Задачи на смеси и сплавы — подготовка к ЕГЭ

Задачи на смеси и сплавы. Подготовка к ЕГЭ и ГИА.
Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.
Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборники для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.
Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:
составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
решения полученной модели;
анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).
Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.
Основными компонентами в этих задачах являются:
масса раствора (смеси, сплава);
масса вещества;
доля (% содержание) вещества.
Теоретические сведения.
m1 – масса первой смеси (сплава)
m2 – масса второй смеси (сплава)
р1 – концентрация некоторого вещества в первой смеси (сплаве)
р2 - концентрация этого вещества во второй смеси (сплаве)
р – концентрация этого вещества в новой смеси (сплаве)
m1+m2 масса новой смеси (сплава)
р1m1+р2m2=р(m1+m2)
Примечание
С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.
Выделение основных компонентов в задачах
При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.
Таблица для решения задач имеет следующий вид:
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества) Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества
       
Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
Задача 1. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавили 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?
Решение.
Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (л) Масса вещества (л)
I раствор 15 % = 0,15 4 0,15·4
II раствор 20 % = 0,2 5 0,2·5
вода 0% 1 0
Смесь х % = 0,01х 10 0,01х·10
Уравнение для решения задачи имеет вид:
0,15·4 + 0,2·5=0,01х·10
0,1х = 1,6
х = 16
Ответ: концентрация смеси 16 %.
Задача 2. Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 %раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 %растворов кислоты было смешано?
Решение.
Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг)
I раствор 40 % = 0,4 х0,4х
II раствор 15 % = 0,15 у 0,15у
Вода 0% 3 0%
Смесь I 20 % = 0,2 х + у +3 0,2(х + у +3)
Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)
Выполним вторую операцию:
I раствор 40 % = 0,4 х0,4х
II раствор 15 % = 0,15 у 0,15у
Кислота 80 % = 0,8 3 0,8·3
Смесь II 50 % = 0,5 х + у +3 0,5(х + у +3)
Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).
Для решения задачи получаем систему уравнений:

Решаем систему уравнений:

Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.
Задача 3. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного сиропа в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.
Решение.
Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора
(кг) Масса вещества (кг)
I сосуд 70 % = 0,7 4 0,7·4=2,8
II сосуд 40 % = 0,4 6 0,4·6 = 2,4
III сосуд у % = 0,01у х0,01ху
I и III сосуды 55 % = 0,55 4+х 0,55(4+х)
или
2,8+0,01ху
II и III сосуды 35 % = 0,35 6+х 0,35(6+х)
или
2,4+0,01ху
Итак, получаем систему уравнений :
Решаем её:

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.
Задача 4. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?
Решение.
Наименование веществ, смесей % содержание (доля) олова Масса сплава (кг) Масса олова (кг)
I сплав 70 % = 0,7 10 0,7·10=7
медь 0% 8 0
олово 100%=1 ххII сплав 75 % = 0,75 18+х 0,75(18+х)
Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова равна 75%.
7+х=0,75(18+х)
7+х=13,5+0,75х
0,25х  =  6,5;
 х  =  26.
Ответ: 26 кг.
Задача 5. Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.
Решение. В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью "твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу самой смеси.
Наименование веществ, смесей % содержание (доля) олова Масса сплава (кг) Масса вещества (кг)
I смесь 25 % = 0,25 200 0,25·200=50
вода 100%=1 30 30
II смесь х % = 0,01х 170 1,7х
Составляем уравнение:
50-30=1,7х
Ответ: 11,8%
Задача 6. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?
Решение.
Наименование веществ, смесей Доля вещества Масса сплава
(кг) Масса вещества (кг)
золото медь всего золото
Мзмедь
Мм
I сплав 8 3 11 121 ·121 ·121
или
121- МзII сплав 12 5 17 255 ·255 255- МзIII сплав - - - 376 Сумма I и II сплавов Сумма I и II сплавов
·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве
·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве
121+255=376 (кг) – масса III сплава
88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве
376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве
Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.
Задача 7. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.
Наименование веществ, смесей Доля вещества в смеси Масса смеси
(кг) Масса вещества (кг)
А В всего А В
I смесь 4 5 9 хххII смесь 6 7 13 у у у
III смесь 5 6   х+ у х + у х + у
По условию задачи А :В = 5 :6, тогда

В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.

Решаем уравнение относительно .Получим =.
Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.
Заключение.
Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.
В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений(анализ, синтез, аналогия, обобщение, конкретизация и т.д.).
Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно их решали.