Реферат на тему Уникальные свойства сферы

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 32 с углубленным
изучением отдельных предметов» г. Ижевск.
РЕФЕРАТ
УНИКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ
(к урокам стереометрии в 11 классе)
Выполнил:
Учитель математики Власова Ольга Евгеньевна
Проверил:
Учитель математики Высшей категории МБОУ СОШ № 32
Родионова Людмила Николаевна
Ижевск, 2014
Содержание:
Введение.
Совершенная поверхность.
Задача 1.
Задача 2.
О прочности сферических оболочек.
Задача 3.
Задача 4.
Заключение.
Литература.
Введение.
При изучении стереометрии в 11-м классе, обучающимся достаточно непросто дается тема «Объем шара». Доказательство этой формулы понятно далеко не каждому выпускнику. Поэтому, в своей работе я хочу показать как можно разнообразить уроки геометрии в выпускном классе. Увлечь учеников при изучении этой темы. По возможности, в очередной раз заинтересовать ребят математикой. Показать метапредметную связь. Важно чтобы на уроках с точки зрения геометрии рассматривались многие стороны окружающего мира. Чтобы геометрические образы вводились не просто на основе формальных определений, а с разъяснением их смысла, раскрытием взаимосвязей, обнаружением «подводных камней», предостережением от ложных умозаключений. Такая форма изложения материала позволяет обратить внимание на тонкие моменты, представить разные точки зрения или подходы, дать неформальные разъяснения в особо сложных случаях.
Совершенная поверхность.
Сферу называют самой совершенной поверхностью. Как вы думаете, почему её так называют? Чем заключается её совершенство? Может быть потому, что она гладкая? На ней нет выступов и вообще каких-либо неровностей?  Но плоскость тоже гладкая. На ней тоже нет никаких неровностей. Может быть сфера является поверхностью вращения? Есть и другие поверхности вращения. Например, цилиндрическая и коническая. Да и плоскость можно рассматривать как поверхность вращения (образующая этой поверхности вращения – прямая, перпендикулярная к оси вращения).
Сфера является поверхностью наиболее симметричного геометрического тела – шара. Именно в этом и заключается, с точки зрения геометрии, совершенство сферы. Оно связано с наличием у шара и его поверхности наибольшей симметрии.
В чем же проявляется это наибольшая симметрия?
Рассмотрим круг радиуса R. Можно выбрать любой его диаметр в качестве оси вращения. И всякий раз будете получать одно и то же тело вращения – шар радиуса R.
Обратите внимание: у конуса и у цилиндра есть только одна ось вращения, а у шара и у сферы бесконечно много осей вращения. Любая прямая, проходящая через центр шара, является осью вращения. Но это ещё не всё. Симметрия тела характеризуются также наличием у него плоскости зеркальной симметрии. Каждая такая плоскость делит тело на две равные половинки: они являются зеркальным отражением друг друга.
Например, у конуса бесконечно много плоскостей зеркальной симметрии.
Любое Осевое сечение есть плоскость зеркальной симметрии.
То же самое можно сказать и о цилиндре. Кроме того, у цилиндра есть дополнительная плоскость зеркального отражения: она рассекает цилиндр на половине его высоты и идёт параллельно основаниям цилиндра.Не сложно заметить, что любое осевое сечение цилиндра является плоскостью зеркального отражения. Но у конуса и цилиндра только одна ось вращения. А у шара (и у сферы), как уже говорилось, бесконечно много осей вращения, и по каждой из этих осей пересекаются бесконечно много плоскости зеркального отражения. Так что у шара картина плоскости зеркального отражения оказывается существенно богаче. Любой большой круг есть плоскость зеркального отражения.
Любая прямая, проходящая через центр шара, является его осью вращения. Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью зеркального отражения.
Шар и в самом деле есть симметричное геометрическое тело!
Задача 1
Докажи теорему:Всякая плоскость, проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Подсказка. Возьми на поверхности шара с центром О произвольную точку A . Опусти из A перпендикуляр АВ на плоскость P. Продолжи перпендикуляр до его пересечения со сферой в некоторой точке C. Проведи AО, BО и CО и рассмотри два треугольника – ABO и CBО. Далее рассуждай самостоятельно.
Но cферическая поверхность интересна не только с точки зрения симметрии. Она обладает уникальным свойством: среди всех геометрических тел, имеющих один и тот же объем, именно шар ограничен поверхностью наименьшей площади.
Можете взять куб, шар, разные цилиндры, разные многогранники одного и того же объема – наименьшую по площади поверхности будет иметь именно шар.
Задача 2.
Рассмотрите шар и цилиндр одинакового объёма (радиус основания цилиндра равен радиусу шара), и убедитесь что площадь сферической поверхности меньше площади поверхности цилиндра.
Итак, у сферы наименьшая площадь при заданном объёме тела. И какие же, интересно, выводы следуют отсюда?
Выводы следуют весьма любопытные. Именно благодаря этому свойству сферы мы наблюдаем в природе так много объектов, имеющих сферическую (точнее говоря, почти сферическую) форму. Примерами могут служить капли росы на листьях, дождевые пузыри на лужах, мыльные пузыри, капли воды, капающие из крана, а также Солнце, Луна, планеты.
И как же это можно связать с наименьшей площадью сферы при заданном объёме тела?
Этот вопрос скорее физический, а не геометрический. Дело в том, что поверхность любого жидкого тела всегда "стремится" уменьшится. А уменьшиться при заданном количестве жидкости поверхность может, лишь приняв сферическую форму.
Но почему же тогда вода в стакане не превращается в водяной шар?
Этого не происходит из-за того, что на воду действует земное притяжение, которое и заставляет всю находящуюся в стакане воду принимать форму не шара, а стакана (точнее говоря, цилиндра). А вот в состоянии невесомости вода внутри стакана не удержится, а превратится в шар.
Мы говорим о поверхности жидких тел. Но причём же тут планеты и луна? Когда-то все они не были твёрдыми телами. Именно в те далёкие времена они приобрели свою сферическую форму. Поверхность нашей планеты на две трети покрыта водой. Водная поверхность имеет форму сферической поверхности. Если, конечно, не принимать во внимание волны.
Из всех тел заданного объёма наименьшую по площади поверхность имеет шар. Значит из всех тел с заданной площадью поверхности шар имеет наибольший объем. Отсюда следует, что если нам надо упрятать под оболочку с заданной площадью побольше какого-то вещества, то следует выбрать оболочку сферической формы. Это важно в тех случаях, когда желательно сэкономить на площади оболочки. Например: химические производства часто имеют дело с очень активными веществами, которые можно хранить только в сосудах со специальной оболочкой. Такие сосуды, как правило, имеют форму шара. Хранения сжиженных газов (например, жидкого азота) разрешается лишь в сосудах, стенки которых обладают высокими теплоизолирующими свойствами. Обычно эти сосуды имеют сферическую форму. В космонавтике также приходится заботиться о специальных оболочках, которые позволяли бы сохранять запасы топлива (да и не только топливо!) в космическом пространстве. Поэтому многие резервуары на космических аппаратах имеют сферическую форму. Одним словом, форма шара выгодна всегда, когда желательно увеличение объема тела и уменьшение площади его поверхности.
Является важным ещё одно весьма любопытное свойство сферических оболочек – их повышенная прочность. Поговорим об этом подробнее.
О прочности сферических оболочек.
Проделаем простой опыт с обычным прутом длиной около полутора метров. Взяв руками за концы, расположим прут горизонтально, и пусть кто-нибудь повисит к пруту посередине гирьку или какой-нибудь другой груз. Ясно, что прут прогнётся под тяжестью гирьки. Что же здесь удивительного?
Пока ничего удивительного нет. А теперь мы сблизим руки так, чтобы наш прут выгнулся в вертикальной плоскости полукругом над головой. Если снова подвесить гирьку к пруту, то можно убедиться, что теперь наш прут прекрасно противостоит силе тяжести гирьки. Он выдерживает её, и не прогибается.

Этот простой опыт демонстрирует важное свойство круглых арок: они хорошо противостоят силе тяжести. Недаром арки используются в архитектуре с давних времён (арочные окна, ворота, проемы в стенах, арочные мосты и так далее). Прочность круглых арок навела древних архитекторов на мысль о прочности круглых куполов. Появились перекрытия различных сооружений в форме сферических куполов.
Может показаться, что эти круглые арки и купола используются в архитектуре для красоты. Конечно, они красивые. Однако дело тут не только в красоте, а и в прочности. В их способности выдерживать значительное давление сверху. В их способности хорошо противостоять силе тяжести.
Познакомимся поближе с одним из самых знаменитых сооружений Древнего Рима – Пантеоном императора Адриана, сооруженным в начале второго века н.э.
С точки зрения геометрии основное здание Пантеона представляет собой цилиндр (точнее говоря, полый цилиндр), на котором стоит купол – бетонная полусфера. Внутренний диаметр этой полусферы – 44 м; такова же и высота всего здания. Толщина купола – 1 м. В его центре есть круглое отверстие диаметром 9 м, сквозь которое солнечные лучи могут проникать внутрь Пантеона.

Получается, что купол Пантеона перекрывают сверху зал, имеющий диаметр более 40 м. Сколько же тонн бетона нависает над этим залом?
Задача 3
Подсчитай, чему равна площадь главного зала Пантеона. Вырази эту площадь не только в квадратных метрах, но также в арах «сотках» и гектарах.
Ответ: 1660 м² = 16,6 а = 0,166 га.
Давайте посчитаем массу купола Пантеона. С точки зрения геометрии купол – это половина полого шара, у которого радиус внутренней сферы R1 равен 22 м, а радиус внешней сферы R2 равен 23 м. Объем этого тела можно найти по формуле:
V1=(2π/3)∙(R32 - R31).
Отсюда надо вычесть объем V2, приходящийся на круглое отверстие в куполе. Приближенно будем рассматривать этот объем как объем цилиндра диаметром D=9м и высотой H=1м:
V12=(π/4)∙D2∙H.
Задача 4
Посчитай массу купола Пантеона Адриана, полагая, что масса каждого кубометра бетона – 2,3 т.
Ответ: 7240 т.
Несмотря на огромную массу, этот купол не обрушается вниз.Эта задача в полной мере показывает, какой прочной оказывается сферическая оболочка. Замечу, что Пантеон Адриана – одно из немногих сооружений Древнего Рима, которое почти полностью сохранилась до наших дней.
Приведём ещё один пример. На химических заводах сосуды делают в форме шаров. Из сказанного выше можно сделать вывод, что это происходит не только по причине того, что объем шара наибольший из всех тел с заданной площадью поверхности. Видимо, учитывается также прочность сферической оболочки. Но здесь придётся сделать некоторые уточнения по поводу прочности сферических оболочек. Дело в том, что они хорошо противостоят только тем воздействиям, которые направлены извне, действуют на оболочку снаружи. А воздействием изнутри сферическая оболочка противостоит значительно хуже. Наглядный пример – куриное яйцо. Его форма близка к сферической. Курица, высиживая цыплят, спокойно сидит на яйцах – и оболочка яиц из тонкой скорлупы не разрушается, поскольку на неё действуют снаружи. А вот слабенький цыплёнок легко пробивает эту скорлупу, воздействуя на неё изнутри. Точно так же сферическая оболочка химического резервуара: она будет хорошо держать сдавливания и удары, наносимые снаружи, но может легко разрушается, если воздействовать на неё изнутри (например, если внутри что-то взорвётся).
То же самое можно сказать и о сферическом куполе. Купол должен держать эту массу бетона или иного материала, из которого он изготовлен. Это как если бы на сферическую поверхность положили сверху этот бетон. Он будет давить на неё в направлении сверху вниз, то есть в направлении к, центру сферы. Это и есть воздействие на сферическую оболочку "снаружи ".
Вот если бы Пантеон был перекрыт перевернутым куполом, то это было бы не только некрасиво, но и непрочно. Здесь тяжесть купола действовала бы в направлении не к центру, а от центра сферы. То есть как бы "изнутри" сферической оболочки.Вполне понятно, что подобных "перевёрнутых" куполов никто никогда не строил.
Заключение.
При прочтении и изучении данного материала вы узнали о шаре и сфере несколько больше чем ранее. Эта работа поможет учащимся помимо основных понятий, изложенных в учебнике, узнать доказательство теоремы, отсутствующей в школьном курсе, а также пронаблюдать решения некоторых интересных задач. Автору реферата будет очень приятно, если эти знания смогут вам пригодиться в дальнейшей деятельности.
Надеюсь, что моя работа поможет формированию геометрической культуры и выработки практических навыков выполнений построений, доказательств, геометрических вычислений. Эта работа предназначена для учителей, учеников, и, кроме того, будет полезна всем, кто интересуется геометрией и математикой вообще.
Литература:
Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия : Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.- 760 с.
Тарасов Л.В. Стереометрия. Наглядно-практический курс геометрии для школьников… и не только.Изд. стереотип.-М.:Издательство ЛКИ, 2014.-192с.
АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранные вопросы математики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ.В/--М. : Просвещение 1980.
Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с.
Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы.-М: Просвещение, 1992.- 208.
Гильберт Д. КонФоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с.
Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. – 2 –ое изд. испр. и доп. – М.: высш. школа, 1963. – 344 с.
Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ / Под ред. И с предсл. В. И. Аршинова, Ю. В. Сачкова. – М.: Мир, 1988. – 295 с., ил.
Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч II. Геометрия в пространстве: учеб. для пед. инст-ов. –М. Л.: гос. изд-во техн-теоретич. литер. 1949 г. – 333 с.
Трайнин Я. А. Основания геометрии: Пособие для пед. институтов /Под ред. Ю. И. Сорокина. – М.: гос. учеб. под-ое изд-во мин. просв. РСФСР 1961.-326 с.