Исследовательская работа Эти удивительные прогрессии

Зміст
І Вступ
ІІ Основна частина
§1. Арифметичні та геометричні прогресії. Загальні відомості.
§2. Подорож у глибину століть.
§3. Прогресії навколо нас.
3.1 Прогресії в біології .
3.2 Прогресії у фізиці.
3.3 Прогресії в економіці.
3.4 Прогресії у літературі.
§4. Розв’язування завдань ЗНО.
ІІІ Висновки.
ІV Список використаних джерел.


Вступ
Під час вивчення теми «Арифметична і геометрична прогресії» на уроках математики, мені стало дуже цікаво, як давно люди знають послідовності, коли виникло поняття прогресії, які вчені зробили великий внесок у розвиток теоретичних і практичних знань з даного питання, чи дійсно послідовності відіграють велику роль у повсякденному житті.
Крім того, я проаналізувала завдання зовнішнього незалежного тестування за 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 роки і знайшла чимало завдань, при виконанні яких потрібно вільно оперувати основними означеннями, властивостями, формулами з теми «Арифметична і геометрична прогресії».
Я планую поступати у вищий навчальний заклад, навчаючись у якому, потрібно мати ґрунтовні знання з математики. Це означає, що я буду проходити ЗНО з математики. Тому мені потрібно познайомитися з методами розв′язування задач з даної теми, навчитися застосовувати їх для практичних потреб. Це потрібно не тільки мені, але й кожному абітурієнту, що проходить зовнішнє тестування з математики.
Значить, актуальність обраної мною теми дослідницької роботи «Ці дивовижні прогресії» очевидна.
Мета моєї роботи: встановити картину виникнення поняття прогресії і виявити приклади їх застосування.
Для досягнення цієї мети я поставила перед собою такі завдання:
познайомитися з додатковою літературою, що дає змогу опанувати теоретичні знання, необхідні для того, щоб відповісти на запитання:
коли і у зв'язку з якими потребами людини з'явилося поняття послідовності, зокрема-прогресії;
які вчені зробили великий внесок у розвиток теоретичних і практичних знань з даного питання;
встановити факти широкого застосування знань з даної теми для практичних потреб в різних галузях наук;
виявити значення теми «Арифметична і геометрична прогресії» для підготовки до ДПА та ЗНО.
Основна частина моєї дослідницької роботи складається із трьох параграфів.
У першому параграфі я даю загальну характеристику поняття «Арифметична і геометрична прогресії», основні формули; у другому – коли і завдяки кому з'явилося поняття послідовності та прогресії. Зупиняюсь на розв’язуванні старовинних задач на застосування теоретичних знань з даної теми. У третьому параграфі з’ясовую застосування прогресій для розв’язування задач в різних галузях науки,
в банківських розрахунках, в історичних завданнях, в задачах літературного змісту. У четвертому параграфі розв’язую завдання , які були запропоновані під час зовнішнього незалежного оцінювання в минулі роки.
Закінчуючи свою роботу, приходжу до певних висновків.



Основна частина
Перші відомості про послідовності чисел, зокрема про арифметичну та геометричну прогресії я почерпнула на уроках алгебри. Дізналася, що термін «прогресія» запровадив римський вчений Боецій (V ст.), від латинського «рух уперед». Нагадаю основні теоретичні положення теми.
Арифметична прогресія - числова послідовність, в якій кожне наступне число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те ж число.
Має вигляд: а1, а1+ d, а1 + 2d, а1 + 3d, а1+ (n-1)d, ...
Геометрична прогресія - послідовність чисел, в якій кожне наступне число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те ж число.Має вигляд: в1, в1q, в1q2, в1q3,... , в1qn-1, ....
Основні формули арифметичної та геометричної прогресій:
Арифметична
прогресія Геометрична
прогресія
an+1= an + d
Рекурентна
формула bn+1= bn ∙ qan= an-1 + an+12 Характеристична
властивість bn= bn-1∙bn+1an=a1+n-1d Формула n-го члена
bn= b1∙qn-1Sn= 2a1+n-1d2∙n Формула суми
n перших членів Sn= b1 (qn-1)q-1 Формула суми всіх членів геометричної прогресії (q < 1) Sn=b 11-qПідручники алгебри для 9 класу, з якими ми працюємо, містять чимало задач практичного змісту з теми «Арифметична і геометрична прогресії».
Алгебра. 9 клас, : Підручник для загальноосвітніх закладів / Кравчук В., Підручна М., Янченко Г . –Тернопіль. Видавництво «Підручники і посібники», 2009. Це № № 695, 700, 750, 757, 890, 891, 892, 893, 898, 899.
Алгебра. 9 клас, : Підручник для загальноосвітніх закладів / А.Г.Мерзляк,
В.Б.Полонський, М.С. Якір. – Харків. Видавництво «Гімназія», 2009.
Це №№ 717,730, 747, 799, 830, 866.
Я зрозуміла, що задачі, створені на основі арифметичної та геометричної прогресій дуже цікаві та є доброю нагодою випробувати кмітливість, гнучкість розуму.
Наприклад, розв’яжемо задачу.
Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на два тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого —2 крб., третього — 3 крб. і т. д., збільшуючи щоденну плату на 1 крб.
Ти ж будеш подавати милостиню: першого дня 1 коп., другого — 2 коп., третього — 4 коп. і т. д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи умови вигідними. Скільки грошей одержав багатій?
Розв'язання:
1) Сума, яку має сплатити бідняк багатію, складає суму 14 членів арифметичної прогресії, де перший член прогресії дорівнює 1, різниця прогресії теж 1.
S14= 2∙1+1∙(14-1)2∙14=105.Отже, бідняк оплатить багатію 105 крб.
2) Сума, яку оплатить багатій бідняку, складає суму 14 членів геометричної прогресії, де перший член прогресії дорівнює 1, знаменник же прогресії дорівнює 2.
S14= 1∙(214-1)2-1= 214-1=16383.Отже, багатій бідняку платить 16383 коп., або 163 крб. 83 коп.,
3) 163 крб. 83 коп. - 105 крб. = 58 крб. 83 коп.
Відповідь. Багатій доплатив 58 крб. 83 коп.
Бачимо, сума п членів геометричної прогресії зростає дуже швидко.
Хто не розуміє цього, може опинитися у скрутному становищі.
Взагалі, послідовності — явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих II тисячоліттям до н. е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж століть людей приваблювала внутрішня гармонія і строга краса числових рядів. Давайте помандруємо з вами у давнину, зокрема у Стародавній Єгипет, Грецію.
Найдавнішою задачею, пов'язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п'ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на стільки третій одержав більше від другого і т.д. У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію, сума перших п'яти членів якої дорівнює 100.
Але перші теоретичні відомості, пов'язані з прогресіями, дійшли до нас у документах Стародавньої Греції. Приклади окремих арифметичних та геометричних прогресій можна зустріти ще в давньовавилонских і грецьких написах, що мають вік близько чотирьох тисяч років і більше. У стародавній Греції ще п'ять століть до н.е. були відомі такі суми:1+2+3+...+n= 12 n(n+1);1+3+5+...+(2n-1)= n2 ;2+4+6+...+2n = n(n+1).
У працях Архімеда (близько. 287-212 рр. до н.е.) викладено перші відомості про прогресії. У ході своїх досліджень Архімед знайшов суму нескінченної геометричній прогресії зі знаменником 1/4, що стало першим прикладом появи в математиці нескінченної низки...
а + а4 + а42 + а43 + … + = а1-14 = 43а.
Архімед вперше зіставляє арифметичну і геометричну прогресії, встановлює між ними зв'язок. У пресі ж ці думки чітко пролунали лише в 1544 р., коли вийшла книга німецького математика Михайла Штіфеля «Загальна арифметика».
Для розв’язування певних завдань з геометрії і механіки Архімед вивів формулу суми квадратів натуральних чисел, хоча нею користувалися і до нього:
12 + 22 + 32 + …+ n2 = 16 n (n+1)(2n+1).
Ще у школі Піфагора (IV ст. до н.е.) розглядалися послідовності, пов'язані з геометричними фігурами. Підраховуючи кількість кружків у трикутниках, квадратах, п’ятикутниках , учні Піфагора отримували:- послідовність (an) трикутних чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;
Послідовність (an)) трикутних чисел виходить з послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, ... , тобто з арифметичної прогресії, в якій перший член і різниця рівні 1, наступним чином:а1= 1, а2= 1 + 2, а3= 1 + 2 + 3,an = 1 + 2 + 3 + ... + п.Значить, an= n+12·n.
- послідовність (bn) квадратних чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ; де bn = n2.

- послідовність (cn) п'ятикутних чисел 1, 5, 12, 22, 35, .. ; де cn= 3n-1n2.

Деякі формули, що відносяться до прогресій, були відомі китайським і індійським вченим (V ст.).
У європейців правило для знаходження суми членів будь-який арифметичної прогресії зустрічається вперше у творі італійського математика Леонардо Пізанського «Книга про абаки» (1202 р.), більш відомого під прізвиськом Фібоначчі. Найбільш відомою з сформульованих Фібоначчі задач є "задача про розмноження кроликів", яка привела до відкриття числової послідовності 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., названої згодом "рядом Фібоначчі".
Задача Фібоначчі :
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.
Місяці 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Пари кроликів 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д..
Загальне правило для знаходження суми будь-якої скінченної геометричної прогресії зустрічається в книзі французького математика Нікола Шюке «Наука про числа», яка побачила світ у 1484 році.
Загальна формула для обчислення суми будь-який нескінченно спадної геометричної прогресії була виведена в першій половині 17 століття кількома математиками (серед них був французький математик П'єр Ферма)
Задачі на прогресії, що дійшли до нас із давнини, були пов'язані з запитами господарського життя: розподіл продуктів, поділ спадщини та інші.
Здавна великою популярністю користується задача-легенда що відноситься до початку нашої ери.
«Індійський цар Шерам покликав до себе винахідника шахової гри на ім'я Сета, , щоби особисто нагородити за вдалу видумку. На запитання царя, яку б винагороду хотів би отримати, Сета відповів: «Повелителю, накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одне пшеничне зерно.»
«Просте пшеничне зерно?» – здивувався цар.
«Так, повелителю. За другу клітинку накажи видати 2 зерна, за третю - 4, за четверту - 8, за п'яту - 16, за шосту -32…»
«Досить, - з роздратуванням перервав його цар. – Ти одержиш свої зерна за всі 64 клітинки дошки, згідно з твоїм бажанням: за кожну вдвічі більше ніж за попередню. Але знай, що прохання твоє недостойне моеї щедрості. Просячи таку мізерну винагороду, ти нешанобливо нехтуєш моєю милістю. Йди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок з пшеницею.»
Сета хитро усміхнувся, пішов з палацу і став чекати у його воріт.
Згодом же виявилося, що цар був не в змозі виконати це "мале" бажання Сети.Чому?
Розв’язування задачі:
Дано: 1, 2, 4, 8, 16… - арифметична прогресія.
Знайти: S64
Розв’язання: в1 =1, q = 2, n = 64.
S64 = 1(264-1)2-1 = 18 446 744 073 709 551 615.
Таку кількість зерен пшениці можна зібрати лише з врожаю планети, поверхня якої в 2000 разів більша за поверхню Землі.
Значна кількість задач на прогресії міститься в чудовій пам’ятці математичної літератури початку XVIII століття ,,Арифметиці’’
Л. П. Магницького.
Задача №1 з «Арифметики» Магницького.
Дехто продав коня за 156 карбованців. Але покупець, придбавши коня, роздумав і повернув продавцеві, говорячи: «Немає мені розрахунку купувати за цю ціну коня, що таких грошей не коштує». Тоді продавець запропонував інші умови: "Якщо по-твоєму ціна  коня висока, то купи його підковні цвяхи, коня ж одержиш тоді в додачу безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені 1/4 коп., за другий -1/2 коп., за третій–1 коп., і т.д.“ Покупець, спокушений низькою ціною, і бажаючи даром одержати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи,що за цвяхи прийдеться заплатити не більше 10 карбованців.
Розв’язання: . Складемо послідовність чисел 14, 12, 1, 2, 22, ….
Дана послідовність є геометричною прогресією із знаменником
q =2, n = 24, (4 підкови по 6 цвяхів).
Спробуємо підрахувати суму Маємо:
Відповідь: покупцю кінь обійдеться 42000 рублів.
У газеті, що була видана у 1914 р., описувалася справа, яка відбулося у місті Новочеркаську, про продаж отари, що має 20 овець, за такими умовами: за першу вівцю слід заплатити 1к., за другу – 2к., за третю – 4к. і т.д. У яку суму обійдеться вся отара?
Розв’язання: . Вартість овець, про які йдеться в задачі, є сумою 20 членів геометричної прогресії, перший член якої b1=1, а знаменник q = 2.
Тоді
1048575 к. = 10485 крб. 75 к .
Відповідь. 10485 крб. 75 к.
Задача №2
“ Купець мав 14 срібних чарок, причому вага чарок зростає за арифметичною прогресією з різницею 4. Остання чарка важить 59 лотів. Визначити скільки важать усі чарки ”.
(лот – стародавня російська міра, яка дорівнює 12,8г)
Розв’язання:

Відповідь: усі чарки важать 462 лота.
Тривале життя прогресій зумовлене не тільки їх цікавими математичними властивостями, але й широким застосуванням в інших науках.
Прогресії в біології.
В біології також є явища, які можна охарактеризувати за допомогою прогресій. Одним із таких явищ є розмноження живих організмів.
Інтенсивність розмноження складає геометричну прогресію.
Задача про розмноження інфузорій.
Влітку інфузорії розмножуються безстатевим способом діленням навпіл.Скільки буде інфузорій після 15-го розмноження?
Розв’язання:
Чисельність будь-якого виду при відсутності обмежень зростає відповідно з геометричною прогресією, перший член та знаменник якої дорівнюють 1..
b15 = 2·214 = 32 768.
Відповідь: після 15-го розмноження інфузорій буде 32 768.
Відомо, що бактерії розмножуються поділом: одна бактерія ділиться на дві; кожна з цих двох у свою чергу теж ділиться на дві, і виходять чотири бактерії; з цих чотирьох в результаті поділу виходять вісім бактерій і т. д. Результат кожного подвоєння будемо називати поколінням.
Задача про розмноження бактерій.
Бактерія, потрапивши в живий організм, до кінця 20-й хвилини ділиться на дві бактерії, кожна з них до кінця наступних 20 хвилин ділиться знову на дві і т.д. Знайдіть число бактерій, що утворюються з однієї бактерії до кінця доби.Розв’язання:
У добі 1440 хвилин, кожні двадцять хвилин з ’ являться нове покоління - за добу 72 покоління. За формулою суми n членів геометричної прогресії, у якій в1= 1, q = 2, n = 72, знаходимо, що
S72= 272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695.
Відповідь: до кінця доби утвориться 4 722 366 482 869 645 213 695 бактерій.
Інтенсивність розмноження бактерій використовують
у харчовій промисловості (для приготування напоїв, кисломолочнихпродуктів, при квашенні, солінні та ін.);
у фармацевтичній промисловості (для створення ліків, вакцин);
у сільському господарстві (для приготування силосу, корму для тварин і ін.);
у комунальному господарстві та природоохоронних заходах(для очищення стічних вод, ліквідації нафтових плям).
Задача3.
Кількість еритроцитів (з розрахунку на 1 мм3) в крові людини становить на рівні моря – 5млн. Через кожні 600м підняття вгору їх кількість збільшується на 1 млн. Скільки еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори Еверест (4800м)? Чому це відбувається?
Розв’язання:
a1=5. d=1 n=4800:600=8 a8=a1+7d a8=5+7=12
Відповідь: 12 млн. еритроцитів.
У зв’язку з розрідженим повітрям в легені повинно більше потрапити кисню, відповідно цьому збільшується кількість еритроцитів.
Нерідко в повсякденному житті, коли хочуть підкреслити швидке зростання якоїсь величини, кажуть: “зростає в геометричній прогресії ”.
Чи знаєте ви, що…
“Потомство однієї кульбабки за 10 років може покрити простір в 15 разів більше суші земної кулі”. К.. А. Тімірязєв.
“Потомство пари мух з'їсть мертвого коня також скоро як лев”. Карл Лінней
Дев'яте покоління однієї пари мух наповнило би куб, сторона якого дорівнює 140 км, або ж склало б нитку, якою можна обгорнути земну кулю 40 млрд. раз.
Всього за п'ять поколінь, тобто за 1 - 1,5 літніх місяців, одна єдина тля може залишити понад 300 млн. нащадків, а за рік її потомствоздатне покрити поверхню земної кулі шаром товщиною майже 1 метр.
Потомство пари птахів завбільшки з горобця при тривалості життя у чотири роки може покрити всю земну кулю за 35 років.
Прогресії у фізиці.
Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. У фізиці є таке поняття як «рівноприскорений рух». Якщо кажуть, що тіло рухається рівноприскорено, то це означає, що відстань, яку воно проходить за кожну наступну одиницю часу збільшується на одну і ту ж саму величину. Тоді як при рівномірному русі тіло за кожну одиницю часу проходить однакову відстань. Рух також може бути рівносповільненим.
Задача №1.
Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 12м, а за кожну наступну
на 2м менше,ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.
Розв’язання:
a1=12, d = -2, an= 0 an = a1+d(n-1)
0=12 - 2(n-1); 0 = 12 – 2n+ 2; 2 n = 14; n=7.
S7= 2∙12+7-1∙(-2)2 ∙7= 24-122∙7=6∙7= 42(м)
Відповідь: гальмівний шлях автомобіля – 42м.
Задача №2.
Потяг пройшов за першу хвилину 620м, а за кожну наступну хвилину – на 80м менше, ніж попередню. Яку відстань пройшов потяг за восьму хвилину?
Розв’язання:
a1=620, d=-80, n=8; S8= 2∙620+8-1∙(-20)2∙8=1240-568∙4=2720.S8=2720(м.)
Відповідь: 2720м пройшов потяг за восьму хвилину.
Задача №3.
Тіло, яке вільно падає, проходить за першу секунду 4,9м, а за кожну наступну – на 9,8м більше, ніж за попередню. Встановити, скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960м?
Розв’язання:
a1=4,9, d=9,8, Sn=1960 1960=2∙4,9+9,8∙(n-1)2∙n; 1960 = 4,9n2;
n=20
Відповідь:
20 секунд падатиме тіло з висоти 1960м.
За законом геометричної прогресії можна визначити тиск повітря в середині посудини після декількох рухів поршню. За законом геометричної прогресії
здійснюється поділ нейтронів при ядерній ланцюговій реакції.
Задача №4.
Після кожного руху поршня розріджувального насоса з посудини забирається 5% наявного в ній повітря. Визначте тиск повітря в середині посудини після десяти рухів поршню, якщо початковий тиск був 760мм рт.ст .
Розв’язання:
. За умовою задачі із посудини забирається 5%, тоді 100%-5%=95% залишається в посудині. Маємо геометричну прогресію, перший член якої 760,а знаменник 0,95.
760; 760 ∙ 0,95; 760 ∙ 0,952 … ;760 ∙ 0,9510
Число, що визначає тиск повітря всередині посудини, після 10-ти рухів поршня, є одинадцятим членом цієї прогресії і дорівнює 76 ∙ 00,9510.
Прогресії в економіці.
Існує думка, що разом із винаходом колеса створення банків стало одним з найважливіших винаходів людства. Перший банк був заснований у Венеції 1171 року. З того часу банківська система розширюється і вдосконалюється.
Комерційні банки виконують дві основні функції:
Зберігають грошоі вклади;
Надають кридити (позики).
Уявіть собі, що ви відкрили в банку внесок у сумі а грн. Під р% річних на
t років. У вас є дві стратегії поведінки: або в кінці кожного року зберігання вкладу знімати відсотки по вкладу, тобто отриманий прибуток у розмірі
грн., або прийти в банк один раз - в кінці терміну зберігання вкладу. Який дохід ви отримаєте в тому і в іншому випадках?
З програми шкільного курсу алгебри ми уже знаємо що
у першому випадку при t = 1 ви отримаєте (а + ) грн., при t = 2 ваша загальна сума складе (а + ) грн., при t = 3 (а + ) грн. і т. д. Математична модель ситуації – скінченна арифметична прогресія
а, а + , а + , а + .. ., …, а + .а.Отже, при першій стратегії поведінки за t років ви отримаєте а (1 + )грн. .-. це формула простих відсотків.
Якщо ви вирішили прийти в банк лише в кінці терміну зберігання вкладу, то при t = 1 отримана сума складе, як і в першому випадку, (а + ) грн., тобто а (1 + ) грн.; сума вкладу збільшиться в (1 + ) разів
. В стільки ж разів вона збільшиться і до кінця другого року зберігання, і до кінця третього року зберігання і т. д.Математична модель ситуації – скінченна геометрична прогресія
а, а(1 + ), а(1 + )² а(1 + )³, ..., а(1 + ) ͭОтже, при другій стратегії поведінки за t років ви отримаєтеа (1 + ) ͭ грн..- це формула складних відсотків.
На території Лутугинського району розташовані наступні банки: "Райффайзен Банк Аваль» , «Промінвестбанк", "Укркоммунбанк», "Приватбанк»", «Ощадбанк", «Альфабанк» . Кожен з них пропонує свої послуги щодо збереження грошових вкладів.
Пропоную таблицю виплати депозитів по вкладу 10000 тисяч гривень строком на 5 років в різних банках, розташованих на території Лутугинського району на 1 квітня 2013 року..
№
п/п Назва банку Відсоткова
ставка Вид вкладу ( прості
або складні відсотки) Строк
1. Акціонерний комерційний промінвестбанк банк 16 %
16,45% Щомісячно
В кінці строку 5 років
2. Ощадбанк 16,5%
17% Щомісячно
В кінці строку 5 років
3. Приватбанк 17,5%
18% Щомісячно
В кінці строку 5 років
4. Альфабанк 16,8%
17% Щомісячно
В кінці строку 5 років
5. Райффайзен Банк Аваль 13,8%
14% Щомісячно
В кінці строку 5 років
6. Укркоммунбанк 16,3%
17% Щомісячно
В кінці строку 5 років
Тепер, коли я маю уяву про умови збереження вкладів та запропоновані мені відсотки річних, можу вирішувати, якому з банків моїй родині вигідно довірити свої надбання. Ясно, що найвигідніші пропозиції у "Приватбанку»". Підрахую, що ми отримаємо на своєму рахунку через п’ять років, якщо довіримо 10000 гривень «Приватбанку». Якщо ми вибрали стратегію простих відсотків, то до кінця терміну зберігання отримаємо 19 000 грн.
Якщо ж ми вибрали стратегію складних відсотків, то до кінця терміну зберігання отримаємо 22878 грн. Різниця відчутна.
Арифметична та геометрична прогресії допоможуть інженеру – економісту підприємства розв’язати питання ефективності роботи даного підприємства,
оптимального обсягу товарів, отримання максимального добутку, визначити, який штат працівників зможе утримувати підприємство, як вигідно підприємству оплатити податки.
Прогресії в літературі.
Арифметичну прогресію можна зустріти в літературі. Згадаємо віршові розміри: ямб, хорей, дактиль, амфібрахій, і анапест. Відмінність між ними в кількості стоп і в різних розташуваннях наголошених складів вірша.
Ямб – у силабо-тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на парних складах вірша, тобто наголошеними є 2-й, 4-й, 6-й, 8-й і т.д. склади. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію з первим членом 2 і з різницею, рівною 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Ста/рі/ ду/би, спа/си/бі/ вам /за /о/сінь,
за/ від/лі/та/ння ра/до/сті /і /птиць.
Ще/, пев/но, я/ за/тур/ка/на не/ зов/сім,
Що/ чу/ю шур/хіт/ кня/жих баг/ря/ниць (Ліна Костенко)
Маємо п’ятистопний ямб.

Хорей – у силабо-тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на непарних складах вірша. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 2: 1, 3, 5, 7, 9…
Дощ/ по/лив/, і /день/ та/кий/ по/ли/в’я/ний/,
Все/ бли/щить/, і/ лю/ди/ як/ но/ві/.
Лиш/ ді/док/ ста/ре/сень/кий/, кро/пи/в ’я/ний/,
Блис/кав/ки/ ви/зби/ру/є/ в тра/ві/. (Ліна Костенко)
Маємо п’ятистопний хорей.

Дактиль – у силабо-тонічному віршуванні трискладова стопа з наголосом на першому складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 3: 1, 4, 7, 10…
В рай/ду/гу/ чай/ка/ ле/ті/ла/.
Хма/ра/ спли/ва/ла/ на/ схід/.
Мо/же/ б, і/ ти/ за/хо/ті/ла/
Чай/ці/ по/да/ти/ся/ вслід/?
Сон/це/ на/ за/хо/ді/ впа/ло/.
Рай/ду/га/ згас/ла/ в ім/лі/.
Тем/но/ і хо/лод/но/ ста/ло/
На/ не/спо/кій/ній/ зем/лі/... (Л. Первомайський)

Тристопний дактиль.
Анапест – у силабо-тонічному віршуванні трискладова стопа з наголосом на третьому складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 3 і різниця також дорівнює 3:
3, 6, 9,12…
На/ го/рі/ ні/би/ сні/гом/ бі/лі/є/ дав/нез/ний/ со/бор/,
Що/ скли/ка/є/ всі/ вір/ні/ сер/ця/ ве/чо/ра/ми/ і/ зран/ку/.
Дав/ня/ ра/ту/ша/ в зем/лю/ врос/та/є/, не/мов/ му/хо/мор/,
Си/вий/ май/стер/ в льош/ку/ за/мов/ля/є/ ви/на/ фі/лі/жан/ку/…
(М. Рильський)

П’ятистопний анапест.
Амфібрахій – у силабо-тонічно-му віршуванні трискладова стопа з наголосом на другому (середньому) складі.
Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 2, а різниця дорівнює 3: 2, 5, 8,11…
Про/сві/че/ний/ сон/цем/, на/ віт/рі/, в зе/ле/нім/ ог/ні/
Він/ лис/тя/ різьб/ле/не/, об/тя/же/не/ ро/са/ми/, су/шить/.
Хай/ лом/лять/ся/ го/ри/, хай/ гро/зи/ ре/вуть/ в ви/ши/ні/, —
Він/ тут/ вко/рі/нив/ся/, він/ тут/ ук/рі/пив/ся/ й не/ ру/шить…
(М. Бажан «На Карпатських узгір'ях»)

П’ятистопний амфібрахій.
Роздивимося яке місце посідають завдання з даної теми в матеріалах ЗНО.
2008 рік. Завдання №27.
Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої
bn = 5 ∙ 3-n.
Розв’язання: b1= 5 ∙ 3-1 = 53; b2 = 5 ∙ 3-2= 59; q =b2 : b1= 59 : 53 = 13;
Sn = b11-q , Sn = 531-13 = 52 = 2,5.
Відповідь: 2,5.
2009 рік. Завдання №4.
Яка з поданих нижче послідовностей є арифметичною прогресією?
А) 9; 7; 4; 1. Б) -4; -2; 0; 1. В) 3; 6; 12; 24. Г) 1; 3; 6; 9.
Д) 3; 6; 11; 15.
Відповідь: Д.
2010 рік. Завдання №32.
Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію «Довше розмовляєш – менше платиш» з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 33 копійки, а за кожну наступну хвилину розмови – на 3 копійки менше, ніж за попередню. Плата за дванадцяту а всі наступні хвилини розмови не нараховується. Умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 7 хвилин?
Розв’язання: маємо арифметичну прогресію, у якої перший член дорівнює 33, різниця - (-3). Потрібно визначити суму семи її членів.
Sn= 2a1+n-1d2∙n, Sn = 2∙33+7-1∙(-3)2∙7 = 24∙7= 168 коп. =
= 1грн. 68коп.
Відповідь: 1грн. 68коп.
2011 рік. Завдання №13.
Визначити знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b9 = 24,
b6 = - 19.
Розв’язання: b9 = b1∙ q8 ; (1) b6= b1∙ q5 (2).
Поділивши (1) на (2), маємо q3 = 24 : (- 19 ) = - 216, звідки q = - 6.
Відповідь: q = - 6.
2012 рік. Завдання №11.
У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходиться 7 місць, а у кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому залі?
Розв’язання: математичною моделлю цієї задачі є арифметична прогресія, перший член якої дорівнює 7, різниця – 2, кількість членів – 18. Потрібно знайти суму вісімнадцяти членів. Тому
S18 = 2 ∙7+17 ∙22 ∙18= 48 ∙9=432.Відповідь: у цьому залі 432 місця.
Можна зробити висновок: щорічно завдання ЗНО містять задачі з теми або задачі, моделлю яких є арифметична та геометрична прогресії.
Висновки.
У своїй роботі в рамках існуючої шкільної програми і у формі, доступній
для ефективного сприйняття учнями, я намагалася викласти основні теоретичні положення теми «Арифметична і геометрична прогресії»; виявити як давно з’явилися ці поняття та які вчені зробили великий внесок у розвиток теоретичних і практичних знань з даного питання; встановити факти широкого застосування знань з даної теми для практичних потреб в різних галузях наук; виявити значення теми «Арифметична і геометрична прогресії» для підготовки до ЗНО.
Вважаю, що мою роботу можна використати для поглибленого вивчення шкільного курсу математики під час факультативних занять та додаткових занять з підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання.
Думаю, що я можу бути консультантом з питання «Арифметична і геометрична прогресії» під час таких занять.
ЛРКУ «Методичний кабінет освіти»
Комунальний заклад «Успенська гімназія №1 Лутугинського району Луганської області»
Секція: математика

Ці дивовижні прогресії.
Роботу виконала:
учениця 9 класу
КЗ «Успенська гімназія №1
Бичкова Аріна Андріївна,
Керівник роботи:
Антонова Ольга Ізмаїлівна,
учитель математики
вищої категорії.




2014 рік
Список використаних джерел.
Алгебра. 9 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ В.Кравчук, М. Підручна, Г. Янченко. – Тернопіль. Видавництво «Підручники і посібники», 2009. – с .200.;
Алгебра. 9 клас. . Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. –М.:Харків. «Гімназія», 2009. – с .243, 249;
Л. Солодченко. Розвиток життєвих компетентностей на уроках математики. Видавництво «Ранок», Тернопіль – Харків., 2011. – с.85-91.
Г.І.Глейзер. Історія математики в школі. Москва. «Просвещение», 1982. - с. 57.
5. Енциклопедичний словник юного математика /Укладач. А.П.Савін.- М.: Педагогіка, 1989.-352с..
festival.1september.ru/articles/602556/pril3.ppt.
https://portfolio.1september.ru/subject.php?sb=23.

Рецензія
на роботу учениці 9 класу
КЗ «Успенська гімназія №1 Лутугинського району Луганської області»
Бичкової Аріни Андріївни.
В шкільному курсі математики учні можуть познайомитися на уроках математики лише з основним теоретичним матеріалом з даної теми та прикладами його застосування для розв’язування математичних та деяких прикладних задач. Дослідницька робота учениці надала їй можливість детальніше познайомитися з історією виникнення понять «послідовність», «прогресія», розв’язати ряд цікавих старовинних задач, встановити , що за законами прогресій розмножуються бактерії, інфузорії, розв’язуються фізичні задачі, нараховуються банками відсотки на грошові вклади. Арифметичну прогресію можна зустріти , навіть, в літературі.
Структуру роботи витримано. Наділена увага визначенню поняття «арифметична та геометрична прогресії», виявлено як давно з’явилися ці поняття та які вчені зробили великий внесок у розвиток теоретичних і практичних знань з даного питання; встановлено факти широкого застосування знань з даної теми для практичних потреб в різних галузях наук, зокрема у біології, фізиці, економіці, літературі; розглянуто питання місце теми «Арифметична і геометрична прогресії» серед завдань ЗНО минулих років та значення для підготовки до ЗНО.

Керівник роботи: О.І.Антонова.