Научно-исследовательская работа по математике Практическая значимость кубика — Рубика

Секция математика




Исследовательская работа
Практическая значимость кубика Рубика
Гурьянова Анастасия, Гурьянова Полина
10 а класс, МБОУ «СОШ № 11»,г.Нижнекамск





Научный руководитель:
Морозова Татьяна Николаевна,
учитель математики высшей кв. категории









2016 г.
Оглавление



Введение 3
Основная часть 4
Глава 1. Исторические сведения 4
§ 1. Что такое кубик Рубика 4
§ 2. История создания кубика Рубика 4
§ 3. Распространение и развитие 6
§ 4. Механизм и поиск алгоритма Бога 8
§ 5. Соревнования 9
§ 6. Варианты кубика Рубика 10
Глава 2. Применение кубика Рубика 12
§ 1. Применение кубика Рубика в психологии 12
§ 2. Применение кубика Рубика при решении олимпиадных задач 14
Глава 3. Опрос среди учащихся 22
Заключение 23
Список используемой литературы 24










Введение

С младших классов нас увлекали логические примеры, головоломки и ребусы С возрастом менялась сложность задач, и мы стали задумываться о науках, занимающимися разгадыванием головоломок. Теория вероятности, комбинаторика, эвристика... Всё это разделы математики, включающие нестандартное мышление и логику. Изучение выше перечисленных наук в теоретическом варианте довольно тяжело, мы же предлагаем использовать «головоломки из детства», простые и понятные нам, и на их примере рассматривать ту или иную науку.
Предметом нашего исследования является кубик Рубика.
Цель – исследование актуальности кубика Рубика.
Задачи:
1) изучить и проанализировать возможности кубика Рубика;
2) рассмотреть решение олимпиадных задач;
3) изучить историю кубика Рубика;
4) провести опрос среди взрослых и учащихся на популярность головоломки;
5) подвести итоги.
Во время выполнения поставленных задач нами были использованы следующие методы исследования: описательный метод, исторический метод и опрос.
Практическая значимость: результаты проведенного опроса могут стать опорой для введения курса кубика Рубика в изучение школьной программы средних и старших классов.




ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Глава 1. Исторические сведения
§ 1. Что такое кубик Рубика?
Кубик Рубика (разговорный вариант Кубик-рубик; первоначально был известен как «Магический кубик», венг. B
·vцs kocka) механическая головоломка, изобретённая в 1974 году (и запатентованная в 1975 году) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком.
Головоломка представляет собой пластмассовый куб (форм-фактор в первоначальном варианте 3Ч3Ч3). Его видимые элементы снаружи выглядят как 54 грани малых кубиков, составляющих один большой куб, и способны вращаться вокруг 3 внутренних осей куба. Каждая грань состоит из девяти квадратов и окрашена в один из шести цветов, в одном из распространённых вариантов окраски расположенных парами друг напротив друга: красный оранжевый, белый жёлтый, синий зелёный; но в различных вариантах кубика Рубика грани окрашиваются в разные цвета совершенно различным образом. Повороты граней позволяют переупорядочить цветные квадраты множеством различных способов. Задача игрока заключается в том, чтобы «собрать кубик Рубика»: поворачивая грани куба, вернуть его в первоначальное состояние, когда каждая из граней состоит из квадратов одного цвета.
Считается, что кубик Рубика лидер среди игрушек по общему количеству продаж: по всему миру было продано порядка 350 млн кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных аналогов. Интересный факт: если их поставить в ряд, то они протянутся почти от полюса до полюса Земли.
§ 2. История создания кубика Рубика
История кубика Рубика началась в марте 1970 года, когда Ларри Николс изобрел головоломку 2Ч2Ч2 с вращающимися частями, собранными на магнитах. Изобретатель сразу подал заявку на оформление канадского патента и уже 11 апреля 1972 года Николс получил американский патент под номером 3655201 (позднее, в 1986 году апелляционный суд подтвердил, что карманный кубик Рубика 2Ч2Ч2, по причине сходства изобретений, нарушает авторские права Николса). 9 апреля 1970 года Франк Фокс подаёт заявку на сферическую головоломку 3Ч3Ч3, и 16 января 1974 года получает патент (1344259)[1].
В середине 1970-х Эрнё Рубик работал в отделе Дизайна интерьера в академии Прикладного искусства в Будапеште. Для того чтобы доходчиво объяснять основы математической теории групп и развивать у студентов навыки пространственного воображения, Рубик несколько лет бился над созданием наглядного учебного пособия в виде трехмерной задачи-головоломки. Профессор вдоволь поэкспериментировал с бумажными и картонными образцами, магнитными элементами, моделями, скрепленными резиновыми стяжками, пока не решил попробовать творить из пластика. Вначале игрушка представляла собой набор из 27 деревянных кубиков с разноцветными гранями. В дальнейшем пришлось отбросить все лишнее: в своем первом кубике Рубик оставил всего 54 внешние грани – одноцветные у шести центральных кубиков, двухцветные у двенадцати боковых и трехцветные у восьми угловых. На место единственного «внутреннего» кубика был помещен цилиндрический скрепляющий механизм, так называемый «позвоночник» системы, который имел прочную связь со всеми наружными деталями, но позволял им свободно вращаться друг относительно друга. Сторона оригинального кубика размером 57 мм, вычисленная Рубиком, была впоследствии названа мировым научным сообществом «золотым стандартом». Как позднее признался сам Эрнё Рубик, он заложил в изобретение кубика особый философский смысл: «то, что каждая его грань состоит из трех слоев по три блока, имеет большое значение, поскольку число три обладает специфическим смыслом, который проявляется в странных связях между человеком и природой: мать – дитя – отец; небеса – земля – преисподняя; созидание – сохранение – разрушение; рождение – жизнь – смерть». Любопытен тот факт, что, создав первый образец кубика, Рубик с ужасом осознал, что не в состоянии его собрать. Почти месяц затратил Эрно на «приручение» собственного шедевра. Дело в том, что легендарный кубик имеет порядка 43 квинтильонов различных вариаций, и только одна из них является правильной! Просмотр всех возможных состояний кубика Рубика, даже с невероятной скоростью 1000 комбинаций в секунду, займет более миллиарда лет
§ 3. Распространение и развитие
30 января 1975 года Э. Рубик получил венгерский патент (HU170062) на своё изобретение, «Волшебный Куб» (Buvuos Kocka).
Первые партии кубиков Рубика были выпущены в конце 1977 года для Будапештского магазина игрушек. Игрушкой совершенно случайно (зайдя во время деловой поездки в Венгрию выпить кофе, он увидел вещицу в руках у официанта кафе) заинтересовался немецкий компьютерный предприниматель венгерского происхождения Тибор Лаци (Tibor Laczi). Увлекающийся математикой Лаци пришёл в восхищение от игрушки и буквально на следующий день прибыл уже в государственную торговую фирму Konsumex и предложил продавать кубик на Западе. Тогда же он познакомился и с Рубиком. Заинтересованный Тибор Лаци вышел на владельца Seven Towns Ltd., англичанина Тома Кремера (Tom Kremer), также венгра по материнской линии. Кремер взялся добиться привлечения интереса к разноцветному чуду.
В сентябре 1979 год, на переговорах в Будапеште, был заключён договор с крупной американской компанией Ideal Toy Corporation (позже куплена корпорацией CBS) на поставку в США одного миллиона кубиков. В процессе переговоров всплыла ещё одна проблема Кубик был запатентован лишь в Венгрии. Американцы же могли торговать товарами, авторские права на которые официально зарегистрированы на территории США. Чтобы хоть как-то уладить это препятствие, в самом начале 1980-го «Магический куб» (Magic Cube) решено было переименовать в кубик Рубика (Rubik’s Cube).
Стараниями Лаци и Кремера в январе-феврале 1980 года состоялся международный дебют кубика. В феврале 1980 года головоломка дебютировала на ярмарках игрушек Лондона, Парижа, Нюрнберга (Nuremberg Toy Fair) и Нью-Йорка. Американская премьера состоялась 5 мая в Голливуде, а представляла кубик венгерская кинозвезда Габор. Следующие два года стали временем всемирного помешательства, в связи с дефицитом кубов стали производиться подделки, в самых разных странах. Только до конца 1982 г. было продано свыше 100 миллионов официальных кубиков и в полтора раза больше подделок. Никаких проблем со сбытом головоломки не было, были проблемы с производством. Венгрия физически не могла делать больше нескольких миллионов штук в год. Фабрики по изготовлению кубиков открываются в Гонконге, Тайване, Коста-Рике и Бразилии. В Советский Союз кубик пришёл в 1981 г. (по некоторым данным, права на выпуск игрушки обошлись СССР в немыслимую тогда сумму 3 миллиона долларов).
В 1980 году кубик Рубика получил венгерский национальный приз за лучшее изобретение и выиграл конкурсы на лучшую игрушку в США, Великобритании, Германии, Франции. Страсть к игрушке не имела языковых, социальных и возрастных границ. Почтенные матроны и менеджеры банков, игроки в бейсбол и пилоты, работники библиотек и дежурные на парковках вертели кубик круглые сутки. В авангарде всемирного движения шла молодежь, школьники и студенты. Сложность сборки кубика вызвала к жизни поток специальных изданий по проблеме: было выпущено более 60 книг. От непрерывной многочасовой игры у людей попросту сводило запястья. Во многих ресторанах кубик входил в число обязательных предметов сервировки стола наряду с солонкой и перечницей. Появилось и «Искусство кубика Рубика» (Rubik’s Cube Art) художники собирали не только сами кубики, но и уже из кубиков собирали свои произведения. В том же 1981 году в Англии проходит церемония представления кубика принцу Чарльзу и леди Диане (тогда же выходит ограниченным тиражом версия, посвящённая их свадьбе, состоявшейся 29 июля 1981, «Royal Puzzle»), он попадает в экспозицию Нью-йоркского музея современного искусства, а годом позже кубик Рубика попадает в престижнейший Оксфордский словарь.
Сегодня права на кубик Рубика и другие головоломки Эрнё Рубика принадлежат английской компании Seven Towns Ltd., которой уже 40 лет владеет близкий друг Эрнё Рубика Том Кремер. Под контролем англичан кубик Рубика производится и продаётся во всем мире. В последнее время наметился рост продаж головоломки в Европе и США начинается новая волна увлечения кубиком Рубика.
§ 4. Механизм и поиск алгоритма Бога
Разобранный на части кубик Рубика.
Из центральных и рёберных кубиков с внутренней стороны вырезан фрагмент таким образом, что получается полость в виде объединения трёх цилиндров. Помимо этого, на рёберных и угловых кубиках имеются выступы особой формы. Эти выступы образуют фрагмент цилиндра, плотно входящий в полость. Благодаря такой конструкции, грани кубика свободно вращаются.
В центре конструкции вместо «невидимого кубика» находится трёхмерная крестовина, на которой свободно вращаются центральные кубики. Все остальные кубики держатся друг за друга, входя выступами в вышеуказанную выемку.
История поиска алгоритма Бога для кубика Рубика началась не позже 1980 года, когда открылся список рассылки для любителей кубика Рубика. С тех пор математики, программисты и просто любители стремились найти алгоритм, который бы позволил решать кубик Рубика за минимальное число ходов.
В июле 2010 года программист из Пало-Альто Томас Рокики, учитель математики из Дармштадта Герберт Коцемба, математик из Кентского университета Морли Дэвидсон и инженер компании Google Inc. Джон Детридж доказали, что каждая конфигурация кубика Рубика может быть решена не более чем в 20 ходов. При этом любой поворот грани считался одним ходом. Таким образом, число Бога в метрике FTM оказалось равно 20 ходам.
§ 5. Соревнования
Первый Международный чемпионат по сборке кубика Рубика, Будапешт, 5 июня 1982 г. Марка Венгрии, 1982.
Люди, увлекающиеся скоростной сборкой кубика Рубика, называются спидкуберами. А сама скоростная сборка спидкубинг (англ. speedcubing).
На данный момент одним из самых популярных методов скоростной сборки является метод Джессики Фридрих.
Официальные соревнования по скоростной сборке кубика Рубика регулярно проводятся всемирной ассоциацией кубика en:World Cube Association (WCA). Каждый год проходит чемпионат Европы или чемпионат мира.
Согласно правилам WCA, перед сборкой кубы должны быть перемешаны по алгоритму (scramble), сгенерированному компьютером с помощью программы Cube Explorer (для куба 3Ч3Ч3, для других головоломок есть отдельные программы генерации скрамблов). При этом у всех участников начальные позиции перемешанного кубика (скрамблы) должны быть одинаковыми.
Победитель определяется не по результату единичной сборки, а по среднему времени из 5 попыток, при этом лучшая и худшая попытки не учитываются, а вычисляется среднее из оставшихся 3-х. Однако в других дисциплинах могут использоваться и другие варианты: среднее из 3 (например, для куба 7Ч7Ч7), лучшее из 3 (сборка вслепую).
Текущие рекорды.
В классической дисциплине (кубик 3Ч3Ч3) действующий рекорд 4,904 сек. установил Лукас Эттер (США) 21 ноября 2015 года. Остальные рекорды можно посмотреть в таблице.
В октябре 2011 года робот CubeStormer II (англ.)русск., специально собранный из 4 наборов конструктора Lego Mindstorms, побил рекорд человека и собрал кубик за 5,53 секунды (впрочем, следует отметить, что рекорд был установлен не в присутствии комиссии WCA, и, следовательно, официальным не является, а неофициальный рекорд, установленный человеком, ещё меньше). В марте 2014 года созданный за восемнадцать месяцев инженерами Дэвидом Гилдэем (David Gilday) и Майком Добсоном (Mike Dobson) CubeStormer III (англ.)русск., из деталей того же конструктора Lego Mindstorms и с ARM-мозгом в виде смартфона Samsung Galaxy S4, собрал головоломку за 3,253 секунды.
8 марта 2009 года прошёл первый официальный чемпионат России, победителем стал Антон Ростовиков. 2627 ноября 2011 года в Москве прошёл официальный открытый чемпионат России, в котором приняли участие около 60 человек в дисциплинах от 2Ч2Ч2 до 7Ч7Ч7, а также сборка кубика Рубика вслепую. Чемпионом в дисциплине 3Ч3Ч3 стал Сергей Рябко со средним результатом в финале 10,66 секунды. Рекорд России в единичной сборке принадлежит Дмитрию Добрякову и составляет 6,84 секунды.
Чемпионат Европы.
С 1 по 3 октября 2010 года в Будапеште прошёл чемпионат Европы, собравший участников, соревновавшихся в различных дисциплинах. Чемпионом Европы в сборке классического кубика 3Ч3Ч3 стал российский спидкубер Сергей Рябко, опередивший в финале в том числе бывшего рекордсмена Эрика Аккерсдейка, со средним временем в финале 10,31 секунд.
С 12 по 14 октября 2012 года во Вроцлаве (Польша) прошёл чемпионат Европы. Чемпионом второй раз подряд стал участник из России Сергей Рябко, опередивший чемпиона мира. Среднее время Сергея составило 8,89 сек.

§ 6. Варианты кубика Рубика.
1.Мегаминкс
Пирамидка Мефферта
Помимо традиционного 6-цветного исполнения кубика 3Ч3Ч3 встречаются 2Ч2Ч2, 4Ч4Ч4, 5Ч5Ч5, 6Ч6Ч6, 7Ч7Ч7, 8Ч8Ч8, 9Ч9Ч9, 10Ч10Ч10, 11Ч11Ч11, 13Ч13Ч13, 17Ч17Ч17; кубики с изображениями на гранях; «гибриды», полученные объединением нескольких кубиков, варианты с тетраэдрами, закруглёнными углами. Куб со стороной 4 часто называют мастер-кубом (англ.), или «Реваншем Рубика» («местью Рубика»).
Гигаминкс
Тераминкс
Также существует кубик 2Ч2Ч2 он тоже довольно не прост для сборки, хотя разумеется проще классического 3Ч3Ч3. Есть двуцветные, для малышей. Эта головоломка познакомит их с такой вещью, как кубик Рубика. На данный момент самым большим невиртуальным является кубик Рубика 13Ч13Ч13. Также предпринимались единичные попытки изготовления таких размеров, как 12Ч12Ч12 и даже 17Ч17Ч17 некоторыми мастерами и изобретателями головоломок.
Спустя почти 30 лет после своего гениального изобретения кубика, знаменитый профессор Эрнё Рубик создал новую головоломку шар Рубика, демонстрация которого состоялась на выставке в Германии в феврале 2009 года.
Одной из последних модификаций кубика Рубика является Зеркальный кубик Рубика (Rubik’s Mirror Blocks), с размером массива 3Ч3Ч3, как и в оригинальной версии головоломки, однако выполненный со всеми гранями одного цвета (часто блестящими, зеркальными откуда и название), но на каждой из которых вместо квадратов прямоугольники разных размеров. Другими словами, 26 элементов такого кубика имеют форму параллелепипеда и отличаются не цветами, а размером и формой (соотношением рёбер и граней). Собирать такой куб сложнее ввиду его объёмности разобранный куб выглядит нагромождением параллелепипедов различных размеров. Однако он подчиняется схемам сборки классического куба 3Ч3Ч3, стоит лишь абстрагироваться от форм составных элементов.
Существует множество головоломок, аналогичных кубику Рубика по устройству, но другой формы:
тетраэдр «Пирамидка Мефферта» («Молдавская пирамидка») или «Японский тетраэдр») изобретена раньше кубика Рубика и является самой простой для сборки из перечисленных головоломок;
другой тетраэдр «Jing’s Pyraminx»;
октаэдр, известный как «Trajber's Octahedron 3Ч3Ч3» головоломка, которую можно бы было назвать двойственной Кубику Рубика по аналогии с понятием двойственный многогранник;
додекаэдр «Мегаминкс», являющийся додекаэдрическим аналогом кубика Рубика 3Ч3Ч3;большой додекаэдр Звезда Александера;
множество головоломок этих же (в особенности октаэдра) и других форм:
ромбододекаэдр; кубооктаэдр; усечённые тетраэдр и октаэдр.
Существуют компьютерные игры, моделирующие «Магический кубик», но они не получили, по сравнению с оригинальной механической головоломкой, широкого распространения.
Глава 2. Применение кубика Рубика.
§ 1. Применение кубика Рубика в психологии
Психологи используют кубик Рубика в методике, предназначенной для диагностики уровня развития наглядно-действенного мышления.
Пользуясь известным кубиком Рубика, ребенку задают разные по степени сложности практические задачи на работу с ним и предлагают их решить в условиях дефицита времени.
Ниже приведены описания девяти таких заданий, вслед за которыми в скобках указано количество баллов, которое получает ребенок, решив данную задачу за 1 мин. Всего на эксперимент отводится 9 мин (по минуте на задачу).
Замечание. Переходя от решения одной задачи к другой, каждый раз необходимо изменять цвета собираемых граней кубика Рубика.
Задание 1. На любой грани кубика собрать столбец или строку из трех квадратов одного цвета (0,3 балла).
Задание 2. На любой из граней кубика собрать два столбца или две строки из квадратов одного и того же цвета (0,5 балла).
Задание 3. Собрать полностью одну грань кубика из квадратов одного и того же цвета, т.е. полный одноцветный квадрат, включающий в себя 9 малых квадратиков (0,7 балла).
Задание 4. Собрать полностью одну грань определенного цвета и к ней еще одну строку или один столбец из трех малых квадратиков на другой грани кубика (0,9 балла).
Задание 5. Собрать полностью одну грань кубика и в дополнение к ней еще два столбца или две строки того же самого цвета на какой-либо другой грани кубика (1,1 балла).
Задание 6. Собрать полностью две грани кубика одного и того же цвета (1,3 балла).
Задание 7. Собрать полностью две грани кубика одного и того же цвета и, кроме того, один столбец или одну строку того же самого цвета на третьей грани кубика (1,5 балла).
Задание 8. Собрать полностью две грани кубика и к ним еще две строки или два столбца такого же цвета на третьей грани кубика (1,7 балла).
Задание 9. Собрать полностью все три грани кубика одного и того же цвета (2,0 балла).
 
Оценка результатов
Оценка результатов работы с этой методикой производится следующим способом. Если число баллов, набранных ребенком равно 10, то его наглядно-действенное мышление считается очень высоко развитым.
Если в процессе решения всех задач ребенок за отведенное время в сумме набрал от 4,8 до 8,0 баллов, то его мышление считается высокоразвитым.
Если общая сумма баллов, набранных ребенком, оказалась в пределах от 1,5 до 3,5 баллов, то его наглядно-действенное мышление рассматривается как среднеразвитое, а сам он подготовленным к обучению в школе.
Если общая сумма баллов, набранных ребенком, не превысила 0,8 балла, то его наглядно-действенное мышление считается слаборазвитым, а сам он по данному параметру не готов к обучению в школе.

§ 2. Применение кубика при решении олимпиадных задач.
Применять кубик Рубика можно и при решении олимпиадных заданий. Рассмотрим несколько олимпиадных задач для 6-11 классов и задач по стереометрии для старших классов.
1. Условие. На прозрачном столе стоит куб 3Ч3Ч3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3Ч3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3Ч3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?  ( 7класс)
Решение. Имея перед собой кубик Рубика, легко увидеть, что можно оставить нижнюю грань и на ней по любой из диагоналей 3 столбика по 2 кубика в каждом. Всего останется 15 кубиков, значит убрать можно 12.
Ответ: 12.00
2. Условие.В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать? (7-9 класс)
Решение. Сделаем развертку куба. Две противоположные вершины куба попадут в противоположные вершины прямоугольника 2 Ч 1, образованного двумя соседними гранями куба. Кратчайший соединяющий их путь - это диагональ прямоугольника, она пересекает общее ребро этих граней в его середине. Таким образом, жуку следует двигаться по прямой к середине ребра, не выходящего из его вершины, а затем по прямой к вершине, в которую нужно попасть. 







Заметим, что таких ребер всего шесть, и значит, существует шесть кратчайших путей. 

3. Условие (задача, основанная на решении предыдущей)
Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами. (задача по геометрии для 10 – 11 классов).Решение. Кратчайший путь разобран в предыдущей задаче. Получаем прямоугольный треугольник с длинами катетов 1 и 2. Тогда длина гипотенузы .
Ответ:  . 

4. Условие. Шестью одинаковыми параллелограммами площади 1 оклеили кубик с ребром 1. Можно ли утверждать, что все параллелограммы – квадраты?
Можно ли утверждать, что все они – прямоугольники?
Решение. Нет. На рисунках показаны примеры таких кубиков.

5. Условие.Какое максимальное количество фигурок 2*2*1 можно уложить в куб 3*3*3? (7-8 кл)
Подсказка.Постарайтесь укладывать фигурки. оставляя пустой центральную клетку. 
Решение.Объем одной фигурки 2*2*1 равен 4, а объем куба 3*3*3 = 27. Отсюда следует, что 7 фигурок уложить нельзя, так как 7*4>27.
Покажем, как разместить 6 фигурок.
Первый уровень: 112
112
*33
Второй уровень: 442
5*2
533
Третий уровень: 44*
566
566
Здесь цифры обозначают номера фигурок, к которым принадлежит данная клетка.
Ответ: 6 фигурок.
6. Условие.Куб, стоящий на плоскости, несколько раз перекатили через его рёбра, после чего он вернулся на прежнее место. Обязательно ли он стоит на той же грани? (5-7 класс)
Решение.Пусть куб находится перед нами, а нижняя грань окрашена. Рассмотрим следующий путь куба (см. рисунок).

Ответ: нет
7. Условие.Обязательно ли будут параллельными две плоскости, перпендикулярные одной и той же плоскости?  ( геометрия 10-11 класс)Решение.Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Каждая из плоскостей граней  ABB1A1 и BB1C1C перпендикулярна плоскости ABCD , т.к. соответствующие двугранные углы равны 90o . В то же время, плоскости ABB1A1 и BB1C1C пересекаются по прямой BB1 . Таким образом, две смежные грани, перпендикулярны к третьей, но между собой не параллельны.
Ответ: нет.
8. Условие.Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин? 
Решение.На рис. показано, как отметить 7 клеток на трёх смежных гранях куба. На трёх "невидимых" гранях нужно отметить семь клеток, симметричных этим.Докажем теперь, что больше 14 клеток требуемым образом отметить невозможно. Посчитаем общее количество вершин клеток кубика Рубика. Имеются 8 вершин самого кубика, ещё по две вершины на каждом из 12 рёбер и ещё по 4 вершины на каждой из 6граней.Итого:8+12*2+6*4=56вершин.Каждая из этих вершин принадлежит по условию не более, чем одной отмеченной клетке. Если бы отмеченных клеток было больше 14, то вершин было бы больше, чем 14*4 = 56, поскольку каждая клетка имеет 4 вершины. Значит, отмеченных клеток не более 14.

Ответ: 14.
9. Условие.Кубик 3*3*3 нетрудно распилить на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается распиливать несколько кусков сразу и перекладывать части? 
Подсказка.Нужно обпилить со всех сторон средний кубик. 
Решение.Рассмотрим центральный кубик 1*1*1 (единственный кубик, который не виден снаружи). Чтобы в конце получилось 27 кубиков, нужно выпилить центральный кубик, т.е. произвести по крайней мере по одному распилу вдоль каждой из шести граней центрального кубика. Ясно, одним распилом нельзя пилить вдоль двух граней. Отсюда следует, что нужно сделать по крайней мере шесть распилов. 
Ответ: нет.
10. Условие.Куб размером 3Ч3Ч3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении? 
Подсказка. Выйдя из углового кубика, через ход обязательно попадёшь в центр грани.
Решение.Предположим, что можно. В кубе 8 угловых кубиков (на рисунке они покрашены в чёрный цвет) и 6 '' центральных'' кубиков (они расположены в центрах граней и заштрихованы на рисунке). Нетрудно видеть, что любой ход из углового кубика ведёт в кубик в середине ребра, а следующий ход  в центральный кубик. Таким образом, чтобы попасть из одного углового кубика в другой, придётся пройти хотя бы через один центральный. Иными словами, между каждыми двумя соседними (в порядке обхода) угловыми кубиками должен встретиться хотя бы один центральный. Значит, центральных кубиков не меньше семи, а их всего лишь шесть!

Ответ: нет.
11. Условие.Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?
Подсказка.На каждой грани можно построить путь, обходящий все 9 клеточек грани и при этом начинающийся в любом заданном угле и кончающийся в любом другом заданном угле.
Решение. На рисунке показан пример такого пути.

12. Условие. Разрезать куб на три равные пирамиды. ( геометрия 10-11 класс)Решение
В качестве вершины пирамид можно взять одну из вершин куба, а в качестве их оснований три грани куба, не содержащие эту вершину. Для решения более сложных задач необходимо рассмотреть группу симметрий куба.
Симметрии куба делятся на два типа – самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа будем называть вращениями. Все вращения образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем ее строение.
Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.
В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба. Для каждой из 6 возможностей – когда указано, какая именно грань расположена внизу, - имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы 0о, 90о, 180о, 270о. Таким образом, получаем 6*4=24 вращений куба. Укажем их в явном виде.
Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.
а) Оси симметрии четвертого порядка – это оси, проходящие через центры противоположных граней. Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а имеено вращения на углы 90о, 180о, 270о.Этим вращениям соответствует 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически.
б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей имеется по два нетождественных вращения на углы 120о, 240о. Всего получаем 8 таких вращений.
в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противоположных ребер куба. Имеется 6 пар противоположных ребер., каждая пара определяет одну ось симметрии, т.е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего – 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9+8+6+1=24 различных вращений. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей.
Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.
13. Условие. Сколько существует различных раскрасок граней куба в 6 различных цветов? Две раскраски считаются одинаковыми, если их можно совместить вращением куба вокруг его центра.
Эту задачу на Московской математической олимпиаде 1935 года не решил вообще ни один человек. Эту же задачу предложили на турнире имени Ломоносова в 1986 году.
Решение.    Первый способ. Предположим, что процедура окраски куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое фиксированное положение, а затем последовательно красятся его грани в определенном порядке. Таких способов столько же, сколько перестановок 6 цветов, т. е. 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырех способов. Поэтому геометрически различных раскрасок в 24 раза меньше, то есть  6! : 24 =30.   Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя грань. После этого у нас есть 5 способов выбрать цвет для противоположной грани. Из оставшихся 4 цветов зафиксируем один и окрасим в него переднюю грань (другие варианты раскраски можно не рассматривать, поскольку всегда можно повернуть куб вокруг вертикальной оси в такое положение). Остается 3! вариантов для окраски трех оставшихся граней.Всего получаем  5·3! = 30  способов.
Ответ: 30.
Глава 3. Опрос среди учащихся
Всем ученикам с 5 по 11 класс мы задали 4 вопроса:
1) Пытались ли вы хотя бы раз собирать кубик Рубика?
2) Можете ли Вы собрать полностью одну грань?
3) Можете ли Вы полностью собрать все грани?
4) Хотели бы Вы посещать курс, посвященный кубику Рубика?
Подсчитав ответы «да», получили следующие результаты:
Класс
Количество детей на момент опроса
1 вопрос
2 вопрос
3 вопрос
4 вопрос

5а
16
16
12
0
15

5б
21
21
14
0
19

6а
22
22
8
1
20

6б
16
16
5
1
12

6в
13
13
7
0
13

7а
21
20
1
1
16

7б
15
15
7
1
10

8а
22
22
22
1
17

8б
18
18
10
2
12

9а
21
21
20
2
15

9б
18
18
13
2
15

10а
19
19
19
2
17

11б
17
17
17
2
14

Итого
239
238
155
15
195


Заключение.
В процессе изучения литературы по данному вопросу, были рассмотрены вопросы истории появления кубика Рубика, его модификации, устройство, применение.
В ходе выполнения работы, пришли к выводу, что кубик Рубика:
1) развивает мелкую моторику рук;
2) помогает быстро оценивать обстановку и принимать решение;
3) развивает пространственное решение, помогает при решении математических задач;
4) развивает усидчивость и способность добиваться результата;
5) помогает психологам при диагностике наглядно-действенного мышления детей и их готовности к школе.
По итогам опроса видно, что практически каждый ученик с 5 по 11 класс нашей школы хотя бы раз пытался собрать кубик Рубика, больше половины из них могут собрать 1 сторону и только 6% могут собрать его полностью.Радует, что 82% опрошенных хотели бы посещать курс, посвященный изучения кубика Рубика.
В перспективе планируется заинтересовать головоломкой всех учащихся школы и совместно с учителями разработать программу математического кружка или элективного курса, где можно будет решать задачи на основе этой так полюбившейся многим игрушки.
Список используемой литературы
Дубровский В. Статья «Математика волшебного куба», журнал «Квант» № 8, 1982, стр.22-27,48.
Калужнин Л.А., Сущанский В.И.. Преобразования и перестановки.-М.: Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1985 – 160 с.
Константинов И. Статья «Венгерский кубик», журнал «Наука и жизнь» № 3, 1981, стр.131-135.
Константинов И. Статья «Собрать кубик. Это не сложно», журнал «Наука и жизнь» № 5, 1983, стр.114-119.
Сборник материалов московских выездных математических школ под редакцией А.Заславского, Д.Пермякова, А.Скопенкова, М.Скопенкова и А.Шаповалова. М.: МЦНМО, 2009.






















13PAGE 15


13PAGE \* MERGEFORMAT142015







Рисунок 8Описание: http://www.problems.ru/show_document.php?id=1638561Рисунок 1Описание: http://www.problems.ru/show_document.php?id=1553934Рисунок 2Описание: http://www.problems.ru/show_document.php?id=1716827Рисунок 3Описание: http://www.problems.ru/show_document.php?id=1554000Заголовок 1Заголовок 215