Элективный курс Наглядная геометрия на плоскости и в пространстве часть 2. 5 класс

22, 23.
"Основные задачи на определение площадей и объемов сложных фигур".

Все в мире имеет свою меру
Коперник.

Большинство объектов,созданных руками человека имеют правильную геометрическую форму, или состоят из частей, имеющих правильную форму. Для нахождения площадей и объемов этих частей используют уже хорошо вам знакомые формулы. Основная задача будет состоять в том, чтобы рационально выделить эти части, что значительно упростит вычисления. Рассмотрим несколько типичных задач.
Задание 1.
Найти площадь участка треугольной формы.
3м

5м
Задание 2.
Найти площади фигур, приведенных на рисунке по заданным размерам.
3см 1см 2см 3см

2см 2см

6см
1м
3м 1м 3дм
4м 6м 2м 3м
7м 1м 1м 4м 1дм 5дм
5см 4см

4см 2см

4см 2см 2см
2см
2см 2см
2см 4см
2см 4см
Задание 3.
Найти объемы предложенных геометрических тел, учитывая, что они сложены из кубиков размерами 1см х 1см х 1см и разделяя их на горизонтальные или вертикальные слои.














Задание 4.
Найти размеры кубика, если при погружении его в налитое до краев 12-ти литровое ведро вылилось 8 литров воды.

Урок № 24.
Практическая работа № 2
Вариант А.
Площадь прямоугольника 60см13 EMBED Equation.3 1415, его длина 2дм. Найти ширину прямоугольника.
Изобразить предложенную фигуру, произвести
необходимые замеры и определить ее площадь.
Найти объем воздуха и площадь поверхности стен и потолка комнаты длиной 10м, шириной 200дм и высотой 4м.
Вариант В.
Площадь прямоугольника длиной 20м равна площади квадрата со стороной 10м. Найти ширину прямоугольника.
Изобразить предложенную фигуру, про-
извести необходимые замеры и определить ее
площадь.
Найти объем воды в аквариуме длиной 40см,
шириной 35см и высотой 50см, если вода
налита на 1дм ниже края аквариума. Сколько стекла потребовалось на его изготовление?
Вариант С.
Площадь квадрата 64см13 EMBED Equation.3 1415. Найти площадь прямоугольника, если его длина 12см, а ширина равна стороне квадрата.
Изобразить предложенную фигуру, произвести
необходимые замеры и определить ее площадь.
Площадь пола комнаты 36м13 EMBED Equation.3 1415., длина комнаты 9м..
Найти высоту комнаты и площадь поверхности ее боковых стен, если объем комнаты составляет 108м13 EMBED Equation.3 1415

Урок № 25.
"Угол, определение, виды".

Геометрия является самым могущественным
средством для изощрения наших умственных способностей
и дает нам возможность правильно мыслить.
Галилео Галилей

Изучая прямые, отрезки и лучи, мы познакомились с различными возможностями расположения этих геометрических фигур. Рассмотрим очень важный случай расположения лучей, когда они имеют общее начало.
Во-первых они всегда лежат в одной плоскости.
Во-вторых они разбивают плоскость на две части. Эти части вместе с образовавшими их лучами в геометрии называют углами.
А
Определение:
Угол АОВ - это часть плоскости, ограни-
ченная двумя лучами, выходящими из О
одной точки. Точка О - общее начало двух
лучей ОА и ОВ - вершина угла. Лучи ОА и ОВ -
стороны угла.
В
На рисунке лучи ОА и ОВ разделили плоскость на две заштрихованные части. Исходя из определения угла, мы получили два различных угла. Естественно на рисунке нельзя нарисовать весь угол, как нельзя нарисовать весь луч. Каждый угол в действительности продолжается неограниченно. Слово угол заменяют специальным символом (АВС. При изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть плоскости которую хотят указать обозначают дужкой. Обозначать угол можно также с помощью одной заглавной буквы, которую ставят у вершины угла.


D 1
Иногда для удобства угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла: (1.
Есть еще одно полезное понятие, используемое при изучении свойств углов.
А Говорят, что луч ОС проходит между сторонами
угла АОВ, если он исходит из той же вершины
и пересекает любой отрезок с вершинами на
сторонах угла.
Нетрудно заметить справедливость следущих
О С равенств:
(АОВ = (АОС + (СОВ,
В (АОС = (АОВ - (СОВ, (СОВ = (АОВ - (АОС,
Углы, также как и другие геометрические фигуры можно сравнивать по величине. Если при наложении одного угла на другой полностью совмещаются их вершины и стороны, то такие углы называются равными.

А А
C C


О M O
D B (M) D (B)
(CMB ( ( AOD, если при совмещении их вершин О и М и сторон OD и МВ сторона МС оказывается между сторонами ( AOD.
Возьмем луч АС, и начнем мысленно вращать его против часовой стрелки до тех пор, пока он не займет положение АВ (лучи АС и АВ станут дополнительными по отношению друг к другу).
Полученный таким образом ( ВAС
называется развернутым. У развернутого
угла любой луч, исходящий из его вершины,
проходит между сторонами этого угла.
Если мы продолжим вращение луча дальше,
мы будем получать новые углы дол тех пор,
В А С пока луч не вернется в исходное положение,
сделав полный оборот. Будем говорить, что луч в ходе своего вращения "замел" самый большой возможный угол, называемый полным углом.
Задание 1.
Какое время показывают часы, если часовая и минутная стрелки составляют развернутый угол?
А какое время покажут часы, если часовая и минутная стрелки составят угол, равный по величине половине развернутого?
Угол, равный по величине половине развернутого угла носит название прямой угол.
Задание 2. К
Луч ОК делит развернутый угол АОВ на
два равных угла: ( AOК = ( КОВ. Как расположен отрезок ОК
по отношению к прямой АВ?
А О В
Угол, по величине меньший прямого называется острым, больше прямого - тупым.
Естественно, что любой острый угол меньше тупого.
Задание 3.
Приведите примеры прямых, острых и тупых углов, используя для этого чертежные инструменты, предметы обстановки, учебные принадлежности. Каких углов вы смогли отыскать больше всего? Как вы это можете объяснить?
Задание 4.
Изобразите в тетради прямой, острый, развернутый и тупой углы. Обозначьте их. С помощью знаков ( и ( сравните величины этих углов.
Задание 5.
Возьмите в руки листок бумаги неправильной формы. Как, сгибая этот листок, получить развернутый, прямой, острый и тупой углы?
Примечание:
На практике понятие угла используется не только для изготовления предметов, но и в таком важном деле, как судовождение, или пилотирование самолетов. Угол между направлением движения судна и направлением на север называется курсом судна
(
O C


N

Урок № 26, 27.
"Измерение и построение углов.
Транспортир".

Живые источники математического
творчества неотделимы от интереса к познанию
природы и задачам управления природными
явлениями.
А.Н.Колмогоров

Измерение углов аналогично измерению отрезков - оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус - величину угла, равного 13 EMBED Equation.3 1415 части развернутого угла. Градус обозначают специальным знаком: 35(. Итак, развернутый угол равен 180(. Для измерения градусной величины угла мы будем пользоваться специальным измерительным инструментом - транспортиром. Шкала транспортира представляет собой полуокружность (развернутый угол). Будьте внимательны: если сторона угла совпадает с правой половиной транспортира, то используют внутреннюю шкалу, а если с левой половиной, то внешнюю.
Угол, градусная мера которого равна 90( (половина развернутого угла) называется прямым. Углы, градусная мера которых меньше 90( называются острыми, а градусная мера которых больше 90( - тупыми.
Задание 1.
Нарисуйте при помощи транспортира углы 10(, 30(, 70(, 105(, 160(,причем так, чтобы одна сторона у всех углов была общей.
Задание 2.
На плоскости даны две пересекающиеся прямые. Измерьте все полученные углы.
При пересечении двух прямых образовались две пары равных углов. Эти угла называются вертикальными. У них нет общих сторон, а есть общая вершина.
Рассмотрим еще один интересный случай. У углов АОВ и ВОС есть общая сторона ОВ, а стороны ОА и ОС составляют развернутый угол.
Такие углы называются смежными. В
Задание 3
Подумайте, чему равна сумма смежных углов.
Как найти один из них если известен другой ? А О С
Задание 3
Изобразите произвольрный треугольник, обозначьте его вершины, измерьте все угла и найдите их сумму.
Задание 4. А Измерить все углы произвольного
четырехугольника АВСD и записать
полученные результаты. Какие из
В D полученных углов острые, какие ту-
пые? Найдите сумму всех углов ва-
шего четырехугольника. Попробуйте
С объяснить полученный результат.
Задание 5. М N
Измерьте все углы, образованные
Тремя лучами, выходящими из одной точки.
Проверьте справедливость равенства:
( МОN + ( NOK = ( MOK
O K
Задание 6.
Нарисуйте квадрат и проведите в нем диагональ. Как вы думаете, какой угол образует диагональ со стороной квадрата. Проверьте свою интуицию, измерив этот угол транспортиром.
Задание 7.
На угол в 10( смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением. Чему равен угол, наблюдаемый сквозь стекло?
Задание 8
№№ 1625, 1626, 1634, 1635, 1637, 1638.
Урок № 28
Практическая работа № 3.
Вариант А
Построить острый и тупой углы, обозначить их, измерить их величину с помощью транспортира и записать полученные результаты.
Луч ВК делит (АВС на два угла: (АВК на 20( больше чем (КВС. Найти эти два угла.
Начертить тупоугольный треугольник. Обозначить его вершины, измерить углы и найти их сумму.
Вариант В.
Построить (13 EMBED Equation.3 1415 = 58(, (13 EMBED Equation.3 1415 = 113( и (13 EMBED Equation.3 1415 = 172(.
Луч, исходящий из вершины угла величиной 45( делит его на два угла, один из которых в два раза больше другого. Найти эти углы.
Построить произвольный выпуклый четырехугольник, обозначить его вершины, измерить углы и найти их сумму.
Вариант С.
Построить угол а) на 30( больше половины прямого угла, б) на 22( меньше развернутого угла, в) составляющий 13 EMBED Equation.3 1415 полного угла.
Лучи ВК и ВМ, выходящие из вершины (АВС = 130(, делят его на три угла. (АВК в три раза больше,чем (МВС, а (КВМ на 20( больше, чем (МВС. Найти (АВМ.
Изобразить выпуклый пятиугольник, обозначить его вершины, измерить все углы и найти их сумму.

Урок № 29
"Треугольники. Классификация."

Ты на меня, ты на него
на всех нас посмотри,
У нас всего, у нас всего,
у нас всего по три.
Три стороны и три угла,
и столько же вершин,
И трижды трудные дела
мы трижды совершим.
Все в нашем городе - друзья,
дружнее не сыскать.
Мы треугольников семья
нас каждый должен знать!
В.Г.Житомирский

Среди различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Слово "многоугольник" имеет вполне определенный смысл: фигуры этого семейства имеют много углов. Подставим в слово "многоугольник" вместо части "много" число три - самое маленькое число, которое туда можно вставить. Значит, самым простым многоугольником является треугольник. Но простым еще не значит неинтересным. Попробуем его изобразить. Возьмем на плоскости три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой и проведем три прямые АВ, АС и ВС. При этом образовались три отрезка АВ, АС и ВС. Полученная фигура и называется треугольником. Давайте дадим строгое определение треугольника:
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, трех отрезков, попарно соединяющих эти точки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками.
Точки являются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Для обозначения треугольника используется специальный символ: 13 EMBED Equation.3 1415АВС
В зависимости от длины сторон треугольники подразделяются на три группы
: D P
В




A N M L K
разностронние равнобедренные равносторонние
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны равны называется равносторонним.
Для любого вида треугольников выполняется свойство:
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Это свойство носит специальное название "неравенство треугольника".
Периметром треугольника называется сумма всех его сторон. Например, для 13 EMBED Equation.3 1415АВС периметр Р = АВ + ВС + АС.
Треугольники также можно классифицировать в зависимости от их углов. Если все три угла треугольника - острые, то треугольник называется остроугольным (рис.а), если один из углов треугольника - прямой, то треугольник называется прямоугольным (рис.б), а если треугольник имеет тупой угол, то, соответственно - тупоугольным (рис.в).





рис.а рис.б рис.в
В каждом треугольнике живут "фантастические животные". Возьмем произвольный треугольник АВС. Измерим его углы и каждый угол разделим пополам. В
В Прямая линия, которая делит угол пополам, называется
N биссектрисой этого угла. Про нее у нас есть смешное
D стихотворение:
A O Биссетриса - это крыса!!
Ловко лазит по углам -
K C Делит их напополам !
Линии AD, CN, BK являются биссектрисами углов А, С и В соответственно.
Есть и еще одно "животное", знать о котором полезно. Возьмем произвольный треугольник МРК. Найдем середины все его сторон и соединим их линиями с противолежащими вершинами.
Р Линия, которая соединяет середину
стороны треугольника с противоположной
Т Е вершиной, называется медианой
О. Про медиану тоже есть стихотворение
Медианы - обезьяны,
М С К Стороны для них - лианы!
Бегают по сторонам,
Их деля напополам.
Если вы довольно точно делили углы, проводя биссектрисы, и стороны, проводя медианы, то заметили одно очень важное свойство:
Как медианы, так и биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Как определить высоту дома или дерева, мы знаем. А что такое высота треугольника? Возьмем произвольный остроугольный треугольник СРК. Из вершины Р проведем прямую РD перпендикулярно СК. Эта прямая называется высотой треугольника СРК. Аналогично можно провести еще две высоты СN и КМ. (C проведением высот в тупоугольном треугольнике мы познакомимся на занятиях математического кружка).
Р Высоты треугольника тоже пересекаются
в одной точке. Высота треугольника
М N - это самый короткий путь от его вершины
О до противоположной стороны.
Если мы стоим в вершине
И стремимся без причины
90( Добежать до стороны,
С D К То согласно "быстроте"
Побежим по высоте.
Высоты, биссектрисы и медианы треугольника обладают многими интересными свойствами, с которыми мы познакомимся позже в курсе геометрии.

Урок № 30 - 31
"Построение треугольников по заданным элементам."

Кто не слышал о загадочном Бермудском
треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и
самолеты? А ведь знакомый всем нам с детства треу-
гольник также таит в себе немало интересного и зага-
дочного.
И.Ф.Шарыгин

Прежде, чем мы приступим к разбору алгоритмов построения треугольников по заданным элементам, ответьте на следующие вопросы:
Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами?
Существует ли треугольник, у которого больше чем один угол тупые?
Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами? А с большими?
Существует ли треугольник, все углы которого меньше 50(?
Существует ли треугольник, у которого все углы больше 70(?

Рассмотрим три основные задачи на построение треугольника.
Определение. Углы А и В треугольника АВС называются прилежащими к стороне АВ. аналогично углы В и С являются прилежащими к стороне ВС, а углы А и С - прилежащими к стороне АС.
Задача 1.
Пусть заданы сторона АВ = 5см и сторона АС = 3см треугольника АВС. Пусть также задан (ВАС = 50(. Построить13 EMBED Equation.3 1415АВС.
Решение:
С помощью транспортира строим угол, величина которого равна 50(. Обозначаем вершину этого угла буквой А. На сторонах полученного угла с помощью циркуля (или линейки) отложим отрезки АВ = 5см и АС = 3см. Соединим точки В и С. Получим 13 EMBED Equation.3 1415АВС.
Задача 2.
Построить 13 EMBED Equation.3 1415АВС, если известно, что сторона ВС = 6см а два прилежащих к ней угла (АВС = 45( и (АСВ = 70(.
Решение:
На произвольной прямой откладываем отрезок ВС = 6см. строим два угла c вершинами в точках В и С, соответственно равных 45( и 70(.Точку пересечения полученных лучей обозначаем буквой А. Получили 13 EMBED Equation.3 1415АВС.
Задача 3.
Построить 13 EMBED Equation.3 1415АВС, если АВ = 4см, ВС = 6см, АС = 5см5мм.
Решение:
На произвольной прямой отложить с помощью циркуля или линейки отрезок АВ = 4см. Раствор циркуля установить равным стороне ВС, т.е. 6см и из точки В этим раствором провести полуокружность. Затем раствором циркуля равным стороне АС, т.е. 5см5мм из точки А провести вторую полуокружность до ее пересечения и первой. Точку пересечения полуокружностей обозначить С. Получим 13 EMBED Equation.3 1415АВС
Задание 1.
Ответьте на вопрос: любые ли три отрезка нам подойдут, если строить треугольник по трем сторонам?
Сравните свои треугольники, построенные в задачах 1, 2, 3 с треугольниками товарищей. Сделайте вывод.
Постройте треугольник по трем углам. (А = 35(, (В = 80(, (А = 65(. Сравните свой треугольник с треугольниками, построенными товарищами. Что можно сказать об их форме и размерах ? Какой вывод можно сделать о построении треугольников по трем углам? Как бы вы назвали полученные треугольники?
Существуют ли вокруг нас фигуры, изображением которых является треугольник? Можно ли треугольник взять в руки? А где встречается треугольники? Ответы на эти вопросы удивительные. Треугольника вокруг нас нет. Треугольник - плоская абстрактная фигура, не имеющая толщины. Вместе с тем, если посмотреть на пирамиды Древнего Египта, то увидим, что боковые грани их являются треугольниками.
Треугольник фигура жесткая. Если мы возьмем в руки три деревяные планочки и закрепим их концы заклепками так, чтобы получился треугольник, что увидим, что нам не удастся изменить форму треугольника, т.е. мы не сможем изменить ни длины его сторон, ни величину углов.










Это свойство треугольника часто используется при проектировании конструкций в строительстве для увеличения их прочности.
Задание 2.
Приведите примеры использования треугольных элементов, используя ваши наблюдения.
Задание 3.
Построить треугольник АВС если
а) его периметр равен 76 мм, АВ = 22мм, ВС = 3см, б) АВ = ВС = 35мм, (АВС = 125(,
в) АВ = 40мм, (А = (В = (С, г) АС = 27мм, (А в 3 раза больше, чем ( В, а (С на 10( больше, чем(А, д) построить произвольный равнобедренный треугольник,
е) построить произвольный равносторонний треугольник и провести его медианы. Проверить будут ли эти медианы одновременно высотами и биссектрисами углов построенного треугольника.
Урок № 32
Практическая работа № 3

Вариант А.
Периметр равностороннего треугольника равен 36,9м. Определить сторону треугольника.
Построить равнобедренный треугольник, если его основание равно 6см и боковая сторона равна 7см5мм.
Один из углов треугольника в два раза больше другого, а третий угол равен 72(. Определить вид треугольника.
Вариант В.
Периметр равнобедренного треугольника 75мм, его боковая сторона равна 25мм. Найти основание треугольника.
Построить треугольник АВС, если АВ = 40мм, АС = 32мм, а (АВС = 67(.
Один из углов треугольника на 30( больше другого, а ах сумма равна 130(. Определить вид треугольника.
Вариант С
Основание равнобедренного треугольника равно стороне равностороннего треугольника с периметром 36,9м, а его боковая сторона на 6,7м больше основание. Найти периметр равнобедренного треугольника.
Построить треугольник АВС, если ВС = 82мм, ( АВС = 58(, а (АСВ = 107(.
Угол А треугольника АВС в 2 раза больше угла С, а с углов В составляет в сумме 160(. Найти все углы треугольника АВС.


Урок № 33
Итоговая контрольная работа.
Вариант А.
Периметр треугольника ADE равен 50см. Сторона AD = 12 см, сторона АЕ больше стороны AD на 10 см. Найти длину стороны DE.
На отрезке АВ отмечены точки С и D, такие,что точка D лежит между точками С и В. Найти длину ВD, если АВ = 56см, АС = 16см, СD = 18мм.
Длина прямоугольного параллелепипеда 45см, ширина в 2 раза меньше длины, а высота на 2 см больше ширины. Найти объем параллелепипеда.
Луч ST делит прямой угол KSL на два угла. Найти градусную меру угла TSL, если угол KST составляет 13 EMBED Equation.3 1415 угла KSL.
Два угла ADC и KDC имеют общую сторону DC. Какую градусную меру может иметь угол ADK, если (ADC = 130(, (СDK = 30?
Вариант В.
Периметр треугольника МКР равен 59см. Сторона МК = 24 см, сторона КР меньше стороны AD на 6 см. Найти длину стороны МР.
На отрезке СD отмечена точка N. Найти длину отрезка CD, если отрезок CN = 45мм, а отрезок ND короче отрезка CN на 5,4мм.
Ширина прямоугольного параллелепипеда 14 см и она меньше длины в три раза. Высота на 12см меньше длины. Найти объем параллелепипеда.
Луч MN делит прямой угол СMD на два угла. Найти градусную меру угла CMN, если угол NMD составляет 13 EMBED Equation.3 1415 угла СMD.
Два угла KMN и PNM имеют общую сторону MN. Какую градусную меру может иметь угол KNP, если (KNM = 110(, (PNM = 40?
Вариант С
Периметр треугольника ВDК равен 64см. Сторона ВD = 28 см, сторона ВК меньше стороны ВD на 11 см. Найти длину стороны DК.
На прямой СD отмечеан точка М. Найти длину отрезка МD, если отрезок CD = 37см, а отрезок CМ = 14см .Иллюстрируйте свои рассуждения.
Длина прямоугольного параллелепипеда 42см, ширина на 27см меньше длины, а высота в два раза больше ширины. Найти объем параллелепипеда.
Луч DE делит прямой угол KDC на два угла. Найти градусную меру угла EDC, если угол KDE составляет 13 EMBED Equation.3 1415 угла KDC.
Два угла DAC и BAC имеют общую сторону AC. Какую градусную меру может иметь угол DAB, если ( DAC = 120(, ( BAC =50( ?

Заключительный урок - игра № 34
Тема: Геометрия вокруг нас.


Читайте, понимание придет потом.
Ж.Лагранж.


Класс делится на две команды, например девочек и мальчиков. Зачитывается вопрос и на доске рисуется сетка с окошками, в которых должны будут появляться буквы слова, являющегося ответом.
Например:

П И Ф А О Р

Член первой команды называет букву (можно назвать сразу все слово, если знаешь ответ). Если буква названа правильно, то команда может назвать еще одну букву или все слово. В противном случае ход переходит к другой команде. Очко получает команда, первой угадавшая заданное слово. Побеждает команда, набравшая большее количество очков.
Вопросы:
Линия, по которой движется стрелка часов. (Окружность)
Детская игрушка - правильный многоугольник . (Куб)
Геометрическая фигура, которая должна находиться в портфеле каждого ученика.
(Треугольник)
Изобретатель знаменитой игры, в которой в различных плоскостях вращаются слои кубика. (Рубик)
Геометрическое преобразование, меняющее положение фигуры, но сохраняющее ее форму. (Движение)
Древнегреческий математик, автор знаменитых "Начал"- первого дошедшего до нас трактата по математике. (Евклид)
Геометрическая фигура, которую часто используют как головной убор для новогодних костюмов. (Конус)
Одно из основных неопределяемых понятий геометри (Плоскость)
Ученый-математик, чьим именем названа односторонняя поверхность (Мебиус)
Величина, характеризующая удаленность одного объекта от другого. (Расстояние)
Линия, соединяющая две противоположных вершины прямоугольника, квадрата.
(Диагональ)
Геометрическая фигура и название места нахождения наказанного озорника. (Угол)
Линия, которую образует тело ученика, стоящего по команде "смирно" по отношению к полу спортзала. (Перпендикуляр)
Линии на глобусе, которые никогда не пересекаются (Параллели)
Геометрическая линия, форму которой любят придавать своим локонам модницы.
(Спираль)
После подведения итогов игры, самые активные и результативные ее участники награждаются памятными призами и хорошими оценками.
Root Entry