Методический материал для подготовки к экзаменам ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ-Динамика_Законы сохранения
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
динамика и законы сохранения в механике
1. Футбольный мяч при движении в воздухе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч двигался в воздухе горизонтально со скоростью 1 = 20 м/с и ускорением а1 = 13 м/с2. после удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью 2 = 10 м/с. Каково ускорение а2 мяча сразу после удара? округлите до целого числа.
Дано: Решение:
Fc = k2
1 = 20 м/с а1 = 13 м/с2
2 = 10 м/с
а2 = ? Рассмотрим вначале движение мяча в горизонтальном направлении. Расставим силы, которые действуют на мяч в этом случае. Выполним рисунок. Из рисунка видно, что силу F = ma можно найти по теореме Пифагора.
.
.
Из полученного уравнения выразим коэффициент пропорциональности k:
.
Теперь рассмотрим движение мяча после удара. по условию задачи он полетел вертикально вверх. Сделаем рисунок, расставим силы и запишем уравнение динамики.
.
Выразим отсюда ускорение а2:
.
Подставим полученное выражение для k:
.
(м/с2).
Ответ: а2 = 12 м/с2.
2. С какой наименьшей скоростью следует бросить с уровня Земли камень, чтобы он смог перелететь через вертикальную стену высотой 20 м и шириной 10 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с2. Округлите до десятых.
Дано: Решение:
h = 20 м
d = 10 м
g = 10 мс2
Начальная скорость 0 должна быть минимальной, но достаточной, чтобы преодолеть ширину стены d.
d = 1xt2 = 1cos2t2,(1)
где t2 – время, за которое камень перелетит через стену.
0min = ? Максимальная высота, на которую поднимется камень над стеной:
или .
Приравняем правые части этих уравнений и выразим время t2
= ,
.(2)
Выражение (2) для времени t2 подставим в формулу (1)
.
Расстояние d будет максимальным при угле = 45. Тогда sin 2 = 1 и
.
Подставим численные значения:
= 10 (м/с).
Запишем закон сохранения энергии камня для двух его положений (в точках 1 и 2):
.
Обе части уравнения поделим на :
(м/с).
Ответ: 0 = 22,4 м/с.
3. Работа, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом 15 к горизонту, равна 800 Дж. Масса ядра 8 кг. На каком расстоянии от места бросания ядро упадет на Землю? Принять g = 10 м/с2.
Дано: Решение:
= 15
А = 800 Дж
m = 8 кг
g = 10 мс2 Работа, затраченная на толкание ядра, равна изменению его кинетической энергии.
(1)
Траектория движения ядра, брошенного под углом к горизонту, парабола. Следовательно, ядро движется в двух направлениях:
s = ? по вертикали и по горизонтали. Движение по горизонтали равномерное с постоянной скоростью 0x. Тогда расстояние, на котором упадет ядро
s = 0xt = 0cos t(2)
Т.е., чтобы найти s, нужно знать начальную скорость ядра0 и время его движения t. Скорость можно определить из уравнения (1):
(3)
Рассмотрим движение по вертикали. Ядро поднимается вверх равнозамедленно. Уравнение скорости при этом будет выглядеть так:
(4),
где , т.к. t – время, затраченное на прохождение всего пути s, а t1 – время, которое ядро затрачивает для достижения вершины параболы. Вектор скорости в этой точке направлен горизонтально, следовательно, его проекция на ось у равна нулю: y = 0.
Тогда уравнение (4) запишем в виде:
(5)
Но 0у можно выразить через 0 и угол :
0у = 0 sin (6)
Приравнивая правые части уравнений (4) и (5), найдем время t:
. (7)
Подставим выражения (3) и (7) в (2), найдем расстояние от места бросания ядра до точки его падения на Землю:
s = 0cos t = cos = = .
Подставим численные значения:
(м).
Ответ: s = 10 м
4. Конькобежец массой 45 кг, находящийся в начале ледяной горки с углом наклона 10°, бросает в горизонтальном, противоположном от горки направлении, камень массой 5 кг со скоростью 18 м/с. На какое расстояние вдоль горки поднимется конькобежец, если известно, что коэффициент трения лезвий коньков о лед равен 0,02? Принять g = 10 м/с2. Ответ округлите до целого числа.
Дано: Решение:
m1 = 45 кг
= 10
m 2 = 5 кг
= 18 м/с
= 0,02
Для системы «конькобежец - камень» запишем закон сохранения импульса:
- в векторной форме и
0 = m11cos – m22 – в
s = ? скалярной форме (с учетом направления скоростей). Отсюда можно определить скорость, которую приобретает конькобежец
(1)
А, следовательно, он приобретает кинетическую энергию W1.
.
Конькобежец движется вверх по горке равнозамедленно и, пройдя расстояние s, останавливается. Т.е. на горке его кинетическая энергия равна нулю. Но зато он поднялся на высоту h и здесь он обладает потенциальной энергией W2, т.е. кинетическая энергия конькобежца перешла в его потенциальную энергию.
W2 = W1. W2 = m1gh.
Энергия конькобежца изменилась, значит, была совершена работа
A = W2 – W1 = m1gh - (2)
С другой стороны, работы по преодолению сил трения
A = Fтр s cos 180 = –Fтр s,(3)
где
h = s sin, Fтр = N = m1g cos.
Приравняв правые части выражений (2) и (3), получим:
(4)
Учитывая, что скорость конькобежца (1), уравнение (4) примет вид:
или
.
Сделаем некоторые математические преобразования.
.
.
Отсюда выразим расстояние, на которое поднимется вдоль горки конькобежец
(м)
Ответ: s = 1 м
5. На внутренней поверхности сферы радиусом 0,1 м, вращающейся вокруг вертикальной оси, находится небольшой предмет. С какой постоянной частотой должна вращаться сфера, чтобы предмет находился в точке, направление на которую составляет угол 45? Коэффициент трения между предметом и поверхностью сферы равен 0,2. Округлите до сотых. Принять g = 10 м/c2.
Дано: Решение:
R = 0,1 м
= 45
= 0,2
g = 10 м/с2 Сделаем рисунок. Расставим силы, которые действуют на предмет, находящийся внутри сферы. Запишем для этого предмета основное уравнение динамики в векторной форме, а потом в проекциях на оси х и у:
.
= ? (sin = cos , т.к. = 45)
0x: N sin - Fтр sin = mац;(1)
0y: N sin + Fтр sin = mg.(2)
Так как
ац = 2 r, Fтр = N и r = R sin,
уравнения (1) и (2) запишем в виде:
m2r = sin (N - N)
mg = sin (N + N).
Или
m2 R sin = sin N (1 - )
mg = sin N (1 + ).
Поделим одно уравнение на другое, получим:
;
; 9,7.
= 2 (c-1).
Ответ: = 1,55 c-1
6. На сколько следует приподнять наружный рельс по отношению к внутреннему на закруглении пути при скорости движения поезда 54 км/ч и радиусе кривизны 300 м? Ширина пути 1,524 м. Принять g = 10 м/c2. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
= 54 м/ч = 15 м/с
R = 300 м
l = 1,524 м
g = 10 м/с2
Рекомендуется сделать рисунок. Далее нужно расставить силы, действующие на вагон и записать уравнение динамики в векторной форме:
(1)
Затем выберем направление
h(см) = ? осей координат и запишем уравнение (1) в проекциях на оси х и у:
ох: maцс = Nsin,
оy: mg = Ncos.
Поделим первое уравнение на второе:
.
С другой стороны:
.
Тогда
.
Выразим угол через заданные параметры.
.
Для малых углов sin = tg. Тогда
(м) = 11,4 (см).
Ответ: h = 11,4 см
7. Через невесомый блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы массами 1 кг и 2 кг. На второй из грузов положен перегрузок массой 0,5 кг. С какой силой будет действовать этот перегрузок на тело, на котором он лежит, если вся система придет в движение? Принять g = 9,8 м/с2.
Дано: Решение:
m1 = 1 кг
m2 = 2 кг
m3 = 0,5 кг
g = 9,8 м/с2
Выполним рисунок, расставим силы, действующие на каждое тело. Для каждого тела запишем свое уравнение динамики в векторной форме, а затем в скалярной.
.
Fд = ? Все силы направлены по одной прямой, следовательно, достаточно взять проекции этих сил только на одну ось – ось у.
оy: m1a = Т – m1g,(1)
m2a = m2g –Т + Fд,(2)
m3a = m3g – N.(3)
По третьему закону Ньютона . Тогда, уравнение (3) для перегрузка перепишем в виде:
m3a = m3g – Fд.(4)
решая совместно уравнения (1), (2) и (4), найдем силу, с которой перегрузок m3 будет действовать на тело m2, на котором он лежит.
Т = m1a + m1g
.
;
;
(Н).
Ответ: Fд = 2,8 Н
8. К грузу массой 7 кг подвешен на веревке груз массой 5 кг. Определите модуль силы натяжения середины веревки, если всю систему поднимать вертикально с силой 240 Н, приложенной к большему грузу. Веревка однородна и ее масса равна 4 кг. Принять g = 10 м/с2.
Дано: Решение:
m1 = 7 кг
m2 = 5 кг F = 240 Н
m3 = 4 кг
g = 10 м/с2
Чтобы при решении задачи учесть массу веревки и найти силу натяжения ее середины, разобьем всю систему на две части: одну половину массы веревки отнесем к верхней части, вторую – к нижней:
m = m1 + = 7 + 2 = 9 (кг) и
Т = ? m = m2 + = 5 + 2 = 7 (кг).
Теперь у нас есть два тела, соединенные невесомой веревкой. Расставим силы и запишем уравнение динамики для каждого тела:
Запишем эти уравнения в проекциях на ость у:
mа = F – mg – T (1)
mа = Т – mg.(2)
Выразим ускорение из второго уравнения и подставим в первое.
.
.
Сделав некоторые математические преобразования и подставив численные значения, определим модуль силы натяжения середины веревки.
.
.
(Н).
Ответ: Т = 105 Н
9. Орудие, имеющее массу ствола 500 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда 5 кг, его начальная скорость 460 м/с. После выстрела ствол откатывается на 40 см. Определите среднее значение силы торможения, возникающей в противооткатном устройстве. Ответ представьте в килоньютонах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
m1 = 500 кг
m2 = 5 кг 0 = 460 м/с
s = 40 см = 0,4 м
Для системы «орудие – снаряд» запишем закон сохранения импульса
0 = .
Проекция на ось х:
0 = -m11 + m20 m11 = m20.
Fт = ? Из полученного выражения найдем скорость 1, которую приобретает орудие при отдаче.
.
Зная расстояние, на которое откатывается орудие, найдем его ускорение:
;
Среднее значение силы торможения, возникающей в противооткатном устройстве, найдем по второму закону Ньютона.
Fт = m1a = (Н) = 13,2 (кН).
Ответ: Fт = 13,2 кН
10. Тело массой 8 кг начинает с трением скользить с вершины наклонной плоскости высотой 4,9 м с углом наклона 60. У основания наклонной плоскости стоит тележка с песком массой 90 кг. С какой скоростью начинает двигаться тележка, когда тело упадет на нее? Коэффициент трения 0,1. Ускорение свободного падения 10 м/с2. Округлите до десятых.
Дано: Решение:
0 = 0
m1 = 8 кг
h = 4,9 м
= 60
m2 = 90 кг
= 0,1
g = 10 м/с2
Выполним рисунок. Из него определим длину наклонной плоскости l:
(м).
2 = ? .(1)
Следовательно, для того, чтобы определить скорость, которую приобретает тело у основания наклонной плоскости, необходимо найти его ускорение a. Для этого расставим силы, действующие на тело, и запишем для него уравнение динамики:
.
Выберем оси координат и запишем это уравнение в проекциях на оси:
ох: m1a = m1gsin - Fтр (2)
оу: N = m1gcos.(3)
Запишем уравнение для силы трения.
Fтр = N = m1gcos.(4)
Решая совместно уравнения (2), (3) и (4), найдем ускорение тела:
= = g(sin - cos) .
a = 10(sin60 - cos60) 8,2 (м/с2).
Подставим это значение в формулу (1)
(м/с).
Чтобы найти скорость 2, с которой начинает двигаться тележка, запишем закон сохранения импульса:
или в скалярной форме:
m11cos = (m1 + m2) 2
(м/с).
Ответ: = 0,4 м/с
11. Два тела, массы которых одинаковы, движутся навстречу друг другу, при этом скорость одного тела в 2 раза больше скорости второго. Какая часть механической энергии системы перейдет во внутреннюю энергию при центральном абсолютно неупругом ударе?
Дано: Решение:
m1 = m2 = m
1 = 22
В задаче задается центральный абсолютно неупругий удар. Запишем для него закон сохранения импульса и закон сохранения энергии и после
= ? некоторых математических преобразований найдем, какая часть механической энергии системы перейдет во внутреннюю энергию.
;
.
Ответ:
12. Пуля ударяет со скоростью 400 м/с в центр шара, подвешенного на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определите косинус угла, на который отклоняется нить, если масса пули 20 г, масса шара 5 кг. Принять g = 10 м/с2. Ответ округлите до сотых.
Дано: Решение:
1 = 400 м/с l = 4 м
m1 = 0,02 кг
m2 = 5 кг
g = 10 м/с2
Рассматривая систему «пуля – шар» запишем закон сохранения импульса:
.
cos = ? Для системы «шар с пулей в нижнем положении и в верхнем» запишем закон сохранения энергии:
или .
Тогда
.
Косинус угла найдем из рисунка, из треугольника 1-2-3:
cos = .
Ответ: cos =0,97
13. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров шар большей массы до удара покоился. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Во сколько раз масса одного шара больше массы второго шара?
Дано: Решение:
1
2 = 0
Е = Е
запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для двух соударяющихся абсолютно упругих шаров:
= ? ;
.
Проведем некоторые математические преобразования:
.
Поделим одно уравнение на другое:
.
Полученную скорость u2 подставим в закон сохранения импульса:
m11 = m21 – m2u1 - m1u1; u1(m2 + m1) = 1( m2 - m1);
.
Так как частица отдает ¾ своей энергии, то у нее остается ¼ этой энергии, то есть:
или .
Поделим обе части полученного уравнения на , получим:
. ;
Ответ:
14. Человек, сидящий в лодке, бросает камень вдоль нее под углом 45 к горизонту. Масса камня 10 кг, масса человека и лодки 100 кг, начальная скорость камня относительно берега 10 м/с. Найдите расстояние между точкой падения камня и лодкой в момент, когда камень коснется воды. Считать, что во время полета камня, лодка движется равномерно. Принять g = 10 м/с2.
Дано: Решение:
= 45
m1 = 10 кг
m2 = 100 кг
0 = 10 м/с
g = 10 м/с2
х = ? Рекомендуется выполнить рисунок, указать траекторию движения камня и направление векторов скоростей камня и лодки.
x = s + l.
закон сохранения импульса:
0 = m10cos - m21; m10 cos = m21;
s = 0cos t
За то же самое время лодка со скоростью 1 переместится на расстояние l противоположную сторону:
l = 1 t.
x = t (0cos + 1) = t (0cos + ) = 0cos t(1 + ).(1)
или .
Приравняем правые части:
.
Из этого выражения выразим время t:
.(2)
Подставляем (2) в (1):
x = 0cos (1 + ) = .
x = (м)
Ответ: x = 11 м
15. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой 1 кг, прикрепленный к пружине жесткостью 25 Н/м. В шар попадает пуля массой 10 г, имеющая в момент удара скорость 10 м/с. Считая удар абсолютно упругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить максимальное смещение шара. Ответ округлите до сотых.
Дано: Решение:
m1 = 1 кг
k = 25 Н/м
m2 = 10 г = 10-2кг
0 = 10 м/с 1) Для системы «пуля – шар» запишем закон сохранения импульса (удар абсолютно упругий):
.
х = ? В скалярной форме:
m20 = - m21 + m12.(1)
Закон сохранения энергии:
.
(2)
Уравнение (1) и (2) решаем совместно.
m2(0 + 1) = m12.
Поделим одно уравнение на другое, получим:
0 - 1 = 2. 1 = 0 - 2 .
Скорость 2 подставим в уравнение (1):
m20 = - m20 + m22 + m12.
2m20 = ( m1 + m2)2.
.
2) Для системы «шар в положении 1 и в положении 2» запишем закон сохранения энергии:
.
Тогда
= = = 0,04 (м).
Ответ: x = 0,04 м
16. Пуля массы 10 г, летевшая с начальной скоростью 400 м/с, пробивает один подвешенный груз массы 10 г и застревает во втором подвешенном грузе той же массы. Пренебрегая временем взаимодействия пули с грузом и потерей энергии пули в пространстве между грузами, найдите количество теплоты, выделившееся в первом грузе, если во втором выделилось 100 Дж.
Дано: Решение:
m1 = m2 = m3 = 0,01 кг
0 = 400 м/с
Q2 = 100 Дж
1) Запишем закон сохранения импульса для пули и первого шара:
- в векторной форме.
Q1 = ? И в скалярной форме:
m0 = m1 + m2
или
0 = 1 + 2 1 = 0 - 2.
Закон сохранения энергии для первого случая:
,
где Q1 - количество теплоты, выделившееся в первом грузе. Сделаем некоторые математические преобразования и выразим количество теплоты Q1.
,
.
.
.
,(1)
т.е. для нахождения Q1 необходимо знать скорость пули 2 после прохождения второго шара.
2) Чтобы найти скорость 2 запишем законы сохранения импульса и энергии для второго и третьего грузов:
Закон сохранения импульса с учетом направления скоростей:
m2 = 2m3 3 = 2/2.
Закон сохранения энергии с учетом выделившейся теплоты q2:
.(2)
Подставив выражение (2) для скорости 2 в формулу (1) найдем количество теплоты, выделившееся в первом грузе Q1
,
(Дж).
Ответ: Q1 = 400 Дж
17. Спутник движется по орбите так, что он все время находится над одной и той же точкой экватора и той же высоте. Каково расстояние от такого спутника до центра Земли. Масса Земли 5,981024 кг, гравитационная постоянная 6,671011 Нм2кг2. Ответ представьте в мегаметрах и округлите до целого числа.
Дано: Решение:
М = 5.981024 кг
G = 6.671011 Нм2кг2 На спутник, движущийся по орбите, действует гравитационная сила
,(1)
r = ? которая создает центростремительное ускорение.
F = maц,(2)
где
.
Т.к. спутник движется по орбите так, что он все время находится над одной и той же точкой экватора, то угловые скорости спутника и Земли будут одинаковыми.
с = з,
А значит, равны и их периоды вращения. Период вращения Земли нам известен:
Тс = Тз = 24 3600 = 86400 (с).
Приравняв правые части уравнений (1) и (2), найдем расстояние от спутника до центра Земли.
,
(м) = 42 (Мм).
Ответ: r = 42 Мм
18. К потолку лифта, движущемуся вертикально вверх с ускорением 1,2 м/с2, прикреплен динамометр, к которому подвешен блок, свободно вращающийся вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами 0,2 кг и 0,3 кг. Определите показания динамометра, считая блок и нити невесомыми. Принять g = 10 м/с2. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до десятых.
Дано:
m1 = 0,2 кг
m2 = 0,3 кг
ал = 1,2 м/с2
g = 10 м/с2 Решение:
По условию задачи нить невесома и нерастяжима. Массой блока пренебрегаем. Тогда
и .
Расставим силы, действующие на грузы, и запишем для каждого тела свое уравнение динамики. В скалярной форме (с учетом, что Т1 = Т2 = Т):
Т – m1g = m1(a + a л);(1)
Р = ? Т – m2g = m2(aл – а).(2)
; Fупр = 2Т.
Решаем систему уравнений относительно силы натяжения Т:
.(3)
.(4)
Выразим из уравнений (3) и (4) ускорение а и приравняем их друг другу:
,
,
.
Тогда показания динамометра:
(Н).
Ответ: Р = 5,4 Н
19. С горки высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь 35 м от основания горки. Найдите коэффициент трения. Считать коэффициент трения на наклонном и горизонтальном участках одинаковым.
Дано:
h = 2 м
x = 5 мs = 35 мРешение:
= ? На высоте h санки обладают потенциальной энергией, часть которой затрачивается на работу против сил трения Fтр1 и часть переходит в кинетическую энергию.
mgh = Aтр1 + = Fтрl + = mg cos+ ,
gh = g cos+
= gh - g cos.(1)
Из рисунка определяем cos :
cos = .
Подставим в уравнение (1):
= gh - g = gh - gx = g(h - x).(2)
На горизонтальном участке вся кинетическая энергия санок расходуется на совершение работы против сил трения Fтр2.
= Aтр2 = mgs. = gs.(3)
Решим совместно уравнения (2) и (3):
g(h - x) = gs, gh - gx = gs, h = (s + x)
.
Ответ: = 0,05
20. Акробат прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. На сколько прогнется при этом сетка? Когда акробат стоит неподвижно на сетке, ее прогиб составляет 5 см. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.
Дано:
h1 = 10 м
x1 = 0,05 м Решение:
х1
m
1
х2
m
h
2
у
х1
m
1
х2
m
h
2
у
x2 = ? Выполним рисунок для двух случаев и расставим силы, действующие на акробата:
акробат стоит на сетке неподвижно, следовательно, для этого случая выполняется условие равновесия:
.
В проекции на ось у:
Fупр – mg = 0 Fупр = mg.
Сила упругости по закону Гука:
Fупр = -kx1.
Тогда
mg = -kx1 .(1)
акробат прыгает на сетку с высоты h. Если уровень прогиба сетки принять за нулевой уровень потенциальной энергии, то на высоте h акробат обладает только потенциальной энергией
E = mg(h + x2).
В нижнем положении, на уровне прогиба сетки, энергия акробата:
E = Епот.акр + Епот. сет.= mgx2 + .
Запишем закон сохранения энергии, т.е. энергия в верхней точке равна энергии в нижней точке.
mg(h + x2) =
mgh + mgx2 = ,
mgh = - mgx2
- mgx2 – mgh = 0.(2)
Подставив в уравнение (2) коэффициент упругости, полученный в уравнении (1).
- mgx2 – mgh = 0.
- x2 – h = 0. - x2 – h = 0.
Подставим численные значения и определим x2.
- 2x1x2 – 2x1h = 0.
- 20,05x2 – 20,0510 = 0.
- 0,1x2 – 1 = 0.
x2 = (м).
Ответ: x2 = 1,05 м
21. Мощность моторов самолета массой 4 т при отрыве от земли N = 600 кВт. Разгоняясь равноускоренно, самолет достигает скорости υ = 30 м/с. Принимая, что коэффициент сопротивления μ = 0,04 не зависит от скорости, определите длину пробега самолета перед взлетом.
Дано:
т = 4 т
N = 600 кВт
υ = 30 м/с
μ = 0,04 СИ
4∙103 кг
6∙105 Вт
l – ? Решение. Выбрав направление оси х в горизонтальном направлении в сторону движения самолета (рис), запишем II закон Ньютона в проекции на эту ось при движении самолета по взлетной полосе:
ma = FT – μN,
где FT – сила тяги моторов. Так как N = mg, то
ma = FT – μmg,
от куда сила тяги моторов:
FT = ma + μmg.
Мощность двигателя N = FTυ, следовательно:
FT = N/υ.
Исходя из этого, получаем:
N/υ = ma + μmg.
Так как движение равноускоренное, а начальная скорость не дана, это уравнение можно записать в следующем виде:
,
от куда длина пробега самолета перед взлетом:
, ,
.
Ответ: .
22. На край тележки массой М = 5 кг, равномерно движущейся по рельсам, опускают с небольшой высоты короткий брусок массой т = 1 кг. Коэффициент трения бруска о тележку μ = 0,5, между тележкой и рельсами трение отсутствует. На какое расстояние s переместиться брусок по тележке, если её длина l = 0,5 м, а скорость тележки постоянна и равна υ1 = 2 м/с. При какой минимальной скорости тележки брусок соскользнет с неё? Какое количество тепловой энергии выделится при этом?
Дано:
М = 5 кг
т = 1 кг
μ = 0,5
l = 0,5 м
υ1 = 2 м/с
s – ?
υ1min – ?
Q – ?
Решение. При взаимодействии бруска и тележки выполняется закон сохранения импульса. Поскольку в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, то в проекции на ось х (рис) закон сохранения импульса можно записать в виде:
Мυ1 = (М+т)υ,
где – скорость тележки после остановки бруска. Отсюда:
.
В системе брусок – тележка действует сила трения, поэтому закон сохранения энергии можно представить в виде:
Е2к – Е1к = ,
где Е1к, Е2к – кинетическая энергия системы в момент времени сразу после опускания бруска и в момент остановки бруска соответственно.
Используя это выражение и работу силы трения скольжения, получим:
.
Исходя из этого, получим искомое расстояние:
, ,
.
Исходя из условий задачи, брусок должен соскользнуть с тележки, это случится, если , т.е.
,
Искомая минимальная скорость, при которой брусок соскользнет с неё:
, ,
.
Количество теплоты, выделившееся за время движения бруска относительно тележки:
,
используя это выражение и выражение для скорости тележки, получим:
,
Ответ:
23. Вертикальный стержень укреплен на вращающемся в горизонтальной плоскости с частотой п = 1 с–1 столике. К вершине стержня привязана нить длинной l = 10 см с шариком (рис). Определить расстояние b от стержня до оси вращения, если угол, который составит нить с вертикалью, α = 30°.
Дано:
п = 1 с–1
l = 10 см
α = 30° СИ
0,1 м
b – ? Решение.
Решаем задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимся столиком. В этой системе отсчета на шарик действует сила тяжести , сила натяжении нити и центробежная сила , направленная по радиусу от оси вращения (рис).
Поскольку шарик неподвижен в системе отсчета, связанной с вращающимся столиком, его ускорение , и II закон Ньютона в векторном виде запишем так:
.
Это уравнение в проекции на выбранные оси имеет вид:
ось х:
где R = lsinα + b,
ось у:
Использую эти уравнения получим:
gtgα = υ2/R = 4π2n2(b+lsinα),
при этом необходимо учесть, что υ = ωR = 2πnR и R = b + lsinα, где R – расстояние от центра отклоненного шарика до оси вращения; ω = 2πn – угловая скорость. Из этого уравнение получаем искомое расстояние от стержня до оси вращения:
, ,
.
Ответ: .
24. Определите положение центра масс системы из трех материальных точек системы из трех материальных точек массами т1 = 1 кг, т2 = 2 кг и т3 = 3 кг, находящихся в вершинах правильного треугольника со стороной а = 1 м.
Дано:
т1 = 1 кг
т2 = 2 кг
т3 = 3 кг
а = 1 м
rC – ?
Решение. Поместим начало координат в точку, где находится масса т1, ось х направим вдоль прямой, соединяющей точки с массами т1 и т3 (рис). Координаты соответствующих масс будут равны:
х1 = 0; х2 = аsin30°; х3 = а,
у1 = 0; у2 = аcos30°; y3 = а.
В соответствии с формулой координат центра масс определяем:
, .
Модуль радиуса-вектора центра масс рассматриваемой системы:
,
.
Ответ: .