Методический материал для подготовки к экзаменам ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ-Кинематика

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
КИНЕМАТИКА
Пример 1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью = 40 км/ч, вторую – со скоростью = 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути.
Анализ и решение: не следует поддаваться первому впечатлению и считать, что средняя в данном случае равна:

Это неверно! Обратимся к определению средней скорости. Средняя скорость есть отношение всего пройденного пути к промежутку времени, за которое этот путь пройден, т.е.
,(1)
где S – весь пройденный путь.

где , - время прохождения первой и второй половины пути соответственно.
Из формулы (1) видно, что S и t неизвестны. Используя данные, по условию задачи, выразим и через значения и и подставим в формулу (1):
(2)(3)
(4)
Проверяем размерность формулы (4):

Подставим численные значения:
.
Этот результат может показаться неожиданным, т.к. в курсе физики при выводе формулы пути при равноускоренном движении используется формула
,
согласно которой средняя скорость должна была бы равняться 50 км/ч. Следует иметь в виду, что эта формула для пригодна только в случае равноускоренного движения.
Итак: при решении задач не гадай, а решай, используя только те формулы, которые справедливы для данного вида движения.
Ответ: =48 км/ч.
Пример 2. Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью , а оставшуюся часть пути – со скоростью = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути = 37,5 км/ч.
Анализ и решение: Обозначим весь путь через S, время, затраченное на прохождение первого участка пути – через t1 время движения на втором участке пути – через t2. Очевидно, что
.
отсюда
км /ч.
Ответ: 25 км/ч.
Пример 3. Одинаковое ли время потребуется для проезда расстояния S = 1 км на катере туда и обратно по реке (скорость течения U = 2 км/ч) и по озеру (в стоячей воде), если скорость катера относительно воды в обоих случаях = 8 км/ч? Какова будет длина пути SB, пройденного катером относительно воды?
Анализ и решение: Времена движения катера по реке против течения и по течению
10 мин;
6 мин;
Полное время движения по реке (туда и обратно)
16 мин.
Время движения туда и обратно по озеру
15 мин.
Отношение времен движения
.
При движении против течения и по течению катер относительно воды пройдет пути
,
Полный путь, пройденный катером относительно воды,
.
Ответ: t/t' = 1,07, т.е. время не одинаковое, SB = 2,1 км.
Пример 4. Катер пересекает реку. Скорость течения равна , скорость катера относительно воды . Под каким углом к берегу должен идти катер, чтобы пересечь реку за минимальное время? Пересечь реку по кратчайшему пути?
Анализ и решение: Неподвижную систему координат XOY свяжем с берегом, приняв за начало координат О точку, в которой катер начинает двигаться, и направив ось ОХ по течению, вдоль берега, а ось OY перпендикулярно берегу (см. рис.). Относительно системы координат XOY катер движется со скоростью .
1270000Найдем проекции вектора на оси ОХ а ОY:
.
Запишем уравнения, выражающие зависимость координат катера от времени:

Катер достигает другого берега в момент времени t = t1, когда у = L, где L - ширина реки. Следовательно, время, необходимое для пересечения реки:
.
Оно будет минимальным, когда sin = 1, т.е. когда = /2. Это означает, что катер должен держать курс перпендикулярно берегу. Чтобы пересечь реку по кратчайшему пути из точки О в точку А, катер должен идти так, чтобы выполнялось равенство х = 0, т.е.
.
Отсюда находим

т.е. курс катера должен быть таким, чтобы выполнялись условия и . Следовательно, пересечь реку по кратчайшему пути катер сможет лишь при условиях: ,.
Пример 5. Тело, падающее без начальной скорости с некоторой высоты h1, прошло последние h2 = 30 м за время t2 = 0,5 с. Найти высоту падения hl и время падения t1. Сопротивлением воздуха пренебречь.
127061785500Анализ и решение: За начало координат О возьмем точку, находящуюся на высоте hl от поверхности Земли, ось OY направим вертикально вниз (см. рис.).
Время будем отсчитывать с момента начала движения тела. В начальный момент времени y0 = 0, oy= 0. Проекция ускорения на ось OY равна ау = g. Тогда уравнение, выражающее зависимость координат тела от времени, будет иметь вид:
. (1)
В момент времени t1 – t2 координата тела будет равна:
.(2)
Когда тело упадет на землю, у = h1, t = t1. Согласно уравнению (1)
.(3)
Подставив это значение h1 в уравнение (2), получим:
.
Отсюда после преобразований найдем
.(4)
Подставив численные значения в формулы (4) и (3) получим

Ответ: = 6,3 с, h1 = 195 м.
Пример 6. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении. Через t1 = 2 с он упал на землю на расстоянии s = 40 м от основания вышки. Определить высоту вышки h. начальную и конечную скорости камня, и угол падения . Составить уравнение траектории камня. Сопротивление воздуха не учитывать.
Анализ и решение: Точку бросания камня примем за начало координат О, ось OY проведем вертикально s = 40 м вниз, ось ОХ – горизонтально. В этой сиcтеме координат движение камня можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с ускорением g в вертикальном направлении.
12705524500
Выпишем начальные условия:
.
Значения проекций ускорений на оси координат равны: ах = 0, аy = g. Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х, у и проекций скоростей и от времени запишутся так:
,(1)
(2)
В момент падения на землю у = h, х = s, t = t1. На основании уравнений (1) получим:
,
откуда найдем
.
Используя уравнения (2), можно найти модуль скорости в любой момент времени t:

Модуль конечной скорости камня
28 м/с.
Направление конечной скорости определяется утлом падения , значение которого найдем из условия:
.
Чтобы получить уравнение траектории камня, нужно из уравнения (1) исключить время. Так как
.
Это уравнение показывает, что камень будет двигаться по ветви параболы с вершиной в точке бросания.
Ответ: h = 19,6 м, = 20 м/с, = 28 м/с, 45°.
Пример 7. По графику зависимости координаты х от времени t, изображенной на рисунке построить графики зависимости и
На рисунке ОА и ВС – участки парабол.
Анализ и решение: Соответствующие графики показаны на рис. б) и в). При построении их учтено, что в течение промежутка времени от 0 до t1 тело двигалось равноускоренно, от t1 до t2 – равномерно, от t2 до t3 – равнозамедленно, от t3 до t4 – находилось в состоянии покоя.

Пример 8. По графику зависимости ускорения от времени установите скорость в момент времени 15 с, если в момент времени 1 с скорость равна 3 м/с.
Анализ и решение: Для удобства решения задачи обозначим точки, соответствующие временам t = 2, 5, 9, 12, 15 секунд соответственно А В С Д Е. Каждый участок зависимости рассмотрим отдельно.

На участке ОА тело двигалось равномерно (без ускорения) и в конце 2-ой секунды (в т. A) будет иметь скорость =3 м/с. На участках АВ и СД тело двигалось с переменным ускорением. Но, как видно из рисунка, ускорение на этих участках изменяется линейно с течением времени – на участке АВ оно растет, на участке СД оно (ускорение) уменьшается. Поэтому на участках АВ и СД можно считать движение равноускоренным с ускорением, найденным как среднеарифметическое, т.е.
30 м/с2.
Принимая движение на участке АВ эквивалентным равноускоренному, вычислим скорость в конце 5-ой секунды, используя формулу:
,
где t – время движения на участке АВ, t = 3 с
93 м/с.
На участке ВС тело двигалось равноускоренно, с а = 60 м/с2, поэтому скорость υС в конце 9-ой секунды равно:
.
На участке СД скорость рассчитывается та же, как и на участке АВ с учетом ускорения:
.
На участке ДЕ тело двигалось без ускорения (равномерно), значит скорость его не изменилась к концу 15-ой секунды.
Ответ: υЕ = 423 м/с.
Пример 9. С балкона вертикально вверх брошен мячик с начальной скоростью υ0 = 8 м/с. Через 2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей. Принять g = 10 м/с2. Результат представить в единицах СИ.
Анализ и решение: При анализе данной задачи следует сделать поясняющий рисунок, из которого будет видно как перемещалось тело.
Точку бросания мячика примем за начало координат.
0825500Тело, брошенное вертикально вверх, движется равнозамедленно с ускорением g, в точке А оно остановится, пройдя расстояние hl за время t1. Время подъема и высоту h найдем из уравнений, описывающих равнозамедленное движение:
(1)
(2)
Из уравнения (1) находим t1, т.к. , то

Из уравнения (2) находим h1:

Из точки А тело движется до земли равноускоренно с нулевой начальной скоростью, поэтому
, (3)
где – время падения тела.
Из уравнения (3) находим Н:
,
.
Ответ: 4 м.
Пример 10. Найти линейную скорость υ и центростремительное ускорение а точек на поверхности земного шара: а) на экваторе, б) на широте φ = 60°. Радиус земли принять равным R = 6400 км.
Анализ и решение: Линейная скорость любой точки на экваторе равна
, (1)
где Т = 24 ч = 86400 с – период суточного вращения Земли.
Центростремительное ускорение
(2)
На широте φ точки движутся по окружности радиусом (по параллели) с линейной скоростью
(3)
и центростремительным ускорением
(4)
Подставив численные значения в формулы (1 - 4) и вычислив, получим υ0 = 465 м/с, а0 = 0,034 м/с2, υφ = 233 м/с, аφ = 0,017 м/с2.

Пример 11. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя со скоростью υ = 0,99с (с – скорость света в вакууме). Какое время пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе с ракетой, прошел один год? Как изменятся линейные размеры тел в ракете (по линии движения) для неподвижного наблюдателя? Как изменится для этого наблюдателя плотность вещества в ракете?
Анализ и решение: Время, пошедшее по часам неподвижного наблюдателя, найдем по формуле
,
где t0 – собственное время в ракете. Размеры тел (вдоль линии движения) найдем из соотношения
,
где l0 – собственная длина тех же тел.
Плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя найдем по формуле
,
где ; .
Так как поперечные (по отношению к линии движения) размеры тел не изменяются, то
,
.
Найдем время, прошедшее по часам неподвижного наблюдателя:

Определим длину тел вдоль линии движения:
.
Найдем плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя:
.
Ответ: По часам неподвижного наблюдателя пройдет примерно 7,1 года; продольные размеры тел по линии движения сократятся и составят приблизительно ; для неподвижного наблюдателя плотность вещества в ракете увеличивается приблизительно в 50 раз.
Пример 12. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями υl = υ2= 3/4 с по отношению к неподвижному наблюдателю. Определить скорость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
Анализ и решение: По классической формуле сложения скоростей
υ = υl + υ2.
По релятивистской формуле сложения скоростей
.
Подставив значения υ1 и υ2 получим:
по классической формуле сложения скоростей
.
По релятивистской формуле сложения
.
Пример 13. Какой стала бы длина тела по направлению движения относительно неподвижного наблюдателя при υ = с?
Анализ и решение: Сокращение размеров тела в движущихся системах отсчета определяется формулой
,
При υ стремящейся к с, l стремится к нулю. Следовательно, при υ – с длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.