Математика в историческом развитии (методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 8 классе)

Математика в историческом развитии
(методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 8 классе)

№ п/п
Тема занятия
Кол-во часов

8 класс

Алгебра (9 ч.)

1.
Дроби
1 ч.

2.
Квадратные корни
2 ч.

3.
Квадратные уравнения
4 ч.

4.
Неравенства
1 ч.

5.
Приближенные вычисления
1 ч.

Геометрия (6 ч.)

1.
Четырехугольники
1 ч.

2.
Площади фигур
1 ч.

3.
Теорема Пифагора
2 ч.

4.
Декартовы координаты на плоскости
1 ч.

5.
Векторы
1 ч.


















8 класс
Алгебра
Тема 1. Дроби
Занятие № 1
I
На данном занятии целесообразно использовать следующие формы и методы работы: сообщение учителя об истории обыкновенных дробей;
сообщения учащихся об арифметических папирусах; о введении записи дроби с помощью черты итальянским математиком Л. Фибоначчи; о «Всеобщей арифметике» английского ученого И. Ньютона, благодаря которой дроби стали воспринимать как числа; о французском ученом Ф. Виете и узбекском ученом Д.ал-Каши, внесших вклад в обозначение дробей;
решение задач из «Арифметики» Диофанта, из «Всеобщей арифметики» Ньютона.
Занятие № 1 – комбинированное тематическое занятие, на котором выступает учитель, и выступают учащиеся с последующим решением исторических задач.
II
1. На занятии по данной теме следует обратить внимание на то, что широко пользовались дробями древние египтяне, о чем свидетельствуют сохранившиеся доныне египетские папирусы; некоторые из них посвящены арифметике дробных чисел. Самый старый из сохранившихся арифметических папирусов – Московский папирус, составленный около 2000 лет до н.э. и находящийся в Московском музее изящных искусств имени А.С. Пушкина, другой арифметический папирус – папирус Райнда - хранится в Британском музее и относится к 1700 году до н.э.
2. Следует также обратить внимание и на то, что:
а) обозначение дроби в виде 13 EMBED Equation.3 1415 впервые встречается в сочинении итальянского ученого Фибоначчи (Леонардо Пизанский) в 1202 г.;
б) основная заслуга в распространении современной формы записи с алгебраическими дробями принадлежит французскому ученому XVI века Франсуа Виету.
3. Пояснить, что первым, кто сознательно принимал а0 = 1 , был узбекский ученый XV в. Джемшид ал-Каши.
4. Познакомить учащихся с а) понятием дроби, введенным Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обозначает частное или же величину, возникающую при делении верхней величины на нижнюю Величины такого рода называются дробями»;
б) с двумя обстоятельствами, на которые обращает внимание Ньютон:
В то время, как запись целого числа перед арифметической дробью означает их сумму, запись целого числа перед алгебраической дробью означает их произведение, например:
3 13 EMBED Equation.3 1415 =3 +13 EMBED Equation.3 1415, но 313 EMBED Equation.3 1415 = 3*13 EMBED Equation.3 1415
Следует различать алгебраическую дробь от того или иного ее числового значения, а именно: числовое значение алгебраической дроби может выражаться в зависимости от тех или иных значений входящих в нее букв дробным либо целым числом. Например, числовое значение дроби 13 EMBED Equation.3 1415 есть 13 EMBED Equation.3 1415 при а = 3, в = 5 или же 4 при а = 8, в =2.
III
Учащимся предлагается решить несколько исторических задач:
1. Сократить дроби из «Всеобщей арифметики» Ньютона
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Задача из папируса Райдна. Найти число, если известно, что от прибавления к нему 13 EMBED Equation.3 1415 его и вычитание от полученной суммы ее трети получается число 10.
3. Арифметические дроби у Диофанта. Весьма желательно ознакомить учащихся с решением какой-нибудь одной, трудной для них задачи из «Арифметики» Диофанта, предварительно вспомнив, кто такой Диофант. После этого необходимо выделить время для самостоятельного решения аналогичных задач всеми присутствующими. Можно, например, выполнить такие задания из «Арифметики» Диофанта:
а) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141530 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415













Тема 2. Квадратные корни
Занятие № 2
I
В начале занятия учащимся предлагается вспомнить правило извлечения квадратного корня из положительного числа. Затем учитель или предварительно подготовленный ученик знакомит ребят с вавилонским методом извлечения квадратного корня.
Лекционное изложение учителем темы «Множество комплексных чисел».
II
1. На первом занятии по данной теме следует вспомнить правило извлечения квадратного корня из положительного числа.
2. Подробно разобрать вавилонский метод извлечения квадратного корня:13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 а +13 EMBED Equation.3 1415.
3. Разобрать примеры - извлечение квадратного корня вавилонским методом. Например, 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 40 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 40 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 40 +113 EMBED Equation.3 1415 = = 3913 EMBED Equation.3 1415 +113 EMBED Equation.3 1415 = 4013 EMBED Equation.3 1415 = 4113 EMBED Equation.3 1415 .
4. При ознакомлении ребят с историей возникновения знака корня необходимо выделить то, что
а) знак корня впервые встречается в сочинениях немецкого
математика Рудольфа в 1525 г.;
б) горизонтальную черту над радикальным выражением ввёл в 1637 г. французский учёный Р. Декарт;
в) указать на отличие записи Декарта от современной;
г) обратить внимание на то, что близко к современному виду принял обозначение радикала Ньютон в «Универсальной арифметике» (1685 г.), француз Ролль в книге «Руководство алгебры» (1690 г.) использует запись корня точно совпадающую с ныне принятой.
5. На этом занятии можно познакомить учащихся с комплексными числами. Чтобы «подойти» к комплексным числам, перед учащимися уместно поставить проблему: «Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?», что, несомненно, возбудит у учащихся противоречие между знанием и незнанием и вызовет у них потребность в активном восприятии и осмыслении нового материала.






Занятие № 3
I
В начале занятия учащимся предлагается вспомнить о комплексных числах (материал лекции занятия № 2). Затем с сообщениями об истории комплексных чисел выступают учащиеся. На этом занятии необходимо закрепить понятие комплексного числа, выполнив упражнения на извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
II
На втором занятии по данной теме следует обратить внимание на происхождение понятия комплексного числа, его развитие в XVI-XVII веках, коснувшись проблемы извлечения квадратного корня из отрицательного числа в древности и факта, с которым столкнулись ученые при решении кубических уравнений: некоторые действия над «ложными» (как тогда называли) числами приводят к числам действительным.
Кратко остановиться на истории отыскания общих методов решения уравнений третьей степени. Познакомить ребят с итальянскими математиками XVI в., внесшими крупный вклад в развитие алгебры.
Разобрать задачу, которую решил Кардано:
«Разделить 10 на два слагаемых, произведение которых равно 40».
13 EMBED Equation.3 1415) данную задачу Кардано сводит к уравнению: х2 – 10х + 40 = 0
13 EMBED Equation.3 1415) х1 = 5 + 13 EMBED Equation.3 1415, х2 = 5 - 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415) Проверка: 1) х1 + х2 = 5 + 13 EMBED Equation.3 1415 + 5 - = 10.
2) х1 * х2 = (5 - 13 EMBED Equation.3 1415)*(5 + 13 EMBED Equation.3 1415) = 25 – 513 EMBED Equation.3 1415 + +513 EMBED Equation.3 1415-- 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = 25 - 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415) О замечании Кардано: если обращаться с полученными корнями как с обычными двучленами, считая 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = -15, то условия задачи будут выполнены.
Рассказать о разработке первой, но еще не совсем строгой теории мнимых чисел итальянским математиком XVI в. Бомбелли; о Жираре, впервые сформулировавшем так называемую «основную теорему алгебры», впоследствии строго доказанную Гауссом: всякое алгебраическое уравнение n - степени имеет n корней, действительных и мнимых; о введении корней действительных и мнимых Р. Декартом (1637 г.); о геометрическом истолковании мнимых чисел англичанином Дж. Валлисом(1685 г.)
В сообщении «Комплексные числа в XVIII в.» необходимо остановиться на следующих моментах:
а) употребление комплексных чисел Лейбницем и И. Бернулли;
б) знаменитая «формула Муавра» (cos x +i sin x)n = cos n x +i sin n x;
в) знаменитая «формула Эйлера», выведенная на основе «формулы Муавра»: cos x + i sin x = eix.
г) Геометрическое истолкование комплексных чисел как векторов датским математиком К. Весселем.
На данном занятии необходимо познакомить учащихся с ролью Гаусса в развитии комплексных чисел, а также рассказать о применении комплексных чисел в решении ряда трудных задач аэро-гидродинамики, о вычислении многих важных для самолетостроения величин при помощи функции комплексного переменного Н.Е. Жуковским(1847-1921), можно познакомить ребят с решением при помощи комплексных чисел ряда задач теории упругости, связанных с машиностроением советскими математиками – академиками Мусхелишвили, Келдышем, Лузиным, Лаврентьевым и др.
III
Выполнение упражнений на извлечение квадратного корня из отрицательных чисел.
























Тема 3. Квадратные уравнения
Занятие № 4
I
Занятие № 4 – комбинированное тематическое занятие, на котором целесообразно использовать следующие методы работы:
сообщение учителя «История квадратных уравнений»;
сообщение ученика «Как Диофант составлял и решал квадратные уравнения», где разбирается одна из задач Диофанта;
решение квадратных уравнений из «Арифметики» Диофанта.
II
На первом занятии по данной теме следует поэтапно разобрать историю квадратных уравнений (сообщение учителя):
Около 2 тыс. лет до н.э. – решение неполных квадратных уравнений и частных видов полных квадратных уравнений (х2 13 EMBED Equation.3 1415 х = а) вавилонянами.
III век до н. э. – Евклид отвел геометрической алгебре в своих «Началах» всю вторую книгу, где собран весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.
I век н.э. – греческий математик и инженер Герон впервые в Греции дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения.
III век н.э. – греческий ученый Диофант, не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме.
XII век н.э. – индийскими математиками был открыт общий метод решения квадратных уравнений.
Теория квадратных уравнений хорошо разработана ал-Хорезми, который дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.
Квадратные уравнения в Европе (XIII-XVII вв.).
XVI век – Виетом предпринята попытка создать в Европе общую теорию решения квадратных уравнений, которую несколько позднее завершил Жирар.
В сообщении ученика «Как Диофант составлял и решал квадратные уравнения» обратить внимание на то, что при составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестное.
Ученику, готовившему сообщение, желательно разобрать одну из задач Диофанта и ознакомить своих товарищей с решением этой задачи. Можно провести разбор такой задачи Диофанта:
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96». Диофант рассуждает следующим образом:
Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.
Т.о. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – х.
Разность между ними 2х.
Отсюда уравнение (10 + x) * (10 – x) = 96, 100 – х2 = 96 , х2 – 4 = 0
Ответ: x = 2 . Одно из искомых чисел равно 12, другое - 8.
Решение x = - 2 для Диофанта не существует, т.к. греческая математика знала только положительные числа.
III
Учащимся предлагается решить квадратные уравнения из «Арифметики» Диофанта:
1). 12 х2 + x = 1
2). 630 х2 + 73 x = 6 и задачу Диофанта «Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа», сводящуюся к решению неполного квадратного уравнения.
Заметим, что в получаемом кубическом уравнении члены с кубом неизвестного уничтожаются и остается неполное квадратное уравнение.































Занятие № 5
I
На этом занятии предлагается разобрать тему «Квадратные уравнения в Индии». По данной теме один из учащихся готовит сообщение. Основную часть занятия (комбинированного тематического) составляет разбор и решение членами факультатива ряда задач индийских математиков XII века.
II
На втором занятии по данной теме следует рассмотреть решение квадратных уравнений индийскими математиками.
В сообщении «Квадратные уравнения в Индии» необходимо привести биографические данные о крупнейших индийских математиках и астрономах Брахмагупте и Бхаскаре – Акариа и раскрыть правило Брахмагупты решения квадратных уравнений: ах2 + вх = с, а > 0, в и с могут быть отрицательными.
На этом занятии желательно разобрать одну из задач индийских математиков, например, задачу Бхаскары:
«Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько всех обезьян?»
Следует обратить внимание учащихся на то, что в Древней Индии задачи часто облекались в стихотворную форму. Вышеназванную задачу Бхаскары привести в стихотворной форме:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Комментируя задачу, сообщить учащимся, что соответствующее задаче уравнение (13 EMBED Equation.3 1415)2 + 12 = x . Бхаскара пишет под видом x2 – 64х = - 768. Прибавляя к обеим частям квадрат 32, уравнение примет вид:
x2 – 64 x + 322 = - 768 + 1024
(x – 32)2 = 256
После извлечения квадратного корня получаем: x – 32 =16.
«В данном случае, говорит Бхаскара, - отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16».
Необходимо сделать вывод: решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

III
Учащимся предлагается решить старинную индийскую задачу Бхаскары:
«Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на три, спрятался в гроте, одна обезьяна влезла на дерево, была видна. Сколько было обезьян?» Следует заметить, что данная задача решается элементарно, сводясь к квадратному уравнению.
Затем обучающимся можно предложить решить уравнение Бхаскары Акариа из его трактата «Венец системы»:
x4 -2 х2 – 400 x = 9999
Пояснить, что данное уравнение решается элементарно. Если ученики сами не догадаются о способе решения этого уравнения, вполне разумно, чтобы решение этой задачи (точнее начала решения) показали специально подготовленные ребята или сам учитель:
x4 – 11 х3 + 11 х3 – 121 х2 + 119 х2 – 1309x+ 909x – 9999 = 0
x3 *(x – 11) + 11 х2 * (x – 11) + 119 x * (x – 11) + 909 * (x – 11) = 0
(x -11) * (х3 + 11 х2 + 119 x + 909) = 0
x – 11 = 0 или х3 + 11 х2 = 119 x + 909 = 0
x1 = 11. Пояснить, что этот корень и дает Бхаскара. Других корней Бхаскара не рассматривал.
Учащимся предлагается найти остальные корни, которые Бхаскара не учитывал. Для этого необходимо решить второе уравнение:
x3 + 11 x 2 + 119 x + 909 = 0
Вначале предложить ученикам решить уравнение самостоятельно. Если возникают затруднения, помочь им преодолеть препятствия:
x3 + 9 х2 + 2 х2 + 18 x+ 101x + 909 = 0
x2* (x + 9) +2 x * (x + 9) +101 * (x + 9) =0
(x +9) * (х2 + 2 x + 101) =0
x + 9 = 0 или х2 + 2 x + 101 =0
Х2 = -9
Решая уравнение х2 + 2 x+ 101 =0, находим остальные два корня: х3 и х4, которые будут мнимыми.
(D = 22 – 4 * 101 = 4 – 404 = - 400 < 0)
Здесь учащимся полезно предложить вспомнить, что i2 = -1, 13 EMBED Equation.3 1415 = i и найти х3 и х4.
(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415* 13 EMBED Equation.3 1415 = 20 i).
х3 = 13 EMBED Equation.3 1415 = - (1 + 10i)
х4 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 10 i -1
Сделать вывод: уравнение четвертой степени имеет 4 корня.



Занятие № 6
I
Данное занятие предлагается посвятить сообщениям учащихся, их анализу и комментариям к ним.
II
На третьем занятии по данной теме следует рассмотреть квадратные уравнения ал-Хорезми и познакомиться с геометрическими доказательствами формул ал-Хорезми.
В сообщении «Квадратные уравнения у ал-Хорезми» следует кратко остановиться, почему правитель государства арабов халиф ал-Мамун поддерживал ученых и как это повлияло на Мухаммедбена-Мусса-ал-Хорезми. Учащимся будет интересно узнать о трактате Хорезми «Хисаб-алджебр-вал-Мукабала», где он дает правило для нахождения корней квадратного уравнения приведенного вида, т.е. словесную формулировку формулы: х =13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, а также насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
«Квадраты равны корням», т.е. ах2 = вх.
«Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
«Корни равны числу», т.е. ах = с.
«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = вх.
«Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + вх = с.
«Корни и числа равны квадратам», т.е. вх +с = ах2.
Рекомендуется разобрать задачу ал-Хорезми, которая сводится к решению квадратного уравнения. «Квадрат и число равны корням. Например, один квадрат и число 21 равны 10 корням того же квадрата, т.е. спрашивается, из чего образуется квадрат, который после прибавления к нему 21 делается равным 10 корням того же квадрата?»
Используя 4-ю формулу ал-Хорезми, ученики должны записать: х2 + 21 = 10 х
Следует подробно разобрать этапы у ал-Хорезми полученного уравнения:
Разделить пополам число корней, половина их есть 5.
Умножить это число само на себя, произведение будет 25.
Вычесть из него число 21, остаток будет 4.
Извлечь корень, он есть 2.
Этот корень вычесть из половины числа корней, которая есть 5, остаток будет 3. Это и будет корень искомого квадрата.
Этот корень – 2 – прибавить к половине числа корней, которая есть 5, сумма будет 7.
Это тоже есть корень искомого квадрата, а сам квадрат будет 49.
Переходя к современным обозначениям, имеем: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
С учениками следует разобрать и анализ решения, которое дает ал-Хорезми.
Если в задаче, сводимой к этому случаю, произведение половины числа корней само на себя будет меньше числа единиц, которые связаны с квадратом (13 EMBED Equation.3 1415)2 < q, то задача невозможна.
Если же это произведение равно числу единиц (13 EMBED Equation.3 1415)2 = q, то корень квадрата равен половине числа корней: х = 13 EMBED Equation.3 1415.
После вышесказанного нужно сделать вывод:
Ал-Хорезми не признавал отрицательных чисел, поэтому в случае, когда p > 0, он брал только один положительный корень. Если же и в этом случае получалось отрицательное число, ал-Хорезми считал, что уравнение решений не имеет.
Трактат ал-Хорезми «Хисаб-алджебр-вал-Мукабала» является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и формулы их решения.
Особого внимания на данном занятии требует разбор решения задачи ал-Хорезми геометрическим путём его следует прокомментировать, выделяя наиболее трудные моменты.
Задача формулируется в оригинале следующим образом: «Квадрат и 10 корней равны 39.»
Используя 5-ю формулу ал-Хорезми, учащиеся должны получить уравнение х2 + 10 х = 39 (1)
Разбор решения уравнения (1) можно провести по следующему плану:
1. Рассматривается квадрат с искомой стороной х.На сторонах квадрата строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 213 EMBED Equation.3 1415, следовательно, площадь каждого равна 213 EMBED Equation.3 1415 х.

13 EMBED Equation.3 1415
2 13 EMBED Equation.3 1415х
13 EMBED Equation.3 1415

213 EMBED Equation.3 1415х
х 2
213 EMBED Equation.3 1415х

13 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415х
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
2 13 EMBED Equation.3 1415х
13 EMBED Equation.3 1415

213 EMBED Equation.3 1415х
х 2
213 EMBED Equation.3 1415х

13 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415х
13 EMBED Equation.3 1415



 2. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСЕ, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из которых равна 13 EMBED Equation.3 1415, а площадь 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Площадь S квадрата АВСЕ можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата (х2), четырех прямоугольников (4 *13 EMBED Equation.3 1415* х = 10 х) и четырех пристроенных квадратов (4 *13 EMBED Equation.3 1415 = 25), т.е. S = х2 + 10 х +25 (*)
4. Заменяя в (*) х2 +10 х числом 39, согласно (1), получим S= 64 (ед.2), а сторона квадрата АВСЕ равна 8 (ед.).
5. Для искомой же стороны х первоначального квадрата получим
х = 8 – 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 3(ед.)
6. Такое геометрическое построение соответствует следующим алгебраическим преобразованиям при решении уравнения х2 + pх = q:
а) х2 +4 * (13 EMBED Equation.3 1415 х) +4 * (13 EMBED Equation.3 1415)2 = q + 4 * (13 EMBED Equation.3 1415)2
б) (х + 2 * 13 EMBED Equation.3 1415)2 = q +4 * (13 EMBED Equation.3 1415)2
в) (х + 2*13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415
г) х = 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Последнее и представляет правило ал-Хорезми для решения указанного квадратного уравнения.
III
Далее уместно предложить учащимся несколько квадратных уравнений из трактата «Хисаб-алджебр-вал-Мукабала».
5 х2 = 40 x
х2 = 12 x + 288
х2 + 20 13 EMBED Equation.3 1415 = 11 13 EMBED Equation.3 1415x
10 x = х2+21
13 EMBED Equation.3 1415х2 = 100
13 EMBED Equation.3 1415х2 + 13 EMBED Equation.3 1415x = 19






Занятие № 7
I
В начале данного занятия разбирается тема «Квадратные уравнения в Европе (XIII-XVII вв.)». Особое место здесь занимают доклад учащегося «Жизнь и деятельность Ф. Виета» и сообщение «Из истории квадратных уравнений в Европе». Необходимо обратить внимание на решение квадратных уравнений при условии, что D<0.
II
На четвертом занятии по данной теме целесообразно провести проверочную работу по решению исторических квадратных уравнений (желательно с помощью компьютера) в виде сказки, что, несомненно, способствует развитию любознательности, глубокого познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда ещё формируются, а иногда и только определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету.
При рассмотрении вопроса «Квадратные уравнения в Европе (XIII-XVII вв.) необходимо сделать комментарий к «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи, а также раскрыть правило решения квадратных уравнений М. Штифелем (1544 г.).
Особое место на занятии принадлежит вопросу «Франсуа Виет и его теорема», где с докладом «Жизнь и деятельность Ф. Виета» выступает один из учащихся. Здесь уместно рассмотреть и вопрос «Интересное из жизни Виета», используя различные формы школьной математической печати».
Затем учащимся предлагается вспомнить комплексные числа, т.е. числа вида a + bi. С учениками повторить эти числа:
а) о числе – мнимой единице i;
б) действия над числами, равные, противоположные и сопряженные числа;
в) геометрическая интерпретация чисел.
После повторения подвести итог: «Итак, i2 = - 1, поэтому можно выполнить следующую операцию:
13 EMBED Equation.3 1415 = i , тогда 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415*13 EMBED Equation.3 1415 = 2 i , 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = =13 EMBED Equation.3 1415*13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 i , т.е. мы видим, что во множестве комплексных чисел выполняется операция извлечения корня четной степени из отрицательных чисел, поэтому можно решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом».
III
Ученикам предлагается для самостоятельного решения с последующей проверкой несколько квадратных уравнений:
х2 + 1 =0 , х2 + 16 = 0, х2 + 25 = 0,
2 х2 – 6 x + 17 = 0, х2 - 5 x + 7 = 0.

Тема 4. Неравенства
Занятие № 8
I
Это занятие предлагается в основном посвятить доказательству исторических неравенств и комментариям к ним. В начале занятия - сообщение ученика «О знаках равенства и неравенства».
II
На занятии по данной теме обратить внимание на то, чтобы школьники уяснили методы доказательства неравенств.
В V книге «Начал» Евклида (эта книга содержит теорию отношений и пропорций, разработанную Евдоксом Книдским) доказывается:
«Если а – наибольшее число в пропорции 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, где а, в, с, d - положительные числа, то существует неравенство а +d > в + с».
Учащимся предложить доказать это неравенство.
Здесь в качестве комментария следует коснуться, подробно рассказать о V «Начал» Евклида и о Евдоксе Книдском.
Далее следует предложить доказать учащимся неравенство из «Математического собрания» П. Александрийского(III век):
«Если 13 EMBED Equation.3 1415 > 13 EMBED Equation.3 1415, то аd > вс (а > 0, в > 0, с > 0, d > 0)».
Знакомя учащихся с неравенством Коши, следует обратить внимание на строгие и нестрогие неравенства, разобрать неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, содержащиеся в X книге «Начал» Евклида: «Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел».
Затем предложить проверить неравенство Коши
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. среднее геометрическое n неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел, на примерах для n = 3, 5, 6.
Если какое – либо доказательство учащимся не под силу или очень 13 EMBED Equation.3 1415трудно разобраться самостоятельно, то на помощь приходит учитель.











Тема 5. Приближенные вычисления
Занятие № 9
I
Данное занятие предлагается посвятить защите рефератов учащихся. На занятие целесообразнее пригласить учеников старших классов.
II
На занятии по данной теме рекомендуется провести защиту рефератов учащихся.
1. «Приближенные числа». В этом реферате рассказать о происхождении приближенных чисел; раскрыть правило А.Н. Крылова (1863-1945) в теории приближенных вычислений: «Приближенное число следует записать так, чтобы все цифры, кроме последней, были бы надежными», т.е. верными; объяснить, какие числа называются верными.
2. «А.Н. Крылов – выдающийся русский математик».
Затем весьма желательно одному из учащихся – старшеклассников рассказать о появлении численных методов. Рассказ может быть примерно таким:
«Математика, развиваясь, накапливала как теоретические, так и практические материалы, а поэтому в учебные руководства наряду с правилами вычислений стали включаться другие сведения о применениях математики. Решение практических задач всегда интересовало математиков. Крупные ученые прошлого сочетали в своих научных исследованиях изучение явлений природы и получение их математических описаний (математических моделей явления). Анализ описания потребовал создания специальных математических методов. Названия некоторых из них – методы Ньютона, Гаусса, Лобачевского, Чебышева – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупные ученые своего времени. Поскольку целью решения задачи являлось получение ответа в виде числа, то методы стали называться численными. Раздел математики, имеющий дело с созданием и обоснованием численных методов для решения задач из различных областей науки, называют вычислительной математикой».
В реферате «Приближенное и графическое решение уравнений» рекомендуется сообщить краткую историческую справку о приближенном и графическом решении уравнений; дать общее представление о методах численного (приближенного) решения уравнений.
Рассматривая метод проб (или метод отделения корней), необходимо обратить внимание на то, что этот метод заключается в том, что внутри отрезка [a,b] произвольно берут точку с (точку проб) и проверяют выполнение неравенства f (а) * f (с) < 0. В качестве суженного отрезка выбирают ту из частей [а, с] или [в, с], на концах которой функция f (х) имеет противоположные знаки. Сужение повторяют до тех пор, пока длина отрезка не будет соответствовать заданной точности отыскания корней.
Как комментарий следует заметить: из того, что в рассматриваемом отрезке лежит только один корень следует неравенство f (a)*f (b) < 0.
Здесь уместно будет разобрать такой пример:
«Выполнить отделение корней уравнения 0,5 х3 – х2 – 4 x – 1 = 0».
1). Данное уравнение заменяем равносильным уравнением
0,5 х3 = х2 +4 x +1.
2). Строим графики функций y = x2 + 4x + 1 и y = 0,5 x3.
3). По графику отыскиваются отрезки, содержащие корни данного уравнения: [- 2; – 1] [-1; 0]. Можно предположить, что третий корень находится в отрезке [2;7]. (Точка пересечения (третья) на рисунке не уместилась, хотя в действительности она существует).
4). Отыскивается отрезок, содержащий третий действительный корень. Функция f(х) = 0,5 х3 – х2 – 4 х – 1 непрерывная, на концах отрезка [2,7] меняет знаки: f(2) < 0, f (7) > 0, а поэтому по свойству непрерывных функций где-то на этом отрезке она обращается в нуль, т.е. корень рассматриваемого уравнения принадлежит отрезку [2,7] .
5). Найденный отрезок сужается. Проверим знак функции в точке 5, расположенной внутри отрезка [2,7]: f (5) > 0, поэтому можно рассматривать суженный отрезок [2,5]
6). Продолжая сужение, получим отрезок [4,5] , на котором расположен третий корень рассматриваемого уравнения.
7). Любое из чисел этого отрезка может быть принято за приближенное значение корня с абсолютной погрешностью, не превышающей 1, т.к.13 EMBED Equation.3 1415 = 1 есть длина отрезка.
При знакомстве с методом половинного деления следует заметить, что это тот же метод проб, с той лишь разницей, что всякий раз в качестве точки проб берется середина сужаемого отрезка, а затем выбирается та из половинок отрезка [а, в], на концах которых функция имеет разные знаки.
Здесь можно разобрать следующий пример: «Найти методом половинного деления положительный корень уравнения ех – 13 EMBED Equation.3 1415 = 0».
1). Запишем данное уравнение в виде ex = 13 EMBED Equation.3 1415.
2). Построив графики функций y = ex и y =13 EMBED Equation.3 1415, легко заметить, что единственный положительный корень данного уравнения находится на отрезке [1,2].
4). Этот отрезок следует сужать методом половинного деления.
На данном занятии целесообразно рассмотреть и другие методы, например, метод хорд и касательных. Желательно использовать компьютер. По этой теме можно провести несколько занятий.




Геометрия
Тема 1. Четырехугольники
Занятие № 1
I
На данном занятии целесообразно использовать следующие методы работы:
- сообщения учащихся о параллелограмме; о трапеции;
- разбор и решение исторических задач.
Форма работы коллективная, при которой коллектив обучает каждого своего члена и в то же время каждый член коллектива принимает активное участие в обучении всех других его членов.
II
На занятии по данной теме в сообщении о параллелограмме следует остановиться на происхождении термина «параллелограмм», разобрать теорему, которая доказывается в «Началах» Евклида:
«В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам».
Также можно разобрать происхождение слов «диагональ», «ромб», «квадрат».
Ученику, готовившему сообщение о трапеции остановиться на происхождении слова «трапеция» и указать, как появилось предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
III
На занятии учащимся предлагается решить следующие задачи:
1. Доказать теорему Эйлера:
«Во всяком четырехугольнике сумма квадратов сторон равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетвертованным квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей».
2. Задача Штейнера:
«Если соединить точку E пересечения диагоналей трапеции с точкой F пересечения ее непараллельных сторон, то большее ее основание разделится пополам линией EF .
Учащихся разделить на 2 группы, каждой группе решить 1 задачу. После решения идет групповой разбор этих задач. Один из учащихся от каждой группы (по желанию) отвечает у доски.
В качестве комментария к этим задачам следует коснуться биографии Эйлера и Штейнера.






Тема 2. Площади фигур
Занятие № 2
I
На данном занятии (комбинированном тематическом) целесообразно использовать такие методы работы, как
- сообщение учителя об условиях, побудивших вычислять площади прямолинейных фигур (прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции);
- сообщения учащихся об определении площади прямоугольника и трапеции в квадратных единицах вавилонянами (4-5 тыс. лет назад); об измерении площади прямоугольника, треугольника и трапеции древними египтянами; об измерении площадей в Древней Греции; о создании на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера;
- решение старинных задач.
II
На занятии по данной теме при рассмотрении вопроса «Определение площади прямоугольника, треугольника и трапеции древними египтянами» следует остановиться на 2-х формулах:
1. формула для измерения площади четырехугольника со сторонами a, b, c, d (верна только для прямоугольника):
S = 13 EMBED Equation.3 1415 * 13 EMBED Equation.3 1415
2. Приближенная формула для определения площади равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = AC: S =13 EMBED Equation.3 1415(BC*AB) / 2.
Рассматривая вопрос «Измерение площадей в Древней Греции», вспомнить о Евклиде и его «Началах», рассказать о Героне Александрийском (I в. до н.э.) и его произведениях «Геометрика» и «Метрика», где он применяет и доказывает формулу о нахождении площади треугольника по его сторонам:
S = 13 EMBED Equation.3 1415, где a, b, c – стороны, p – полупериметр треугольника.
В качестве комментария следует сообщить, что эта формула носит название «формула Герона», но на самом деле она была установлена еще в III в. до н.э. величайшим математиком древности Архимедом.
На этом занятии учащимся следует рассказать о создании на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера, где собраны правила измерения расстояния между предметами и площадей различных фигур посредством измерения площадей простейших фигур: квадрата, прямоугольника, треугольника и трапеции.
III
По данной теме учащимся предлагается решить несколько исторических задач. Нерешенные на занятии задачи предложить в качестве домашнего задания.
1. Задача (из «Начал» Евклида). Параллелограммы (см. рис.), находящиеся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой, т.е. равновелики. Доказать.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2. Задача Герона. Вычислить площадь треугольника, если одна его сторона имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая -14 и третья – 15.
3. В Древнем Египте площадь равнобедренного треугольника определяли как произведение боковой стороны на половину основания. Определить ошибку египтян для треугольника, у которого основание 8, а боковая сторона 15.
4. В Древней Руси площадь прямоугольника определяли как произведение полусумм противолежащих сторон. Найти ошибку наших предков при нахождении площади прямоугольника со сторонами 5 м, 20 м, 5 м, 20 м.
5. Древняя арабская задача ал-Караджи. Найти площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а
площадь численно равна периметру.
К 5-й задаче уместно сделать комментарий, коснувшись биографических сведений арабского математика ал-Караджи.
6. Задача (из «Начал» Евклида).
 «Если параллелограмм ABCD имеет с треугольником BCE одно и то же основание BC и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника». Доказать.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


Тема 3. Теорема Пифагора
Занятие № 3
I
Первая часть занятия – тематическая, где с сообщениями «О жизни Пифагора», «Почему предложение о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, назвали «Теоремой Пифагора»?», «Одно из старейших наглядных доказательств теоремы Пифагора, содержащееся в одном из произведений Бхаскары» выступают ученики.
Вторая часть занятия – проверочная работа по решению старинных задач на применение теоремы Пифагора. Используется компьютер.
II
На первом занятии по данной теме учащиеся должны познакомиться с жизнью Пифагора и историей его теоремы, получить сведения о школе Пифагора.
Ребята должны уяснить, что так называемая «Теорема Пифагора» встречается до Пифагора:
1. В «Началах» Евклида.
2. В вавилонянских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.
3. Египетский треугольник – прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 ед. За 2000 лет до н.э. египтяне пользовались этим отношением для построения прямых углов при сооружении зданий.
4. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно по крайней мере за 500 лет до Пифагора.
5. Эта теорема была известна в Древней Индии, о чём свидетельствуют следующие предложения, содержащиеся в «Сутрах».
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей стороны.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

- Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата.


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Перед рассмотрением доказательства теоремы Пифагора, содержащегося в одном из произведений Бхаскары, следует вспомнить, кто такой Бхаскара. Составленный план доказательства теоремы Пифагора учащимся желательно записать в тетрадь. На последующих занятиях факультатива или во время урока учащимся можно предложить сравнить доказательство Бхаскары с доказательством в школьном учебнике геометрии теоремы Пифагора.
Доказательство Бхаскары (см. рис.)

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
План доказательства.
1. ABDE - квадрат.
2. Треугольник ABC - прямоугольный
AB = c - гипотенуза
BC =13 EMBED Equation.3 1415, AC = 13 EMBED Equation.3 1415
3. DK 13 EMBED Equation.3 1415 BC, DK = 13 EMBED Equation.3 1415
4. EZ 13 EMBED Equation.3 1415 DK, AM 13 EMBED Equation.3 1415 EZ
5. Из 3 и 4 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415ABC =13 EMBED Equation.3 1415 BDK =13 EMBED Equation.3 1415 DEZ = 13 EMBED Equation.3 1415AME
6. KZ = ZM = CM = CK = 13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415
7. с2 =13 EMBED Equation.3 1415 + (13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415)2, т.е.
с2 = 13 EMBED Equation.3 14152 + 13 EMBED Equation.3 14152.
III
Учащимся предлагается проверочная работа при помощи компьютера по решению старинных задач на применение теоремы Пифагора.
Задачи к проверочной работе.
1. Задача о тополе индийского ученого Бхаскары-Акариа.
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?

2. Задача из древней римской рукописи.
Определить высоту треугольника, основание которого 15, а боковые стороны 14 и 13.

3. Задача из алгебры узбекского ученого Мухаммеда ал-Хорезми.
Определить отрезки, на которые делит основание AC перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины B треугольника ABC, если даны его стороны: AB = 15, BC = 13, AC = 14.

4. Задача о лотосе Бхаскары.
Цветок лотоса, основание которого при отвесном положении стебля возвышалось над водою на 13 EMBED Equation.3 1415 фута, порывом ветра отклонился на 2 фута от прежнего положения (считая по поверхности воды). При этом вершина цветка оказалась на уровне воды. Определить глубину озера в этом месте.

5. Задача из трактата (китайского) «Начала искусства вычисления».
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны его площадь и периметр.













Занятие № 4
I
Форма работы данного занятия – групповая, в каждой группе от 3 до 5 учащихся. Работу группы возглавляет консультант. Чтобы группе было удобно работать, она рассаживается за одним столом. Каждая группа готовит сообщение – один из вариантов доказательства теоремы Пифагора. От каждой группы может выступать один человек, могут выступить все.
После этого учитель знакомит ребят с пифагоровыми числами и теоремой Ферма. В конце занятия – предложить учащимся доказать теорему Пифагора, исходя из чертежа с помощью кодоскопа.
II
На втором занятии по данной теме следует разобрать различные доказательства теоремы Пифагора.
Одно из древнейших доказательств было дано, как полагает Прокл, Евклидом и изложено им в «Началах». Формулировка и доказательство имеют чисто геометрический характер.
Первая группа учащихся должна восстановить ход рассуждений Евклида, рассмотрев равновеликость треугольников ABD и BCF.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
План доказательства.
1. 13 EMBED Equation.3 1415BAC - прямоугольный.
2. На гипотенузе и катетах строятся соответствующие квадраты и доказывается, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
13 EMBED Equation.3 1415 DBC =13 EMBED Equation.3 1415 FBA,
13 EMBED Equation.3 1415DBC + 13 EMBED Equation.3 1415ABC =13 EMBED Equation.3 1415 FBA + 13 EMBED Equation.3 1415ABC,
13 EMBED Equation.3 1415DBA = 13 EMBED Equation.3 1415FBC,
13 EMBED Equation.3 1415ABD = 13 EMBED Equation.3 1415 FBC (по двум сторонам и углу, заключенному между ними).
3. 13 EMBED Equation.3 1415ABD равновелик половине прямоугольника BDZY (BD – общее основание, ZD – общая высота).
13 EMBED Equation.3 1415FBC = Ѕ HFBA (FB – общее основание, AB – общая высота)
квадратHFBA равновелик прямоугольнику BDZY.
4. Аналогично доказывается, что квадрат GKCA равновелик прямоугольнику CEZY.
Вывод. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата EDBC, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC.
Вторая группа учащихся должна разобраться с доказательством Багдатского математика и астронома X в. ан-Найризия (латинизированное имя – Анариций).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Основа доказательства: равносоставленные фигуры равновелики: квадраты, построенные на катетах и гипотенузе, разбиваются на многоугольники так, что каждому многоугольнику из состава квадрата на гипотенузе соответствует равный многоугольник одного из квадратов на катетах.
Третья группа учащихся разбирает доказательство, основанное на том, что прибавляя к квадратам на катетах и к квадрату на гипотенузе равные фигуры, получаем равновеликие фигуры.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

1). К Пифагоровой фигуре добавляем треугольники 2 и 3, равные треугольнику 1.
2). Доказательство теоремы Пифагора сводится к доказательству равновеликости шестиугольников DABGFE и CA JKHB
Последнее видно из того, что DG делит пополам 1-й, CK - 2-й шестиугольник.
3). Если повернуть половину 1-го шестиугольника DABG вокруг A на 900, то она совпадет с CAZK , половиной второго шестиугольника.
4. Четвертая группа учащихся готовит такое доказательство:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пифагорова фигура достроена до прямоугольника KLMN.
Отнимая многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, получаем квадрат, построенный на гипотенузе.
Отнимая из того же прямоугольника фигуры, равновеликие только что перечисленным, получаем квадраты 8 и 9, построенные на катетах.
Доказывается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов 8 и 9.
После выступлений учащихся учителю целесообразно познакомить учащихся с пифагоровыми числами:
a2 + b2 = c2
3, 4 и 5 (32+42=52)
5, 12 и 13 (52+122=132)
7, 24 и 25 (72+242=252)
9, 40 и 41. (92+402=412).
Следует обратить внимание на то, что знаменитый узбекский ученый ал-Ходженти (умер около 1000 г.) в одном из своих сочинений говорит, что для 3-й степени нельзя подобрать три таких числа x, y и z, не равные нулю, чтобы выполнялось равенство x3 + y3 = z3 .
Французский ученый Ферма (1601-1665) обобщил вывод ал-Ходженти: сумма одинаковых степеней двух чисел не может быть той же степенью третьего числа, т.е. при любом целом n , больше чем 2, равенство xn + yn = zn невозможно (где x, y, z - отличные от нуля целые числа).
Л. Эйлер доказал теорему для 3-й и 4-й степени, Лежандр – для 5-й, Лаше и Лебег – для 7-й.
В качестве комментария здесь уместно коснуться биографии выше названных ученых.
III
Учащимся по чертежу предлагается доказать теорему Пифагора.
Записав площадь квадрата через его элементы, квадрат гипотенузы (стороны большего квадрата) выразится через сумму квадратов катетов.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
























Тема 4. Декартовы координаты на плоскости
Занятие № 5
I
На данном занятии особого внимания требует доклад учащегося «Рене Декарт - великий математик и мыслитель XVII в.», его следует прокомментировать, выделяя наиболее важные и поучительные моменты.
Должное внимание необходимо уделить и реферату учащегося «О значении метода координат. Метод координат – мост между геометрией и алгеброй» на занятии – семинаре.
В конце занятия учащимся можно предложить упражнения на применение метода координат.
II
На занятии по данной теме следует обратить внимание на то, что начало рассказа – в далеком прошлом. Можно сказать, что все началось 8 июня 1637 года. Именно в этот день увидело свет произведение замечательного французского математика Рене Декарта «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истины в науках. Кроме того, диоптрика, метеоры, геометрия, которые являются приложением этого метода». Сегодня этот научный труд называют кратко: «Метод».
Учащиеся должны уяснить, что своей работой Декарт совершил переворот в математике, а миру, науке подарил метод координат, аналитическую геометрию и сделал первый шаг в осознании и продвижении идеи моделирования. Декартовы алгебраические модели геометрического мира потрясли ученых – его современников.
Интересно отметить, что все это происходило в то время, когда литературный герой А. Дюма мушкетер Д, Артаньян совершал свои подвиги, а коварный кардинал Ришелье плел паутину своих интриг. Можно было бы и не говорить о кардинале, но именно он волею случая сыграл удивительную роль в истории, о которой идет речь: Ришелье дал Декарту привилегию публиковать во Франции и за границей все то, что он сочтет нужным. Так появился на свет «Метод». После смерти Декарта церковь запретила его труды как еретические и опасные для государства.
В качестве комментария к реферату «О значении метода координат. Метод координат – мост между геометрией и алгеброй» следует отметить, что в работе Декарта для нас главным является именно метод координат. Сегодня это метод шагнул за пределы математики. Где только не встретишься с координатами: в географии, мореплавании, в космических полетах. Даже шахматисты ход поединка описывают, используя координаты, связанные с шахматной доской. E2 – E4 - такая запись ясно показывает, какой ход и какой фигурой осуществил шахматист.
Необходимо отметить заслугу Декарта, которая состоит в том, что он нашел путь, который связывает геометрию с алгеброй; как мост между двумя областями математики работает метод координат.
Полезно вернуться к нашей истории. Древние математики, занимавшиеся геометрией, в качестве инструмента для построений пользовались только циркулем и линейкой без деления. Все построения, всякий геометрический синтез, выполненный с помощью других инструментов, объявлялся «механическим», рассматривался как недостойный и строго запрещался в пользовавшейся уважением геометрии. Такой взгляд на геометрию утверждал древнегреческий философ, ученик Сократа – Платон. Лишь только когда Декарт опубликовал свою аналитическую геометрию, классическая, или, как ее часто называют, синтетическая геометрия освободилась от столь жестких ограничений Платона.
Необходимо сделать вывод, что именно благодаря методу координат сегодня к решению задач по геометрии привлекаются такие «инструменты», как компьютер.
III
На занятии уместно выполнить упражнения на применение метода координат.




























Тема 5. Векторы
Занятие № 6
I
На этом занятии – семинаре целесообразно уделить внимание следующим сообщениям учащихся: «Из истории векторов», «О значении использования векторов», «С. Стевин и Л. Пуансо – биографические сведения».
В конце занятия учащимся можно предложить упражнения на применение векторов.
II
На занятии по данной теме следует подробно остановиться на истории векторов, т.е. рассмотреть следующие вопросы:
1. Пифагорейцы Древней Греции.
2. Геометрическая теория отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.).
3. «Начала» Евклида.
4. Трактат фламандского ученого С. Стевина «Начала статики».
Введение Стевиным сложения 2-х векторов, перпендикулярных друг другу.
5. Книга французского математика Луи Пуансо «Элементы статики».
Необходимо познакомить учащихся с биографическими сведениями С. Стевина и Л. Пуансо.
Полезным для учащихся станет сообщение «О значении использования векторов».
III
На занятии учащимся уместно предложить упражнения, показывающие достоинства векторного метода.

Литература
1. Глейзер Г.И. История математики в школе./ Пособие для учите-
лей (в 3-х книгах: IV – VI, VII – VIII, IX – X классы). - М.: Про-
свещение, 1981 – 1983.
2. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике.–
Минск, 1978.
3. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики
в средней школе. – Учпедгиз, 1958.
4. Рыбников К.А. История математики.– Изд. Московского уни -
верситета, 1994.
5. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных/ Перевод с лат. Т.1,2.-
М.: Государств. изд-во физико-математической литературы,1961.
6. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики.- Минск, 1974.
7. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической нау-
ки. – М.: Просвещение, 1987.
8. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в
средней школе. – Минск: Народная асвета, 1969.
9. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. – Моск-
ва: Наука, 1979.
10. Депман И.Л. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965.
11. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. – М.:
Наука, 1967.










Чупахин Александр Валентинович – учитель математики МБОУ «Курасовская средняя общеобразовательная школа Ивнянского района Белгородской области

13PAGE 15




Чупахин Александр Валентинович – учитель математики МБОУ «Курасовская средняя общеобразовательная школа Ивнянского района Белгородской области













F

E

E

A

B

D

C

A

D

B


C

B

A

D

E

K

Z

M

C

G

E


Z

D

B

F

H

A

K

C

J

с


2


1

3

3

F

E

D


A

J

K

H

B


G

K

L

M

N

6

8

5

9

7

2

4

1

3





















































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native