Урок по математике для 11 класса Решение показательных уравнений

Конспект урока
Тема урока: Решение показательных уравнений.
Цели урока: 1. Пробудить у учащихся интерес к изучению математики, расширить их кругозор;
2. Вызвать у учащихся добывать знания самостоятельно;
3. Формировать у учащихся коммуникативные способности;
4. Научить самостоятельно ,добывать и передавать знания;
5. Научить пользоваться научной литературой
Метод обучения: метод проектов.
Тип урока: объяснение нового материала
Форма: групповая работа
Оборудование: Проектор, доска, карандаш, тетрадь, учебник Мордкович А.Г. 10-11 класс
Ход урока
Класс разбивается на 6 групп. Каждая группа работает над одной из тем:
Тема 1 Решение простейших показательных уравнений.
Тема 2. Метод уравнивания оснований
Тема 3. Уравнения, решаемые разложение на множители
Тема 4 Уравнения, которые с помощью подстановки afx=t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям
Тема 5Уравнения, имеющие вид A∙am=B∙bmТема 6 Графический способ решения уравнений вида aφx=fxЧерез две недели каждая группа в беседе с учителем предлагает варианты изложения тем, выберет докладчика (лучше других разобравшегося в материале) и его внутреннего оппонента. Еще через неделю готовый доклад заслушивается внутри группы, все ее члены знакомятся с содержанием и оформлением доклада. К выступлению докладчик готовит компьютерную презентацию
Основные этапы урока:
1.Организационный момент.
2. Вступительное на слово учителя: Сегодня на уроке мы будем работать над новой темой. Рассмотрим методы решения нового вида уравнений, показательных. Познакомимся с основными типами показательных уравнений, научимся их решать и самостоятельно решим основные виды показательных уравнений. Сейчас мы заслушаем сообщения учащихся.
Тема 1 Решение простейших показательных уравнений.
Тема 2. Метод уравнивания оснований
Тема 3. Уравнения, решаемые разложение на множители
Тема 4 Уравнения, которые с помощью подстановки afx=t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям
Тема 5Уравнения, имеющие вид A∙am=B∙bmТема 6 Графический способ решения уравнений вида aφx=fxПосле каждого сообщения заслушивается выступление их оппонентов по плану:
1. Материал изложен…
Так, что вызывает интерес к теме; от простого к сложному; четко и ясно (или непоследовательно, неуверенно) и т.д.
2. В выступлении привлекались…
(указываются средства привлечения внимания учащихся к излагаемому материалу).
3. Речь выступающего…
Образная, математически грамотная; логически выдержанная и т. д.
4. Содержание выступления…
Интересное; новое для меня; может пригодится в дальнейшем; вызывает желание продолжить изучение вопроса, прочитать литературу по этой теме.
5. У меня следующий вопрос к выступающему…
(Формируется вопрос)
6. Мои предложение выступающему…
3. Экспертная группа учащихся будет оценивать выступление докладчиков.
Оценочный лист выступающего:
0-4 балла: тема не раскрыта, допущено фактические и вычислительные ошибки, представление доклада не вызвало интереса к затронутому в нем вопросу; 5-7 баллов: тема раскрыта частично, встречались недочеты в решения примеров, представление докладов в целом понравилось; 8-10 баллов: тема раскрыта полностью, не было допущено фактических и вычислительных ошибок, представление доклада вызвало интерес к рассматриваемому вопросу.
Тема №1 Тема №2 Тема №3 Тема №4 Тема №5 Тема №6 Оценочный лист оппонента:
0-4 балла: представлен краткий комментарий, вопросы не задавались; 5-7 баллов: представлен подробный комментарий, вопросы не задавались; 8-7 баллов: представлен подробный комментарий, вопросы задавались по существу.
Тема №1 Тема №2 Тема №3 Тема №4 Тема №5 Тема №6 Экспертная группа обрабатывает результаты.
4.Заключительное слово учителя : Подведение итогов урока, выставление оценок докладчикам и лучшим оппонентам. Задает домашнее задание различного уровня на индивидуальных листах .\
Домашнее задание: Уровень А1.Решите уравнение: а) 3х=81; б) (12)х-3=82.Решите уравнение, применяя метод уравнивания оснований:
(16)4х-7=6х-33.Решите уравнение, применяя способ разложения на множители:
3х-3х+3=-784.Решите уравнение, применяя способ введения новой переменной:
9х-4∙3х+3=05.Решите уравнение вида A∙αnx+B∙αkx∙bmx+C∙bnx, где A, B, C- некоторые числа, причем k, m ∈N, k+m=n:
4х-6х=2∙9х6.Решите уравнение вида A∙αm= B∙bm:
6х-1=21-х7.Решите уравнение, применяя метод, основанный на монотонности показательной функции:
4х+3х=7х8.Решите уравнение, применяя графический способ решения:
3х=11-хУровень В1.Решите уравнение: а) 7-х=149; б) (125)0,4х-2=1252.Решите уравнение, применяя метод уравнивания оснований:
3х2-4,5∙3=127х3.Решите уравнение, применяя метод разложения на множители:3х-1-3х+3х+1=634.Решите уравнение, применяя метод введения новой переменной:
8∙4х-6∙2х+1=05.Решите уравнение вида A∙αnx+B∙αkx∙bmx+C∙bnx, где A, B, C- некоторые числа, причем k, m ∈N, k+m=n:
4∙32х-9∙22х=5∙6х6.Решите уравнение вида A∙αm= B∙bm:
2х+24=3х+27.Решите уравнение, применяя метод, основанный на монотонности показательной функции:
6х+4х=10х8.Решите уравнение, применяя графический способ решения:
(12)х=х-12Содержание докладов
Тема 1 Решение простейших показательных уравнений.
Тип уравнения Вид уравнения Метод решения
1 af1x=af2xf1x=f2x2 afx=bb=ab≠ab>0b≠ab≤0afx=a1fx=1fx=logabРешения нет
Примеры.
Пример 1. Решить уравнение : 34х-5=3х+4Решение. 34х-5=3х+4<=>4х-5=х+4<=>3х=9<=>х=3 Ответ:3Пример 2. Решите уравнение: 2х-4=3Решение. 2х-4=3<=>х-4=log23<=>х=log23+4<=>х=log23+log216<=>х=log248 Ответ: log248 Пример 3.Решите уравнение:7х2 -3х= -7Решение. 7х2 -3х= -7, решений нет, так как7х2 -3х>0 для х∈R Ответ: ∅Тема 2. Метод уравнивания оснований
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 27∙34х-9-9х+1=0Решение. 27∙34х-9-9х+1=0<=>33∙34х-9-32х+1=0<=>33+4х-9-32х+1=0<=>34х-6=32х+2<=>4х-6=2х+2<=>2х=8<=>х=4 Ответ:4Пример 2. Решите уравнение:22х∙3х∙5х-604х-15=0Решение. 22х∙3х∙5х-604х-15=0<=>22х∙3х∙5х=604х-15<=>4х∙3х∙5х=604х-15<=>4∙3∙5х=604х-15<=>60х=604х-15<=>х=4х-15<=>3х=15<=>3х=15<=> х=5 Ответ:5 Тема 3. Уравнения, решаемые разложение на множители
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: х∙2х=2∙2х+8х-16Решение. Х∙2х=2∙2х+8х-16<=>х∙2х-2∙2х=8х-16<=>2хх-2=8х-2<=>х-2∙2х-8=0<=>х-2=02х-8=0<=>х=22х=8<=>х=22х=23<=>х=22х=23<=>х=2х=3Ответ:2;3Пример 2. Решите уравнение: 52х-7х+52х∙35+7х∙35=0Решение. 52х-7х-52х∙35+7х∙35=0<=>7х∙35-7х∙1+52х∙1-52х∙35=0<=>7х∙34-52х34=0<=>347х-52х=0<=>7х-52х=0<=>7х=25х<=>7х25х=1<=>725х=7250<=>х=0 Ответ:0Тема 4 Уравнения, которые с помощью подстановки afx=t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям( или к уравнениям более высоких степеней)
Пусть A∙a2fx+B∙afx+C=0, где A, B,C- некоторые числа. Сделаем замену
afx=t, t>0, тогда A∙t2+B∙t+C=0 Решаем полученное уравнение, находим значение t, учитываем условие t>0, возвращаемся к простейшему показательному уравнению afx=t, решаем его и записываем ответ.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 22+х-22-х=5Решение. 22+х-22-х=5<=>22∙2х-222х=15<=>4∙2х2-4=15∙2х
Делаем заменуt=2x,t>0. Получаем уравнение 4∙t2-4=15t<=>4t2-15t-4=0<=>t=4t=-14, t=-14 не удовлетворяет условию t>0. Вернемся к переменной х:
2х=4<=>2х=22<=>х=2 Ответ:2Пример 2.Решите уравнение: 52х-3-2∙5х-2=3Решение. 52х-3-2∙5х-2=3<=>52х-2+1-2∙5х-2=3<=>5∙5х-22-2∙5х-2-3=0. Делаем замену: 5х-2=t, t>0, тогда 5х-22=t2.
Получаем уравнение:5∙t2-2t-3=0<=>t=-35t=1,t=-35 не удовлетворяет условию
t>0 . Вернемся к переменной х: 5х-2=1<=>5х-2=50<=>х-2=0<=>х=2Ответ:2
Тема 5Уравнения, имеющие вид A∙am=B∙bmДля решения необходимо обе части уравнения разделить либо на am либо на bm. В результате получается простейшее уравнение.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 7х=5хРешение. 7х=5х<=>7х5х=1<=>75х=750<=>х=0 Ответ:0Пример 2. Решите уравнение:4х-2=132-хРешение. 4х-2=132-х<=>4х-2=3х-2<=>43х-2=1<=>43х-2=430<=>х-2=0<=>х=2 Ответ:2Тема 6 Графический способ решения уравнений вида aφx=fxЧтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графически функции y=aφx и y=fx в одной системе координат и найти точно или приблизительно значение абсциссы точек пересечения графиков функций.
Пример 1.Решите уравнение: 2х-1=х+1Решение. 1. Рассмотрим две функции fx=2x-1 и gx=x+12.Графиком функции fx=2x-1 является кривая, расположенная в верхней полуплоскости , графиком функции gx=x+1 является прямая.
29298903035303.Зададим таблицы значений этих функций:
Х
-1 0 1 2 3
fx=2x-114121 2 4
х0 3
gx=x+11 4
4. Из рисунка видно, что прямая и кривая
Пересекаются в двух точках А и В. По
графику определяем абсциссы этих точек:
хА=3 и хВ≈-34Ответ: -34; 3
Пример 2.Решите уравнение : 2-x=12∙xРешение. 1. Рассмотрим две функции fx=2-x и gx=12∙x.Используем свойства степени и преобразуем выражение2-x . 2-x=12x=12x, тогда первую функцию можно переписать в виде: fx=12x2. Функция fx=12x-показательная по основанию 12 и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.
3082290488315Функция gx=12∙x- прямая пропорциональность и ее график- прямая, проходящая через точку0;03.Зададим таблицы значений этих функций:
х-3 -2 -1 0 1 2
fx=2-x8 4 2 1 1214
х1 4
gx=12∙x122
4. Из рисунка видно ,что прямая и кривая
пересекается в точке А, ее абсцисса равна 1 Функция fx=12x убывающая на R функция, а gx=12∙x возрастающая на R функция, х=1 корень уравнения и он единственный. Ответ: 1