Конспект урока по теме Ромб. Свойства и признаки

Урок по теме: «Ромб. Свойства и признаки»
(учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Гудина. «Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений.» Москва: «Просвещение» ( 1999)
Тип урока: урок изучения нового.
Учебная задача урока: ( «открытие» особых свойств и признаков ромба;
( установление отличий в формулировках и доказательствах свойств и признаков ромба от
формулировок и доказательства свойств и признаков параллелограмма и прямоугольника;

Диагностируемые цели урока:
Знает:
определения ромба;
формулировку признаков и свойств ромба;

Умеет:
Выделять ромб среди прочих четырехугольников
Доказывать свойства и признаки ромба
Самостоятельно выстраивать ход доказательства теорем
Понимает:
Отличия ромба от прочих четырехугольников
Принципы доказательства признаков и свойств ромба
Практическую ценность изученного материала



Учебные действия, формируемые на уроке:
Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика.
Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование - определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, волевая саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, способность к волевому усилию к выбору в ситуации мотивационного конфликта и  к преодолению препятствий.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия способов взаимодействия, в том числе совершенствование навыков работы в группе, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и  условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение.
Познавательные: анализ объектов  с целью выделения признаков (существенных, несущественных); построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей, структурирование знаний, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые методы.
Форма работы: фронтальная, групповая.
Средства обучения: традиционные, презентация.
Структура урока (45 мин.):
Мотивационно-ориентировочный этап (2 мин.);
Содержательный этап (40 мин.);
Рефлексивно-оценочный этап (3 мин.).

1й урок
(урок изучения нового)

Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Комментарии

Мотивационно-ориентировочная часть

Какие виды четырехугольников вы изучили?

Сформулируйте определение параллелограмма?
Параллелограмм и прямоугольник.


Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ученики сразу дают верные ответы, т.к. этот материал изучен ранее.

Сформулируйте определение прямоугольника?

Изобразите на предложенных рисунках свойства параллелограмма и прямоугольника соответственно.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.





















Схема оформляется в процессе перечисления свойств параллелограмма и прямоугольника с целью последующего использования при «открытии» формулировок определения, свойств и признаков ромба.
(I часть доски)

Содержательная часть

Постройте параллелограмм, у которого все стороны равны.





Чтобы в следующий раз не говорить о параллелограмме, у которого все стороны равны, дадим ему название. Что вы можете предложить?

Такой параллелограмм называется ромбом.

Сформулируйте тему урока.

Какова цель сегодняшнего урока?


Сформулировать определение ромба.

Сформулируйте свойства параллелограмма.




Какими свойствами обладает ромб? Почему?

Сформулируйте их.




















Ромб.

Изучить новую геометрическую фигуру, установить какими свойствами она обладает; выделить ее признаки.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.


Свойства:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны.
2. В параллелограмме противоположные углы равны.
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
4. Сумма односторонних углов параллелограмма равна 180(.

Теми же, что и параллелограмм. Т.к. ромб является параллелограммом.

Свойства:
1. В ромбе противоположные стороны равны.
2. В ромбе противоположные углы равны.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
4. Сумма односторонних углов ромба равна 180(.














(II часть)






Учащиеся предлагают различные варианты («правильный параллелограмм», «равносторонний параллелограмм», «особый параллелограмм» и т.д.) после некоторых рассуждений и корректировки ответов учащихся учитель предлагает верный ответ, который является обобщением всех ответов.

















Данная схема оформляется в процессе формулирования свойств ромба. Она поможет учащимся в усвоении нового материала и лучшему запоминанию взаимосвязей между четырехугольниками.
Продолжение схемы на I части доски.

Постройте ромб АВСD. Проведите диагонали АС и ВD.

В




А О С


D

АВСD – ромб
АС и ВD – диагонали.

Сравните взаимное расположение диагоналей ромба?

Докажите истинность или ложность выдвинутого предположения.

Доказательство:
Определите вид (АВD.


Чем является диагональ АС в равнобедренном треугольнике АВD?

Какой вывод следует из выше доказанного?

Подведем итог проведенного доказательства. Что доказано?

Сформулируйте утверждение, которое сейчас обсуждаем.

Определите вид утверждения утверждение?

Сформулируйте это свойство, используя модель формулировки «если, то»

Сформулируйте обратное утверждение.

















Докажем это утверждение.

Что дано и что нужно доказать?

В




А О С



D


Доказательство:
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
Постройте диагонали АС и BD.

Определите вид треугольника АВС





Сравните стороны параллелограмма?

Сделайте вывод из условия о том, что параллелограмме АВСD все стороны равны?

Сформулируйте определение ромба.

А что вы только что доказали?


Сформулируйте доказанное утверждение.

Чем является доказанное утверждение?

А к какому виду теорем оно относится?

Постройте ромб и его диагональ.







Сравните (АВD и (DВС.

Как называется прямая, которая делит угол пополам?

Какие гипотезы можно выдвинуть?


Мы выдвинули два предположения. Докажем их истинность.


В С




А D

Дано: АВСD ромб.
АС и ВD – диагонали.
Доказать: АС и ВD - биссектрисы.

Доказательство:
Определите вид треугольника АВD?

Каким свойством обладают равнобедренные треугольники?





Какой вывод можно сделать, если известно что АС – диагональ ромба и биссектриса равнобедренного треугольника АВD?


Определите вид треугольника АВС.



Какой вывод можно сделать, если известно что ВD – диагональ ромба и биссектриса равнобедренного треугольника АВC?

Сформулируйте утверждение, которое вы доказывали.

Справедливо ли такое утверждение для другой пары треугольников?
Почему?









Сравните результаты доказательств обоих рассуждений.

Поэтому для удобства доказательства можно применять любую пару треугольников.

Сформулируйте доказанное предположение.

Тогда сделайте вывод, какое утверждение мы доказали. Назовите ее.

Сформулируйте другую гипотезу.

Справедливо ли это утверждение?



Сформулируйте определение биссектрисы треугольника и определение биссектрисы угла ромба




Однако заметим, что утверждение о равенстве углов, разделенных диагональю, является более широким. Поэтому за основную теорему примем именно это утверждение, а утверждение о биссектрисах углов мы будем использовать как следствие из этого свойства.

Дайте название этому свойству.

Сформулируйте свойство еще раз.

Сформулируйте это свойство в условной форме.

Сформулируйте обратное утверждения.

Докажем его истинность.

В С
1 2

О


А D

Дано: АВСD – параллелограмм;
ВD – диагональ;
(1=(2.
Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:
Определите вид (АВD.



Какой вывод из этого следует?


Подведите итог рассуждению.



Сформулируйте условие теоремы.


Сформулируйте ее посылку.

Сформулируйте ее заключение.

Сформулируйте полностью доказанное утверждение.

К какому виду утверждений оно относится?

Определить вид этой теоремы.

Какие свойства и признаки вы сегодня изучили?

Сформулируйте их.














В

АВСD - ромб
АС и ВD - диагонали
_________________________
А О C АС(ВD
Записывается учащимися в
тетрадях как комментарий
D к рисунку




На глаз можно определить, что они перпендикулярны.






Доказательство:
1. (АВD – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника), т.к. AB=AD (по определению ромба).

2. АО – медиана и высота равнобедренного (АВD, т.к. АО=ОС, ВО=ОD (по свойству диагоналей ромба).


Диагональ АС перпендикулярна диагонали ВD ромба АВСD.


Мы доказали, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.


Диагонали ромба перпендикулярны.


Данный вид формулировки задания относится к теоремам-свойствам.

Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны.


Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.



















Дано: параллелограмм ABCD, АС(BD.
Доказать:ABCD – ромб.

В




А О С



D

Доказательство:




1. (АВС – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), т.к. ВО –высота и медиана (АВС, ( ВО=ОD (по св-ву диагоналей параллелограмма)) т.е. АС(ВD. Следовательно, АВ=ВС (по следствию из определения равнобедренного треугольника).

2. АВ=ВС=СD=АD, т.к. в параллелограмме АВСD АВ=СD, ВС=АD (по свойству параллелограмма)АВ=ВС (из п.1)
(
АВСD – ромб (по определению).



Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.


Мы доказали, что в параллелограмме АВСD все стороны равны (АВ=ВС=СD=DА). Значит, параллелограмм АВСD является ромбом.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказанное утверждение является теоремой.


Это теорема–признак.



В С


О


А D
На наш взгляд (АВD=(DВС.

Луч исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

1. В ромбе углы диагональю делятся пополам.
2. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов.






В С




А D

Дано: АВСD ромб.
АС и ВD – диагонали.
Доказать: АС и ВD - биссектрисы.

Доказательство:
1. (АВD – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника), т.к. AB=AD (по определению ромба).

В равнобедренном треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают.

АО – медиана равнобедренного (АВD (по свойству медианы равнобедренного треугольника), т.к. АО=ОС (по свойству диагоналей ромба)
(
АО – биссектриса равнобедренного (АВD (по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника).
_____________________________________________________________________________
(
АС – биссектриса (А и (С ромба АВСD.

2. (АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника), т.к. АВ=ВС (по определению ромба)

(
ВО биссектриса (В равнобедренного (АВС (по свойству равнобедренного треугольника), следовательно, ВD – биссектриса (В и (D параллелограмма АВСD.


В ромбе диагонали и биссектрисы его углов совпадают.


Да справедливо, т.к. (ВСD – равнобедренный, т.к. ВС=DВ (по определению ромба). ОС является медианой и высотой равнобедренного (ВСD , т.к. ВО=ОD (по свойству диагоналей ромба) и АC(ВD (по свойству перпендикулярности углов ромба).(СО – биссектриса (ВСD (прямая АС является биссектрисой ромба АВСD.
(АDС – равнобедренный, т.к. АD=DC (по определению ромба).
ОD – медиана и высота равнобедренного (АDС, т.к. АО=ОС (по свойству диагоналей ромба) и АC(ВD (по свойству диагоналей ромба перпендикулярности)(ОС – биссектриса (АDС(прямая АС – биссектриса ромба АВСD.

Доказывая истинность выдвинутых предположений, мы установили, что независимо от выбранной пары треугольников результат доказательства не изменяется.




В ромбе углы делятся диагональю пополам.


Мы доказали свойство ромба о том, что в ромбе углы делятся диагональю пополам.


В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов.

Это утверждение справедливо, т.к. биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.


Биссектрисой треугольника называется отрезок угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Значит биссектрисой ромба можно назвать отрезок соединяющий противоположные вершины ромба.
Следовательно, эти два утверждения справедливы и эквивалентны.












Свойства ромба о биссектрисе углов.

В ромбе углы диагоналями делятся пополам.

Если параллелограмм является ромбом, то его углы делятся диагональю пополам.

Если в параллелограмме углы делятся диагональю пополам, то этот параллелограмм является ромбом.



В С
1 2

О


А D

Дано: АВСD – параллелограмм;
ВD – диагональ;
(1=(2.
Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:
1. (АВD – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), т.к. АО – медиана (т.к. ВО=ОD по свойству диагоналей параллелограмма),АО – биссектриса (по условию)

АВ=АD (по следствию из определения равнобедренного треугольника)

2. АВСD – ромб (по определению ромба), т.к. в параллелограмме АВСD АВ=СD, ВС=АD (по свойству сторон параллелограмма), АВ=AD (из п.1).

Дано: АВСD – параллелограмм, ВD – диагональ, (1=(2.
Доказать: АВСD – ромб.

В параллелограмме АВСD диагональ делит углы пополам.

АВСD – ромб.

Если в параллелограмме углы делятся диагональю пополам, то этот параллелограмм является ромбом.

Это утверждение относится к теоремам.


Это теорема-признак

Мы изучили два новых свойства и два новых признака ромба.


Свойства:
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
В ромбе углы делятся диагональю пополам.
Признаки:
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Если в параллелограмме углы делятся диагональю пополам, то этот параллелограмм является ромбом.





Проводится совместная работа по построению фигуры учителем на доске и учащимися в тетрадях.
(II часть)








Поиск доказательства осуществляется учащимися под руководством учителя. Основные моменты проведенного рассуждения фиксируются на доске (основная часть).


















Работа по переформулировке понятий в различные формы (категоричная(условная, условная(категоричная), Изменение вида утверждений (прямое(обратное) проводится на каждом уроке, поэтому предложенное задание не вызывает видимых затруднений: некоторые учащиеся дают неверные ответы («Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны»). Каждый неверный ответ обсуждается и в процессе обсуждения учащиеся убеждаются в некорректности приведенных утверждений и в результате предлагают верный ответ.
(III часть доска разделена на две равные половинки. Для доказательства этого признака используется левая половина III части доски)










































(правая половина III части доски)















После некоторых рассуждений учащиеся выдвигают гипотезы. Примем во внимание две из них наиболее удачные эквивалентные друг другу.











































































Учащиеся, в большинстве своем, затрудняются дать утвердительный ответ. Самые внимательные заметили, что в процессе доказательства установлена истинность этого утверждения.

После недолгого обсуждения учащиеся под руководством учителя формулируют определение биссектрисы ромба.













После обсуждения ученики приходят к выводу о том, что формулировку следствия можно взять за основу названия свойства.


Некоторые учащиеся дают ответ «если параллелограмм является ромбом, то его углы делятся диагональю пополам». В ходе рассуждений (установления логических связей) дети приходят к верному утверждению.
(IV часть)


















Повторения исходного задания позволяет ученикам лучше осмыслить условие задачи.















Подведение итогов содержательной части урока, обобщение учениками полученной информации.








Задача 1.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найти углы ромба.







Что дано и что необходимо найти в этой задаче?



Определите вид треугольника АВС.

Каким свойством обладают углы равностороннего треугольника?

Сформулируйте свойство углов ромба.

Чему равен угол С ромба АВСD? Ответ обоснуйте.

Почему?

Чему равны (В и (D?


Какое еще свойство можно использовать при решении этой задачи?

Сформулируйте его.

Тогда как будет решаться задача, если использовать это свойство?



В



А С



D

Дано: АВСD – ромб, АС=АВ
Найти: (А, (В, (С, (D.


Решение:
(АВС – равносторонний, т.к. по определению ромба АВ=ВС а из условия задачи нам известно, что АВ=АС.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Значит (ВАС=(АСВ=(В=60(.

В ромбе противоположные углы равны.


(С равен 120(, т.к. диагональ АС является биссектрисой угла С ромба АВСD

Так как в ромбе равны противоположные углы, т.е (А=(С, (В=(D.

По свойству углов ромба сумма соответственных углов ромба равна 180(. Т.к. (А+(В=180(, то (В=120(, а значит и (D=120(

Свойство ромба о диагоналях, являющихся биссектрисами.



В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов.

Диагональ АС ромба АВСD является биссектрисой углов А и С соответственно. Нам известно, что (ВАС=60(, следовательно, (А=120(. А так как по свойству противоположных углов ромба (А=(С, (С=120(.
Ученикам предлагаются задания направленные на закрепление нового материала.
Задание выполняется устно.
(V часть)

Рефлексивно-оценочный этап

Какова была тема урока?

Какова была цель урока?


Достигнута ли цель урока?

Как она достигалась?
Ромб. Его свойства и признаки.

Изучить новую фигуру – ромб. Установить его основные свойства и признаки.

Да, достигнута.

Выводили формулировки общих свойств и признаков из уже известных; формулировали обратное утверждение данному; решали задачи.

Опрос проводится устно с целью проверки усвоения приобретенных знаний (ЗБР).
Рассчитан не более чем на 3-5 минут. Позволяет закрепить полученные знания.

Домашнее задание и разъяснение

п.45, 46, выучить формулировки и доказательства свойств и признаков ромба.
Задача 1. Доказать что PQRO ромб, если М точка пересечения диагоналей и (PQM=60(, (MRO=30(.
Задача 2. Докажите, что четырехугольник все стороны которого равны является ромбом.

Тексты задач ученикам выдаются на карточках



Свойства параллелограмма

Свойства прямоугольника

Свойства параллелограмма

Свойства ромба

Свойства прямоугольника









15