Конспект урока по математике на тему: Текстовые задачи на работу и производительность

Тема урока: Текстовые задачи на работу
Цели:
Обучающая: научить применять полученные на уроках знания по решению текстовых задач из ОГЭ разного вида и разного уровня сложности; создать условия для формирования у обучающихся навыков решения задач на работу и прочно укрепить их; познакомить обучающихся со способами решения задач по данной теме.
Развивающая: развивать логическое мышление, познавательный интерес к математике как науке, развивать память; формировать математическую речь, вырабатывать умения сравнивать и анализировать.
Воспитательная: развивать аккуратность, трудолюбие, воспитывать инициативность, добросовестное отношение к учёбе.

Ход урока
Этапы урока:
1 Организационный момент.
2. Введение нового материала.
3. Решение задач.
4. Домашнее задание и итоги урока.

Деятельность учителя:
-Сегодня мы с Вами познакомимся с тем, как решать задачи на работу. Перед тем как мы приступим к решению задач, запишем основные правила и формулы, которые мы должны знать при решении различных задач на работу.
Деятельность учащихся: Слушают учителя, отвечают на вопросы и записывают всё в тетради.
Деятельность учителя:
-Основными компонентами этого типа задач являются:
Работа (1);
Время (t);
Производительность труда (P).
-Содержание задач данного типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют некоторое количество человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объём всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объём работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением.
-Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа:
Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим, у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.
Тогда – производительность труда первого рабочего,
– производительность труда второго рабочего.
– совместная производительность труда.
– время, за которое они выполнят задание, работая вместе.
-Решим теперь следующие задачи. Запишем условие первой задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-В издательстве двум сотрудникам Оле и Кате поручили отредактировать рукопись объемом 360 страниц. Оля, отдав Кате 40 страниц рукописи, взяла остальные себе. Катя выполнила свою работу за время, в 4 раз меньшее, чем Оля свою. Найдите, сколько страниц рукописи Оля должна была сразу отдать Кате (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
1 способ решения
-Если Катя выполнила свою работу за x дней, то она редактировала по 13 QUOTE 1415 страниц в день, а Оля – по 13 QUOTE 1415 страниц в день. Поэтому Оле нужно было разделить 360 страниц в отношении 13 QUOTE 1415 и отдать из них одну часть, то есть 13 QUOTE 1415 страниц Кате.
2 способ решения
-Катя редактировала 40 страниц рукописи за время в четыре раза меньше, чем Оля 320 страниц рукописи. Если бы они работали с одной скоростью, то за время в четыре раза меньше, она должна была бы отредактировать 80 страниц. Значит, она работает со скоростью 13 QUOTE 1415 скорости первого работника, и для того чтобы они закончили одновременно, работа должны быть разделена между ними в отношении 1:2. Таким образом, Оля должна отдать Кате 13 QUOTE 1415 страниц.
-Запишем ответ.
Ответ: 120.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Запишем условие второй задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-Бассейн наполняют водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 14 ч, включили вторую трубу. Вместе они проработали 4 ч и заполнили бассейн. Определите, за сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно, если первой требуется для этого на 8 ч больше, чем второй?
-Решим задачу алгебраическим способом.
-Примем объём бассейна за 1. Пусть за x ч вторая труба может наполнить бассейн, тогда за (x + 8)ч – первая труба. Первая труба за 1 ч наполняет 13 QUOTE 1415 часть бассейна, а вторая - 13 QUOTE 1415 часть. Первая труба была открыта 18 ч и наполнила за это время 13 QUOTE 1415 часть бассейна, а вторая за 4 ч наполнила 13 QUOTE 1415 часть бассейна.
-Составим уравнение:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
-Решая квадратное уравнение 13 QUOTE 1415, мы получаем два корня x1 = 16, x2 = -2.
-x2 = -2 не удовлетворяет условию задачи. Значит, вторая труба наполнит бассейн за 16 ч, а первая – за 16 + 8 = 24 (ч).
- Запишем ответ.
Ответ: 24 часов и 16 часов.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Запишем условие третьей задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-На столе одновременно зажжены две свечи разной толщины, но одинаковой длины. Первая сгорает за 8 часов, а вторая – за 6 часов. Определите, через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй?
-Решим задачу алгебраическим способом. Пусть t ч – количество минут одновременного горения свечек.
-По условию задачи мы знаем, что две свечи имеют длины, причём их длина не выражена в единицах измерения, значит, примем длину свечей за 1 единицу. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 8 часов, а другая – за 6 часов. Следовательно, 13 QUOTE 1415 - скорость сгорания первой свечи; 13 QUOTE 1415 - скорость сгорания второй свечи.
-Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.
13 QUOTE 1415 - длина огарка первой свечи; 13 QUOTE 1415 - длина огарка второй свечи.
-По условию задачи от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение 13 QUOTE 1415.
-Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения: 13 QUOTE 1415.
-Мы ответили на главный вопрос задачи: через 5,76 часа огарок первой свечи будет в 7 раз длиннее огарка второй свечи. Выразим результат времени в минутах, для этого 5,76 умножим на 60 минут. Получаем 345 минут 6 секунд.
-Запишем ответ.
Ответ: 345 минут 6 секунд.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Запишем условие следующей задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-Загружаясь в каждом рейсе полностью, три машины перевозят пшено. За один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, а 1-я и 3-я вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Определите, какое количество пшена перевозит за один рейс 2-я машина, если известно, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена.
-Решим задачу алгебраическим способом. Введём новые переменные. Пусть x тонн – грузоподъёмность 2-ой машины за один рейс. По условию задачи известно, что за один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, значит, (9–х) тонн – грузоподъёмность 1-ой машины за один рейс; у тонн – грузоподъёмность 3-й машины. По условию задачи 1-я и 3-я машины вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Тогда можем составить уравнение: 2(9 – х + у) = 6х.
-Также по условию задачи, мы знаем, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я машины перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена. Тогда можем составить уравнение: x + у = 2у.
-Так как главным вопросом задачи является значение переменной x, то из второго уравнения выразим у через х. Имеем у = х. Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо у. Получаем уравнение с одной переменной 2(9 – х + x) = 6х.
-Раскрыв скобки, решим уравнение 18 = 6х. Получим его корень х = 3. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны пшена перевозит за один рейс 2-ая машина.
-Запишем ответ.
Ответ: 3 тонны.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Итак, следующая задача.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-Две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем первая. Определите, за сколько минут вторая труба наполняет этот бассейн?
-Решим данную задачу алгебраическим способом. Пусть t (мин.)-время, за которое вторая труба заполняет бассейн, тогда (t – 12) (мин) - понадобится  первой трубе на наполнение бассейна. Так как в условии задачи не даны единицы измерения объёма бассейна, то примем этот объём за 1 единицу.
-Мы можем выразить производительность работы первой и второй труб, то есть производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит: 13 QUOTE 1415.
-Из условия задачи известно, что вместе две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Значит, их производительность равна 13 QUOTE 1415бассейна в минуту. Получим уравнение: 13 QUOTE 1415.
-Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем: 13 QUOTE 1415.
-Решая квадратное уравнение   –t2 + 28t – 96 = 0, умножим обе части уравнения на –1. Получаем: t2 – 28t + 96 = 0. Какие числа являются корнями этого уравнения?
Деятельность учащихся:
-t1 = 4 и t2 = 24.
Деятельность учителя:
-По смыслу задачи время работы второй трубы должно быть больше 12, так как вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем вторая.
-Значит, значение t=4 является посторонним решением. Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 24 минуты. Мы ответили на главный вопрос задачи.
- Запишем ответ.
Ответ: 24 минуты.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Сегодня мы с вами вспомнили, как решать задачи на работу, какие нужно знать формулы.
-Что вы узнали нового на сегодняшнем уроке?
-Чему научились?
-Что необычного и интересного было на занятиях?
-В каких задачах вы столкнулись с трудностями?
Деятельность учащихся: Отвечают на вопросы учителя и получают на раздаточном материале домашнее задание.
Деятельность учителя:
-Домашнее задание на раздаточном материале:
Задача 1. Работая вместе, двое рабочих Пётр и Николай могут закончить свою работу за 15 дней. После 10 дней совместной работы Пётр заболел, и Николай закончил работу один, проработав еще 6 дней. Определите, за сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?
Решение. Пусть Пётр может выполнить работу за x дней, а Николай за y дней. Каждый из них выполняет в день 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 части работы соответственно, а работая вместе 13 QUOTE 1415 часть. Получаем уравнение: 13 QUOTE 1415
За 6 дней совместной работы Пётр и Николай выполнили: 13 QUOTE 1415 работы. Николай работал еще 6 дней, выполнив 13 QUOTE 1415 часть всей работы. Зная, что вся работа была сделана, составим уравнение: 13 QUOTE 1415.
Получили систему уравнений:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Получили, что если каждый из них будет работать отдельно друг от друга, то Пётр сможет выполнить работу за 90 дней, а Николай за 18 дней.
Ответ: 90 дней, 18 дней.
Задача 2. Заказ на 160 деталей Вова выполняет на 1 час быстрее, чем Петя. Найдите, сколько деталей в час делает Петя, если известно, что Вова за час делает на 5 деталь больше?
Решение. Пусть x деталей в час делает Петя, тогда Вова делает (x + 5)деталей в час. Так как 13 QUOTE 1415, время работы Вовы равно 13 QUOTE 1415 , время работы Пети равно 13 QUOTE 1415.

P
t
A

Вова


150

Петя


150

Вова выполнил заказ на 5 часов быстрее. Следовательно, время Вовы на 5 меньше, чем время Пети, то есть: 13 QUOTE 1415.
Составим уравнение:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415;
Решая квадратное уравнение, мы получим два корня x1 = -30 и x2 = 25.
По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x1 = -30 – посторонний корень.
Следовательно, мы получили, что Петя делает 25 деталей в час.
Ответ: 25.
Задача 3. Лена и Света, работая вместе, выполняют работу за 15 дней. Определите, за сколько дней, работая отдельно друг от друга, выполнит эту работу Лена, если она за 4 дня выполняет такую же часть работы, какую Света  за 5 дней?
Решение. Так как в задаче не сказано о том, какая это работа, чему равен её объем, то работу мы примем за единицу.
Пусть X - производительность Лены, тогда Y - производительность Светы. Из условия мы знаем, что Лена за 4 дня делает такую же часть работы, какую Света - 13 QUOTE 1415 за 5 дней. Значит, 13 QUOTE 1415. Отсюда, следует, что работая вместе, Лена и Света сделали всю работу за 15 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415.
Мы получили, что Лена за день выполняет 13 QUOTE 1415 всей работы. Следовательно, на всю работу Лене понадобится 9 дней.
Ответ: 9.
Задача 4. Первая бригада может убрать поле за 16 дней. Чтобы выполнить эту же работу второй бригаде нужно 50% этого времени. После того как в течение 4 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Определите, сколько дней работали две бригады вместе?
Решение. Производительность 1-ой бригады 13 QUOTE 1415. Время работы 1-ой бригады 16 дней, тогда 50% от 16 дней будет 8 дней (0,5013 QUOTE 141516 = 8) – время работы 2-ой бригады. Производительность 2-ой бригады: 13 QUOTE 1415.
Объём работы 1-ой бригады за 4 дня: 13 QUOTE 1415.
Всю работу примем за 1 единицу, тогда осталось выполнить: 1 -13 QUOTE 1415;
Производительность двух бригад вместе: 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415. Пусть Х время их совместной работы, тогда получаем уравнение: (13 QUOTE 1415)Х=13 QUOTE 1415 .
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; X=4.
Ответ: вместе две бригады работали 4 дня.
Задача 5. Ученик тратит на изготовление 462 деталей на 22 часа больше, чем мастер на изготовление 924 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?
Решение. Пусть x деталей в час делает ученик, тогда мастер делает (x + 4) детали в час. На изготовление 462 деталей ученик потратит 13 QUOTE 1415 ч, а мастер тратит 13 QUOTE 1415 ч на изготовление 924 деталей.
Составим уравнение по условию задачи:13 QUOTE 1415. 
Решим уравнение:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 84 – 21x – x(x+4) = 0; x2 + 25x – 84 = 0. 
Корни полученного квадратного уравнения:
·28 и 3. По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x1 = -28 – посторонний корень. Следовательно, мы получили, что ученик делает 3 детали в час.
Ответ: 3.

Рисунок 81Рисунок 84фђЗаголовок 1фђЗаголовок 2фђЗаголовок 315