Методика введения понятия Квадратное уравнение

Цель данной работы: разработать методику работы с таким математическим понятием как квадратное уравнение.
Для написания данной работы мною был выбран учебник Алгебра – 8. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова. Год издания – 2010.
Профессиональный этап
В данном учебнике определение выглядит следующим образом:
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x-переменная, a,b и c-некоторые числа, причём a≠0.Проведём логико – математический анализ. Определение выглядит следующим образом:
Ax ⟺∀x∈U∧Bx∧С(x), где
Ax – объект x является квадратным уравнением
⟺ – тогда и только тогда, когда
∀x∈U – объект x принадлежит множеству уравнений
Bx – имеет вид вида ax2+bx+c=0∧ – и
С(x) – выполняется условие a≠0.
Термин – квадратное уравнение
Род – уравнение
Видовые отличия - имеет вид вида ax2+bx+c=0 и выполняется условие a≠0.
Подготовительный этап
Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение», нужно знать, что такое уравнение, что означает решить уравнение, что такое одночлен и многочлен.
Уравнением называется равенство, содержащую неизвестную переменную. Решить уравнение – значит найти такие значения переменной, при которой равенство обращается в верное выражение. Одночленом называется произведение, состоящее из чисел, переменных и их степеней. Многочленом называется сумма одночленов.
Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение» нужно уметь вычислять арифметические квадратные корни, квадратные корни из произведения и дроби, выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня, решать линейные уравнения.
Например:
Найти значение выражения
а) 11981 ; б) 1,69 ; в) 19600; г) 12425;
Вычислить
а) 45-35 ; б)(7-5)(7+5) ; в)822-182 г) 3(27-12)Этап введения определения
Рассмотрим с вами уравнения -x2+6x+1,4=0, 8x2-7x=0, x2-49=0. Каждое из этих уравнений имеет вид ax2+bx+c=0, где x-переменная, a,b и c-некоторые числа. В первом уравнение a=-1, b=6 и c=1,4; во втором уравнении a=8, b=-7, c=0; в третьем a=1, b=0, c=-49 .
Зададимся вопросом: а может ли a быть равным 0? Рассмотрим вид уравнений ax2+bx+c=0. Если a=0, то получим уравнение вида bx+c=0, а из курса 7-ого класса мы знаем, что уравнение полученного вида называется линейным. Следовательно, a не может быть равным 0.
Рассмотрев примеры и получив ответ на наш вопрос, мы можем составить определение квадратного уравнения:
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x-переменная, a,b и c-некоторые числа, причём a≠0.Поработаем с нашим определением. Числа a,b и c называются коэффициентами квадратного уравнениями, где
a – первый коэффициент (чисто, стоящее перед x2)
b – второй коэффициент (число, стоящее перед x)
c – свободный член (число, не имеющее переменных).
Почему уравнение называется квадратным? Потому что в каждом уравнении вида ax2+bx+c=0, где a≠0 наибольшая степень переменной x – квадрат.
Заметим, что квадратным назовём уравнение второй степени, если одна из частей уравнений есть многочлен второй степени.
Приведённым называется квадратное уравнение, у которого a=1.
Неполным называется квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю. Неполные квадратые уравнения бывают трёх видов:
ax2+c=0, c≠0;ax2+bx=0, b≠0ax2=0Этап усвоения определения
На этом этапе закрепим полученные знаний. Выполним следующие задания
Являются ли квадратным следующие уравнения? Если являются таковыми, то определите коэффициенты a,b и c.
2,1x2+2x-23=06x+12=0-7x2+13=0-48x2-3x3+3,8=0Какие из данных уравнений являются неполными?
Составьте квадратные уравнения, если известны коэффициенты
a=1, b=6 и c=-5a=-2, b=-3 и c=102,5a=1,5 , b=0 и c=-6a=9, b=0 и c=0a=-3, b=-8,7 и c=0Какие из данных уравнений являются неполными? приведёнными?
Этап закрепления понятия
Данное понятие имеет широкий спектр применения:
решение квадратных уравнений и задач и помощью квадратных уравнений
решение дробно-рациональных уравнений
определение квадратичной функции, её свойства и график
разложение квадратного трёхчлена
решение квадратных неравенств, биквадратных уравнений и т.д.
Задание №1. Вывести формулы корней неполного квадратного уравнения
а) ax2+c=0 → ax2=-с → x2=-ca → x1,2=±-ca .
б) ax2+bx=0 → x(ax+b)=0 → x=0 или ax+b=0 → x1=0, x2=-ba .
в) ax2=0 → x2=0 → x=0Задание №2. Решите уравнения
2x2-8=0 → 2x2=8 → x2=4 → x1,2=±2.
1-4y2=0 → -4y2=-1 → y2=14 → x1,2=±0,5.
4x2-3x=0 → x(4x-3)=0 → x=0 или 4x-3=0 → x1=0, x2=0,75 .
7a-14a2=0 → a(7-14a)=0 → a=0 или 7-14a=0 → a1=0, a2=0,5 .
24+6z2=0 → 6z2=-24 → x2=-4 → действительных корней нет.
-5x2+6x=0 → x(-5x+6)=0 → x=0 или -5x+6=0 → x1=0, x2=1,2.
7r2=0 → r2=0 → r=0.
Задание №3. Найдите корни уравнений
x-1x+1=2x2-5x2-1=2x2-5 → x2-4=0 → x2=4 → x1,2=±2.
-5y2+8y+8=8y+3-5y2+8y+8-8y-3=0 → -5y2+5=0 → y2=1 → x1,2=±1 .
6a2-a+22=-4a-46a2-a2+4a+4=-4a+16 → 5a2-20=0 → a2=4 → x1,2=±2 .
Решите задачу.
Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле s=gt22 , где t (с) – время, g≈10мс2 , s (м) – пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 метров?
Решение.
Из условия задачи получаем 80=10t22 → 5t2=80 → t2=16 → t1,2=±4 . По смыслу задачи t>0 → t=4 (c).
Ответ: 4 секунды.