Курсовая работа по теме: СЕРИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Иркутский государственный университет»
Педагогический институт
Факультет математики, физики и информатики Кафедра математики и методики обучения математике





Сахарова Марина Александровна
СЕРИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ
Курсовая работа









Иркутск 2015




Рег. №_________
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Иркутский государственный университет»
Педагогический институт
Факультет математики, физики и информатики Кафедра математики и методики обучения математике

Направление подготовки: 44.03.05
Педагогическое образование
Профиль: Математика-информатика
Форма обучения: заочная

Сахарова Марина Александровна
СЕРИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ
Курсовая работа
Научный руководитель:
Кузуб Наталья Михайловна,
кандидат физ.-мат. наук, доцент.
Рецензент:
Артемьева Светлана Вадимовна
доцент, кандидат физ.-мат. наук
Работа допущена к защите _______________
Заведующий кафедрой __________________
Защищена на «____________________» «___» июня 2015г.


Иркутск 2015
Содержание

13 LINK \l "_Введение" 14Введение15

Глава 1. Теоретическая часть
13 LINK \l "_Метод_площадей" 14Метод площадей15
13 LINK \l "_Метод_подобия" 14Метод подобия15
13 LINK \l "_Метод_вспомогательных_окружностей" 14Метод вспомогательных окружностей15
13 LINK \l "_Свойства_четырех_замечательных" 14Свойства четырех замечательных точек треугольника

15Глава 2. Практическая часть
13 LINK \l "_Решение_задач_с" 14Решение задач с помощью метода площадей15
13 LINK \l "_Решение_задач_с_" 14Решение задач с помощью метода подобия15
13 LINK \l "_Решение_задач_с_1" 14Решение задач с помощью метода вспомогательных окружностей15
13 LINK \l "_Решение_задач_с_3" 14Решение задач с применением свойств четырех замечательных точек треугольника15

13 LINK \l "_Заключение_" 14Заключение15

13 LINK \l "_Литература_" 14Литература15
Введение

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные, олимпиадные и задачи ЕГЭ?
Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов – иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься. Почти каждая сколько-нибудь трудная геометрическая задача требует индивидуального подхода. При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
К сожалению, такого универсального метода нет. Но существуют приемы, применимые ко многим задачам. Некоторые из них рассмотрим в данной работе.
Объект исследования:
Методы решения планиметрических задач.
Предмет исследования:
Планиметрические задачи, которые встречаются в первой и второй части ЕГЭ, в частности, задания №18 (С4).
Цель:
Разработать набор задач для подготовки к ЕГЭ с использованием различных методов решения планиметрических задач.
Задачи:
Проанализировать учебную математическую литературу, в том числе школьные учебники, ЕГЭ – задания, пособия для поступающих в вузы, пособия для учителей, пособия для факультативных и элективных курсов.
Изучить методы решения планиметрических задач: метод площадей, метод подобия, метод вспомогательных окружностей, метод решения задач с применением свойств четырех замечательных точек.
Подобрать задачи, при решении которых используются вышеуказанные методы.
Применить рассматриваемые методы при решении геометрических задач ЕГЭ.
Показать эффективные пути решения.
Методы исследования:
Анализ математической, методической и учебной литературы, обработка результатов, конструирование методических материалов.
Структура и объем работы.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка.
В первой главе изложено теоретическое содержание различных методов для решения планиметрических задач.
Во второй главе приведены примеры решения задач, на подготовительном этапе, задачи повышенной сложности (олимпиадные и задачи при поступлении в ВУЗы) и задачи ЕГЭ разных лет с применением методов решения планиметрических задач.
Глава 1. Теоретическая часть
Метод площадей
Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя всё к решению уравнения (а иногда системы уравнений).
Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.
Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.
Прежде чем приводить следующие примеры, напомним важнейшие из этих выражений. Сначала договоримся об обозначениях. В треугольнике ABC:
a, b, c – стороны, противолежащие углам A, В и С соответственно;
ha, hb, hc – высоты, та, тb, тc – медианы, la, lb, lc – биссектрисы, проведенные соответственно к сторонам a, b и c.
r – радиус вписанной окружности; R – радиус описанной окружности; р – полупериметр; S – площадь треугольника ABC.
Формулы, которыми мы будем пользоваться, в этих обозначениях записываются так:
13 EMBED Equation.3 1415
(1)

13 EMBED Equation.3 1415
(2)

13 EMBED Equation.3 1415
(3)

13 EMBED Equation.3 1415
(4)

13 EMBED Equation.3 1415
(5)

13 EMBED Equation.3 1415
(6)

13 EMBED Equation.3 1415
(7)

Все эти соотношения известны из школьного курса, поэтому мы не будем их подробно доказывать, а ограничимся лишь несколькими замечаниями. Чтобы вывести формулы (3) и (4) из (2), можно воспользоваться теоремой синусов: 13 EMBED Equation.3 1415
Формулу (5) (формулу Герона) иногда удобнее использовать в преобразованном виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула (6) легко получается из очевидного (рис. 1.1) равенства
13 EMBED Equation.3 1415
Формула (7) помогает вычислить площадь правильного треугольника.
Далее следует рассмотреть основные свойства площадей [6], которые могут понадобиться при решении задач методом площадей.
Свойство 1. Если треугольники имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой, то площади треугольников пропорциональны длинам их оснований: 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. 13 EMBED Equation.3 1415
Свойство 2. Если треугольники имеют общую сторону, то их площади пропорциональны длинам отрезков, высекаемых продолжением их общей стороны на прямой, соединяющей их вершины: 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. Рассмотрим
·АВК и
·KBD. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим
·АКС и
·KCD. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем площади треугольников ABC и KBD.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Составим отношение площадей треугольников, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 3. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь треугольника при этом не измениться. 
Доказательство. Рассмотрим
·ABC и
·ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые  AC и  BD параллельные, то расстояние между ними равно h – высоте
·ABC и
·ADC. Если площадь треугольника находится по формуле13 EMBED Equation.3 1415, то  13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 4. Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).  
Доказательство. Пусть h1 = h2  в двух треугольниках с основаниями a  и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников 13 EMBED Equation.3 1415, упростив, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 5. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. 
Доказательство. Рассмотрим
·ABC  и
·MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b,   MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = S
·MBN  и S2 = S
·ABC. Используя формулу площади треугольника вида 13 EMBED Equation.3 1415, рассмотрим отношение площадей
·ABC  и
·MBN. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Упростив, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 6. Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.


Доказательство. Рассмотрим 
·ABC  и
·MBN. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415  и
·ABC=
·MBN. Используя формулу площади треугольника вида 13 EMBED Equation.3 1415, рассмотрим отношение подобных площадей
·ABC и
·MBN.   Тогда  13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 7. Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Доказательство.  Рассмотрим
·ABC . Пусть медиана  BM , тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников 
·ABM и
·MBC  по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Получим, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Значит  S
·ABM=S
·MBC.
Свойство 8. Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части.
Доказательство.  Рассмотрим
·ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники
·AOB,
·BOC,
·AOC. Пусть их площади равны соответственно  S1,  S2,  S3. А площадь 
·ABC равна  S. Рассмотрим
·ABK и 
·CBK, они равной площади, т.к.  BK медиана. В треугольнике
·AOC OK - медиана, значит площади треугольников
·AOK и
·COK  равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1.
Свойство 9. Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади, равной одной четвертой части площади этого треугольника.
Доказательство.  Рассмотрим
·ABC. NM – средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади
·ABC.
Свойство 10. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Доказательство. По свойству № 9 площади
·AOB,
·BOC,
·AOC равны. По свойству № 7 площади  
·AOM,
·BOM  равны. Значит  S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если  S1 + S6 = S2 + S3  и 2S1 = 2S2  значит  S1 = S2. И так далее, получим, что все шесть треугольника имеют равные площади, и они составляют шестую часть от площади
·ABC.
При решении геометрических задач методом площадей недостаточно знать только формулы нахождения площади треугольника, необходимо ещё знать, как находятся площади других геометрических фигур.
Площадь квадрата
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Площадь прямоугольника
13 EMBED Equation.3 1415

Площадь параллелограмма
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где АС и BD - диагонали

Площадь ромба
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где АС и BD - диагонали

Площадь трапеции
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 где EF – средняя линия трапеции.


Начнем с совсем простой задачи, которую мы решим двумя способами.
Задача. Найти биссектрису CD прямого угла С в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 2 и ВС = 3. [5]
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415
Найти: CD.
Решение 1. По теореме Пифагора 13 EMBED Equation.3 1415. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника знаем, что 13 EMBED Equation.3 1415 Из равенства 13 EMBED Equation.3 1415 выразим 13 EMBED Equation.3 1415. Подставим все известные величины и получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Далее, легко найти косинус угла А: 13 EMBED Equation.3 1415
Остается применить теорему косинусов для определения стороны CD треугольника ACD: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 2. Найдем площадь треугольника АВС разными способами. С одной стороны 13 EMBED Equation.3 1415. С другой стороны, 13 EMBED Equation.3 1415
Приравнивая правые части двух полученных выражений для 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Второе решение явно короче и проще.
Однако главное достоинство второго решения – в его идейной «прозрачности». В первом решении строится некоторая «цепочка» элементов треугольника: каждый элемент этой цепочки вычисляется по данным задачи и другим, уже найденным элементам. Последним элементом цепочки служит искомая величина (в данном случае – биссектриса CD). При этом не сразу видно, какие именно элементы понадобятся для определения искомой величины, то есть какие элементы необходимо предварительно вычислить.
Во втором решении для величины, которую надо найти, мы получаем уравнение, выписывая выражения для площади треугольника через известные и искомые элементы треугольника. Этот прием – сравнение различных выражений для площади треугольника – оказывается очень плодотворным. Почему именно для площади? Дело в том, что площадь треугольника довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов этого треугольника.
Метод подобия
Идея подобия треугольников – это эффективный метод решения большого класса задач на доказательство, построение, вычисление.
Решение элементарных задач на геометрические преобразования – хороший материал для развития пространственного воображения учащихся.
Метод подобия заключается в нахождении подобных треугольников, возникших в результате дополнительных построений. Очень часто метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач, в которых речь идёт об отношениях отрезков. В некоторых случаях можно вообще обойтись без дополнительных построений, поскольку подобные треугольники уже имеются на чертеже. Самое главное увидеть их.
Основное преимущество геометрического метода в его наглядности. Оно позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий Р. Декарт в своем труде «Правила для руководства ума» специально выделял правило о том, что «полезно чертить фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того чтобы таким образом нам было легче сосредотачивать внимание нашего ума». Особую ценность это правило имеет при решении текстовых задач.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Признаки подобия треугольников.
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – два треугольника, у которых 13 EMBED Equation.3 1415
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415подобен 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство: По теореме о сумме углов треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 и, значит, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Из этих равенств следует, что 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, используя равенства 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Теорема доказана.
Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415подобен 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство: Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415, у которого 13 EMBED Equation.3 1415. Треугольники 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. С другой стороны, по условию 13 EMBED Equation.3 1415. Из этих двух равенств получаем АС=АС2. Треугольники АВС и АВС2 равны по двум сторонам и углу между ними (АВ – общая сторона, АС=АС2 и 13 EMBED Equation.3 1415, поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415). Отсюда следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, а так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Теорема доказана.
Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415подобен 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство: Учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415, у которого 13 EMBED Equation.3 1415. Треугольники 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Сравнивая эти равенства с равенствами 13 EMBED Equation.3 1415, получаем: ВС=ВС2, АС=АС2. Треугольники АВС и АВС2 равны по трем сторонам. Отсюда следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, а так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Теорема доказана.
Теорема. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – подобны, k – коэффициент подобия, S и S1 – площади этих треугольников.
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство: Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). По определению коэффициента подобия имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Теорема доказана.
Теорема. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Свойство. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник подобный данному.
Свойство. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая продолжения сторон этого треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Свойство. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Обобщенная теорема подобия. Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответственные стороны.
В частности, радиусы описанной или вписанной окружностей, периметры, соответственные высоты, медианы, биссектрисы двух подобных треугольников относятся как соответственные стороны.
Приведем простой пример применения метода подобия при решении задач.
Задача. Найдите значение х по рисунку 2.4. [13]
Решение. Треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Отсюда следует, что
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 9.
В практической части мы рассмотрим задачи на применения метода подобия.
Метод вспомогательных окружностей
Вспомогательная окружность – одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Причем в школьных общеобразовательных учебниках о нём практически ничего не говорится. Ниже изложена суть этого метода и признаки, при которых он применяется.
Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.
При решении планиметрических задач, когда требуется установить равенство некоторых углов, нередко полезно около треугольника или четырёхугольника описать окружность, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. Целесообразность применения метода зависит от этих признаков. А они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе геометрии 8,9 классов.
Свойства углов, вписанных в окружность.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
Углы ABC и AEC, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Угол LRK=90є, т.к. он опирается на полуокружность (диаметр).
Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая - внутри угла, вертикального к данному.
Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенного внутри угла.
Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла.
Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же дугу, то градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры центрального угла: 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 3.1.)
13 EMBED Equation.3 1415, (рис. 3.1.)


Свойства секущих.

13 EMBED Equation.3 1415




Свойства хорд.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



Свойства касательных.
Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство: Пусть р – касательная к окружности с центром О, А – точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р – касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.
Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Доказательство: По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и углы 2 и 4 равны. Что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.
Рассмотрим признаки, при которых вокруг многоугольников можно описать окружность.
В любой треугольник можно вписать окружность и притом единственную
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК=OL=OM. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K, L и М. стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках K, L , М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность.
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ, и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=ОВ=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.
Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей.
Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.
Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, либо описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 120° каждая.
Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника.
Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. [10]
Дано: ABCD - четырёхугольник; 13 EMBED Equation.3 1415ABC + 13 EMBED Equation.3 1415ADC=180°;
Доказать, что вокруг ABCD можно описать окружность.

Доказательство. Построим окружность, проходящую через точки А, В, С (вокруг любого треугольника всегда можно описать окружность);
Допустим, что эта окружность не проходит через точку D, а пересекает сторону AD в точке D1;
Так как ABCD1 вписан в окружность, то 13 EMBED Equation.3 1415ABC+13 EMBED Equation.3 1415AD1C=180°;
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415AD1C=13 EMBED Equation.3 1415CDD1, чего быть не может, т. к. 13 EMBED Equation.3 1415AD1C - внешний для 13 EMBED Equation.3 1415CDD1, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. получается, что 13 EMBED Equation.3 1415AD1C=13 EMBED Equation.3 1415CDD1+13 EMBED Equation.3 1415D1CD => пришли к противоречию => построенная окружность проходит через точку D. Что и требовалось доказать.
Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём 13 EMBED Equation.3 1415АBD = 13 EMBED Equation.3 1415ACD, то точки А, В, С, D принадлежат одной окружности. [10]
Дано: Точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD; 13 EMBED Equation.3 1415ABD=13 EMBED Equation.3 1415ACD
Доказать, что точки А, В, С, D принадлежат одной окружности.
Доказательство. Предположим, что точка С не лежит на окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415ABD. Тогда возможны два случая:
С лежит вне данной окружности, тогда 13 EMBED Equation.3 1415ACD=13 EMBED Equation.3 1415AKD-13 EMBED Equation.3 1415CDK. Но по теореме о вписанном угле 13 EMBED Equation.3 1415ABD=13 EMBED Equation.3 1415AKD и => 13 EMBED Equation.3 1415ACD<13 EMBED Equation.3 1415ABD, получили противоречие с 13 EMBED Equation.3 1415ABD= 13 EMBED Equation.3 1415ACD;.
С лежит внутри окружности. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415ACD=13 EMBED Equation.3 1415AKD+13 EMBED Equation.3 1415CKD и => 13 EMBED Equation.3 1415ACD>13 EMBED Equation.3 1415ABD получили противоречие с 13 EMBED Equation.3 1415ABD =13 EMBED Equation.3 1415ACD.
Полученные противоречия и доказывают нужное утверждение.
Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. [10]
Дано: ABCD- четырёхугольник.
Доказать, что если AB+CD=BC+AD, то в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
Доказательство. a=a, b=b, c=c, d=d (как отрезки касательных, разделённые точкой касания). => a+b+d+c=a+d+c+d; => АВ+CD=BC+AD. Что и требовалось доказать.
Приведем пример решения задачи с использованием метода вспомогательной окружности.
Задача. Если в треугольнике медиана равна половине соответствующей стороны, то угол, лежащий против этой стороны, – прямой. Доказать это, пользуясь вспомогательной окружностью. [1]
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415АВС, АМ – медиана, АМ=13 EMBED Equation.3 1415ВС.
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415А= 90є
Доказательство. Т.к. АМ=13 EMBED Equation.3 1415ВС и ВМ=МС13 EMBED Equation.3 1415АМ=ВМ=МС, 13 EMBED Equation.3 1415существует окружность с центром в точке М, значит ВС – диаметр, т.к. угол А опирается на диаметр, то он прямой. Что и требовалось доказать.
Свойства четырех замечательных точек треугольника
При решении задач, связанных с треугольником, нередко используются свойства четырех замечательных точек треугольника – центра тяжести, центра вписанной и описанной окружностей и ортоцентра.
Определение. Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойство 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей строго внутри треугольника (центр тяжести). Точка пересечения делит медианы на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая от соответствующей вершины.
Определение. Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной.
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, то есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.
Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Доказательство: 1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK=ML. Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и АМL. Они равны по гипотенузе и острому углу (АМ – общая гипотенуза, углы 1 и 2 равны по условию). Следовательно, MK=ML.
2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ – биссектриса угла ВАС. Проведем перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и АМL равны по гипотенузе и катету (АМ – общая гипотенуза, MK=ML по условию). Следовательно, углы 1 и 2 равны. Но это означает, что луч АМ – биссектриса угла АВС. Теорема доказана.
Свойство 2. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей строго внутри треугольника. Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника и является центром вписанной окружности.
Доказательство: Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведем из этой точки перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА. По доказанной выше теореме ОК=ОМ и ОК=ОL. Поэтому ОМ=ОL, т.е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. что и требовалось доказать.
Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Доказательство: Пусть прямая m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О – середина этого отрезка.
1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О – середина отрезка АВ. Пусть М и О – различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам (ОА=ОВ, ОМ – общий катет), поэтому АМ=ВМ.
2) Рассмотрим произвольную точку N, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка N лежит на прямой m. Если N – точка прямой АВ, то она совпадает серединой О отрезка АВ и поэтому лежит на прямой m. Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник АNВ равнобедренный, так как АN=BN. Отрезок NО – медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, NО перпендикулярна АВ, поэтому прямые NО и m совпадают, т.е. N – точка прямой m. Теорема доказана.
Свойство 3. Три перпендикуляра, проведенные к серединам сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности.
Доказательство: Рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Эти прямые пересекаются в некоторой точке О.
В самом деле, если предположить противное, т.е. что m параллельна n, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно. По теореме ОВ=ОА и ОВ=ОС. Поэтому ОА=ОС, т.е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. Что и требовалось доказать.
Замечание: В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном – в середине гипотенузы. 
Определение. Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника.
Свойство 4. Три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентр).
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке. Проведем через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А2С и АВ=СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С=СВ2. Аналогично С2А=АВ2 и С2В=ВА2. Кроме того, как следует из построения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Замечание: Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Замечание: В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри треугольника. В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высотами.
Замечание: Ортоцентр, центр тяжести, центр описанной и центр вписанной окружностей совпадают только в равностороннем треугольнике.
Практическая часть
Решение задач с помощью метода площадей
Задача 1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 13 EMBED Equation.3 1415, а острый угол равен 60є.
Решение. Пусть а – сторона ромба. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Подставив известные величины, получим 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1,5.

Задача 2. Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны 8 и 11, а высота, проведенная к стороне ВС, равна 4. Найдите высоту, проведенную к стороне АВ.
Решение. Найдем площадь треугольника АВС двумя способами: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Приравняем площади 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 5,5.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.
Решение. Найдем площадь треугольника АВС двумя способами: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравняем площади и найдем высоту CD: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 4,8.
Задача 4. В равнобедренном треугольнике сторона основания равна 8, а боковые стороны - 10. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне.
Решение. Найдем площадь треугольника АВС двумя способами: 13 EMBED Equation.3 1415. По формуле Герона 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислим полупериметр:
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравняем площади и найдем высоту АН: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 5. Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами ромба, если его диагонали равны 6 и 8.
Решение. Расстояние между двумя параллельными сторонами ромба AЕ – это высота ромба. Найдем площадь ромба двумя способами. 13 EMBED Equation.3 1415. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом – это значит, что треугольник АОВ прямоугольный. Отсюда по теореме Пифагора найдем сторону ромба: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Приравняем площади и найдем расстояние между двумя параллельными сторонами ромба AЕ. 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 4,8.
Задача 6. Внутри правильного треугольника со стороной a взята произвольная точка М. Найти сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.
Решение. Надо найти сумму длин перпендикуляров MP, MQ и MR, опущенных из точки М на стороны АВ, ВС и СА соответственно. Если соединить точку М с вершинами треугольника, то видно, что S
·ABC=S
·AMB+ +S
·BMC+ S
·CMA. Используя формулы для площади правильного треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 и замечая, что по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415. [5]
Задача 7. (ЕГЭ, 2012) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3. [12]
Дано:
·АВС – равнобедренный, АВ = ВС = 4,
АМ – медиана: ВМ = МС, АМ = 3.
Найти: АС.
Решение. 1) Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника, т.е. S
·ABM = S
·AMC
Запишем формулу вычисления площади треугольника АВМ, используя формулу Герона.
S
·ABM = 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем полупериметр треугольника 13 EMBED Equation.3 1415.
Зная все величины, подставим их в формулу и вычислим площадь треугольника. S
·ABM = 13 EMBED Equation.3 1415

Запишем формулу вычисления площади треугольника АМС, используя формулу Герона S
·AMC = 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем полупериметр треугольника 13 EMBED Equation.3 1415
Подставим известные величины в формулу и получим 13 EMBED Equation.3 1415
Составим равенство 13 EMBED Equation.3 1415, возведем обе части равенства в квадрат, получим 13 EMBED Equation.3 1415;
135 = 26АС2 – АС4 – 25
26АС2 – АС4 – 25 – 135 = 0
26АС2 – АС4 – 160 = 0
Введем подстановку АС2 = х, тогда 26х – х2 -160 = 0 (разделим обе части уравнения на -1) получим приведенное квадратное уравнение х2 – 26х +160 = 0, по теореме Виета, запишем 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем первый корень уравнения х1 = 16, АС2 = 16, АС = 13 EMBED Equation.3 1415, посторонний корень, т.к.
·АВС – равнобедренный,
Найдем второй корень х2 = 10, АС2 = 10, АС = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 8. (ЕГЭ, 2012) В треугольнике ABC известно, что АВ = 8, АС = 6, угол ВАС = 60°. Найдите биссектрису АМ. [12]
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415АВС, АВ = 8, АС = 6, 13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 60є, АМ – биссектриса.
Найти: АМ.
Решение. 1) найдем площадь треугольника 13 EMBED Equation.3 1415
2) С другой стороны 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем площади этих треугольников 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
3)Составим равенство 13 EMBED Equation.3 1415,
Из полученного равенства найдем биссектрису АМ 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 9. Прямая AD делит треугольник АВС на два. Доказать, что радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС, меньше суммы радиусов r1 и r2 окружностей вписанных в треугольники ABD и ACD соответственно.
Решение. В равенстве 13 EMBED Equation.3 1415 представим все члены с помощью формулы (6) 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, а следовательно r < r1 + r2. Что и требовалось доказать. [5]
Задача 10. (ЕГЭ, 2014). Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его средней линии, параллельной стороне ВС.
а) Докажите, что прямые AС+АВ=3ВС.
б) Найдите большую сторону треугольника АВС, если известно, что его площадь равна 36 и ВС = 9.
Решение:
а) МN – средняя линия 13EMBED Equation.31415. Значит, 13EMBED Equation.31415. 13EMBED Equation.31415, следовательно, BMNC – трапеция. Окружность вписана в трапецию, поэтому 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Отсюда получаем 13EMBED Equation.31415.
б) Площадь треугольника известна. Выразим площадь данной фигуры другим способом. Для этого найдем полупериметр , используя формулу 13EMBED Equation.31415. Обозначим АВ = х, АС = у.
13EMBED Equation.31415. Получили ВС = 9. Значит, 13EMBED Equation.31415.
Используя формулу Герона 13EMBED Equation.31415, имеем следующее выражение: 13EMBED Equation.31415.
Так как р = 18 и площадь 13EMBED Equation.31415, из условия, равна 36, получаем уравнение:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415.
Возведем обе части уравнения в квадрат: 13EMBED Equation.31415. Из равенства 13EMBED Equation.31415 следует 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 Получаем квадратное уравнение 13EMBED Equation.31415, решая которое имеем два корня, 10 и 17.
Если 13EMBED Equation.31415, то из выражения 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415. Если 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415. Можно сделать вывод, что условию задачи соответствует треугольник со сторонами 9, 10, 17. Наибольшая сторона равна 17. Ответ: 17. [14]
Задача 11. (ЕГЭ, демоверсия 2015) Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника АКВ, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение. а) Обозначим центры окружностей О1 и О2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке К, пересекает АВ в точке М. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=КМ и КМ=ВМ.
Треугольник АКВ, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD 13 EMBED Equation.3 1415АВ. Аналогично получаем, что ВС13 EMBED Equation.3 1415АВ . Следовательно, прямые AD и ВС параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники ВКС и AKD подобны, 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть S
·BKC = S, тогда S
·AKD=16S. У треугольников AKD и АКВ общая высота, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HOl: 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 S
·AKB = 4S = 3,2.
Ответ: 3,2.
Решение задач с помощью метода подобия
Задача 1. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ=5см и АС=16см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8см и AF=10см. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте. [13]
Решение. Рассмотрим треугольники ACD и AFB: 13 EMBED Equation.3 1415А – общий, теперь проверим отношение сторон 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 стороны образующие 13 EMBED Equation.3 1415А пропорциональны 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415ACD подобен 13 EMBED Equation.3 1415AFB по второму признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.
Задача 2. В трапеции ABCD сторона BC параллельна AD; О – точка пересечения диагоналей; AO=12 см, OC=15 см, BD=40,5 см. Определите длину отрезков OD и OB. [1]
Дано: ABCD – трапеция, 13 EMBED Equation.3 1415, AO=12 см, OC=15 см, BD=40,5 см.
Найти: OD и OB.
Решение. 1) Рассмотрим треугольники BOC и AOD, они подобны по двум углам: 13 EMBED Equation.3 1415OAD=13 EMBED Equation.3 1415BCO и 13 EMBED Equation.3 1415OBC=13 EMBED Equation.3 1415ODA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущих AC и BD. Следовательно стороны треугольников пропорциональны.
2) 13 EMBED Equation.3 1415, выразим сторону OD через сторону OB, зная, что BD=40,5см. OD=BD-OB=40,5-OB. Подставим все известные величины в пропорцию
3) 13 EMBED Equation.3 1415см.
OD = 40,5 – 22,5 = 18 см.
Ответ: 18 см и 22,5 см.
Задача 3. Площади двух треугольников равны 40,5 дм2 и 54 дм2, а две их наибольшие стороны соответственно равны 13,5 дм и 18 дм. Подобны ли эти треугольники? [1]
Решение. Если треугольники подобны, то должно выполняться условие: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Проверим это условие. Найдем коэффициент подобия 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем отношение площадей 13 EMBED Equation.3 1415. Получили, что отношение площадей равно коэффициенту, а должно быть равно квадрату коэффициента. Следовательно, треугольники не подобны.
Задача 4. Периметр треугольника равен 3,9 м, а стороны подобного ему треугольника равны 22,5 дм, 3 м и 45 дм. Определите стороны первого треугольника. [1]
Решение. Найдем периметр подобного треугольника: 22,5+30+45=97,5. Т.к. треугольники подобны, то выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415, значит, коэффициент подобия равен 13 EMBED Equation.3 1415. Теперь сможем найти стороны первого треугольника: 13 EMBED Equation.3 1415дм, 13 EMBED Equation.3 1415дм, 13 EMBED Equation.3 1415дм.
Ответ: 9 дм, 12 дм, 18 дм.
Задача 5. Стороны двух подобных треугольников относятся как 6 : 5, а разность их площадей равна 77 см2. определить площади треугольников. [1]
Решение. Так как треугольники подобны, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Можно записать 13 EMBED Equation.3 1415. С другой стороны площади связаны другим выражением 13 EMBED Equation.3 1415.
Получили систему двух уравнений. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 175 см2 и 252см2 .
Решение алгебраической задачи с помощью метода подобия.
Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из двух сел А и В навстречу друг другу. После встречи первый пешеход шел 25 минут до села В, а второй шел 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?
Решение. 1 способ: Пусть до встречи пешеходы шли х минут. Тогда первый был в пути (х +25) минут, второй (х + 36) минут. В 1 минуту первый пешеход проходил 13 EMBED Equation.3 1415, а второй 13 EMBED Equation.3 1415расстояния АВ.
Вместе они проходили в 1 минуту 13 EMBED Equation.3 1415 расстояния АВ. Составим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Это уравнение имеет единственный положительный корень х = 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.
Ответ: 30 минут.
2 способ: Теперь рассмотрим метод подобия, часто помогающий избежать громоздких рассуждений и составления сложного уравнения (или нескольких уравнений).
Пусть до встречи пешеходы шли х минут. Построим графики движения пешеходов. Так как в задаче работа рассматривается как равномерный процесс, то отрезок АО – график движения первого пешехода, а отрезок ВР – график движения второго пешехода, АК – изображает время движения до встречи, МО – время движения первого пешехода после встречи до села В, МО = 25, КР – время движения второго пешехода после встречи до села А, КР = 36. Проведем МК АВ и рассмотрим образовавшиеся треугольники.
Из подобия двух пар треугольников BNM и PNK, MNO и KNA (по двум углам) следует, что 13 EMBED Equation.3 1415. Составим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Это уравнение имеет единственный положительный корень х = 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.
Ответ: 30 минут. [8]
Не трудно заметить, что второй способ легче, чем первый.
Задача 7. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3, ВС = 2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.
Решение. В силу равенства отмеченных углов (рис. 4) треугольник ACD подобен треугольнику CBE.
Следовательно,13 EMBED Equation.3 1415. Пусть AD = x, тогда DC =13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Решив полученное уравнение, найдем сторону квадрата: 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, S квадрата равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 8,1. [9]
Задача 8. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так, что К – точка пересечения отрезков BF и AE. Найти отношение КЕ : АК.
Решение. Из подобия треугольников AKB, BKE и ABE следует 13 EMBED Equation.3 1415. Перемножив равенства 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415. [9]
Задача 9.(ЕГЭ, 2012) Через точки М и N, делящие сторону АВ треугольника АВС на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне ВС. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника АВС равна 1.[12]
Дано:
·АВС, ME || NF || BC, AM = MN = NB,
S
·АВС = 1.
Найти: SMNFE.
Решение. 1) Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник подобный данному.
Отсюда следует, что:

·АВС подобен
·АMЕ и
·АВС подобен
·АNF
т.к. AM = MN = NB => S
·АME = 13 EMBED Equation.3 1415 S
·АBC и S
·АNF = 13 EMBED Equation.3 1415 S
·АBC,
SMNFE = S
·АNF – S
·АME = 13 EMBED Equation.3 1415S
·АBC – 13 EMBED Equation.3 1415S
·АBC = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 10. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, относятся как 2:4. Чему равна меньшая сторона параллелограмма, если периметр равен 90 см? [9]
Решение. Так как треугольники АВК и ВНС подобны по двум углам (1 признак подобия) и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. С другой стороны 13 EMBED Equation.3 1415получили систему уравнений, решив которую найдем меньшую сторону параллелограмма АВ.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 15см.
Задача 11. (ЕГЭ, 2012) Сторона треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная этой стороне, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника. [12]
Решение. Прямая LM параллельна AC и отсекает от 13 EMBED Equation.3 1415АВС подобный треугольник LBM (по свойству: «Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник подобный данному»). Из подобия треугольников ABC и LBM имеем 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415см.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 12. Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р, причем ВС=СD.
а) Докажите, что АВ:ВС=АР:РD.
б) Найдите площадь треугольника 13EMBED Equation.31415СОD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник АВD, если дополнительно известно, что ВD – диаметр описанной около четырехугольника АВСD окружности, АВ=4, а 13EMBED Equation.31415.
Решение: а)13EMBED Equation.31415, так как опираются на равные хорды. Вписанные углы 13EMBED Equation.31415АDВ и 13EMBED Equation.31415АСВ опираются на одну и ту же дугу, значит, 13EMBED Equation.31415. Можем сделать вывод, что 13EMBED Equation.31415~13EMBED Equation.31415. Следовательно, АВ:ВС=АР:РD.
б) Точки А и С лежат на окружности с диаметром ВD, значит, 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415 прямоугольные. Так как 13EMBED Equation.31415 - равнобедренный, то 13EMBED Equation.31415. 13EMBED Equation.31415 в 13EMBED Equation.31415, поэтому 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Центр окружности, вписанный в треугольник, - точка пересечения его биссектрис, поэтому точка О лежит на биссектрисе АС 13EMBED Equation.31415 и на биссектрисе 13EMBED Equation.31415. Тогда
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415.
Следовательно, 13EMBED Equation.31415- равносторонний, причем 13EMBED Equation.31415.Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле 13EMBED Equation.31415. Найдем площадь 13EMBED Equation.31415: 13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415. [14]
Задача 13. (ЕГЭ, 2015) Диагональ АС разбивает трапецию АВСD с основанием AD и ВС, из которых AD большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что 13EMBED Equation.31415.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
Решение: а) AD || BC, следовательно, АС – секущая, следовательно, 13EMBED Equation.31415, так как накрест лежащие углы.
Предположим, что 13EMBED Equation.31415. Тогда AВ || CD и АВСD – параллелограмм. Данное предположение неверно и 13EMBED Equation.31415.
б) 13EMBED Equation.31415 ~13EMBED Equation.31415. Следовательно, 13EMBED Equation.31415, откуда 13EMBED Equation.31415.
Опустим из вершины С перпендикуляр СК на основание AD. Тогда 13EMBED Equation.31415. Значит, АВСК – прямоугольник. Следовательно, 13EMBED Equation.31415. Пусть М и N – середины оснований AD и ВС соответственно, МН – перпендикуляр к AD. Тогда АВМН – прямоугольник. Получаем, что 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
В прямоугольном треугольнике MNH имеем: 13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415. [14]
Решение задач с помощью метода вспомогательных окружностей

Задача 1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АР, BQ и CR. Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415BAP = 13 EMBED Equation.3 1415BQR.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415АВС, АР, BQ и CR – высоты.
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415BAP = 13 EMBED Equation.3 1415BQR.
Доказательство. Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415ARH =13 EMBED Equation.3 1415AQH=90о 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415ARH+13 EMBED Equation.3 1415AQH=180є, то около четырёхугольника ARHQ можно описать окружность, приняв отрезок АН за диаметр. Построив её, замечаем, что 13 EMBED Equation.3 1415BAP=13 EMBED Equation.3 1415BQR как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Что и требовалось доказать. [11]
Задача 2. Дан прямоугольный треугольник 13 EMBED Equation.3 1415ABC, 13 EMBED Equation.3 1415C= 90°. На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр на гипотенузу АВ. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415ANC=13 EMBED Equation.3 1415AMC.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415АВС; 13 EMBED Equation.3 1415С= 90°;точка М13 EMBED Equation.3 1415ВС; MN13 EMBED Equation.3 1415АВ.
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415ANC=13 EMBED Equation.3 1415AMC.
Доказательство. Вокруг четырёхугольника ACMN можно описать окружность (13 EMBED Equation.3 1415ACM+13 EMBED Equation.3 1415ANM= 180°). 13 EMBED Equation.3 1415ANC и 13 EMBED Equation.3 1415AMC опираются на одну дугу АС => эти углы равны, что и требовалось доказать. [10]
Задача 3. На стороне АВ треугольника ABC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной С, если АВ = с и 13 EMBED Equation.3 1415C = 120°. [11]
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415ABC, 13 EMBED Equation.3 1415С=120є, АВ=с, 13 EMBED Equation.3 1415ABD – равносторонний, О – центр 13 EMBED Equation.3 1415ABD.
Найти: ОС
Решение. Т.к 13 EMBED Equation.3 1415С=120є, то он опирается на дугу 240є, значит точка С лежит на окружности, описанной возле правильного треугольника 13 EMBED Equation.3 1415ABD и т.к. точка О – центр 13 EMBED Equation.3 1415ABD следовательно ОС – радиус описанной окружности. Сторону правильного треугольника можно выразить через радиус описанной окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 4. Из точки Р, расположенной внутри острого угла ВАС, опущены перпендикуляры РС1 и РВ1 на прямые АВ и АС. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415С1АР=13 EMBED Equation.3 1415С1В1Р. [11]
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415ВАС, PB113 EMBED Equation.3 1415AC, PC113 EMBED Equation.3 1415AB
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415С1АР=13 EMBED Equation.3 1415С1В1Р.

Доказательство. АС1РВ1 – четырехугольник. Т.к. PB113 EMBED Equation.3 1415AC, PC113 EMBED Equation.3 1415AB, то 13 EMBED Equation.3 1415АС1Р=90є и 13 EMBED Equation.3 1415РВ1А=90є 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415АС1Р+13 EMBED Equation.3 1415РВ1А=180є 13 EMBED Equation.3 1415 около четырехугольника можно описать окружность. 13 EMBED Equation.3 1415С1АР=13 EMBED Equation.3 1415С1В1Р т.к. опираются на одну дугу С1Р. Что и требовалось доказать.


Задача 5. В круге дана точка на расстоянии 15 см от центра. Через эту точку проведена хорда, которая делится ею на две части с длинами 7 см и 25 см. Найдите радиус круга.
Решение. По условию задачи ОЕ = 15, DЕ = 7, ЕС = 25. проведем через точку Е диаметр, который в этой точке пересекается с хордой СD. По свойству пересекающихся хорд CE·ED = AE·EB. Но АЕ = R + 15, EB = R – 15, где R – радиус окружности. В результате имеем 25·7=(R +15)·(R – 15), откуда R2 – 225 = 25·7, R2 = 400, R = 13 EMBED Equation.3 1415=20 см.
Ответ: 20 см. [3]
Задача 6. Доказать, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (а + в – с)/2, где а, в – катеты, а с – гипотенуза.
Решение. Четырехугольник MCNO1, очевидно, квадрат (все углы прямые, О1М = О1N = r). следовательно, CN = CM = r. Тогда BN = a – r, а также BP = a – r ( по теореме о о двух касательных к окружности). Аналогично, AM = AP = b – r. Но AB = c = AP + PB = b – r + a – r = a + b – 2r, откуда 2r= a + b – c, т.е. r = (a + b – c)/2. что и требовалось доказать.
Замечание. Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2R, где R – радиус описанной окружности, то из полученного результата следует a + b – 2R = 2r, a + b = 2(R + r). [3]
Задача 7. В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р – на CD. КН – высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний.
Дано: ABCD – прямоугольник; 13 EMBED Equation.3 1415АРК – равносторонний треугольник; К13 EMBED Equation.3 1415ВС ; Р13 EMBED Equation.3 1415CD; КН – высота 13 EMBED Equation.3 1415АРК.
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415ВНС – равносторонний.
Доказательство. 13 EMBED Equation.3 1415ABK+13 EMBED Equation.3 1415AHK=180° => вокруг четырёхугольника АВКН можно описать окружность.
13 EMBED Equation.3 1415КАН=13 EMBED Equation.3 1415НВК=60° (опираются на одну дугу КН, а 13 EMBED Equation.3 1415АКР – равносторонний).
13 EMBED Equation.3 1415KCP+13 EMBED Equation.3 1415KHP=180° => вокруг четырёхугольника КНРС – можно описать окружность.
13 EMBED Equation.3 1415KCH=13 EMBED Equation.3 1415KPH=60° (опираются на одну дугу КН, а 13 EMBED Equation.3 1415АКР – равносторонний).
=>13 EMBED Equation.3 1415AKP=60° (сумма углов в треугольнике равна 180°) => 13 EMBED Equation.3 1415ВНС – равносторонний, т. к. все углы по 60°. Что и требовалось доказать. [10]
3адача 8. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота CD . Угол BAC равен 13 EMBED Equation.3 1415. Радиус окружности, проходящей через точки A, C и D равен R. Найдите площадь треугольника ABC.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415АВС, АВ=ВС, CD – высота, 13 EMBED Equation.3 1415ВАС=a, радиус окружности равен R.
Найти: S13 EMBED Equation.3 1415ABC.
Решение. 1) Из точки D отрезок AC виден под прямым углом, значит, эта точка лежит на окружности с диаметром AC.
2) А т.к. через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то окружность с диаметром AC – это окружность, о которой говорится в условии задачи.
3) Пусть Е – её центр. Тогда Е – середина основания АС равнобедренного треугольника ABC, поэтому BE – высота этого треугольника. Из прямоугольного треугольника EAB находим, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.[10]
Задача 9. Дан угол 13 EMBED Equation.3 1415 с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С – основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ=а, МС=b. Найдите АМ.
Дано: угол 13 EMBED Equation.3 1415, точка М внутри угла, В и С – основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла, МВ=а; МС=b.
Найти: АМ.
Решение. 1) АВМС – четырёхугольник, 13 EMBED Equation.3 1415АВМ =13 EMBED Equation.3 1415АСМ=90є,
13 EMBED Equation.3 1415В+13 EMBED Equation.3 1415С=180є (противоположные углы в четырёхугольнике) => вокруг АВМС можно описать окружность.
2) Соединим точки В и С, 13 EMBED Equation.3 1415ВМС = 180є – 13 EMBED Equation.3 1415.
АМ – диаметр т. к. угол АВМ= 90°. Диаметр = 2радиуса, 13 EMBED Equation.3 1415
Найдём ВС (воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ВМС)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415. [10]
Задача 10. Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
Дано: ABCD – трапеция, ВС=10, AD=26, AC13 EMBED Equation.3 1415CD и ВD13 EMBED Equation.3 1415AB.
Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415ABD=13 EMBED Equation.3 1415ACD=90° => выполняется 2 признак существования окружности, описанной возле четырехугольника => вокруг ABCD можно описать окружность => трапеция ABCD – равнобедренная (только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность).
3) НС – высота, опущенная на гипотенузу, в прямоугольном треугольнике CAD => 13 EMBED Equation.3 1415
4) Проведем BF13 EMBED Equation.3 1415AD и рассмотрим полученные треугольники ABF и CHD. Эти треугольники являются прямоугольными и они равны по катету и гипотенузе: AB=CD, т.к. трапеция равнобедренная, а BF=CH как высоты трапеции. Из равенства треугольников следует, что AF=HD.
5) FH=BC=10, т.к. BF13 EMBED Equation.3 1415AD и CH13 EMBED Equation.3 1415AD и BCAD => FBCH – прямоугольник
6) 2HD=AD – FH = 26 – 10 =16, HD=16/2=8,
AH=AF+FH=8+10=18, 13 EMBED Equation.3 1415.
7) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 216. [10]
Задача 11. (ЕГЭ, 2012) В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника [12].
Решение. По условию задачи АК = 5, КВ = 12.
Тогда в силу теоремы о двух касательных к окружности АМ = АК = 5, NB = KB = 12.
Обозначим радиус вписанной окружности через r. Тогда BC = CN + CB = r + 12, АC = АМ + МС= r + 5. По теореме Пифагора AC2 + CB2 = AB2, т.е (r + 5)2 + (r + 12)2 = (5 + 12)2.
Выполняя простые преобразования, получим квадратное уравнение r2 + 17r – 60 = 0 . Решаем его по теореме Виета: r1 +r2 = - 17 и r1 *r2 = -60, находим что r1 = - 20 и r2 = 3. Первый корень не имеет геометрического смысла. Следовательно, r = 3. Теперь можем найти катеты треугольника: ВС = 3 + 12 = 15 и АС = 3 + 5 = 8.
Ответ: 8 и 15.
Задача 12. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что13EMBED Equation.31415.
а) Докажите, что четырехугольник ОВКС вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ОВКС, если13EMBED Equation.31415, а ВС = 48.
Решение: а) 13EMBED Equation.31415 является продолжением 13EMBED Equation.31415, значит, 13EMBED Equation.31415. 13EMBED Equation.31415 – центральный угол 13 EMBED Equation.3 141513EMBED Equation.31415.
Рассмотрим 13EMBED Equation.31415, ВО=СО, следовательно 13EMBED Equation.31415 – равнобедренный. Значит, по свойству равнобедренного треугольника, 13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415. Следовательно, точки О, В, К, С лежат на одной окружности. Можно сделать вывод, что ОВКС – вписанный четырехугольник.
б) 13EMBED Equation.31415, выразим синус данного угла по теореме Пифагора. 13EMBED Equation.31415.
R – радиус окружности, описанной около четырехугольника ОВКС. Рассмотрим треугольник 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Ответ: 25. [14]
Задача 13. (ЕГЭ, 2014) Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
а) Докажите, что 13EMBED Equation.31415.
б) Найдите ВС, если АН=4 и 13EMBED Equation.31415.
Решение: а) АС1НВ1 – четырехугольник, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, значит, около четырехугольника АС1НВ1 .можно описать окружность, где АН – диаметр.
13EMBED Equation.31415, так как опираются на одну дугу.
13EMBED Equation.31415, следовательно точки В, С, В1, С1 лежат на окружности с диаметром ВС. Значит, 13EMBED Equation.31415. Получаем 13EMBED Equation.31415.
б) 13EMBED Equation.31415, АН = 4, где АН – диаметр описанной окружности. 13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415 - прямоугольный, 13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415- прямоугольный, 13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим 13EMBED Equation.31415. Далее применим метод подобия, поскольку присутствуют признаки данного метода.
13EMBED Equation.31415 - общий, 13EMBED Equation.31415. Можем сделать вывод, что 13EMBED Equation.31415~13EMBED Equation.31415.
Значит, 13EMBED Equation.31415. Выражаем ВС: 13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415. [14]
Задача 14.(ЕГЭ, 2014) Диагональ АС прямоугольника АВСD с центром О образует со стороной АВ угол 300. Точка Е лежит вне прямоугольника, причем 13EMBED Equation.31415. Докажите, что 13EMBED Equation.31415.
Доказательство: 13EMBED Equation.31415 по теореме о внешнем угле треугольника. 13EMBED Equation.31415, значит, 13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим четырехугольник ВОСЕ. 13EMBED Equation.31415. Можно сделать вывод, что четырехугольник вписанный. 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 опираются на одну дугу, значит, 13EMBED Equation.31415 = 13EMBED Equation.31415. Что и требовалось доказать. [14]
Решение задач с применением свойств четырех замечательных точек треугольника
Задача 1. Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если 13 EMBED Equation.3 1415АМВ = 136є. [13]
Решение. Из того что АА1, ВВ1 и СМ пересекаются в одной точке М следует, что МС – биссектриса угла С, а значит углы АСМ и ВСМ равны. Значит 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение задачи сводится к нахождению 13 EMBED Equation.3 1415С. Рассмотрим треугольник АВС: 13 EMBED Equation.3 1415А+13 EMBED Equation.3 1415В+13 EMBED Equation.3 1415С=180є, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415С=180є -(13 EMBED Equation.3 1415А+13 EMBED Equation.3 1415В).
Рассмотрим треугольник АМВ, 13 EMBED Equation.3 1415АМВ + 13 EMBED Equation.3 1415ВАМ + 13 EMBED Equation.3 1415АВМ = 180є => 13 EMBED Equation.3 1415ВАМ + 13 EMBED Equation.3 1415АВМ = 180є – 13 EMBED Equation.3 1415АМВ = 180є – 136є = 44є. Так как АА1 и ВВ1 – биссектрисы треугольника АВС, то 13 EMBED Equation.3 1415МВА1+13 EMBED Equation.3 1415АМВ1 = 44є.
Так как сумма углов треугольника АВС равна 180є, а 13 EMBED Equation.3 1415А + 13 EMBED Equation.3 1415В = 13 EMBED Equation.3 1415ВАМ + 13 EMBED Equation.3 1415АВМ + 13 EMBED Equation.3 1415МВА1+13 EMBED Equation.3 1415АМВ1 = 44є + 44є = 88є, тогда 13 EMBED Equation.3 1415С = 180є - 88є = 92є и значит 13 EMBED Equation.3 1415АСМ = 13 EMBED Equation.3 1415ВСМ = 13 EMBED Equation.3 1415С/2 = 92є / 2 = 46є.
Ответ: 46є и 46є.
Задача 2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите АD и DС, если BD = 5 см, АС = 8,5 см. [13]
Решение. Так как DE – серединный перпендикуляр, то точка D равноудалена от концов отрезка ВС, а это значит DC = BD = 5 см. АD = АС – DC = 8,5 – 5 = 3,5 см.
Ответ: 3,5 см и 5 см.
Задача 3. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что точка D – середина стороны ВС. [13]
Решение. Рассмотрим четырехугольник АЕDК. Так как ED и DK – серединные перпендикуляры, то 13 EMBED Equation.3 1415Е и 13 EMBED Equation.3 1415К прямые. Следовательно АЕDК – прямоугольник. А это значит, что 13 EMBED Equation.3 1415А=90є и треугольник АВС – прямоугольный, поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров лежит на середине гипотенузы, т.е. точка D – середина стороны ВС. Что и требовалось доказать.
Задача 4. Длины сторон АС и АВ треугольника АВС равны b и c, угол А вдвое больше угла В. Найти длину стороны ВС.
Решение. Проведем биссектрису АD. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415DАB = 13 EMBED Equation.3 1415DАC = 13 EMBED Equation.3 1415В. Пусть ВD = x. Тогда, поскольку
·АВD – равнобедренный (13 EMBED Equation.3 1415DАB = 13 EMBED Equation.3 1415В), то и АD = x.

Применим к
·АВD 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415(1). Из теоремы синусов для
·АВС следует, что 13 EMBED Equation.3 1415откуда 13 EMBED Equation.3 1415 (2). Перемножая левые и правые части формул (1) и (2), получим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415. [3]
Задача 5. Найти углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части.
Решение. Пусть CD – высота, а СМ – медиана в
·АВС. Очевидно, СМ является биссектрисой в
·АСD и по свойству биссектрис 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что
·МСВ – равнобедренный и СD – медиана в нем: 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, а значит 13 EMBED Equation.3 1415 , т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда 13 EMBED Equation.3 1415ACD=90є - A = 60є, 13 EMBED Equation.3 1415ACM = 30є, 13 EMBED Equation.3 1415 ACB = 90є , а 13 EMBED Equation.3 1415B = 180є – 90є – 30є = 60є.
Ответ: 30є , 60є, 90є. [3]
Задача 6. Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ. [13]
Решение. Биссектрисы треугольника АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М и прямая СМ пересекается с ними в той же точке. Тогда по свойству биссектрис треугольника прямая СМ также биссектриса, причем она проведена к основанию равнобедренного
·АВС, следовательно СМ является и высотой, т.е. СМ13 EMBED Equation.3 1415АВ. Что и требовалось доказать.
Задача 7. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 20, а основание 24. Найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан треугольника.
Решение. Пусть АМ – медиана, АЕ – биссектриса, а ВD – высота, опущенная на основание. Поскольку ВD является также медианой и биссектрисой, то наша цель найти расстояние ОО1.
Из прямоугольного треугольника АBD имеем 13 EMBED Equation.3 1415 по свойству медиан АМ и ВD 13 EMBED Equation.3 1415 Так как АО1 является биссектрисой в
·ABD, то по свойству биссектрис 13 EMBED Equation.3 1415 Но 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 кроме того, O1D + O1B = 16. Имеем систему двух уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 решая которую получаем, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415. [3]
Заключение

Трудность решения геометрических задач состоит в правильном выборе метода решения задачи. Иногда одну и ту же задачу можно решить, используя разные методы, а иногда при решении может использоваться сразу несколько методов. Правильно выбранный метод позволит быстро решить задачу, сэкономив при этом и время, и силы.
В процессе исследования методов решения планиметрических задач нами были решены следующие задачи:
Проанализирована и систематизирована учебно-методическая литература;
Изучены методы решения планиметрических задач (метод подобия, метод площадей, метод вспомогательной окружности, метод решения задач с применением свойств четырех замечательных точек треугольника);
Подобраны и решены планиметрические задачи, в том числе из ЕГЭ, с применением изученных методов.
Все поставленные задачи решены, цель работы достигнута.
Литература

А.С. Макуха. Письменные контрольные работы по геометрии для 6 – 8 классов. Пособие для учителей. Издательство «Радянська школа». Киев – 1970г.
В.Т. Воднев, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. Основные математические формулы. Справочник. Под редакцией Ю.С. Богданова. Издание второе, переработанное и дополненное. Издательство «Вышэйшая школа». Минск, 1988г.
А.А. Тарымов. Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы № 2. Издательство «Учитель». Волгоград, 1993г.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С4)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Практикум абитуриента. И.Д. Новиков. Метод площадей.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Основные свойства площадей.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - текст тренировочных задач для метода площадей
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - метод подобия в текстовых задачах
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Презентация «Применение подобия к решению задач»
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – Метод вспомогательной окружности
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – Метод вспомогательной окружности
Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И. ЕГЭ. Математика. Тематическая рабочая тетрадь. – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2012г.
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений. – 18 – е издание – М.: Просвещение, 2008г.
alexlarin.net – сайт для подготовки ЕГЭ









13PAGE 15


13PAGE 145615



Рис.3.4.

Рис. 2.3.

Рис. 2.2.

Рис.2.1

Рис. 1.12.

r

O

A

B

C

Рис. 1.1. О – центр вписанной окружности

D

A

S1

S2

B

h

H

C

D

Рис. 11.

C

A

B

D

K

Рис.10

Рис. 21.

Рис. 1.2.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

Рис. 1.5.

Рис. 1.6.

Рис. 1.7.

Рис. 1.8

Рис. 1.9.

Рис. 1.10.

Рис. 1.11.

Рис. 9.

Рис. 20.

Рис.24

Рис. 8.

Рис. 7.

C

M

B

A

Рис. 5.

Рис. 4.6.

Рис.22.

Рис. 4.

Рис. 18.

Рис. 3.

Рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 6.

Рис. 17.

Рис. 14.

Рис. 4.4.

Рис. 4.3.

Рис. 3.10.

Рис. 3.9.

Рис. 3.8.

F

E

N

M

C

B

A

Рис. 16.

Рис. 15.

Рис. 19.

Рис. 13.

Рис. 12.

Рис. 4.5.

Рис. 3.11.

Рис.2.4.

Рис. 3.6.

Рис.3.7.

Рис.3.5.

Рис. 36.

Рис.35.

Рис. 34

Рис. 32.

Рис. 31.

Рис. 30.

Рис. 29.

Рис. 26.

Рис. 43.

Рис. 3.1.

Рис. 3.3.

Рис. 3.2.

Рис. 25.

Рис. 24.

Рис. 23.

Q

H

R

А

В

С

Рис.4.2.

Р

Рис. 4.1.

Рис. 37.

Рис.33.

Рис. 28.

Рис. 27.

Рис. 38

Рис. 39.

Рис. 40.

Рис. 41.

Рис. 42.





Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЗаголовок 1Заголовок 215