Практические работы по теме Объемы многогранников

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
Объём куба и прямоугольного параллелепипеда.
Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов куба и прямоугольного
параллелепипеда.
Теоретическая часть
Многогранники могут иметь самую различную форму. Среди них выделяют параллелепипеды. Обычный, всем известный кирпич с точки зрения геометрии является параллелепипедом. Форму параллелепипеда имеют многие предметы, с которыми мы встречаемся в жизни, например коробки, используемые для упаковки различных товаров.
У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
Каждая грань параллелепипеда - прямоугольник.
Противоположные грани параллелепипеда равны.
Каждый параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.Среди всех параллелепипедов особую роль играет - куб.
Куб - это такой параллелепипед, у которого все ребра равны, поэтому все его грани - квадраты.
За единицу измерения объема принимается объем единичного куба, т.е. объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины.
1 кубический сантиметр (1 cм3) - объем куба, длина которого равна 1 см. 1 кубический дециметр (1 дм3) - объем куба, длина которого равна  1 дм. 1 кубический метр (1 м3) - объем куба, длина которого равна 1 м.


Теорема: объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с вычисляется по формуле
, V = Sосн 13 QUOTE 1415 h.
Теорема: объем наклонного (любого) параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h:
.

Объем куба равен кубу (третьей степени) его ребра. V = a3
Пример 1. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого равны 6 мм, 10 мм и 15 мм.
Решение: 6 x 10 x 15 = 900 (мм3).
Пример 2. Найдите объем куба, ребро которого равно 5 дм.Решение: 53 = 5 x 5 x 5 = 125 (дм3).Заметим, что единица объема, равная одному кубическому дециметру, имеет и другое название - литр. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ.

Выполните задания
1 вариант
1 уровень
1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м3; 1 литр.
б) в кубических сантиметрах: 1 дм3; 1 м3.
2.Ответьте «да» или «нет».

а) Р = (а + b)13 QUOTE 14152
периметр прямоугольника
в) V = а13 QUOTE 1415 b13 QUOTE 1415 с
площадь прямоугольника

б) S = а13 QUOTE 1415 а
площадь квадрата
г) V = а13 QUOTE 1415 а 13 QUOTE 1415 а
объём куба

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.





4. Объём параллелепипеда равен 60 см3.
Проставьте недостающий размер.
? 4 см
5 см
5. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?

2 уровень

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.
а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.
7. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем
комнаты, если ее длина равна 6 м.
а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.
8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см2.
а) 16 см3; б) 64 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.
9. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3. 
а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.
10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?
а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

3 уровень
11. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.



2 вариант
1 уровень
1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м3; 1 литр.
б) в кубических миллиметрах: 1 см3; 1 м3.

2.Ответьте «да» или «нет».

а) Р = 4а
периметр прямоугольника
в) V = а13 QUOTE 1415 b13 QUOTE 1415 с
объём параллелепипеда

б) S = а13 QUOTE 1415
площадь квадрата
г) V = a313 QUOTE 1415
объём куба


3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.
а) б) в)




4. Объём параллелепипеда равен 40 см3.
Проставьте недостающий размер.
? 2 см
5 см
5. а) б) Каковы измерения параллелепипеда на рис. б),
сложенного из 3 одинаковых брусков,
изображённых на рис. а). Каков его объём?

1 см 8 см
2 см

2 уровень

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.
а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.
7. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем
комнаты, если ее длина равна 6 м.
а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.
8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 150 см2.
а) 16 см3; б) 125 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.
9. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3. 
а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.
10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?
а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

3 уровень
11. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту


Критерии оценки практической работы
Задания
Баллы
Примечание

1 - 5
13
Каждый правильный ответ 1 балл

6 - 12
21
Каждый правильный ответ 3 балла


Максимальный балл за работу – 34 балла
Шкала перевода баллов в отметки
Отметка
Число баллов, необходимое для получения отметки

« 5» (отлично)
34 - 31

« 4» (хорошо)
30 - 27

« 3» (удовлетворительно)
26 - 24

« 2 « (неудовлетворительно)
менее 24


ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
Объём призмы.
Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов призмы.

Теоретическая часть

Призмой называется многогранник, две грани которого(основания) – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней (боковые грани) – параллелограмы.
Призма называется прямой, если все её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной, если она прямая и её основания – правильные многоугольники.

Формулы для нахождения площадей
фигур
а
S = a13 QUOTE 1415 b a S = a2
b
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
Выполните задания
1 вариант
1 уровень
1. Выберите неверное утверждение.
а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;
б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;
в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2
·3 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.
а) 15
·3 см3; б) 45 см3; в) 10
·3 см3; г) 12
·3 см3; д) 18
·3 см3.

2 уровень
4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8. Объем призмы равен 80. Найдите ее боковое ребро.




5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 600. Найдите:
диагональ основания призмы;
диагональ призмы;
высоту призмы;
площадь боковой поверхности призмы;
площадь полной поверхности призмы;
объём призмы.

3 уровень

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?


2 вариант
1 уровень
1. Выберите верное утверждение.
а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;
б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;
в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3
·3 см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.
а) 15
·3 см3; б) 45 см3; в) 27
·3 см3; г) 12
·3 см3; д) 18
·3 см3.

2 уровень
4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.




5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 300. Найдите:
диагональ основания призмы;
диагональ призмы;
высоту призмы;
площадь боковой поверхности призмы;
площадь полной поверхности призмы;
объём призмы.

3 уровень

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?


Критерии оценки практической работы

Задания
Баллы
Примечание

1 - 3
3
Каждый правильный ответ 1 балл

4 - 6
24
Каждый правильный ответ 3 балла


Максимальный балл за работу – 27 баллов
Шкала перевода баллов в отметки
Отметка
Число баллов, необходимое для получения отметки

« 5» (отлично)
27 - 24

« 4» (хорошо)
23 - 21

« 3» (удовлетворительно)
20 - 18

« 2 « (неудовлетворительно)
менее 18


ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
Объём пирамиды.
Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов пирамиды.

Теоретическая часть

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.
Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами. Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный  n-угольник, а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.







Выполните задания
1 вариант
1 уровень

Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.
а) V=13 EMBED Equation.3 1415Sосн
·h; б) V=Sосн
·h; в) V=13 EMBED Equation.3 1415Sосн
·h.
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двадцать три раза?
а) в 23 раза; б) в 46 раз; в) в 69 раз.

Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание прямоугольник со сторонами 4 и 6.
а) 4; б) 8; в) 16.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .
а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

2 уровень

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна
3 см, а высота – 4 см.
а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна
6 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30
·.
а) 1213 EMBED Equation.3 1415 м3; б) 36 м3; в) 1213 EMBED Equation.3 1415 м3.
3 уровень
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.




Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 9 см3, а длина стороны основания равна 3 см.


2 вариант
1 уровень

Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.
а) V=13 EMBED Equation.3 1415Sосн
·h; б) V=Sосн
·h; в) V=13 EMBED Equation.3 1415Sосн
·h.
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в тридцать
четыре раза?
а) в 34 раза; б) в 17 раз; в) в 68 раз.

Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание прямоугольник со сторонами 3 и 4.
а) 48; б) 24; в) 12.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен .
а) 1,5; б) 3,5; в) 16.
2 уровень

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
а) 86 м; б) 13 EMBED Equation.3 1415 м; в) 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна
2 см, а высота – 3 см.
а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна
8 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60
·.
а) 13 EMBED Equation.3 1415м3; б) 13 EMBED Equation.3 1415 м3; в) 13 EMBED Equation.3 1415 м3.
3 уровень
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4.








Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 16 см3, а длина стороны основания равна 4 см.
Критерии оценки практической работы

Задания
Баллы
Примечание

1 - 4
4
Каждый правильный ответ 1 балл

5 - 9
15
Каждый правильный ответ 3 балла


Максимальный балл за работу – 19 баллов
Шкала перевода баллов в отметки
Отметка
Число баллов, необходимое для получения отметки

« 5» (отлично)
19 - 17

« 4» (хорошо)
16 - 15

« 3» (удовлетворительно)
14 - 13

« 2 « (неудовлетворительно)
менее 13



ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4
Вычисление объёмов многогранников.
Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов многогранников.


Теоретическая часть

Тело
Объём
Площадь боковой поверхности
Площадь полной поверхности


Прямоугольный параллелепипед

V=abc,

Sбок =2(ac+bc),

Sп=2(ab+bc+ac),



Куб

V=a3
Sбок=4a2
Sп=6a2

Призма

V= Sосн 13 QUOTE 1415 h

Sбок = Росн 13 QUOTE 1415 h
Sп= 2Sосн + Sбок

Пирамида


Sбок =13 EMBED Equation.3 1415
Sп = Sосн + Sбок



Выполните задания
1 вариант
1 уровень

1.Заполните таблицу

Объем пирамиды

?
Объем призмы

?
а3
?



2.Площадь полной поверхности куба равна 6 см2. Найдите его объем.
а) 1 см3; б) 2 см3; в) 1,5 см3.

3.Определите верно утверждение или нет.
А. Единицей измерения объемов является объем куба, длина ребра которого принимается за единицу измерения длины.
Б. Объем пирамиды равен произведению площади основания на высоту.

4.Основание прямой призмы – прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, высота 3 см.
Найдите объем призмы.


а) 30 см3; б) 72 см3; в) 72 см2.



2 уровень
5. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеду.
а) 9 м; б) 30 м; в) 313 EMBED Equation.3 1415м.

6.Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды.
а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.
3 уровень
7. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 5 см, а диагональ 11 см.
а) 6013 QUOTE 1415 см3; б) 213 QUOTE 1415 см3; в) 85 см3.

8. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см,
АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ
· (АВС) и МВ = 10 см.
а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

2 вариант
1 уровень

1.Заполните таблицу

Объем куба

?
Объем пирамиды

?
V = Sосн 13 QUOTE 1415 h
?







2.Объём куба равен 8 м3. Найдите площадь полной поверхности этого куба.
а) 96 м2; б) 24 м2; в) 16 м2.

3.Определите верно утверждение или нет.
А. Объём единичного куба равен единице.
Б. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

4.Основание прямой призмы – квадрат со стороной 2 см, высота 6 см. Найдите объем призмы.


а) 24 см3; б) 12 см3; в) 10 см2.




2 уровень
5. Измерения прямоугольного параллелепипеда 25 м, 10 м, 32 м. Определите ребро куба,
равновеликого прямоугольному параллелепипеду.
а) 1,8 м; б) 3 м; в) 20 м.
6.Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой 5 см, 5 см и 6 см, а высота равна 12 см.
а) 144 см3; б) 48 см3; в) 12 см3.

3 уровень
7. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ 11 см.
а) 252 см3; б) 24 см3; в) 85 см3.

8. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если все её рёбра равны 2
·2 см.
а) 2 см3; б) 13 EMBED Equation.3 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.3 1415см3; г) 8 см3; д) 4 см3.


Критерии оценки практической работы

Задания
Баллы
Примечание

1 - 4
4
Каждый правильный ответ 1 балл

5 - 8
12
Каждый правильный ответ 3 балла


Максимальный балл за работу – 16 баллов
Шкала перевода баллов в отметки
Отметка
Число баллов, необходимое для получения отметки

« 5» (отлично)
16 - 14

« 4» (хорошо)
13 - 12

« 3» (удовлетворительно)
11 - 10

« 2 « (неудовлетворительно)
менее 10




Ответы
Практическая работа № 1
Номер задания


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Вариант 1
а)1000дц3; 1дц3;
б)1000см3;
1000000 см3
а)да
б)да
в)нет
г)да
а)6
б)6
в)5

3
960
120
72
64
8
Увеличится в 3 раза
2
13,5

Вариант 2
а)1000дц3; 1дц3;
б)1000мм3;
1000000000 мм3
а)нет
б)нет
в)да
г)да
а)5
б)6
в)7

4
48
72
48
125
9
Увеличится в 4 раза
60
1,25


Практическая
работа № 2
Номер задания


1
2
3
4
5
6

Вариант 1
б
18
1513 EMBED Equation.3 1415
4
1) 613 EMBED Equation.3 1415
2) 1213 EMBED Equation.3 1415
3) 613 EMBED Equation.3 1415
4) 14413 EMBED Equation.3 1415
5) 72 + 14413 EMBED Equation.3 1415
6) 21613 EMBED Equation.3 1415
3

Вариант 2
в
60
2713 EMBED Equation.3 1415
4
1) 613 EMBED Equation.3 1415
2) 413 EMBED Equation.3 1415
3) 213 EMBED Equation.3 1415
4) 4813 EMBED Equation.3 1415
5) 72 + 4813 EMBED Equation.3 1415
6) 7213 EMBED Equation.3 1415
5


Практическая работа № 3
Номер задания


1
2
3
4
5
6
7
8
9

Вариант 1
а
в 23 раза
8
0,25
13
12
1213 EMBED Equation.3 1415
42
4,513 EMBED Equation.3 1415

Вариант 2
в
в 34 раза
24
1,5
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
24
613 EMBED Equation.3 1415


Практическая работа № 4
Номер задания


1
2
3
4
5
6
7
8

Вариант 1
V = 13 EMBED Equation.3 1415
Vкуба
V = 13 EMBED Equation.3 1415


1
А: верно
Б: нет
72
30
128
6013 EMBED Equation.3 1415
100

Вариант 2
V = 13 EMBED Equation.3 1415
Vпризмы
V = 13 EMBED Equation.3 1415

24
А: да
Б: да
24
20
48
252
13 EMBED Equation.3 1415




Рисунок 3Описание: http://tvsh2004.narod.ru/img/12-1-01.gifRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 65Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native