn относятся к определенным моментам времени t1, t2, . . . , tn (t1< t2 < . . . < tn ) или к определенным интервалам (промежуткам) времени: [t1,t2], (t2,t3], . . . , (tn-1,tn].
Временные ряды обычно задаются при помощи таблицы:
Моменты времени или
интервалы времени
t1
t2
. . .
tn


[t1,t2]
(t2,t3]
. . .
(tn-1,tn]

Значение показателя
х1
х2
. . .
хn

Развитие процессов, реально наблюдаемых в жизни, складывается из некоторой устойчивой тенденции (тренда) и некоторой случайной составляющей, которая выражается в колебании значений показателя вокруг тренда.
Линия тренда «в среднем» наименее уклоняется от массива точек (ti, xi) i=1, 2, . . . , n заданного временным рядом. Кривые тренда сглаживают динамический ряд значений показателя, выделяя общую тенденцию. Выбор кривой тренда (является трудной задачей) во многом определяет результаты прогнозирования.
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 141513 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Рассмотрим три метода прогнозирования на основе анализа временных рядов:
метод подвижного (скользящего) среднего;
метод экспоненциального сглаживания;
метод проецирования тренда.
При их рассмотрении будем пользоваться одним и тем же моментальным временным рядом.
Пример. Предположим, что объемы продаж описываются в течение недели таким временным рядом:
День недели
понедельник
вторник
среда
четверг
пятница
суббота
воскресенье

Количество
проданной
продукции
10
6
5
11
9
8
7

или по-иному:
t
1
2
3
4
5
6
7

x
10
6
5
11
9
8
7

1. Метод простого скользящего среднего состоит в том, что расчет показателя на прогнозируемый момент времени строится путем усреднения значений этого показателя за несколько предшествующих моментов времени.
Для вычисления объема продаж на четверг берут фактические данные за три предыдущих дня – понедельник, вторник, среду – и найдем их среднее арифметическое:13 EMBED Equation.3 1415 Аналогично находим прогнозируемый объем продаж на пятницу: 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д. Получим следующую таблицу:
t
1
2
3
4
5
6
7
8

x
10
6
5
11
9
8
7
-

f
-
-
-
7
7,33
8,33
9,33
8

по этой таблице построим график, на котором одна линия соответствует реальным значения, а другая – прогнозируемым.

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

Расчетная формула для определения прогнозируемой величины 13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где xk-i – реальное значение показателя в момент времени tk-i; N – число предшествующих моментов времени, используемых в расчетах; fk – прогноз на момент времени tk. В нашем примере N=3.
2. Метод взвешенного подвижного (скользящего) среднего.
Влияние используемых реальных показателей оказывается неодинаковым, при этом обычно более свежие данные имеют больший вес. Математическая модель этого метода такова:
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь xk-i – реальное значение показателя в момент времени tk-i; N – число предшествующих моментов времени, используемых в расчетах; fk – прогноз на момент времени tk; wk-i – вес, с которым используется показатель xk-i при расчете.
Замечание:
Вес – всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковые, мы получим формулу (1).

В нашем примере будем считать, что при составлении прогноза на завтрашний день объем продаж имеет вес = 60, вчерашних – 30, позавчерашних – 10.

13 EMBED Equation.3 1415

Остальные значения прогнозной величины находим аналогично. Получим такую таблицу:
t
1
2
3
4
5
6
7
8

x
10
6
5
11
9
8
7
-

f
-
-
-
5,8
8,7
9,2
8,6
7,5


13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

3. Метод экспоненциального сглаживания имеет такую математическую модель:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
При расчете этим методом учитывается отклонение предыдущего прогноза от реального показателя.
xk-1 –реальное значение показателя в момент времени tk-1;
fk – прогноз на момент времени tk;
(- постоянная сглаживания.
Замечание:
0 < ( < 1 определяет степень сглаживания и обычно выбирается универсальным методом проб и ошибок.
Рассмотрим тот же пример, положив (=0,2 и считая, что прогноз на понедельник = 8.
f2 = 8+0.2(10-8) = 8.4 и т.д. Получим следующую таблицу:
t
1
2
3
4
5
6
7
8

x
10
6
5
11
9
8
7
-

f
8
8,4
7,92
7,34
8,07
8,26
8,21
7,93

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Замечание:
При решении реальной задачи прогнозирования временной ряд складывается постепенно и реальное значение показателя на рассчитываемый момент нам заранее неизвестно. Тем не менее, прежде чем заглянуть в будущее посредством одного из этих методов, обычно проводятся расчеты с полным временным рядом, описывающим некоторый промежуток времени в прошлом. Это делается, чтобы
подобрать подходящее значение N и сравнить результаты прогнозирования с реальными данными (метод простого скользящего среднего);
подобрать подходящие значения N и весов и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод взвешенного скользящего среднего);
подобрать подходящие значения постоянной сглаживания ( и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод экспоненциального сглаживания).

1.2.3 Метод проецирования линейного тренда
Компьютерная модель – это инструмент экономиста для анализа и подготовки прогнозов и планов. Компьютерная модель задает программные правила получения решения.
Модель элементарного объекта – это математическое выражение, связывающее входные (независимые) переменные с выходными (зависимыми) переменными с помощью математических операций и параметров. Для вычисления показателей прогнозов и планов необходимо в виде исходных данных иметь численные значения параметров.
Параметры экономической модели – это постоянные величины, связывающие зависимые переменные (функции) с влияющими на них независимыми переменными (факторами, аргументами).
Например, зависимость объема продаж от затрат на рекламу можно выразить функцией (моделью)
Y = a1 ( X + a0,
где Y –объем продаж, зависимая переменная (функция),
X – затраты на рекламу, независимая переменная (фактор),
a1 и a0 – параметры модели.
Для установления параметров прогнозирующих и плановых моделей чаще всего используются нормативные, экспертные и статистические методы.
Нормативы задаются законами, например, ставки налогообложения; административными и регулирующими органами, например, нормы амортизации и сроки строительства, коэффициенты ликвидности и риска активов банков, страховых компаний и пенсионных фондов.
Экспертные методы используют субъективные заключения авторитетов, экспертов-профессионалов в данной отрасли. Не исключаются рекомендации гадалок, колдунов и гороскопа.
Статистические методы наиболее научно обоснованы и обеспечены методиками и компьютерными программами. Они применяются, когда удается собрать статистическую числовую информацию об экономических показателях. Предыдущие методы также используют статистический материал, например, нормативы регулирования деятельности банков международной торговли, установленные Базельским комитетом Кука, разработаны на основе анализа балансов и портфелей множества обанкротившихся банков.
Метод проецирования (линейного) тренда основан на построении прямой, которая «в среднем» наименее уклоняется от массива точек, заданного временным рядом.
Эта прямая ищется в виде ati+b. Чтобы найти коэффициенты a и b, нужно решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415

Например, имеются данные о том как от затрат на рекламу зависит объем продаж некоторого товара. Построив (рассчитав) линию тренда, можно предсказать какой ожидается объем продаж при заданных затратах на рекламу или определить, какие средства необходимо затратить на рекламу, чтобы обеспечить заданный объем продаж.
Затраты на рекламу
Объем продаж











3500
16523








10073
6305








11825
1769








33550
30570








37200
7698








55400
9554








55565
54154








68501
54450








71000
47800








82107
74598








83100
25257








90496
80608








100000
40800








102100
63200








132222
69675








136297
98715








139114
75886








165575
83360








Если нужно определить, какой ожидается объем продаж, если имеется возможность вложить в рекламу 110 000 у.д.е., то нужно подставить в уравнение линии тренда вместо х значение = 110 000, получим у=0,5459*110000+5090,9=64920.
Если нужно определить, какие средства необходимо затратить на рекламу, чтобы обеспечить заданный объем продаж, поступим так. Выразим х через у из нашего уравнения и подставим заданное значение у. Найдем х.

1.2.4 Использование встроенных функций Excel для прогнозирования
Описание использования функции ПРЕДСКАЗ из категории Статистичеких функций.
Вычисляет или предсказывает будущее значение по существующим значениям. Возвращает значение линейного тренда. Предсказываемое значение это y-значение, соответствующее заданному x-значению. Известные значения это x- и y-значения, а новое значение предсказывается с использованием линейной регрессии. Эту функцию можно использовать для предсказания будущих продаж, потребностей в оборудовании или тенденций потребления.
Синтаксис
ПРЕДСКАЗ (x; известные_значения_y; известные_значения_x)
x   это точка данных, для которой предсказывается значение.
Известные_значения_y   это зависимый массив или интервал данных.
Известные_значения_x   это независимый массив или интервал данных.
Описание использования функции ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистических функций
Возвращает значения в соответствии с линейным трендом. Аппроксимирует прямой линией (по методу наименьших квадратов) массивы известные_значения_y и известные_значения_x. Возвращает значения y, в соответствии с этой прямой для заданного массива новые_значения_x.
Синтаксис
ТЕНДЕНЦИЯ (известные_значения_y; известные_значения_x; новые_значения_x; конст)
Известные_значения_y  множество значений y, которые уже известны для соотношения y = mx + b.
Если массив известные_значения_y имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.
Если массив известные_значения_y имеет одну строку, то каждая строка массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.
Известные_значения_x  необязательное множество значений x, которые уже известны для соотношения y = mx + b.
Массив известные_значения_x может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна переменная, то известные_значения_y и известные_значения_x могут иметь любую форму, при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то известные_значения_y должны быть вектором (то есть интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец).
Если известные_значения_x опущены, то предполагается, что это массив {1;2;3;...} такого же размера, как и известные_значения_y.
Новые_значения_x  новые значения x, для которых ТЕНДЕНЦИЯ возвращает соответствующие значения y.
Новые_значения_x должны содержать столбец (или строку) для каждой независимой переменной, как и известные_значения_x.
Таким образом, если известные_значения_y это один столбец, то известные_значения_x и новые_значения_x должны иметь такое же количество столбцов. Если известные_значения_y это одна строка, то известные_значения_x и новые_значения_x должны иметь такое же количество строк.
Если новые_значения_x опущены, то предполагается, что они совпадают с известные_значения_x.
Если опущены оба массива известные_значения_x и новые_значения_x, то предполагается, что это массив {1;2;3;...} такого же размера, что и известные_значения_y.
Конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.
Если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом.
Если конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0, и значения m подбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение y = mx.
Цель работы: на основе заданных статистических данных научиться строить прогноз методом линейного тренда на основе функций ЭТ Excel.
Лабораторная среда – это персональный компьютер, операционная система Windows, табличный процессор Excel.
Последовательность выполнения работы:
1. На основе модели зависимости объемов продаж от затрат на рекламу создать модель зависимости объемов продаж от цены товара.
2. На основе новой двухфакторной модели сделать прогноз по объему продаж при заданном значении затрат на рекламу с помощью различных функций ЭТ Excel.
3. На основе новой двухфакторной модели сделать прогноз по объему продаж при заданном значении цены товара с помощью различных функций ЭТ Excel и на основе полученного уравнения линии тренда.

1.2.5 Корреляция и регрессия
При изменении сразу двух случайных величин Х и У исходными данными являются пары чисел (точки)
(x1, y1), (x2, y2), . . . ,(xn, yn),
где n – число испытаний.
Являются ли величины Х и У независимыми? Если между ними есть некоторая зависимость, то какова она?
Существует простой способ определения степени коррелированности случайных величин. Он основан на вычислении коэффициента корреляции r.
Коэффициент корреляции обладает следующим свойством:
-1 ( r ( 1.
При этом, чем ближе r к нулю, том слабее корреляция. И наоборот, чем ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость между Х и У близка к линейной. Если r в точности равно 1 или -1, то все точки лежат на одной прямой.
Коэффициент корреляции отражает степень линейной зависимости между величинами.

Приведем формулы для вычисления r:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Регрессия.
Если зависимость между величинами Х и У близка к линейной, то можно отыскать функцию y = ax + b, которая наилучшим образом выражает зависимость У от Х.
Для определения такой функции пользуются методом наименьших квадратов. Для этого находят минимум функции:
13 EMBED Equation.3 1415, дифференцируя ее по a и по b. Каждая частная производная равна нулю:

13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найдя таким образом значения a и b, мы получим прямую, которая наилучшим образом выражает статистическую связь между величинами Х и У.
Полученная прямая называется прямой регрессии У на Х.
Проблема:
Перед администрацией некоторого крытого стадиона, где проходят матчи, концерты и другие мероприятия, должна оценить какое количество зрителей придет. Это необходимо для оптимальной организации работы различных вспомогательных служб. Один из подходов к решению этой проблемы – учет предыдущего опыта. Можно предположить, что окончательное число зрителей сильно зависит от того, сколько билетов продано за сутки до мероприятия.
Пример: Пусть опыт первых пяти мероприятий этого года таков:
Число билетов, проданных накануне (в тыс.)
3,5
4,6
5,8
4,2
5,2

Число зрителей (в тыс.)
8,1
9,4
11,3
6,9
9,7

Каков коэффициент корреляции?
Если его значение близко по модулю к 1, то каково уравнение прямой регрессии?
Получив уравнение прямой регрессии, мы можем делать прогноз величины У, подставляя в него значение Х.
Число билетов, проданных накануне (в тыс.) -Х
3,5
4,6
5,8
4,2
5,2
13 EMBED Equation.3 1415=23,30

Число зрителей (в тыс.) - У
8,1
9,4
11,3
6,9
9,7
13 EMBED Equation.3 141545,40

13 EMBED Equation.3 1415
12,3
21,2
33,6
17,6
27,0
13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Уравнение прямой регрессии: y = 1,58 x + 1,72
Подставим в него значение х = 4300 и получим: у = 1,58*4,3 + 1,72 = 8,514 тыс.
РАЗДЕЛ 2 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Тема 2.1 Использование графических средств в экономических задачах
План:
2.1.1 График спроса и предложения. Равновесие на конкурентном рынке
2.1.2 Построение графика бюджетной линии

2.1.1 График спроса и предложения. Равновесие на конкурентном рынке
Определение проблемы
Основоположник ценовой теории Альфред Маршалл (1842-1924) полагал, что большинство экономических процессов можно объяснить в терминах равновесной рыночной цены. Цена устанавливается при взаимодействии спроса и предложения. Теории хороши во всех учебниках, но и через 80 лет после Альфреда богатейшая и грамотнейшая ОРЕС, регулируя предложение, не может установить приемлемые потребителям и производителям цены на нефть.
Обычно на бумаге или доске чертят пересечение линий спроса и предложения в зависимости от цены товара. Смещают линии, меняют их крутизну, наблюдают точки новых равновесий. Объясняют ножницы дефицита, инфляцию, перепроизводство и др.
Словарная модель
Проблемная система: товар, цены, поставщики, покупатели.
Поставщики поставляют на рынок товар. Чем больше рыночная цена, тем больше поставщиков и товара.
Потребители покупают
·