Урок обобщения и систематизации по математике по теме «Квадратные корни»

Урок систематизации и обобщения по теме:
«Квадратные корни»













Выполнила:
Учитель математики
Выродова М.А.

Урок обобщения и систематизации по теме:
Квадратные корни.
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
Учебник: Алгебра 8. Алимов Ш.А. и др.. (Глава 3.)
Учебная задача урока: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Квадратные корни».
Диагностируемые цели: в результате урока ученик:
воспроизводит определения арифметического квадратного корня, иррационального числа, тождества;
формулирует условие существования квадратного корня, свойства квадратных корней, алгоритмы: перевода обыкновенной дроби в конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь и обратно;
раскрывает содержание понятия действительного числа;
имеет представление о тождественном равенстве выражений, тождественном преобразовании выражений;
понимает, что действие извлечение квадратного корня является обратным для действия возведение в квадрат; различия между квадратным корнем и арифметическим квадратным корнем; что любая формула действует при определённых условиях в ту и другую сторону;
выделяет базу док-ва того или иного свойства;
умеет вычислять квадратный и арифметический квадратный корень из неотрицательного числа на основе определения и свойств; проводить тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни, в частности: выносить множитель из-под знака корня, вносить под знак корня, избавляться от иррациональности в знаменателе дроби тремя способами;
понимает взаимосвязь между понятиями, теоремами, правилами темы и другими науками.
Методы обучения: метод эвристической беседы, репродуктивный, частично-поисковый.
Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва-таблица.
Форма работы: фронтальная.
Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (25 мин);
II. Операционально-познавательный этап (15 мин);
III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).
Канва-таблица.
Квадратные корни.



















































Ход урока.
Деятельность учителя
Деятельность учащихся

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

Актуализация.
Вспомним какое основное понятие и связанные с ним теоремы вы изучали на прошлых уроках.
(Учитель даёт небольшие задания. Часть заданий делается устно со всем классом, другая часть записывается на доске и в тетрадях учеников).

Задание 1 (Устно): Сторона квадратного участка земли равна 9 метров. Найдите площадь S этого участка.

Какое действие вы выполняли?









Решение:
S = 92 = 81(м2)


Возведение в квадрат.

Задание 2 (Устно): Площадь квадратного участка земли равна 121 м2. Найдите его сторону а.
Какое действие вы выполняли?

Какое понятие использовали? Дайте ему определение.


Запишите его в символьном виде.
Решение:
а = 13 EMBED Equation.3 1415 = 11 (м)

Действие извлечения арифметического квадратного корня.

Понятие арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

13 EMBED Equation.3 1415

Задание 3 (Устно): Решите уравнение:
а) а2 = 121
б) а2 = 0
в) а2 = -121


Какое действие выполняли?

Каково условие существования квадратного корня?
Решение:
а = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 141511
а = 13 EMBED Equation.3 1415= 0
а = 13 EMBED Equation.3 1415– не существует.

Действие извлечения квадратного корня.

13 EMBED Equation.3 1415имеет смысл только при а 13 EMBED Equation.3 14150


Задание 4 (Устно): Вычислите:
1) (13 EMBED Equation.3 1415)2
Какое тождество использовали?

Откуда оно появилось?

2) 13 EMBED Equation.3 1415

Какое тождество вы использовали?

3) 13 EMBED Equation.3 1415
Какую теорему вы использовали?
Запишите её в символьном виде.

4) 13 EMBED Equation.3 1415

Какую теорему вы использовали?

Запишите её в символьном виде.

Решение:
1) (13 EMBED Equation.3 1415)2 = 5
(13 EMBED Equation.3 1415)2 = а, при а 13 EMBED Equation.3 14150

Как следствие из определения арифметического квадратного корня.
2) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 7
Для любого числа a справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.

3) 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема о корне из произведения.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.

4) 13 EMBED Equation.3 1415

Теорему о корне из дроби.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание 5 (Устно): Показать, что:
3 < 13 EMBED Equation.3 1415< 5






Какую теорему вы использовали?
Решение:
Возведём неравенство в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
0 < 9 < 13 < 25
13 EMBED Equation.3 1415
3 < 13 EMBED Equation.3 1415< 5

Если a > b > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание 6: Записать в виде конечной или бесконечной периодической дроби:
13 EMBED Equation.3 1415





Задание 7: .Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:
2,2(15)





Чем вы пользовались при решении этих заданий?
Решение:









Решение:
x = 2,2(15) 13 EMBED Equation.3 1415
10х = 22,(15) 13 EMBED Equation.3 1415
1000х = 2215,(15)
Вычитаем из третьего равенство второе:
990х = 2193
13 EMBED Equation.3 1415

Алгоритмами перевода обыкновенной дроби в конечную и бесконечную периодическую десятичную дробь и обратно.

Задание 8: Внесите множитель под знак корня: - 313 EMBED Equation.3 1415


Какую теорему использовали?

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

Для любого числа a справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415и теорему о корне из произведения

Задание 9: Вынесите множитель из-под знака корня: 13 EMBED Equation.3 1415


Какую теорему использовали?

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

Для любого числа a справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415и теорему о корне из произведения.

Задание 10: Избавится от иррациональности в знаменателе дроби:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Какой приём использовали?


На чём основан?

2) 13 EMBED Equation.3 1415 , при 13 EMBED Equation.3 1415

Какой приём использовали?



На чём основан?

3) 13 EMBED Equation.3 1415





Какой приём использовали?



На чём основан?

Решение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Умножали и числитель и знаменатель дроби на иррациональное число стоящее в знаменателе.

На следствии из определения арифметического квадратного корня.
2) 13 EMBED Equation.3 1415

Раскладываем числитель на слагаемые по формуле «разность квадратов», в результате одно из слагаемых и знаменатель должны сократиться.

На сокращении дробей.

3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если в знаменателе дроби стоит разность (сумма) двух чисел, то домножаем и числитель и знаменатель дроби на сумму (разность) этих же слагаемых.

На формуле :разность квадратов», правиле раскрытия скобок, приведении подобных слагаемых.

Мотивация.
Вы изучили тему: «квадратные корни», в ней много различных понятий, теорем и правил, которые вы использовали при решении предыдущих примеров. На следующем уроке вы пишите контрольную работу.

Постановка учебной задачи урока.
Поэтому вам необходимо осознать на сегодняшнем уроке изученные теоретические положения темы «Квадратные корни» и рассмотреть их взаимосвязь.


II. Содержательная часть.

Далее все записи учитель и ученики ведут в канве-таблице. Идёт фронтальная работа учителя с классом.

Какое действие вы выполняли при решении задания 1?

Какое действие вы выполняли при решении задания 2?
Запишите определение арифметического квадратного корня в символьном виде.

Какое условие существования квадратного корня вы получили при решении задания 3?

Чем пользовались при решении задания 4?





Возведение в квадрат.
(записывается в канву).

Извлечение арифметического квадратного корня. (записывается в канву).
13 EMBED Equation.3 1415(записывается в канву).

13 EMBED Equation.3 1415имеет смысл только при а 13 EMBED Equation.3 14150
(записывается в канву).


Следствием из определения:13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415
(записывается в таблицу)

Далее на примере заданий 4 -5 вы вспомнили несколько свойств арифметического квадратного корня.






На чём основывается доказательство этих свойств?

Следует заметить, что все формулы действуют как слева-направо, так и справа-налево при определённых условиях.
) Для любого числа a справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Если a > b > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
4) Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства уже должны быть выписаны на доске. Теперь заносятся в канву-таблицу.
На определении арифметического квадратного корня и его следствиях. (Появляется стрелочка от опр. к свойствам)


Какие преобразования вы повторили решая задания 7-8?


























Заполняются соответствующие ячейки канвы-таблицы. Рисуются стрелочки.
1) Вынесение множителя из-под знака корня.
2) Внесение множителя под знак корня.
3) 3 способа избавления от иррациональности в знаменателе дроби.
1) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415
2)
13 EMBED Equation.3 1415
3) a)13 EMBED Equation.3 1415, где b > 0;
b) 13 EMBED Equation.3 1415 ,
при a13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
c)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , при a13 EMBED Equation.3 1415b, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


Далее идёт заполнение последней части канвы-таблицы.

Вспомним, как появилось понятие иррационального числа.

Какое числовое множество образуют положительные числа?
Какие числа кроме положительных ещё существуют?
Какое множество объединяет положительные, отрицательные числа и ноль?

Какие ещё числа, кроме целых, вы знаете?
Приведите примеры.

Какое множество включает в себя и дробные и целые числа?
Приведите примеры.


Известно, что рациональное число записывается в виде обыкновенной дроби. Как ещё его можно записать?
Какие два алгоритма перевода мы знаем?





Как мы переводим бесконечную периодическую десятичную дробь обратно в обыкновенную? Давайте сформулируем алгоритм. (Учитель вместе с учениками на основе задания 6 формулирует алгоритм перевода).




Мы уже знаем, что кроме бесконечной периодической десятичной дроби существует бесконечная десятичная непериодическая дробь. Будет ли она рациональным числом?

А какое это число?
Приведите примеры.

Каким образом мы с вами расширили множество рациональных чисел?
Вся числовая ось теперь заполнена.

Перед нами теперь полностью заполненная таблица, отображающая все понятия, которые мы изучили по теме «Квадратные корни». На ней мы чётко видим, как взаимосвязаны все понятия, теоремы и преобразования изученные вами.






Множество натуральных чисел. (в канву)

Отрицательные и ноль. (в канву)

Множество целых чисел. (в канву)


Дробные числа.
313 EMBED Equation.3 1415; -13 EMBED Equation.3 1415; 0,75; -6,1(3) (в канву)

Множество рациональных чисел.
- 5; 0; -2,34; 17; -13 EMBED Equation.3 1415; 4,1(25) (в канву)

В виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.


1) Перевод обыкновенной дроби в конечную десятичную, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь.
2) Перевод конечной десятичной, либо бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.
(заносится в канву).

Алгоритм перевода конечной десятичной дроби и бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
Обозначаем число за х.
Умножаем на число десятков, стоящих до периода после запятой.
Умножаем на столько десятков, сколько цифр в периоде.
Из последнего равенства вычитаем предыдущее.
Выражаем х обыкновенной дробью.
Сокращаем дробь, если необходимо.





Нет.

Иррациональное.
0, 1234; 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Мы ввели иррациональные числа и расширили множество рациональных до множества действительных чисел.


III. Рефлексивно-оценочная часть.

Какова была цель сегодняшнего урока?


Достигли ли мы этой цели?

Каким образом?

Домашнее задание:
Выполнить задания из «Проверь себя!» на стр. 102. Подготовиться к контрольной работе.
Осознать на сегодняшнем уроке изученные теоретические положения темы «квадратные корни» и рассмотреть их взаимосвязь.

Да.

Мы повторили всю теорию по теме «Квадратные корни» и в виде таблицы показали её взаимосвязь.


Проверь себя
1. Сравнить: 7 и 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415.










Решение:
а) 7 = 13 EMBED Equation.3 1415
49 > 48 >0
13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
7 > 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0 < 12 < 18
13 EMBED Equation.3 1415< 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415.

2. Вычислить:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3. Упростить выражение:
13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

4. Вынести множитель из-под знака корня:
13 EMBED Equation.3 1415, a13 EMBED Equation.3 1415

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

5. Сократить дробь:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415,при 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

6. Исключить иррациональность из знаменателя:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Канва-таблица.
Квадратные корни.








13PAGE 15


13PAGE 141215



Обратное действие:











Арифметический
квадратный корень
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Квадратные корни:
13 EMBED Equation.3 1415

Прямое действие:
13 EMBED Equation.3 1415



Перевод конечной десятичной, либо бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Перевод обыкновенной дроби в конечную десятичную, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Натуральные числа
1, 2, 3,

Нуль
0

Отрицательные числа
, -3, -2, -1

Дробные числа
313 EMBED Equation.3 1415; -13 EMBED Equation.3 1415; 0,75; -6,1(3)

Целые числа
, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

Иррациональные числа
0, 1234; 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Рациональные числа
-5; 0; -2,34; 17; -13 EMBED Equation.3 1415; 4,1(25)

Действительные числа




Вынесение множителя из
-под знака корня.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415



Внесение множителя под знак корня.
13 EMBED Equation.3 1415





3 способ
13 EMBED Equation.3 1415
При a13 EMBED Equation.3 1415b, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


2 способ
13 EMBED Equation.3 1415,
при a13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

1 способ
13 EMBED Equation.3 1415, где b > 0

Избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

1). Для любого числа a справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.



4). Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.


3). Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.



2). Если a > b > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.


Свойства:

Следствие из определения:
13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415


Следствие из определения:


Квадратные корни:


Арифметический
квадратный корень


Обратное действие:











Прямое действие:


























Вынесение множителя из
-под знака корня.



Внесение множителя под знак корня.






3 способ


2 способ


1 способ

Избавления от иррациональности в знаменателе дроби.











Свойства:














Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native