Конспект урока решения ключевых задач по теме Уравнение касательной к графику функции

Конспект урока решения ключевых задач по теме «Уравнение касательной к графику функции»
Тип урока: урок решения ключевых задач
Цели урока:
- выявить ключевые задачи по теме: «Уравнение касательной к графику функции»;
- формировать умения распознавать, решать и составлять различные задачи на основе ключевых.
План урока
I. Мотивационно-ориентировочная часть
1. Актуализация опорных знаний.
2. Постановка цели урока.
II. Операционно-познавательная часть
Решение ключевых задач (№1–4) на составление уравнения касательной.
Обобщение ключевых задач
Обучающая самостоятельная работа: распознавание, решение и составление задач на основе ключевых.
III. Рефлексивно-оценочная часть
Подведение итогов урока.
Выдача домашнего задания.

Ключевые задачи
по теме «Уравнение касательной к графику функции».
№1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x в точке с абсциссой х = 2.
№2. Составьте уравнение той касательной к графику функции y=3x , которая параллельна прямой у =1 – 3х.
№3. К графику функции y=6x проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45о.
№4. Дан график функции y=3-2x2.
а) Составьте уравнение касательной к этому графику, проведенной в некоторой точке а.
б) Проведите касательную к графику функции y=3-2x2, проходящую через точку А(–2; –3).
Ход урока:
I. Мотивационно-ориентировочная часть
1. Актуализация опорных знаний.
Учитель задает вопросы

- Как вы понимаете термин «касательная»?
- Что такое угловой коэффициент касательной?
- Как влияет угловой коэффициент прямых на взаимное расположение прямых?
- Расставьте этапы алгоритма составления уравнения касательной в правильном порядке.
2. Постановка цели урока.
II. Операционно-познавательная часть
1.Решение ключевых задач (№1–4) на составление уравнения касательной.
В ходе поиска способа решения каждой задачи составляется план ее решения. Он записывается учащимися в отдельную тетрадь «Основные виды задач, алгоритмы и методы их решения»
№1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x в точке с абсциссой х = 2.
Анализ условия задачи
Учитель Ученик
Что известно в задаче? Аналитическое задание функции;
абсцисса точки касания.
Что требуется сделать? Составить уравнение касательной
Поиск решения задачи
Как составить уравнение касательной, зная уравнение функции и точку касания? По алгоритму
План решения учащиеся записывают в тетрадь
Каков план решения задачи? План решения задачи:
Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
Вычислить f(a).
Найти f'(x) и вычислить f'(a).
Подставить найденные числа а, f(a), f'(a) в формулу.
Какой первый шаг?
Для данной задачи Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
а = 2
Второй шаг Вычислить f(a).
f(a) = 22 + 4*2 = 12.
Третий шаг Найти f'(x) и вычислить f'(a).
f'x=2x+4; f'(a) = 2*2 + 4 = 8.
Четвертый шаг Подставить найденные числа а, f(a), f'(a) в формулу
у = 12 + 8 (х – 2); у = 8х – 4
Получили ответ? Да. Искомое уравнение касательной у = 8х – 4
Решение:
а = 2.
f(a) = 22 + 4*2 = 12.
f'x=2x+4; f'(a) = 2*2 + 4 = 8.
у = 12 + 8 (х – 2); у = 8х – 4.
Ответ: у = 8х – 4.
№2. Составьте уравнение той касательной к графику функции y=3x , которая параллельна прямой у =1 – 3х.
Анализ условия задачи
Учитель Ученик
Что известно в задаче? Аналитическое задание функции;
прямая, параллельная касательной.
Что требуется сделать? Составить уравнение касательной
Поиск решения
Как можно составить уравнение касательной? По алгоритму
Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом? Аналитическое задание функции и точку касания.
Все ли нам известно? Нет. Неизвестна точка касания
Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания? Касательная параллельна прямой у =1 – 3х
Что означает, что прямые параллельны? Их угловые коэффициенты равны
Сделайте вывод об угловом коэффициенте касательной. k = – 3
Итак, угловой коэффициент касательной равен – 3. С другой стороны чему равен угловой коэффициент касательной? Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.
Что мы обозначим за а? Абсциссу точки касания
С одной стороны, угловой коэффициент касательной равен – 3, с другой стороны он равен значению производной функции в точке касания.
Какое уравнение можно составить? f’(a) = – 3
f’(a) = – 3
-3a2 = -3
a = ±1
Что означает, что мы получили два значения числа а? Это означает, что условию задачи удовлетворяют две касательные с точками касания 1 и – 1
Можем ли мы составить уравнение касательной, проведенной в точке 1? Да. По алгоритму.
Можем ли мы составить уравнение касательной, проведенной в точке -1?
Да. По алгоритму.
План решения учащиеся записывают в тетрадь
Какой план решения задачи? План решения задачи:
1) Найти точку касания из уравнения kкас = f’(a).
2) Составить уравнения касательных по алгоритму.
Затем учащиеся самостоятельно составляют уравнения обеих касательных
Решение:
1) Найдем точку касания:
kкас = – 3, т. к. касательная параллельна прямой у =1 – 3х
kкас = f’(a)
f'x=-3x2; f'a=-3a2;
-3a2=-3; a = ±1.
2) Составим уравнения касательных:
а) 1. а = 1.
f(a) = 31 = 3.
f'(a) = – 3
у = 3 + (– 3)(х – 1); у = –3х + 6
б) 1. а = – 1.
f(a) = 3-1 = – 3.
f'(a) = – 3
у = – 3 + (– 3)(х + 1); у = –3х – 6
Ответ: у = –3х + 6; у = –3х – 6
№3. К графику функции y=6x проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45о.
Анализ условия задачи
Учитель Ученик
Что известно в задаче? Аналитическое задание функции;
угол наклона касательной.
Что требуется сделать? Составить уравнение касательной
Поиск способа решения задачи
Как можно составить уравнение касательной? По алгоритму
Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом? Аналитическое задание функции и точку касания.
Все ли нам известно? Нет. Неизвестна точка касания
Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания? Касательная составляет с осью Ох угол 45о.
Что вы знаете об угле наклона касательной? Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания
tgα = f’(a), а – точка касания
Что можем найти из этого уравнения? Точку касания
Затем сможем составить уравнение касательной по алгоритму? Да
План решения учащиеся записывают в тетрадь
Составьте план решения задачи. План решения задачи:
1) Найти точку касания из уравнения tgα = f’(a), а – точка касания
2) Составить уравнение касательной по алгоритму.
Решение:
1) Найдем точку касания:
tgα = f’(a); tg45 = 1;
f'x=62x=3x; f'a=3a;
3a=1; a = 9;
2) Составим уравнение касательной:
1. а = 9.
f(a) = 69=18.
f'(a) = 1.
у = 18 +1(х – 9); у = х + 9.
Ответ: у = х + 9.
Исследование задачи
Учитель Ученик
Что общего в условиях задач №2 и №3? Известно аналитическое задание функции и информация о касательной.
Чем они отличаются? В задаче №2 известна прямая, параллельная касательной; в задаче №3 дан угол наклона касательной.
Какой план решения этих задач? 1) Найти точку касания.
2) Составить уравнение касательной по алгоритму.
Чем отличаются решения этих задач? Точка касания находится из разных уравнений.
№4. Дан график функции y=3-2x2.
а) Составьте уравнение касательной к этому графику, проведенной в некоторой точке а.
б) Проведите касательную к графику функции y=3-2x2, проходящую через точку А(–2; –3).
№4 (а)
Анализ условия задачи
Учитель Ученик
Что известно в задаче? 1) Аналитическое задание функции;
2) точка касания а.
Что требуется сделать? Составить уравнение касательной
Поиск способа решения задачи
Как можно составить уравнение касательной? По алгоритму
Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом? Аналитическое задание функции и точку касания.
На какую ключевую задачу похожа эта задача? На задачу №1
В чем их отличие? В задаче №1 известно число – абсцисса точки касания, а в задаче №4а) точка касания обозначена буквой аЧем будет отличаться решение этой задачи от задачи №1? Будем решать в общем виде, т.е. не вычислять значения, а выражать их через а.
План решения задачи План:
Абсцисса точки касания: а.
Выразить через а f(a).
Найти f'(x) и выразить через а f'(a).
Подставить найденные выражения а, f(a), f'(a) в формулу.
Решение:
а) 1. а – точка касания.
2. f(a) = 3 – 2а2.
3. f'(x) = – 4х; f'(a) = – 4а.
4. у = 3 – 2а2 + (– 4а)(х – а); у = – 4ах + 2а2 + 3.
Ответ: у = –4ах + 2а2 + 3 - уравнение касательной, проведенной в точке х = а.
№4 (б)
Анализ условия задачи
Учитель Ученик
Что известно в задаче? Аналитическое задание функции;
точка, через которую проходит касательная.
Что требуется сделать? Составить уравнение касательной
Поиск способа решения задачи
Как можно составить уравнение касательной? По алгоритму
Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом? Аналитическое задание функции и точку касания.
Является ли точка А точкой касания? Нет. А(– 2; – 3) не принадлежит графику функции, значит это не точка касания.
Можем ли мы составить уравнение касательной по алгоритму? Нет. Неизвестна точка касания
Как следует поступить в этом случае? Сначала найти точку касания, а затем по алгоритму составить уравнение касательной
Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания? Касательная проходит через точку А(– 2; – 3)
Достаточно ли этой информации, чтобы найти точку касания? Нет.
Что означает, что прямая проходит через точку А(– 2; – 3)? Это означает, что координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой.
Знаем ли мы общий вид этого уравнения? Да. у = –4ах + 2а2 + 3
Как, зная общий вид уравнения и точку, через которую проходит прямая, найти точку касания а? Подставить в общий вид уравнения координаты точки А, решить уравнение относительно переменной а.
Затем сможем составить уравнение касательной? Да, по алгоритму
Обязательно ли использовать алгоритм? Что мы уже знаем о касательной? Точку касания, точку А, через которую проходит касательная, общий вид уравнения касательной
Как можно составить уравнение без помощи алгоритма? Подставить значение а в общий вид уравнения
Составьте план решения задачи. План решения задачи:
1) Найти точку касания из уравнения у = –4ах + 2а2 + 3, подставив вместо х и у координаты точки А2) Составить уравнение касательной, подставив значение а в общий вид уравнения.
Решение:
б) 1) у = –4ах + 2а2 + 3 – общий вид уравнения касательной (из №4(а))
Так как А(– 2; – 3) принадлежит графику касательной, то ее координаты удовлетворяют уравнению.
– 3 = –4а(– 2) + 2а2 + 3
2а2 + 8а + 6 = 0
а1 = –3; а2 = – 1.
2) Составим уравнения касательных:
у = – 4(–3)х + 2 (– 3)2 + 3; у = 12х + 21;
у = – 4(–1)х + 2 (– 1)2 + 3; у = 4х + 5.
Ответ: у = 12х + 21; у = 4х + 5.
Исследование задачи
Что бы вы изменили в плане решения задачи №4(б), если бы не было задачи №4(а)? Добавится 1-й шаг: составить общий вид уравнения касательной к графику данной функции.
План решения учащиеся записывают в тетрадь
Каким станет план решения ключевой задачи №4(б)? План решения задачи:
1. Составить общий вид уравнения касательной по алгоритму.
2. Найти точку касания.
3. Составить уравнение искомой касательной.
2. Итак, вспомним все ключевые задачи (они записаны в отдельную тетрадь)
№1 №2 №3 №4(б)
Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x в точке с абсциссой х = 2. Составьте уравнение той касательной к графику функции y=3x , которая параллельна прямой у =1 – 3х К графику функции y=6x проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45о Проведите касательную к графику функции y=3-2x2, проходящую через точку А(–2; –3)
План:
1.Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2.Вычислить f(a).
3.Найти f'(x) и вычислить f'(a).
4.Подставить найденные числа а, f(a), f'(a) в формулу. План:
1)Найти точку касания из уравнения kкас = f’(a).
2) Составить уравнения касательных по алгоритму. План:
1) Найти точку касания из уравнения tgα = f’(a), а – точка касания
2) Составить уравнение касательной по алгоритму. План:
1. Составить общий вид уравнения касательной по алгоритму.
2. Найти точку касания.
3. Составить уравнение искомой касательной.
Учитель задает вопросы с целью обобщения всех ключевых задач

- Что общего в этих ключевых задачах? (это задачи на составление углового коэффициента касательной)
- Чем они отличаются? (известны разные данные)
- Задачи с какими известными данными мы будем решать по алгоритму задачи №1? (функция и точка касания)
- задачи №2 (функция и прямая, параллельная касательной)
- задачи №3 (функция и угол наклона касательной)
- задачи №4 (функция и точка касательной, отличная от точки касания)
3.Обучающая самостоятельная работа:
№1. Выберите, какие из предложенных задач можно решить с помощью:
а) ключевой задачи №1;
б) ключевой задачи №2;
в) ключевой задачи №3;
г) ключевой задачи №4.
№2. Решите по одной из каждой группы
Список задач на экране
№3. Составьте по одной своей задаче для каждой ключевой.
Слайд 1.
а) Составьте уравнение той касательной к графику функции y=3x+4x-2, которая параллельна прямой y = 5 – 2x.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции проходящей через точку В (2; –3).
в) Проведите касательную к графику функции у = sin x в точке с абсциссой π4.
г) Какая прямая касается графика функции y=x-2x+1 в точке 0?
д) Проведите касательную к графику функции , параллельную прямой у = 6
е) Какая из касательных к графику функции y=x2 наклонена к оси Ох под углом 60о?
ж) Прямая проходит через точку А (0, –3) и касается параболы у = х2 + 1. Составьте уравнение этой прямой.
з) Составьте уравнение касательной к графику функции y=x+4x-5, образующей с осью Ох угол 135о.
III. Рефлексивно-оценочная часть
Учитель задает вопросы
Подведение итогов урока
- Какой вид задач сегодня решали?
- Что нужно знать, чтобы составить уравнение касательной?
- По какому плану составляем уравнение касательной, если известна функция и точка касания (функция и угол наклона касательной; функция и прямая, параллельная касательной; функция и точка касательной, отличная от точки касания)?
2. Домашнее задание:
а) распределить задачи №823 – 837, 840 – 846 учебника по ключевым;
б) решить из каждой группы по две задачи;
в) составить по одной задаче на каждую группу.
3. Выставление отметок
Методические замечания по работе с системой задач
по теме: «Уравнение касательной»
На тему «Уравнение касательной к графику функции» отводится всего два часа. На следующем уроке (отработки решения ключевых задач) предлагаются задачи, решение которых включает в себя несколько ключевых, требуют привлечения изученного ранее материала, а также задачи, обратные ключевым. Частью домашнего задания к этому уроку будет поиск разнообразных задач по данной теме в дополнительных источниках (журналы, материалы для подготовки к ЕГЭ, другие учебники). Все найденные задачи также заносятся в папку «Применение производной для составления касательной». Сильные ученики решают их в процессе изучения темы. Они могут консультироваться друг с другом, а также индивидуально с учителем. В конце темы на уроке обобщения наиболее интересные задачи можно рассмотреть в классе. Также задачи могут использоваться при проведении недели математики, олимпиад.