индивидуально-образовательный маршрут по теме Решение тригонометрических уравнений

Дидактический материал

Решение тригонометрических уравнений
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений
Учебный элемент №1
Указание учителя:
Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Для этого прочитайте текст на с. 69.
Выполните письменно самостоятельную работу
Решите уравнения:
Вариант 1
cos x = 0,5 (1 б )
sin x = - 13 EMBED Equation.3 1415 ( 1 б )
tg x = 1 ( 1 б )
cos ( x + 13 EMBED Equation.3 1415 ) = 0 ( 2 б )
2 cos x = 1 (1 б )

3 tg x = 0 (1 б )

Sin 4 x = 1 ( 1 б )

Исправляйте ошибки и проставляйте число заработанных баллов в оценочный лист. Если набрали 6 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу. Если набрали меньше шести, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых было допущена ошибка, и проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент №2
Указания учителя:
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Выполните самостоятельную работу.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что , пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию или комбинацию функций обозначить через у , получив при этом квадратное уравнение относительно у.
Например: 4 – cos 13 EMBED Equation.3 1415x = 4 sin x
Вместо cos 13 EMBED Equation.3 1415x подставим 1 - sin 13 EMBED Equation.3 1415x. Тогда исходное уравнение примет вид :4 – (1 - sin 13 EMBED Equation.3 1415x ) =4 sin x , преобразуем 3 + sin 13 EMBED Equation.3 1415x. = 4 sin x или sin 13 EMBED Equation.3 1415x. - 4 sin x +3 = 0
Если положить у = sin x, получим у13 EMBED Equation.3 1415 - 4у + 3 = 0. оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
sin x = 1 или sin x = 3
х = 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет
Ответ: х = 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнения:
tg 13 EMBED Equation.3 1415 x – tg x + 2 = 0 (2 б)
2 cos13 EMBED Equation.3 1415 x + 5 sin x – 4 = 0 (3 б)
13 EMBED Equation.3 1415 + 2 sin x = 3 (3 б)
Указание учителя: проверьте и оцените свою работу, правильные ответы. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочный лист.
Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решите задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись. Проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 3
Внимательно прочитайте ниже пояснения и выполните задания.

Метод разложения на множители
Под разложением на множители понимаем представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произведение нескольких множителей, а в другой 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. К сожалению, нельзя указать единого способа разложения на множители любого выражения.
Решите уравнение: 2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x – cos 2 x – sin x = 0. Сначала сгруппируем первый с третьим, а cos 2 x представим в виде cos 13 EMBED Equation.3 1415x – sin 13 EMBED Equation.3 1415x . Получим (2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x – sin x) - (cos 13 EMBED Equation.3 1415x – sin 13 EMBED Equation.3 1415x) =0
Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos 13 EMBED Equation.3 1415x запишем 1 - sin 13 EMBED Equation.3 1415x. Уравнение примет вид sin x (2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x – 1) - (1- 2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x) = 0. Выполним дальнейшие тождественные преобразования sin x (2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x – 1+
(2 sin 13 EMBED Equ
·ation.3 1415x – 1 ) = 0. (2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x – 1)( sin x+1) = 0. Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений 2 sin 13 EMBED Equation.3 1415x – 1 =0 или sin x+1 = 0
sin 13 EMBED Equation.3 1415x = 0,5 или sin x = -1
sin x = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ : х = 13 EMBED Equation.3 1415, х = 13 EMBED Equation.3 1415
Задания самостоятельной работы
Вариант 1
sin 13 EMBED Equation.3 1415x - sin x = 0 (2 б)

3 cos х +2 sin 2x = 0 (3 б)
Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то решите соответствующее задание другого варианта.

Учебный элемент №4
Прочитайте пояснения и выполните задания.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0 и a sin 13 EMBED Equation.3 1415x + b sin x cos x + c cos 13 EMBED Equation.3 1415x = 0.
Покажем сначала, как решать однородное уравнение первой степени a sin x + b cos x = 0 .
Поделим обе части уравнения на sin x или cos x. Докажем, что выражение никогда не обращается в нуль: если cos x = 0, то а sin x = 0 и если sin x = 0, то b cos x = 0. Быть этого не может в виду равенства sin 13 EMBED Equation.3 1415x + cos 13 EMBED Equation.3 1415x = 1.. Значит можно поделить уравнение на cos x. Получим a tg x + b = 0, отсюда х = arctg 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично решается однородное уравнение вида a sin 13 EMBED Equation.3 1415x + b sin x cos x + c cos 13 EMBED Equation.3 1415x = 0.
Их решение начинается с того, что обе части уравнения делят на cos 13 EMBED Equation.3 1415x или sin 13 EMBED Equation.3 1415x.
Самостоятельная работа
Вариант 1
sin x - cos x = 0 (2б)
sin 13 EMBED Equation.3 1415x - sin 2x = 3 cos 13 EMBED Equation.3 1415x (3б)
Набрано 5 баллов, то переходите к следующему учебному элементу. Если набрано менее 5 баллов, то нужно взять консультацию.

Учебный элемент № 5
Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы стр. 7, 8 (учебник).
Выполните самостоятельную работу.
Решите уравнения:
Вариант 1
cos 2 x – 5 sin x -3 = 0 (1б)

sin 2 x + cos 2 x = 0 (1б)

cos 13 EMBED Equation.3 1415x - cos 2 x = 0 (2б)

sin 4 x - cos 2 x = 0 (2б)

5 – 5 cos (13 EMBED Equation.3 1415 = 2 cos 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 (2б)
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте баллы в оценочный лист. Если набрано 5 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичны тем, в которых была допущена ошибка.

Учебный элемент № 6
Молодцы( Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Самостоятельная работа.
sin 6 x + cos 6 х = 1- 2 sin 3 х (2б)

29 – 36 sin 13 EMBED Equation.3 1415(х -2) – 36 cos (х – 2) = 0 (3б)

2 sin x cos x + 13 EMBED Equation.3 1415 - 2 cos х - 13 EMBED Equation.3 1415 sin х = 0 (2б)

sin 4 x = 2 cos 13 EMBED Equation.3 1415х – 1 (2б)

sin х (sin х + cos х) = 1 (3б)

13 EMBED Equation.3 1415 (3б)

Проверьте и оцените свои работы. Подсчитайте количество баллов.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native