Элективный курс по теме Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Элективный курс по теме «Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства»
Работы выполнила: Габдулзянова Мария
Александровна учитель математики
МОУ «СОШ» с.Корткерос
Элективный курс по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства».
Пояснительная записка.
Элективный курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 11 часов. Прикладная часть курса направлена на расширение знаний учащихся по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Следует отметить, что навыки в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств необходимы любому ученику, желающему не только участвовать на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к сдаче Единого Государственного Экзамена и поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.
Материал данного курса содержит задачи повышенной трудности, что позволяет использовать его учителем как на уроках математики в 11 классах в качестве дополнительного материала, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.
Цель курса: систематизировать и углубить знания в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Задачи курса
- повторить решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;
- изучить нестандартные методы решения;
- рассмотреть примеры и основные приемы решения части С ЕГЭ.
Примерное тематическое планирование
Наименование тем курса Тип занятия Всего часов
Показательные уравнения.
Показательные неравенства.
Логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства.
Решение нестандартных уравнений.
Логарифмические неравенства с переменной в основании.
7. Задания из части С.
8.Контрольная работа. Урок – повторение
Урок – повторение
Урок – повторение
Урок – повторение
Урок – лекция
Урок – лекция
Урок – практикум
Урок – оценки и коррекции знаний 1
1
1
1
2
1
3
1
Программа данного элективного курса позволяет организовать повторение и закрепление понятия логарифма и степени, навыков решения уравнений, неравенств, содержащих логарифм и показатель степени.
Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;
- преобразовывать выражения, содержащие логарифм и показатель степени;
- решать уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащих логарифм и показатель степени.
Занятие №1. «Показательные уравнения».
Цель:
Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по показательным уравнениям; вспомнить методы решения уравнения этого вида.
Ход урока.
Определение 1. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида: ax=b, где a>0, a≠1.Определение 2. Показательными уравнениями называют уравнения вида: af(x)=ag(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к виду fx=gx.Теорема. Показательное уравнение af(x)=ag(x) (где a>0, a≠1) равносильно уравнению fx=gx.Пример 1. Решить уравнение 2x=8.
-10858524765 Строим графики y=2x, y=8, они пересекаются в точке (3;8), значит, уравнение имеет единственное решение х = 3.
Проверка: 23=8.
8=8, верно.
Ответ: х = 3.
Уравнение можно решить подбором. Так как показательная функция монотонна, то корень, найденный подбором, будет единственным.
А как решить уравнение 2x=6?
По графику можно заметить, что x≈2,6.
Более точное значение можно получить из определения логарифма:
x=log26-203835-158115Ответ: x=log26Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.
1)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции.
Пример 2. Решить уравнение: 2x=8-2∙x.
Данное уравнение решаем графически, строим графики функций: 603253175 y=2x,
y=8-2x(2 ; 4)-точка пересечения,
Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Так как графический метод решения не является точным, то найденные корни нуждаются в проверке.
Проверка: 22=8-2∙24=4, верно.
Ответ:x=2.
2)Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение аf(х) = аg(х) (где а > 0, а ≠ 1) равносильно уравнению f(х) = g(х).
Пример 3. Решить уравнение: 22x-4=64.22x-4=26,
2x-4=6,
x=5.
Ответ: x=5.
Пример 4. Решить уравнение: 0,2x-0,55=5∙0,04x-2.
50,5-x50,5=55-2x;
5-x=55-2x;
-x=5-2x;
x=5.
Ответ: x=5.3)Метод введения новой переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё уравнение не было показательным. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.
Пример 5. Решить уравнение: 4x+2x+1-24=0.
22x+2∙2x-24=0. Пусть, a=2x, где, а > 0, получим уравнение:
a2+2a-24=0,
a1=2, a2=-6 ,так как a>0, то -6 не является корнем,
21=2x, x=1.
Ответ: x=1После повторения методов решения показательных уравнений приступаем к упражнениям различной сложности. Устные упражнения так же можно использовать, как и устно, так и письменно. Для слабых классов этот список упражнений можно дать для письменного решения, а для сильных классов и классов с углубленным изучением математики дать для устного решения.
Так же присутствуют тренировочные упражнения и задания повышенной сложности. Для каждого уравнения в скобках дан ответ.
Устные упражнения.
Решить уравнения:
1) 3x=9 (x=2);
2) 2x=16 (x=4);
3) 0,5x=0,125 (x=3);
4) 4x=116 (x=-2);
5) 10x=4100 (x=3/4);
6)5x=1325 (x=2/3)
7)0,3x=10027 (x=-3);
8) 0,7x=3431000 (x=3);
9)45x=2516 (x=-2);
10) (x=4).
Тренировочные упражнения.
1)2x+1=4 (x=1);
6) 3x-3x+3=-78 (x=1);
2) 53x-1=0,2 (x=0);
3) 0,44-5x=0,160,4 (x=0,3);
4) (x=±1);
7) 52x-1-52x-3=4,8 (x=1);
8)22x-6∙2x+8=0 (x=1, x=2);
9)3∙9x-10∙3x+3=0 (x=±1);
10)2x=3x (x=0).
5) (x=1,5)
Задачи повышенной трудности.
2∙22x+18∙2-2x-11∙2x-33∙2-x+26=0 (x1=1, x2=log21,5);
32x+3∙33x+1∙625x+2=600x+7 x=3;
34x-1∙43=12433x-4 x=2;
2+3x+2-3x=4 (x=±2);
5x∙8x-1x=500 x1=-log52, x2=3;
25x-1∙34x+1∙73x+3=504x-2 x=-2,5.
Занятие №2. «Показательные неравенства».
Цель:
Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме «показательные неравенства».
Ход урока.
Определение 1. Простейшее показательное неравенство – это неравенство вида ax>b или ax<b, где a>0, a≠1.
Определение 2. Показательными неравенствами называют неравенства вида af(x)=ag(x), где a – положительное число, отличное от 1, и неравенство, сводящиеся к этому виду.
Теорема: Показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству того же смысла fx>g(x), если a>1; fx<g(x), если 0<a<1.
Рассмотрим методы решения неравенств.
1) Сведение к одному основанию.
Пример 1. Решить неравенство: 22х – 4 > 64
22х – 4 > 26
так как основание больше 1, то 2x-4>6x>5 Ответ: x>5.
Пример 2. Решить неравенство: 13x+3>2.13x+3>13log132;
так как основание меньше 1, то x+3<log132;
x<log132-3;
x<log1354.
Ответ: x<log1354.2) Замена переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.
Пример 3. Решить неравенство: 4х – 2х+1 – 24<0
4x-2x+1-24<02x=tt>0t2-2t-24<02x=tt>0-4<t<62x=t0<t<6 2x<62x<2log26х<log26Ответ: x∈-∞;log26Пример 4. Решить неравенство: 49x-3x>53x-2+3∙3x.
432x-3x>5∙323x+3∙3x;
4∙32x-4∙3x>453x+3∙3x.
Пусть y=3x, где y>0, получим уравнение:
4y2-4y>45y+3y;
4y3-7y2-45y>0.
Разложим на множители: 4y3-7y2-45=4y3-12y2+5y2-45==4y2y-3+5y+3y-3=y-34y2+5y+15.
y-34y2+5y+15y>0.
Поскольку y=3x, выражение 4y3-7y2-45y3)Функционально-графический метод. При решении неравенств графическим способом необходимо рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат и выяснить при каких значениях аргумента значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решения неравенства.
Пример 5. Решить неравенство: 2x≤3-xСтроим графики: f(x)=2x и g(x)=3 – x36957059055
Эти графики пересекаются в точке (1;2), график функции f(x)=2x лежит не выше графика функции g(x)=3 – x при x≤1.
Ответ: x∈-∞;1]Метод интервалов (иногда его называют также методом промежутков), так называется метод решения неравенств, основанный на исследовании промежутков знокопостоянства функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, дробно-линейных неравенств. Так как показательная функция непрерывна на всей области определения, то теорема о непрерывности функции позволит расширить область определения функции, в том числе и показательного неравенства.
Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.
Пример 6. Решить неравенство: 2x-43x2-3≥0.
fx=2x-43x2-3;
Df: 3x2-3≠0, x≠±1.
Df=-∞;-1∪-1;1∪1;+∞.Нули функции: 2x-43x2-3=0, 2x-4=0, x=2-1122++--
Ответ: х∈-1;1∪2;-∞Устные упражнения
Решить неравенства:
1) 2х ≥ 4; (x>2)
2) 2х ≤ 8; (x<2)
3) 2х > ; (x>-1)
4) 3х ≥ 81; (x≥4)
5) 5х ≤ 125; (x≤3)
6) 0,2х > 0,04; (x>2)
7) 25x<2,5; x>-18); (x>3)
Тренировочные упражнения
Решить неравенства:
1) 72x-9>73x-6 (x<-3);
2) ; (x∈-2;1);
3) (x∈-∞;1∪(3;+∞));
4) (корней нет);
5) 2х + 2х + 2 ≥ 20 (x≥2);
6) 0,36х – 1 – 0,36х ≥ 0,7 (x≤16);
7) 52х + 4 · 5х - 5 ≤ 0 (x∈-5;1);
8) 3х ≥ 5х (x≥0) ;
9) 0,6х > 3х (x<0).
Задачи повышенной сложности:
79x-2≥23x-1 x∈-log32;0∪log322;1;
4x∙53x-4x-3≥10 x∈0,5;log21,6∪3;+∞; 323x-1x-1<8x-33x-7 x∈-∞;1∪53;73;13-x+2≥81 x∈-∞;-6∪2;+∞;4x-22(x-1)+823(x-2)>52 x∈3;+∞;52x5x-2>55x+10 x∈1;+∞.Занятие №3. «Логарифмические уравнения».
Цель:
Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся по теме «логарифмические уравнения».
Ход урока.
Свойства логарифмов:
• logabc=logab+logac, a>0, b>0, c>0, a≠1;
• logabc=logab-logac, a>0, b>0, c>0, a≠1;• logabr=rlogab, a>0, b>0, a≠1;
• logarb=1rlogar, a>0, b>0, a≠1,r≠0;• logat=logas, a>0, a≠1, t>0, s>0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s;
• alogab=b, a>0, b>0, a≠1; • logab=logcblogca, a>0, b>0, c>0, a≠1, c≠1;
• logab=1logba, a>0, b>0, a≠1, b≠1;
• logab=logarbr, a>0, b>0, a≠1, r≠0.Если подлогарифмическое выражение содержит переменную, некоторые формулы имеют следующий вид:
•logabc=logab+logac, a>0, b≠0, c≠0, a≠1;
• logabc=logab-logac, a>0, b≠0, c≠0, a≠1;• logabr=rlogab, a>0, b≠0, a≠1, при r - четных.
Определение 1. Простейшее логарифмическое уравнение – это уравнение вида logax=b, где a>0, a≠1, b∈R.
Определение 2. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида logaf(x)=logag(x), где a>0, a≠1, и уравнения, сводящиеся к виду fx=g(x).Теорема. Если fx>0 и gx>0, то логарифмическое уравнение logafx=logag(x) (где a>0, a≠1) равносильно уравнению fx=gx.Рассмотрим методы решения логарифмического уравнения.
1)Метод потенцирования. Он основан на теореме приведенной выше.
Привет 1. Решить уравнение: log2x+4+log22x+3=log2(1-2x) .
log2x+42x+3=log2(1-2x);
x+42x+3=1-2x;
2x2+13x+11=0;
x1=-1, x2=3,5;
ОДЗ: x>-4x>-1,5x<0,5x∈(-1,5;0,5).
Ответ: x=-1 2)Метод введения новой переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё уравнение не было логарифмическим.
Привет 2. Решить уравнение: lg2x+lgx+1=7lgx10 . ОДЗ:x>0x10>0lg2x+lgx+1=7lgx-lg10;
Пусть t=lgx , получим квадратное уравнение: t2+t+1=7t-1;
(t2+t+1)t-1=7;
t3-1=7, t3=8, t=2;
lgx=2, x=100.
Ответ: x = 100

3)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции.
Пример 3. Решить уравнение: log3x=2-13x2.
-5207074930Строим графики следующих функций:
у=log3x;
у=2-13x2;
Проверка: log32≠2-134.
Следовательно, x≈2.
Ответ: x≈2.
Устные упражнения
Решить уравнения:
1) log2x=3 (x=8);
2) log2x=-2 x=14;
3) log2x=0,5 (x=2);
4) log2x=-0,5 x=12;
5) log5x=2 ; x=256) log0,2x=4 (x=0,0016);
7) log7x=3 (x=343);
8) log23x-6=log2(2x-3) (x=3);
9) log614-4x=log62x+2 (x=2);
10)log232x-1-log23x=0 (x=1). .

Тренировочные упражнения
Решить уравнения:
1) log0,1x2+4x-20=0 (х1=-7, х2=3);
2) log12x2-8x+16=0 (х1=5, х2=3);
3) log2x2+7x-5=log24x-1 (х1=-7, х2=-2);
4) log0,3-x2+5x+7=log0,310x-7 (х1=-7, х2=2);
5) log2x2-4log2x+3=0 (х1=8, х2=2);
6) log4x2-log4x-2=0 х1=16, х2=14;
7) 2log8x=log82,5+log810 (x=±5);
8) 4log0,1x=log0,12+log0,18 (x=±2);
9) log2x-2+log2x+2=log22x-1 (x=2);
10) log11x+4+log11x-7=log117-x (x1=7, x=-5).Задачи повышенной сложности:
1) 1log21+x+2log0,253,5-xlog21+x=1 x1=3, x2=-0,5;
2) lg2x-3-lg3x-2=1 x1=2332, x2=1728;
3) log4log2log32x-1=12 x=41;4) lglgx+lglgx3-2=0 x=10;
5) 52log2x+32-5=log23-x5+log2x+55 x1=-5+2414; x2=-3-2734;6) log23x-1-log23=log25-2x-1 x1=1; x2=116; x2=1712.Занятие №4. «Логарифмические неравенства».
Цель:
Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме «логарифмические неравенства».
Ход урока.
Определение 1. Простейшее логарифмическое неравенство – это неравенство вида logax>b (вместо знака > может стоять <, ≤, ≥), где a>0, a≠1, b∈R.
Определение 2. Логарифмическими неравенствами называют неравенства вид,где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Теорема. Если fx>0 и gx>0, то:
при a>1 логарифмическое неравенство logafx>logag(x) равносильно неравенству того же смысла: fx>g(x);
при 0<a<1 логарифмическое неравенство logafx>logag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: fx<g(x).Методы решения неравенств совпадают с методами решения логарифмических уравнений.
1)Потенцирование.
Пример 1. Решить неравенство: log3(x2-3x-5)≥log3(7-2x).
x2-3x-5≥7-2x7-2x>0;
Первое неравенство приравниваем к нулю и решаем как квадратное уравнение:
x2-3x-5=7-2x 7-2x>0x1=4, x2=3 x<3,5Решение находим с помощью координатной прямой:
178854141910-33,54+-+
Ответ: (-∞;3,5) 2)Введение новой переменной.
Пример 2. Решить неравенство: lg2x+lgx+1>7lgx10lg2x+lgx+1>7lgx-1;
t = lgx , t>0 получим неравенство: t2+t+1>7t-1;
(t2+t+1)t-1>7;
t3>8,t>2,
делаем обратную замену:
lgx>2, lgx>lg100, x>100.
0100
Ответ: х∈100;+∞
3)Графический метод.
Пример 3. Решить неравенство: log2(-2x)<x+3-119050635
у=x+3-1у=log2(-2x)Ответ: x∈-∞;-8∪-1;0 4)метод интервалов.
Пример 4. Решить неравенство: 3x2-8x+2log0,3(x2-3)≥0.
fx=3x2-8x+2log0,3(x2-3);Df: log0,3(x2-3)≠0x2-3>0;
Df: x≠±2x∈-∞;-3∪3;+∞;
Df=-∞;-2∪-2;-3∪3;2∪2;+∞.Нули функции: 3x2-8x+2log0,3(x2-3)=0, 3x2-8x+2=0;
31750334010x1=73; x2=3Ответ: x∈-∞;-2∪2;73∪(3;+∞)Устные упражнения
Решить неравенства:
1) log2x≤-3 x≤18;
2) log2x>4 x>16;
3) log2x<0,5 x<0,25;
4) log2x>-0,5 x>25;
5) log0,2x<3 (x>0,008);
6) log0,1x>-0,5 x<10;
7) log13x≤2 x≥19;
8) log12x≥-3 x≤8;9) log5(3x+1)≤2 x≤8;
10) log5x>log5(3x-4) x<2.
Тренировочные упражнения
Решить неравенства:
1) log3x2+6>log35 (нет корней);
2) log0,66x-x2<log0,6-8-x (х∈-∞;-1∪(8;+∞));
3) lgx2-8≤lg(2-9x) (х∈-10;1);
4) log0,1x2+10x≥log0,1(x-14) (х∈-7;-2);
5) log8x2-7x>1 (-∞;-1∪(8;+∞));
6) log2x2-6x+24<4 (х∈(2;4));
7) log12x2+0,5≤1 (х≥0);
8) log2x+1>-log23 x∈-23;+∞;
9) log12x+4<log212 x∈(-1;+∞).
Задачи повышенной сложности
1) 1 lgx+11-lgx>1 (x∈(1;10));
2) 1 log25-x2≤12 x∈-5;-2∪-1;1∪2;5;
3) log27-3xx+2-log12x+2>log124 x∈-2;136;4) log2x+22+log2x2+2x+1>0 x∈-∞;-5∪3;+∞;5) log2x4-log12x382+9log232x2<4log12x2 x∈18;14∪4;8;6)log2log32-log4x<1 x∈4-7;4.Занятие 5. «Решение нестандартных уравнений».
Цель:
Изучить показательно-логарифмические уравнения, логарифмические уравнения с переменной в основании, показательно-степенные уравнения и методы их решения.

Ход урока:
1)Показательно-логарифмические уравнения.
Определение: Показательно-логарифмическим уравнением называется уравнение, у которого неизвестные уравнения входят в показатель степени и под знак логарифма. Показательно-логарифмические уравнения решают логарифмированием обеих частей уравнения, после чего получают логарифмическое уравнение при этом, так как в основании степени находится переменная, то часто учащиеся логарифмируют по переменному основанию. Такой подход может привести к потере корней. Рассмотрим этот случай на примере.
Пример 1. Решить уравнение: xlog2x3-(log2x)2-3=1x ОДЗ: x > 0
Логарифмируем по основанию х:
logxxlog2x3-(log2x)2-3=logx1x;
(log2x3-(log2x)2-3)=-1;
Пусть log2x=t;
t2-3t+2=0 t1=1, t2=2;
x1=2, x2=4.
Ответ: x1=2, x2=4.
Это же уравнение прологарифмируем по основанию 2:
(log2x3-(log2x)2-3)log2x=-log2xlog2x(3log2x-log2x2-2)=0 log2x=0 3log2x-log2x2-2=0 x1=1 Пусть log2x=t t2-3t+2=0 t1=1, t2=2 x2=2, x3=4Ответ: x1=1, x2=2, x3=4.
Произошла потеря корня при переходе к основанию х, следовательно, при решении таких уравнений необходимо логарифмировать по постоянному основанию, чтобы не произошла потеря корня.
Тренировочные упражнения
x1-lgx=0,01 (x1=0,1, x2=100)
xlog2x3-(log2x)2+3-1x=0 (x1=0,5, x2=1, x3=16)
2xlgx+3x-lgx=5 (x1=1, x2,3=10±lg1,5)
xlgx+74=10lgx+1 (x1=10-4, x2=10)
2)Логарифмические уравнения с переменной в основании.
Это уравнение вида: loga(x)f(x)=loga(x)g(x), a(x)>0, a(x)≠1. Уравнение равносильно системе: fx=g(x)fx>0gx>0ax>0a(x)≠1 Пример 2. Решить уравнение: logx55-54=(logx5)2. ОДЗ:x>0x≠1Пусть logx5=t3t-54=t24t2-12t+5=0t1=52, t2=12x1=55, x2=5Ответ: x1=55, x2=5Тренировочные упражнения
1)log(1-x)3-x=log(3-x)1-x, (x=2-2);
2) log(x-2)2x-9=log(x-1)23-6x, (нет корней);
3)x2logx27+log9x=x+4 (x=2);
4)1+2logx2∙log410-x=2log4x (x=2);
5)logx2x∙log2x=-1 x=14;
6) log25x-2∙log5x-225x+4=log25x-2+log25x+3
(x=1+log52).
3) Показательно-степенные уравнения.
Так  называются уравнения  вида  a(x)fX=a(x)g(X),  где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.  Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида  a(x)fX=a(x)g(X). Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения a(x)fX=a(x)g(X) будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) <0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x)  и  а(х)g(x) теряют смысл. То есть при переходе от  a(x)fX=a(x)g(X) к  f(x) = g(x)  при  a≠0 и a≠±1 могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи, а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно. Итак, для полного решения уравнения a(x)fx=a(x)g(x) рассматриваем случаи. 1.  ax=-1. Корни этого уравнения являются корнями данного, если значения функций f(x) и g(x) от этих корней – целые числа одинаковой четности или дробные несократимые с нечетными знаменателями и одинаковой четности числителя.
2.  ax=0. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения, если значения функций  f(x) и g(x) от этих корней положительны. 3.  ax=1. Корни этого уравнения являются корнями данного, если они входят в область определения функций  f(x) и g(x).
4.  f(x)= g(x). Корни этого уравнения являются корнями данного, если они входят в область определения уравнения.
Пример 3. Решить уравнение: (x-1)x-1=(x-1)x+12. Решение.По определению арифметического квадратного корня: ОДЗ: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1. 1) x – 1 = 0 или  x = 1,   (0-1)0=(0)1, это не решение. 2) x – 1 = 1         x 1 = 2. 3) x – 1 = -1        x 2= 0 не входит в ОДЗ. 4)  x-1=x+12,
x-1=x+122x2+2x+14=x-1                       x2-2x+5=0 – корней нет.
 Ответ: x = 2.
Тренировочные упражнения:
1)xx+1=xx2-1 (x1=-1, x2=1, x3=2)2)(x2-x-1)x2-1=1 (x1=-1, x2=1, x3=2)
3)x-2x2-2x=|x-2|5x-10 (x1=1, x2=3, x3=5)4)xlogxx-2=9 (x1=5)
Занятие 6. «Логарифмические неравенства с переменной в основании».
Цель.
Изучить логарифмические неравенства с переменной в основании.
Ход урока.
Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.
Пусть неравенство имеет вид: logp(x)fx>logp(x)gx.Мы помним, что:
Если основание логарифма больше единицы (px>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<px<1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.
Чтобы не рассматривать эти два случая по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде: px-1fx-gx.Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:
если px>1,  то px>gx – знак неравенства сохраняется;
если 0<px<1, то px<gx – знак неравенства меняется на противоположный.
Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство: logp(x)fx>logp(x)g(x) будет равносильно системе:
px-1fx-gx>0fx>0gx>0px>0p(x)≠1Последние четыре неравенства системы – ОДЗ исходного неравенства.
Пример 1. Решите неравенство log(2x-5)5x-2≥1.
Решение. log(2x-5)5x-2≥log2x-5(2x-5);
2x-5-15x-2-2x+5≥05x-2>02x-5>02x-5≠1;
x∈-∞;-1∪(3;+∞)x>25x>52x>3.Ответ: x∈3;+∞
Пример 2. Решить неравенство:
log3x-1x+22x2+x-1≥log3x-1x+211x-6-3x2Решение: log3x-1x+22x2+x-1≥log3x-1x+211x-6-3x2log22x2+x-1-log211x-6-3x2log23x-1x+2≥02x2+x-1-11x-6-3x23x-1x+2≥02x2+x-1>011x-6-3x2>03x-1x+2>0x-12x+22x-3≥023<x<3x=11,5<x<3Ответ: 1∪1,5;3Пример 3. Решите неравенство log12x2-41x+353-x≥log2x2-5x+3(3-x) .
Решение: log12x2-41x+353-x≥log2x2-5x+3(3-x) 
log2(3-x)log2(12x2-41x+35)-log2(3-x)log2(2x2-5x+3)≥0log2(3-x)∙log2(12x2-41x+35)log2(12x2-41x+35)-log2(3-x)∙log2(2x2-5x+3)log2(2x2-5x+3)≥0(log23-x-log21)∙log212x2-41x+35-log2(2x2-5x+3)(log212x2-41x+35-log21)∙(log22x2-5x+3-log21)≥02-x(-10x2+36x-32)12x2-41x+35∙(2x2-5x+3)≥03-x>012x2-41x+35>02x2-5x+3>0x-22x-85x-1712x-22x-12≥0x<3x-53x-74>0x-1x-32>0Решение первого неравенства последней системы – объединение промежутков 12;1712∪85;2∪(2;+∞). Пересечением решений трех оставшихся неравенств является множество -∞;1∪32;53∪74;3. Следовательно, решение всей системы: 12;1∪85;53∪74;2∪(2;3)Ответ: 12;1∪85;53∪74;2∪(2;3).
Тренировочные упражнения
1) logx+24+7x-2x2≤2 x∈-0,5;0∪1;4;
2) log2-xx+2∙logx+33-x≤0 x∈-2;-1∪1;2;
3) logx+62∙log2x2-x-2≥2 x∈-∞;-7∪-5;-2∪4;+∞;4) logx2∙log2x2∙log24x>1 x∈2-2;12∪1;22;5) logxx+1<log1x2-x x∈0;1∪1+52;2;6) logxx2+1∙logx+1x>2 x∈2;+∞.Занятие 7. «Задания из части С ЕГЭ».
Цель.
Подготовить к решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств, которые встречаются на едином государственном экзамене.
Рассмотрим некоторые виды части С.
Пример 1. Решить систему неравенств: 4∙4x-33∙2x+8≤0logx2(x-1)2≤04∙4x-33∙2x+8≤0
Пусть  2x=t>0    тогда:
4t2-33t+8≤0,
4t-8t-14≤0,
t∈14;8,
x∈-2;3,
 
logx2(x-1)2≤0logx2(x-1)2≤logx2x2 ОДЗ: x≠0;x≠±11)  если  x2<1x∈(-1;1)(x-1)2≥x22x-1≤0x≤12x∈-1;12С учетом ОДЗ: x∈(-1;0)∪1;12   
2)  если  x2>1x∈-∞;1∪(1;+∞)(x-1)2≥x22x-1≥0x≥12x∈1;+∞)Объединив оба случая, получим:
x∈(-1;0)∪0;12∪(1;+∞)Теперь решим следующую систему:
x∈-2;3x∈(-1;0)∪0;12∪(1;+∞)Откуда решением будет: x∈(-1;0)∪0;12∪(1;3].Ответ: x∈(-1;0)∪0;12∪(1;3]. Пример 2. Решить систему: loglogx2x(5x-2)≥015x-9∙5x-3x+9≤0ОДЗ: 5x-2>0logx2x>0logx2x≠0x>0x≠1x>0,4x-12x-1>0x≠0x>0x≠1x∈0,4;0,5∪(1;+∞).

1) loglogx2x(5x-2)≥0logx2x-15x-2-1≥0logx2x-logxx5x-3≥0x-12x-x(5x-3)≥0x(x-1)(5x-3)≥0x∈0,4;0,5∪(1;+∞).
2) 15x-9∙5x-3x+9≤05x∙3x-3x-9(5x-1)≤03x5x-1-9(5x-1)≤0(5x-1)(3x-9)≤0(5x-50)(3x-30)≤0x(x-2)≤0x∈0;2Объединяем решения первого и второго неравенства.
x∈0,4;0,5∪(1;2]Ответ: x∈0,4;0,5∪(1;2]Пример 3. Решить уравнение: 5∙25-sinx2+4∙51-2sinx2=52sinx∙cosx.
25∙25-sinx2=25sinx∙cosx;
251-sinx2=25sinx∙cosx;
1-sinx2=sinx∙cosx;
cosx2-sinx∙cosx=0;
cosx=0tgx=1x1=π2+πn, n∈Zx2=π4+πk, k∈ZОтвет: x1=π2+πn, n∈Z; x2=π4+πk, k∈Z.
Пример 4. При каждом значении а решите систему:
6x2+17xy+7y2=alog2x+y(3x+7y)=3.
Решение. Пары (х;у), дающие решение системы, должны удовлетворять условиям:
3x+7y>02x+y>02x+y≠1Из второго уравнения системы находим 3x+7=2x+y3. Осталось заметить, что тогда 6x2+17xy+7y2=3x+7y∙2x+y=2x+y4.
Уравнение 2x+y4=a при условии 2x+y4>0 и 2x+y4≠1 имеет при a>0, a≠1 решение 2x+y=4a. тогда и из полученной системы находим x=74a-4a311, y=24a3-34a11.
Ответ: при a∈-∞;0∪1 решений нет, при a∈0;1∪1;+∞ x;y=74a-4a311; 24a3-34a11 .

Тренировочные упражнения:
При каждом а решите систему уравнений: x2+y2+2x-y+2=0a2+ax+ay-4=0при a≠±2, x=-1, y=1, при остальных a решений нет;
logsinxcosx-12+logsinxsinx-12=logsinx0,03
x1=sin-145+2πk; x2=sin-135+2πk, k∈Z;
Решить систему: 160-4x32-2x≥5log0,25x26-x4≤1
x∈-∞;-3∪-2;0∪0;22;log25∪5;6;
Решить неравенство: log2x+12-1log2x2+2x+3x2-2xlog2x+12-1x2+6x+10≥0
x∈-3;-2∪-2;-1.
Занятие 8. «Контрольная работа».
Цель: контроль качества усвоения изученного материала и самостоятельной работы учащихся.
Ход урока.
Данная контрольная работа проверяет знания и умения учащихся по теме: «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства». Работа проводится в форме теста, применяемого, в ЕГЭ до 2010 года и состоит из двух вариантов. В каждом варианте по 8 заданий, разбитые на три вида: А, В, С. Часть А состоит из 4 заданий, В из 3, а в части С два задания.
При этом решение оформляется кратко, по необходимости, или вообще выполняется устно. Подробное решение записывается только у заданий  части С.
Критерии оценки:
«3» - правильно выполнена часть А и хотя бы одно задание части В;
«4» -  правильно выполнены части А и В;
«5» - правильно выполнены все части работы.
На все части контрольной работы даны ответы.
Вариант 1.
При выполнении заданий А1 – А4 обведите номер правильного ответа.
А1. Указать промежуток, которому принадлежат все корни уравнения 43x2+x-8=2∙8x2+x81)0;1 2)-2;0 3)-1;1 4)-1;23А2. Решить неравенство: 583x-7≤857x-3.1) -∞;-1 2) -∞;1 3) 1;+∞ 4) -1;+∞ А3. Укажите промежуток, принадлежат все корни уравнения:
lg3-x-lgx+2=2lg2.1) -∞;-3 2) -3;3 3) 4;8 4) 8;+∞А4. Решить неравенство log2x-3<3.
1) 0;11 2) 3;11 3) 3;6 4)-∞;11
Ответом к заданиям В1 – В3 должно быть некоторое число. Это число надо записать в ответ. −авенство инадлежат все корни уравнения ний. нения с переменной в основании.ием их решения, так же
В1. Решить неравенство: 9x-2x+0,5>2x+3,5-32x-1.
В2. Решить неравенство: logx+3-46≥1.В3. Решить неравенство: logx+1x3+3x2+2x<2.Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение.
C1. Решить систему: 22x+1+6∙41-x<26log2x4≥log28x-3.Ответы 1 вариант:
А1. 4;
А2. 3;
А3. 2;
А4. 4;
В1. x∈32;+∞;
В2. x∈-13;-8∪2;7;
В3. x∈0;5-12;
С1. x∈0;14∪12;log412.
Вариант 2.
При выполнении заданий А1 – А4 обведите номер правильного ответа.
А1. Указать промежуток, которому принадлежат все корни уравнения 52x=115∙5x-1+501)-1;1 2)-2;0 3)4;5 4)0;3А2. Решить неравенство: 31+x+32-x<28.1) -∞;-1 2) –2;1 3) -1;2 4) -2;+∞ А3. Укажите промежуток, принадлежат все корни уравнения:
ln4-x-lnx+2=2ln3.1) -∞;-3 2) -3;-2 3) -2;2 4) 2;+∞А4. Решить неравенство log22x+1>log2(x-1).
1) 1;+∞ 2) 2;+∞ 3) -2;+∞ 4)-0,5;+∞
Ответом к заданиям В1 – В3 должно быть некоторое число. Это число надо записать в ответ. −авенство инадлежат все корни уравнения ний. нения с переменной в основании.ием их решения, так же
В1. Решить неравенство:9∙32x+2+3∙32x+1-9x≤89.
В2. Решить неравенство: logx+1-35≤1.В3. Решить неравенство: logx+2x2-2≥2.Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение.
C1. Решить систему: 22x+25∙22-x≤101log3x27≥log39x-3.Ответы 2 вариант:
А1. 4;
А2. 3;
А3. 3;
А4. 3;
В1. x∈-∞;0;
В2. x∈-∞;-9∪-5;-4∪2;37;+∞;
В3. x∈-32;-2;
С1. x∈0;19∪13;log2100.
Литература
Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Алгебра и начала анализа. [Текст]: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразовательных учреждений. – 8 изд. перераб. – М.: Просвещение, 2000. – 384с.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс. [Текст]: учебник для общеобразовательных учебных заведений. – 4-е издание стереотип. – М.: Дрофа, 2002. – 400с.
Виленкин Н.Я., Ивашев – Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 классов. [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 288с.
ЕГЭ 2013. Математика. Задачи С3. Уравнения и неравенства [Текст] / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – 4 изд., стереотип. – М.:МЦНМО, 2013. – 80с.
ЕГЭ 2013. Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий [Текст]/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2013. – 123с.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. [Текст]/ под. ред. А.Н. Колмогорова: - 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384с.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия [Текст]: учебное пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. институтов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: «ABF», 1995. – 352с.
Лихтарников Л.М., Поволоцкий А.И. Основы математического анализа. Книга для учителей математики старших классов средних школ. [Текст]/ Оформление обложки А. Олексенко, С. Шапиро. – СПб.: Издательство Лань, 1997. – 304с.
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты: учебно-методическое пособие [Текст]/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 144с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 класс: В двух частях, часть 1. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 375с.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс: В двух частях. Часть 1. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2007. – 287с.
Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений профильный уровень [Текст]/ М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М.: Просвещение, 2010. – 400с.
Рыжик В.И., Черкасов Т.Х. «Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу» 10 – 11 класс. [Текст]: учебное пособие для профильной школы. – СПб: СМИО Пресс, 2013 – 432с.
Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства [Текст]: учебное пособие. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. – 352с. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»).
Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса [Текст]/ М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 424с.
Интернет ресурсы:
Аналитический отчет о результатах ЕГЭ 2012года. ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: http://www.fipi.ru/view/sections/138/docs/ (дата обращения: 7.04.13).
Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: http://www.fipi.ru/view/sections/226/docs/627.html (дата обращения: 3.04.13).
Статистические информационно – аналитические материалы ЕГЭ – 2012. [Электронный ресурс] / Республиканский информационный центр оценки качества. - URL: http://ricoko.ru/?page_id=2213 (дата обращения: 7.04.13).