Лекция по математике на тему Свойства параллельных плоскостей

Лекция по теме «Свойства параллельных плоскостей»
Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. На экране появляется текст:
Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Рассмотрим плоскость и параллельную ей плоскость бэта  и плоскость  , которая пересекает плоскости по прямой  а и плоскость  по прямым b Докажем, что прямые a и b параллельны.
На экране изображение постепенное ( по одному появляются элементы чертежа

Предположим , что прямые пересекаются, значит они имеют общую точку, которая является общей точкой плоскостей и , что невозможно, так как плоскости по условию параллельны. Значит наше предположение неверно и прямые параллельны. На экране изображение с постепенное появляющмимися пунктирными линиями и точкойРассмотрим второе свойство параллельных плоскостей. Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
На экране текст
Свойство 2: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Рассмотрим плоскость и параллельную ей плоскость , а также параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости.
Докажем, что отрезки АВ и СD, заключенные между параллельными плоскостями, равны. На экране изображение:

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ.
γ пересекает плоскость α по прямой АС, а плоскость β по прямой BD. Так как плоскости α и β по условию паралллеьны, то по доказанному свойству 1 прямые АС и BD паралллеьны.
Рассмотрим четырехугольник ABDC. В нём сторона АС паралельна стороне BD, сторона AB паралельна стороне CD, а четыреугольник у которого строны попарно паралллеьны называется параллелограммом.
По свойству паралллелграмма противоположные стороны AB и CD равны. Что и требовалось доказать. На экране изображение

добавляется поэтапного текст доказательства (справа от изображения):
Доказательство:
∃! плоск. γ, γ∋AB,CDγ∩α=АСγ∩β=BD∝││βпо свойству 1АС││BD.
AС││BD, AB││СD (по условию)по определениею ABDC-параллелограмм.ABDC-параллелограмм, значит AB=CD.
Рассмотрим применение изученных свойств при решении задач.
пауза На экране текст.
Задача .



Дан угол ВАС, плоскость α пересекает стороны угла в точках А1 и B1 соответственно, параллельная ей плоскость β пересекает стороны угла ВАС в точках А2 и В2 соответственно. Известно, что отрезок А1А2 равен 12 сантиметрам и в два раза больше отрезка АА1. Отрезок АВ1 равен 5 см.
Найти отрезки АА2 и АВ2
Так как плоскости ∝и β параллельны по условию и плоскость треугольника АВС, образованная углом ВАС, пересекает их по прямым А1В1 и А2В2, то по свойству параллельных плоскостей прямая А1В1паралллена прямой А2В2.
Рассмотрим плоскость ВАС на отдельном чертеже.
Треугольник А1АВ1 подобен треугольнику А2АВ2 по двум углам. Значит стороны этих треугольников пропорциональны : сторона А1А относится к стороне А2А также как сторона В1А к стороне В2А.
Известно , что АА1 составляет половину стороны А2А1, значит она равна 6 см.
Сторона АА2 равна сумме длин отрезков АА1 и А1А2 и равен 18 сантиметрам.
Подставим найденные значения в пропорцию. Тогда отрезок
Получим ответ: отрезок АА2 равен 18 см, а отрезок АВ2 равен 15 см. На экране изображение
Дано:
угол А, ∝││β, α∩АВ=А1, α∩АС=В1, β∩АВ=А2, β∩АС=В2, -3873548260
Найти: АА2 , АВ2
Решение:
Т.к. ∝││β, а (АВС) ∩∝=А1В1 и (АВС) ∩β=А2В2, то по свойству А1В1││А2В2.
26035409575Первый чертёж сменяется на второй, решение остаётся В пл.ВАС , значит А1АА2А=В1АВ2А

тогда
Ответ:
Рассмотренные свойства параллельных плоскостей намного упрощают решение многих геометрических задач.