Презентация по математике: «Методика работы с теоремой: «В любой треугольник можно вписать окружность»»

Теорема:В любой треугольник можно вписать окружность. Задача1.Прямая АВ касается в точке В окружности с центром О радиуса r. Найти АВ, если ОА=2 см, r=1,5 см. Дано:Окружность (О; r=1,5 см),АВ - касательная, В-точка касания, ОА=2 см.Найти: АВ. Решение.1. ОВ=r=1,5 см. (т.к. АВ - касательная).2. АВ ОВ (по теореме: касательная АВ к окружности (О; r)перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания).3. ∆ АВС прямоугольный, 4. 5. см.Ответ. см. В А О Обобщение. При решении данной задачи мы пользовались утверждением о расстоянии от центра окружности до точки касания. Сформулируйте его. (Если прямая и окружность имеют только одну общую точку, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности) Какую теорему мы вспомнили, решая эту задачу? (Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания) Задача 2.Точка М лежит внутри прямого угла АВС и равноудалена от его сторон.Найти ∠АВМ, ∠СВМ. Дано:∠АВС= 90°МК=МL.Найти:∠АВМ, ∠СВМ. С L М В А К Решение.ВМ – биссектриса ∠АВС .Точка М лежит на биссектрисе угла АВС (по теореме: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе).3. ∠АВМ=∠СВМ (биссектриса делит угол на два равных).4. ∠СВМ= 90°:2=45°. .5. ∠АВМ=∠СВМ=45°((a=b, b=c) ⇒ (a=b=c) и a=∠АВМ, b=∠СВМ, c=45°).Ответ. ∠АВМ=45°, ∠СВМ=45°. Обобщение. Какую теорему мы повторили при решении этой задачи? (каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе) Рассмотрим рисунок. Чтобы построить окружность вписанную в треугольник (смотри верх калитки) кому-то пришлось рассчитать радиус окружности и расположение центра окружности относительно треугольника. Давайте выясним как это сделать. Теорема:В любой треугольник можно вписать окружность. О чем идет речь в теореме? (о произвольном треугольнике) Изобразим его и обозначим АВС. Дано: ∆АВС произвольный А В С Что именно говорится о нем? (в него можно вписать окружность) Дано: ∆АВС произвольный.Доказать: в ∆АВС можно вписать окружность. А В С С А С В А С Что нужно сделать, чтобы доказать, что в треугольник можно вписать окружность? 2 варианта:1) дети отвечают: показать, что все стороны треугольника касаются окружности.2) молчание. Задаю наводящие вопросы:Чем задается окружность? (центром и радиусом)Что значит окружность вписана в треугольник? (Все стороны треугольника касаются окружности) Таким образом, мы должны показать, что все стороны треугольника касаются окружности. Тогда, если стороны треугольника касаются окружности, что общего имеет каждая сторона треугольника и окружность? (окружность и каждая сторона треугольника имеют одну общую точку, точку касания) В каком случае окружность и сторона будут иметь одну общую точку?(если расстояние от центра окружности до стороны равно радиусу окружности) То есть , центр окружности будет равноудален от всех сторон треугольника. Сначала найдем такую точку, которая будет равноудалена от двух сторон треугольника. Например, от сторон, которые образуют угол А треугольника АВС.Что для этого нужно сделать?(Построить биссектрису угла А)Построим ее и обозначим АZ.Каждая точка биссектрисы угла А равноудалена от его сторон. С А В О Z Проделаем то же самое для угла В.Проведем биссектрису угла В и обозначим ее ВР.Каждая точка биссектрисы угла В равноудалена от его сторон. О С В А Р Тогда, точка пересечения биссектрис, которая принадлежит и биссектрисе угла А и биссектрисе угла В, равноудалена от трех сторон треугольника. Значит именно эту точку мы и искали. . А В Z С Р Можно сделать вывод, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника, а значит является центром вписанной окружности. Как найти расстояние от центра окружности до стороны треугольника? (мы должны провести перпендикуляры из центра к сторонам треугольника.)Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС, СА. L . А М В Z С Р К Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК= OL=OM. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ .Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. L . А М В Z С Р К Теорема доказана. Дано: ∆АВС произвольный.Доказать: в ∆АВС можно вписать окружность. Краткая запись. L . А М В Z С Р К Доказательство.1. АZ – биссектриса ∆АВС.2. ВP – биссектриса ∆АВС.3. О: АZ∩ВP=О.4. ОК: ОК⊥АС, КϵАС.5. ОМ: ОМ⊥АВ, МϵАВ.6. ОL: ОL⊥ВC, LϵВС.7. Окружность (О; r=ОК).8. ОК=ОL (по теореме каждая точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от его сторон).9. ОL=ОM (по теореме каждая точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от его сторон).10. ОК=ОМ=ОL ((a=b, b=c)⇒(a=b=c) и a=ОК, b=OL, c=ОМ).11. Окружность проходит через точки М, К, L.12. АВ – касательная к окружности (т.к. АВ проходит через конец радиуса ОМ, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу).13. ВС – касательная к окружности (аналогично п.12).14. АС – касательная к окружности (аналогично п.12).15. Окружность вписана в треугольник АВС (т.к. каждая сторона треугольника касается). Задачи на применение. Задача 1.Построить окружность, вписанную в треугольник со сторонами 4 см, 7см и 5см (использовать циркуль, линейку и транспортир). Решение.1) Построим треугольник со сторонами 4 см, 7 см и 5 см .2) В полученном треугольнике проводим две биссектрисы. 3) Точка пересечения биссектрис будет центром окружности. 4) Из центра окружности опускаем перпендикуляр к одной из сторон треугольника. 5) Этот перпендикуляр есть радиус вписанной в треугольник окружности. 6) Проводим окружность. Задача 2.Найти радиус вписанной в треугольник АВС окружности, если расстояние от вершины до центра окружности О равно 5 см, расстояние от этой же вершины до точки касания равно 4 см. . О А К С В Дано: ∆АВС, окружность с центром О, вписанная в ∆АВС, КС=4 см, ОС=5 см.Найти: r. Решение.1. ОК=r (как радиус, проведенный в точку касания).2. ∠ОСК=90° (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания).3. ∆КОС прямоугольный, 4. 5. r=3 см. (из пунктов 1 и 4).Ответ. r=3 см.