Программа элективного курса по геометрии Решение планиметрических задач (11 класс)
Программа элективного курса по геометрии
для учащихся 11 А класса 2016-17 учебный год.
Составила учитель математики МБОУ СОШ №4:
Перункова Галина Александровна.
Решение планиметрических задач.
Пояснительная записка.
Решение геометрических задач часто вызывает трудности у учащихся. Это в первую очередь связано с тем, что редкая задача в геометрии может быть решена с использованием определенной формулы. Большинство геометрических задач требуют применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение комплекса различных формул. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых и переходя к более сложным. Изменения в ЕГЭ по математике 2015г., действующие на сегодняшний день, касаются, прежде всего содержания КИМ-ов: увеличение количества геометрических задач, разделение задачи С4 на 2 вопроса. Поэтому очевидна актуальность введения элективного курса по геометрии. Курс рассчитан на 17 часов.
Цель курса:
Закрепить и систематизировать теоретические и практические навыки при решении планиметрических задач;
Научить выделять из общего количества задач ключевые задачи;
Учить решать задачу несколькими способами и выбирать наиболее рациональный.
Задачи курса:
-сформировать целостное понятие геометрии;
-повысить мотивацию изучения геометрии;
-повысить качество знаний;
-повысить уровень образовательного процесса в целом
-подготовить учащихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ;
-научить решать сложные геометрические задачи;
- научить различным приемам решения задач, помогающим успешно справиться с заданиями при подготовке к ЕГЭ;
Содержание обучения
Изучение учебного материала курса строится поэтапно:
1 этап: повторение основных теоретических знаний. Содержание данного этапа указано для каждого раздела.
2 этап: решение простейших задач. Контроль работы учащихся в группах и парах. Работа по дидактическому материалу.
3 этап: решение трудных и нестандартных задач. Введение таких задач необходимо, так как решение одной сложной задачи может заменить решение нескольких простейших задач. Контроль работы учащихся на данном этапе осуществляется учителем.
4 этап: предварительный контроль в форме самостоятельной работы учащихся.
5 этап: решение задач по материалам ЕГЭ, составление справочного материала.
Повторение необходимых теоретических знаний представлено по следующим разделам:
Первый раздел «Построения на плоскости».
*алгоритм построения расстояния от точки до плоскости;
*метод вычислений длины искомого отрезка;
*замечательные свойства окружности (геометрические места точек);
*методы геометрических точек и прямых.
Второй раздел. «Треугольники и их элементы».
*виды треугольников (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный);
* элементы треугольника и их свойства (медиана, биссектриса, высота, проекции катетов);
* теорема Пифагора;
* теорема косинусов;
* теорема синусов;
* средняя линия треугольника;
* подобие треугольников;
*теорема Менелая;
Третий раздел. «Окружность и ее элементы»
*различные случай касания окружностей;
*теорема о расстоянии от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности;
*теорема о пересекающихся хордах;
*теорема о длинах касательных, проведенных из одной точки к окружности;
*теорема о квадрате касательной;
*углы: между касательной и хордой; между двумя пересекающимися хордами; между двумя секущими; между касательной и секущей; между двумя касательными;
*углы, связанные с окружностью (центральные углы, вписанные углы);
Четвертый раздел. «Многоугольники».
*вписанные и описанные четырехугольники;
*теорема Птоломея;
* вписанные и описанные правильные многоугольники.
*теоремы о вписанных и описанных окружностях: для правильных, прямоугольных, произвольных треугольников, правильных и других четырехугольников.
Пятый раздел. « Векторы и метод координат»
Особенностью этого раздела является одновременное повторение данной темы по планиметрии и стереометрии.
*векторы, метод координат на плоскости;
Шестой раздел. «Метод площадей».
*формулы площади произвольных четырехугольников;
*формулы площади правильных многоугольников;
*отношение площадей подобных фигур.
*основные приемы нахождения площадей многоугольников;
*формула Пика.
Тематическое планирование элективного курса
Тема
Количество
часов
Построения на плоскости:
1-2. Метод геометрических точек, методы геометрических прямых,
метод вычислений (алгебраический метод)
Треугольник:
3. Замечательные точки и линии в треугольнике. Пропорциональные отрезки в треугольнике.
4-5. Вписанная в треугольник и описанная окружность.
Окружность и круг.
6.Свойство дуг и хорд.
7.Углы связанные с окружностью.
8. Средние геометрические и другие средние.
9. Теоремы Чевы и Менелая. Задачи на нахождение отрезков и площадей.
10. Решение нестандартных задач по теме: «Треугольник».
11. Метод подобия в задачах.
12. Решение задач по теме: «Подобие треугольников».
Окружности и касательные.
13. Взаимное расположение окружностей и общие касательные.
14. Вневписанные окружности.
Многоугольники.
15.Свойства правильных многоугольников.
16. Применение векторов к доказательству теорем и решению задач.
17. Метод площадей.
2
3
2
1
1
1
2
2
1
1
1
Итого:
17
Требования к уровню подготовки учащихся.
Планируемые результаты:
- овладение знаниями и умениями в области геометрии, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
-формирование навыков обобщения и систематизации теоретических знаний для решения задач;
-развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, необходимых для успешной адаптации к реальной жизни и выбора профессии;
- формирование навыков исследовательской деятельности, постановки и решения проблемных вопросов; умение сравнивать, анализировать, рассуждать, выдвигать гипотезы, доказывать, делать выводы, творчески подходить к любому делу;
- формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде.
Система оценки достижений учащихся: В технологии проведения занятий присутствует элемент самопроверки, взаимопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. Результаты тестирования проверяются с помощью современных технологий. Самостоятельные, контрольные, зачетные работы проверяются учителем. Для каждого ученика заполняется индивидуальный лист контроля.
Литература:
И.Ф.Шарыгин «Факультативный курс по математике».
Т.Дорофеев, М.Попов «Математика для поступающих в вузы»
Л.С. Атанасян В.Ф. Бутузов «Дополнительные главы к школьному учебнику»
О.Ю. Черкасов, А.Г.Якушев «Математики»
А.А.Прокофьев «Геометрия для поступающих в втузы».
Образовательные диски.
1.Стереометрия. Авторы курса – Р.П.Ушаков и С.А.Беляев.
2.Учебная программа «Математика абитуриенту. Версия 2.0». Автор В.В.Ткачук. Разделы планиметрия и стереометрия.
3.Математика. Раздел геометрия. Автор Синицын А.И. 2008.
Примерная разработка занятия 9.
Цели: повторить теоретические знания по теме треугольники и их элементы, применить знания при решении нестандартных задач.
Ход занятия.
Повторение основных теоретических знаний в парах.
Лекция, составление опорного конспекта по следующему теоретическому материалу.
Теорема. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1.
Тогда
· A1BC1 и
·ABC подобны, причём коэффициент подобия равен Cos
Теорема (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Х и У соответственно, а продолжение стороны АС- в точке Z, то AX/XB
·BY/YC
·CZ/ZA=1
Лемма1. Если стороны АС и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то S
·ABC/S
·DEF=AC/DF
Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону АС, то S
·ABC/ S
·AB1C= BD/B1D
Лемма 3. Если треугольники АВС и АВ13EMBED Equation.31415С1 имеют общий угол А, то 13EMBED Equation.31415
Комментированное решение следующих нестандартных задач.
Задачи, взятые из контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена (после смены концепции ЕГЭ). Коллективного решение одной задачи необходима комбинировать с самостоятельной работой по воспроизведению решения нестандартных задач.
Задача №1
В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК: КВ= 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что С L: LВ= 2:1. Пусть Q- точка пересечения прямых АL и СК. Найдите площадь треугольника АВС, зная, что площадь треугольника ВQС равна 1.
Решение
Пусть АК=Х , тогда КВ=2Х. Пусть ВL=у, тогда LС=2у.
Применим теорему Менелая к треугольнику АВL и секущей КQ и получим:
ВК/КА*АQ/QL*LС/ВС=1
2х/х* АQ/QL*2у/3у=1
АQ/QL=3/4
АQ= 3 части, QL= 4 части, тогда АL/QL=7/4
По лемме 2:
S
·ABC/S
·QBC=AL/QL=7/4, т.к
·АВС и
·QBC имеют общую сторону BC
Итак, S
·АВС/ S
·QBC=7/4, но S
·QBC=1, тогда S
·АВС=7/4
Ответ: 7/4
Задача № 2
В трапеции АВСД диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД, а диагональ ДВ перпендикулярна боковой стороне АВ. Продолжения боковых сторон АВ и ДС пересекаются в точке К, образуя треугольник АКД с углом 45 градусов при вершине К. Площадь трапеции АВСД равна S. Найти площадь треугольника АКД
Решение.
Теорема: Пусть в остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1 . Тогда треугольники А1ВС1 и треугольник АВС подобны, причём коэффициент подобия равен cos<В
13EMBED Equation.31415
·КВС подобен
·КАД по предыдущей теореме и k= cos450=
·2/2, следовательно,
S
·КАД/S
·КВС==(
·2/2)2 = Ѕ, а это значит площадь
·КВС равна половине площади
·КАД, но Sтрапеции= S , S
·КВС= S, тогда
S
·КАД=2S.
Ответ: 2S
Задача №3
Точки Р и Q расположены на стороне ВС
·АВС так, что ВР/РQ/ QС=1/2/3.Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что АR/RС=1/2.Чему равно отношение площади четырёхугольника РQST к площади
·АВС, где S и T – точки пересечения прямой ВRС прямыми АQ и АР соответственно.
Решение:
Пусть ВР=х, АR=у, тогда РQ=2х,QC=3x, RC=2у.
Применим теорему Менелая к
·АСQ и секущей SR и получим
СR/AR * AS/SQ * BQ/BC = 1; 2y/y * AS/SQ * 3x/6x = 1; AS/SQ = 1;
AS= 1 часть, SQ= 1 часть; AS/AQ = 1/2.
Применим теорему Менелая к
·АСР и секущей ТR получим:
СR/AR *АТ/ТР * ВР/ВС = 1; 2y/y * АТ/ТР * x/6x = 1; АТ/ТR = 3;
АТ = 3 части, ТR = 1 часть,
Тогда АТ/АР = 3/4.
К
·AST и
·АРQ применим лемму: если треугольники AST и АРQ имеют общий угол, то S
·AST/S
·АРQ = АТ*AS/AP*AQ = 3/4 * 1/2 = 3/8
S
·AST = 3 части, S
·АРQ = 8 частей, тогда STSQP = 5 частей,
Значит, SPQTS/ S
·АРQ = 5/8.
У
·АВС и
·АРQ основания ВС и РQ лежат на одной прямой, тогда применим лемму: если стороны ВС и РQ лежат на одной прямой (или на параллельных прямых), то
S
·АРQ/ S
·АВС = РQ/ ВС = 2х/6х = 1/3;
тогда S
·АРQ = 1 часть, S
·АВС = 3 части.
S
·АРQ = 1/3 * S
·АВС = 8;
S
·АВС = 24
SPQST/ S
·АРQ = 5/24.
Ответ:5/24.
Задача для самостоятельного решения или Д/з: Площадь треугольника АВС равна 28, точка К делит сторону АВ в отношении ВК:КА=3:1, а точка Е - сторону ВС в отношении СЕ:ЕВ=1:3. Прямые СК и АЕ пересекаются в точке М. Найдите площади треугольника АКМ и четырёхугольника КВЕМ.
Рисунок 3Рисунок 4Рисунок 5Рисунок 6Root Entry