Материалы для индивидуальной работы с учащимися по теме: «Показательная и логарифмическая функции»

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ ПО ТЕМЕ «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ»
Карточка – инструкция по теме
«Область определения логарифмической функции»
Найдите область определения функции y=log48-2x.Решение: Так как область определения логарифмической функции положительные числа, то число 8-2x, стоящее под знаком логарифма, должно удовлетворять неравенству 8-2x>0, решая которое находим те значения x, при которых функция у=log48-2х определена: 8-2x>0; 8>2x (при переносе членов членов неравенства из одной его части в другую знаки этих членов изменяются на противоположные). Это неравенство удобнее записать так: 2x<8, откуда x<4 (делим обе части неравенства почленно на положительное число 2 – смысл знака неравенства при этом не изменится).
Получили, что областью определения данной функции являются числа, меньшие 4. Все эти числа входят в числовой промежуток (4; ∞).
Ответ. (4; ∞).
2. Найдите самостоятельно область определения функции:
а) y=log3 2x+6; б) y=log0,3 3-x.Карточка-инструкция по теме
«Область определения логарифмической функции»
Найдите область определения функции y=log7 x+7+log17 7-x.Решение. Чтобы найти её область определения, надо найти решение системы неравенств: x+7>0,7-x>0. Объясните: а) почему каждое из выражений x+7 и 7-x должно быть положительным? б) почему для нахождения области определения данной функции необходимо находить решение системы, состоящей из этих двух неравенств?
Решите эту систему и дайте геометрическую иллюстрацию её решения. Запишите ответ двумя способами: в виде двойного неравенства и в виде числового промежутка.
Найдите самостоятельно область определения функции y=log7 x- log3 2x-5.Карточка-инструкция по теме «Решение показательных уравнений»
Решите уравнения:
34x-7=1.Указание. a0=1, поэтому можно заменить единицу числом 30.
72x-3=49.73x2-5x-2=1.
(17)2x-3=72-3x.
Указание. a-n=1an . Применяя эту формулу, получаем
72-3x=17-(2-3x)=173x-2 =( 17)3x-2 .
Карточка-инструкция по теме «Решение показательных уравнений»
Решите уравнение 32x-10∙3x+9=0 .
Решение. 1) Заменим 3x=y, тогда 32x=(3x)2=у2.
2) Уравнение приводится к виду y2-10y+9=0, корни которого y1=1, y2=9.
3) Получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида: 3x=1, 3x=9.
4) Решим показательное уравнение 3x=1. Так как 1=30, то 3x=30, откуда x=0.
5) Решим показательное уравнение 3x=9. Так как 9=32, то 3x=32, откуда x=2.Ответ. 0;2.
Можно сделать проверку найденных корней уравнения.
Проверим корень x=0. Подставим значение x=0 в заданное уравнение 30-10∙30+9=0;0=0-истинно.Проверим корень x=2∙32∙2-10∙32+9=34-10∙9+9=81-90+9=0;0=0-истинно. Таким образом, x=0 и x=2 являются корнями данного уравнения.
Решите самостоятельно уравнение 22x-5∙2x-24=0.Карточка может иметь и сокращённую запись решения, например:
Решите уравнение 2∙2x+4x=80.Решение. 1) 4x=22x.
2) 2∙2x+22x=80.3) 2x=y, 22x=y2.
4) 2y+y2=80; y2+2y-80=0;y=-1±1+80; y1=-1±9; y1=-1+9=8; y2=-1-9=-10.5) 2x=y1; 2x=8; 2x=23; x=3.6) 2x=y2, 2x=-10 - не имеет смысла, так как 2x>0 при любых значениях.
Решите самостоятельно уравнение 4x+3∙2x-4=0.Карточка может иметь только отдельные указания к решению уравнения, например:
Решите уравнение 4x+1,5-2x=1.Указания. 1) Преобразовать член уравнения 4x+1,5: 22(x+1,5)=22x+3=22x∙23=8∙22x.2)Получаем уравнение 8∙22x-2x-1=0. Почему способ вынесения общего множителя не годится?
Данное показательное уравнение сводится к квадратному введением вспомогательного переменного. Закончите решение примера.
2. Решите уравнение 22x-5∙2x+1+16=0.Указания. 1) Замените 2x+1=2x∙2, тогда 5∙2x+1=10∙2x.
2)Приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной 2x=y.3. Решите уравнение 3x+2+32x+2-810=0.Указание. Уравнение заменой переменного приводится к квадратному.
Карточка-инструкция по теме «Решение логарифмических уравнений»
Решите уравнения log4x-1=log45-x.Решение. Область определения определяется системой неравенств:
x-1>0,5-x>0; x>1,x<5;1<x<5.

Из неравенства log4x-1=log45-x следует, что x-1= 5-x;
2x=6; x=3 входит в область определения.
Решите самостоятельно уравнение log32x-1=log3x+3.
Карточка-инструкция по теме «Решение логарифмических уравнений»
Решите уравнение log3x2-6x+17=2.
Указание. 1)Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство x2-6x+17>0.
2)Замените 2=log39.
3)Решите уравнение log3x2-6x+17=log39.
4)Проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область определения.
5)Запишите ответ.