Методический материал для подготовки к экзаменам ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ-Электростатика2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. В вершинах правильного шестиугольника со стороной, а = 10 см расположены точечные заряды: q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q (q = 0,1 мкКл). Найти силу F взаимодействия 7-го точечного заряда q с остальными. Он находится в плоскости шестиугольника и равноудален от его вершин. Результат представить в мН. Принять .
Дано:
F = ? Решение: Поскольку 7-ой заряд равноудален от вершин шестиугольника, то, очевидно, он находится в его центре. Покажем действующие на 7 - ой заряд силы. Как следует из рисунка, задача сводится к нахождению 3-х равнодействующих двух сил, направленных противоположно, и последующему сложению этих равнодействующих по правилу параллелограмма.
Силы F4 и F1: .
Силы F5 и F2:.
Силы F6 и F3:.
Таким образом, результирующие силы равны по величине. Чтобы нагляднее показать векторную сумму сил сделаем еще один рисунок.
12705778500Векторная сумма сил и равна силе . Векторная сумма сил и дает нам искомую силу .
Поскольку треугольники ДКС, КОС, ОСВ и ДСА – равносторонние, то F, действующая на 7-ой заряд равна , т.е.
.
Ответ: F = 54 мН.2. Два точечных заряда по 1 нКл находятся на расстоянии R друг от друга. Куда следует поместить точечный заряд q0, чтобы система находилась в равновесии? Выразить величину заряда q0 в нКл.
Дано:
q0 = ? Решение: Покажем на рисунке силы, действующие на заряды ql и q2. Оба заряда положительные, следовательно, заряды отталкиваются. Чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо уравновесить силы и . Для этого между зарядами ql и q2 следует поместить отрицательный заряд –q0. Поскольку заряды ql и q2 одинаковы по величине, то, очевидно, что заряд –q0 следует разместить на одинаковом расстоянии R/2 от зарядов ql и q2. Покажем теперь на рисунке систему из 3-х зарядов и действующие на заряды силы.

Силы и действуют на заряды ql и q2 со стороны заряда –q0, а силы и действуют на заряд –q0 со стороны зарядов ql и q2.
Данная система зарядов будет находиться в равновесии если:
.
Величину заряда q0 можем найти из соотношения F1 = F01, сила F1 = F01 по III закону Ньютона, или из F2 = F02, кроме того F01 = F02, т.е.
(1)
отсюда .
Подставив числовые, данные получим 0,25 нКл.
Примечание: в соотношении (1) заряд q0 взят по модулю, потому что знак заряда мы уже учли, когда находили направление сил, действующих да заряды.
Ответ: q0 = – 0,25 нКл.
3. Два небольших тела, связанные нитью, лежат на горизонтальной плоскости. Заряд каждого тела 3 нКл, масса 10 мг. Нить пережигают и тела скользят по плоскости. Коэффициент трения равен 0,1. Определить в сантиметрах расстояние между телами, при котором они развивают максимальную скорость. Ускорение свободного падения принять 10 м/с2.
Дано:
l = ? Решение: Покажем на рисунке действующие на тела силы:
это сила Кулона () и сила трения (); сила тяжести () и сила реакции плоскости (). По II закону Ньютона , т.е.

В проекции на ось х имеем:

Поскольку по условию надо определить расстояние между телами, когда они развивают максимальную скорость, то в этом случае а = 0, т.к. скорость затем должна уменьшаться, а это может быть лишь при отрицательном ускорении.
Таким образом,
.
Поскольку
, то
отсюда

Подставив числовые данные, получим

Ответ: l = 9 см.
4. Маленький шарик массой 100 мг и зарядом 16,7 нКл подвешен на нити. На какое расстояние надо подвести к нему снизу одноименный и равный ему заряд, чтобы сила натяжения уменьшилась вдвое? Принять g = 10 м/с2, . Результат представить в сантиметрах и округлить до целого числа.
Дано:
l = ? Решение: Пока заряженного шарика нет, сила упругости нити T1 = mg. По условию, если подвести заряженный шарик, сила упругости T2 должна уменьшиться вдвое, т.е.
.
Поскольку шарик находится в равновесии, то , т.е.
.
В проекции на ось Y: –mg + Fk + T2 = 0.
Так как Т2 = T1/2, то –mg +Fk + mg/2 =0, отсюда
Fk = mg/2
По закону Кулона ,
отсюда .
Таким образом, расстояние l равно
.
Подставим числовые данные:
.
Или в сантиметрах после округления l = 7 см.
Ответ: l = 7 см.
5. Два одинаково заряженных шарика, подвешенных на нитях равной длины, разошлись на некоторый угол. Какова плотность материала шариков, если при погружении их в керосин, угол между нитями не изменился? Диэлектрическая проницаемость керосина = 2, плотность керосина = 800 кг/м3. Результат представить в единицах СИ.
Дано:
= 2
= 800 кг/м3 = ? Решение: Как следует из рисунков:
1) в воздухе на каждый заряженный шарик действуют сила тяжести , сила упругости и сила Кулона ;
2) в керосине добавляется выталкивающая сила Архимеда , направленная противоположно силе тяжести.
Шарики находятся в равновесии. Условия равновесия шариков:
1)в воздухе
;
2) в керосине

Следовательно, в воздухе сила Кулона равна равнодействующей сил упругости и тяжести, а в керосине – равнодействующей сил упругости, Архимеда и силы тяжести.
Поскольку угол расхождения шариков одинаков, то:
(1), (2).
Сила Архимеда ,
здесь – плотность керосина; – объем шарика; g – ускорение свободного падения. Масса шарика может быть представлена
,
здесь – плотность материала шарика.
Приравняв правые части выражений (1) и (2) и подставив в них соответствующие выражения для m, FК1, FК2 и FA, получим:
.
Произведя сокращения:

или .
Подставив числовые данные, получим = 1600 кг/м3. Ответ: =1600 кг/м3.
6. В однородном электростатическом поле с вектором напряженности (модуль равен 5∙104 В/м), направленным вертикально вниз, равномерно движется по окружности шарик массой 10 г с положительным зарядом 2,5∙10-6 Кл, подвешенный на нити длиной l. Угол отклонения нити от вертикали равен 60°, Найдите силу натяжения нити. Примите ускорение свободного падения 10 м/с2. Результат выразите в системе единиц СИ.
Дано:
E = 5∙104 В/м
m = 10 г
q = 2,5∙10-6 Кл
α = 60°
g = 10 м/с2 Fнат= ? Решение: Покажем на рисунке действующие на шарик силы: – сила упругости нити, – сила тяжести, – сила, действующая на положительно заряженный шарик со стороны электрического поля. Поскольку шарик движется равномерно по окружности, то равнодействующая всех сил, действующих на шарик, является центростремительной силой и направлена по радиусу к центру окружности. Таким образом,
.
В проекции на ось y:

(поскольку проекция на ось y равна нулю).
Отсюда
или , здесь .
Пo III закону Ньютона сила натяжения Fн нити равна по модулю силе упругости Т, т.е.
.
Подставим числовые данные:
.
Ответ: .
7. Два равных заряда противоположных знаков создают электростатическое поле. В какой из отмеченных на рисунке трех точек А, В, С напряженность электростатического поля наибольшая? Ответ обоснуйте.
1270-127000Решение: Чтобы определить, в какой точке А, В или С напряженность наибольшая, надо в каждой точке показать направления векторов напряженностей, создаваемых каждым зарядом, а затем оценить величину суммарной напряженности. Для этого поместим мысленно в точку А положительный заряд. Заряд будет его отталкивать и, следовательно, сила, действующая со стороны заряда и напряженность будут направлены влево. Отрицательный заряд будет притягивать, т.е. будет направлена вправо.
Рассуждая аналогичным образом, покажем направления и в точках В и С. Как следует из рисунка, только в точке В результирующая напряженность равна сумме (направления напряженностей совпадают; т.к. они равны по величине, то на рисунке показан один вектор).
В точках А и С суммарная напряженность равна разности напряженностей и . Следовательно, наибольшая напряженность будет в точке В.
Ответ: наибольшая напряженность будет в точке В.
8. Три отрицательных точечных заряда по 2,7789∙10-7 Кл каждый расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. Определите напряженность в точке посредине гипотенузы длиной 10 см. Принять . Результат выразить в МВ/м (1МВ/м=106В/м) и округлить до целого числа.
Дано:
q1 = q2 = q3 = 2,7789∙10-7 Кл
CB = 10 см
CD=DB
EA= ? Решение: Покажем направление напряженностей, создаваемых в точке А тремя отрицательными зарядами (воспользуемся принципом суперпозиции или наложения полей, т.е. принципом независимости действия зарядов. Поскольку все заряды отрицательные, то напряженности, создаваемые зарядами q1 , q2 ,q3 направлены в сторону зарядов. Напряженности равны по величине, т.к. заряды равны и точка А расположена на одинаковом расстоянии от зарядов, т.е.
,
по условию
СА = СВ/2.
Из геометрии рисунка следует, что суммарная напряженность в точке А равна а ее модуль .
Таким образом:

Подставим числовые данные:
.
Ответ: E =1 МВ/м.
1270313690009. Положительный точечный заряд перемещается вдоль силовых линий однородного электрического поля. Напишите формулу работы этого поля по перемещению заряда q. Постройте график зависимости работы от длины х: участка пути, по которому в поле перемещается заряд.
Решение: Положительный заряд q перемещается под действием силы однородного электрического поля напряженностью . Сила , действующая на него . Поскольку поле однородно, то = const, = const, а работа А = F∙х, т.к. сила совпадает с направлением движения. Поэтому формула работы по перемещению заряда q:
A = q∙E∙x.
График прямопропорциональной зависимости А(х):

10. Маленький металлический шарик массой m подвешен на нити длиной l между горизонтальными пластинами плоского конденсатора. Как изменится период Т колебаний шарика, если шарику сообщить положительный заряд, а верхнюю пластину конденсатора зарядить положительно?
Дано:
m
l
T
q Решение: Период колебаний маятника в отсутствие зарядов равен:
,
здесь l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения.
Если теперь шарику сообщить положительный заряд, а верхнюю пластину зарядить положительно, то в вертикальном направлении на шарик, помимо силы тяжести , будет действовать сила , где – напряженность электрического поля пластины. За счет действия этой добавочной силы изменится ускорение шарика в конденсаторе. Это ускорение определится из уравнения второго закона Ньютона:
, отсюда .
Подставляя выражение для в формулу периода колебаний
маятника, найдем:
.
Поскольку знаменатель увеличился, то период колебаний маятника уменьшится. Ответ: период колебаний маятника уменьшится.
11. Заряды +1 мкКл и -1 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга, как показано на рисунке. Определите потенциал поля в точке А, удаленной на расстояние 10 см от положительного заряда. Принять . Результат представьте в кВ и округлите до целого числа.
Дано:
q1 = +1 мкКл = +1∙10-6 Кл
q2 = – мкКл = –∙10-6 Кл
d = 10 см = 0.1 м
r = 10 см = 0.1 м
= ? Решение: Потенциал в точке А() будет равен сумме =+, где – потенциал, создаваемый в точке А зарядом q1, а – зарядом q2. Поскольку заряды точечные, то
, .
Окончательно:
.
Подставим числовые данные

Ответ: .
12. При переносе точечного заряда q = 10 нКл из бесконечности в точку М, расположенную на расстоянии l = 10 см от поверхности заряженного металлического шара, была совершена работа А = 0,5 мкДж. Радиус шара R = 4 см. Найти потенциал на поверхности шара.
Дано:
q0 = 10нКл = 10-8 Кл
l = 10 см = 0.1 м
A = 0.5 мкДж = 0.5∙10-6Дж
R = 4 см = 0.04 м

е=1 = ? Решение: Работа А по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 и равна:
.
В данном случае работа совершается против сил электрического поля (оба заряда положительные) из бесконечности в точку М. Она численно равна работе сил электрического поля шара по перемещению заряда из точки М в бесконечность, т.е.
,
поскольку то . Потенциал поля заряженного металлического шара в точке М

здесь q0 – заряд шара. Потенциал на поверхности шара
,
.
Подставив выражение для q0 в соотношение (1), получим
.
С учетом этого работа
.
Отсюда искомый потенциал
.
Подставив числовые данные, получим
.
Ответ: .
13. Емкость плоского конденсатора 200 пФ. Диэлектрик – фарфор (диэлектрическая проницаемость фарфора равна 5). Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора. Трение пренебрежимо мало. Результат представьте в мкДж (1мкДж = 10-6 Дж) и округлите до целого числа.
Дано: Решение: По закону сохранения энергии работа А будет равна разности энергий плоских конденсаторов с диэлектриками воздух (= 1) и фарфор, т.е.
(1)
С1 = 200 пФ = 200∙10-12 Ф
U1 = 600 B

A = ? здесь , , отсюда .
Таким образом, .
Неизвестное нам напряжение на пластинах конденсатора после того, как из него вынули фарфор, найдем из зависимостей между емкостью, зарядом и разностью потенциалов (напряжением):
, .
Поскольку заряд на обкладках конденсатора не изменяется, то , следовательно
или .
Подставим выражение для и в (1):
, т.е. .
Подставим числовые данные
.
Ответ: А = 144 мкДж.
14. Конденсатор состоит из нескольких металлических листов, проложенных стеклянными прокладками толщиной 2 мм. Площадь листа 200 см2, диэлектрическая проницаемость стекла 7. Определить количество листов, если емкость конденсатора 17,7 пФ.
Дано:
S = 200 см2 = 0,02 м2



d =2 мм =0.002 м N = ? Решение: Как следует из рисунка такой конденсатор можно представить в виде системы последовательно соединенных конденсаторов, поэтому суммарная емкость С

здесь n – число конденсаторов, которое равно: n = C1/C
Емкость плоского конденсатора:
, отсюда .
Подставим числовые данные:

Число пластин N будет на единицу больше, т.е. N = n + 1 = 36.
Ответ: N = 36.
15. Электроны, ускоренные разностью потенциалов = 1кВ, влетают в электрическое поле отклоняющих пластин параллельно им, а затем попадают на экран, расположенный на расстоянии от конца пластин. На какое расстояние h сместится электронный луч на экране, если на пластины, имеющие длину м и расположенные на расстоянии d = 1∙10-2м одна от другой, подать напряжение U = 100 В? Результат представьте в миллиметрах и округлите до сотых. Влиянием гравитационного поля пренебречь.
Дано:
= 1кВ


d = 1∙10-2м
U = 100 В
h = ? Решение: Как только электрон влетает в конденсатор, на него начинает действовать постоянная сила со стороны электрического поля конденсатора, направленная противоположно вектору напряженности поля (поскольку электрон несет отрицательный заряд).
По условию задачи силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем. Движение электрона в конденсаторе можно представить в виде совокупности 2-х движений: прямолинейного равномерного со скоростью параллельно пластинам конденсатора и равноускоренного движения перпендикулярно обкладкам под действием постоянной силы (аналогично движению тела, брошенного со скоростью горизонтально).
Обозначим ускорение электрона а , тогда согласно II закону Ньютона
.
Под действием этой силы электрон сместится на расстояние h1, которое согласно уравнению равноускоренного движения
.
Время пролета электрона в конденсаторе найдем из уравнения равномерного движения , отсюда .
По условию задачи электроны ускорены разностью потенциалов . По закону сохранения энергии первоначальная кинетическая энергия электрона равна работе по его перемещению в электрическом поле, т.е. произведению eU1.
Таким образом, , отсюда
Но нам неизвестно ускорение электрона а. Из определения напряженности электрического поля следует, что . Тогда
, отсюда .
Поле плоского конденсатора однородно, поэтому
, т.е.
Подставив выражения для a, t и в формулу для h1, получим
.
После вылета из конденсатора электроны движутся равномерно и прямолинейно, т.к. по условию задачи влиянием гравитационного поля пренебрегаем.
Расстояние h2 (см. рисунок) мы можем найти по известному расстоянию l1, от конца пластин до экрана и тангенсу угла а прямоугольного треугольника ОКC. h2= l1∙tg из рисунка
.
Поскольку скорость = const, то
, т.к. ,

С учетом выражений для , и

Таким образом,
Расстояние
Подставив числовые данные, получим

Ответ: h = 31,25 мм.