Решение задач по теме «Кредиты, с заданной последовательностью долгов»

Решение задач по теме «Кредиты, с заданной последовательностью долгов»
Бабинер Е.С.,
старший преподаватель кафедры общего образования и воспитания
ОГАОУ ДПО «Институт повышения квалификации педагогических работников»
Для выявления закономерности составим следующую таблицу:
kSkVkDk0 S0D0=S01 S1=D0(1+r)V1=S1-D1=D0(1+r)-D1D12 S2=D1(1+r)V2=D1(1+r)-D2D23 S3=D2(1+r)V3=D2(1+r)-D3D3… … … …
n-1Sn-1=Dn-2(1+r)Vn-1=Dn-2(1+r)-Dn-1Dn-1nSn=Dn-1(1+r)Vn=Sn=Dn-1(1+r)Dn=0Тогда
n=V1+…+Vn=D0+rD0+D1+…+Dn-1.(1)
Откуда
r=n+D0D0+D1+…+Dn-1. (2)Если последовательность Dk задана в частях, то есть Dk=ak∙S, то таблица принимает вид:
kSkVkDk0 S0D0=S01 S1=S(1+r)V1=S1+r-a1S=S(1+r-a1)a1S2 S2=a1S(1+r)V2=a1S1+r-a2S=S(a1+a1r-a2)a2S3 S3=a2S(1+r)V3=S(a2+a2r-a3)a3S… … … …
n-1Sn-1=an-2S(1+r)Vn-1=S(an-2+an-2r-an-1)an-1SnSn=an-1S(1+r)Vn=Sn=an-1S(1+r)0Тогда
Σn=S1+r+ra1+a2+…+an-2+an-1.(3)
Если последовательность Dk задана в процентах, то переводим проценты в части и используем в решении формулу (3).
Задача 1
Известно: S0,n, Dk, n<C.
Неизвестно: r.
Найти: r.
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r- целое число;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (млн.руб.) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Найти наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Решение.
По формуле (1) получаем:
n=1+r1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1=1+2,6r.
Учитывая то, что n<1,2:
1+2,6r<1,2.Откуда:
r<0,077.Так как требуется наибольшее значение r, следовательно, r=0,08 или 8%.
Задача 2
Известно: r,n, Dk, Vk>C.
Неизвестно: S0.
Найти: наименьшее S0.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего месяца;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019
Долг (млн.руб.) S0,7S0,4S0
Найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Решение.
Находим выражение для каждой из выплат:
V1=S1+0,25-0,7=0,55∙SV2=S0,71+0,25-0,4=0,475∙SV3=S∙0,41+0,25=0,5∙SТак как наименьшая выплата V2=0,475∙S, поэтому решаем неравенство:
0,475∙S>5,S>10,53.Поэтому S=11 млн.рублей.
Задача 3
Известно: r,n, Dk,Vk .Неизвестно: S0, Σn.
Найти: Σn.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
Условия его возврата таковы:
каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным S тыс рублей;
выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс рублей;
к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найти общую сумму выплат за 5 лет.
Решение.
Составим таблицу для Sk, Vk и Dk, с учетом условия и Vk=Sk-Dk:
kSkVkDk0 SS1 S1=1,2∙SV1=0,2∙SS2 S2=1,2∙SV2=0,2∙SS3 S3=1,2∙SV3=0,2∙SS4 S4=1,2∙S360D45 S5=1,2∙D43600
Так как
S5=1,2∙D4=360, то D4=300.
Так как
D4=1,2∙S-360=300, то S=550.
Сумма все выплат:
Σ5=3∙0,2∙S+2∙360=0,6∙550+720=1050 тыс рублей.
Задача 4
Известно: r,n, Dk,Vk∈Z .Неизвестно: S0.
Найти: S0.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – натуральное число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего месяца;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019
Долг (млн.руб.) S0,7S0,4S0
Найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число млн рублей.
Решение.
Находим выражение для каждой из выплат:
V1=S1+0,15-0,7=0,45∙S,V2=S0,71+0,15-0,4=0,405∙S,V3=S∙0,41+0,15=0,46∙S.Перейдем к обыкновенным дробям:
V1=90200∙SV2=92200∙SV3=81200∙S.Для того, чтобы каждая из выплат составляла целое число, надо чтобы S=200 млн руб.
Задача 5
Известно: r,n, Dk,Σn<C .Неизвестно: S0.
Найти: наибольшее S0.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на S млн рублей, где S – целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Год 2016 2017 2018 2019 2020
Долг (в млн.рублей) S 0,8S 0,5S 0,1S 0
Найдите наибольшее значение S, чтобы общая сумма выплат была меньше 50 млн рублей?
Решение.
Используя формулу (3), получаем:
Σn=1,36∙S<50,S<36,76.Следовательно, S=36 млн руб.
Задача 6
Известно: r,n, Dk,Vmax-Vmin<C .Неизвестно: S0.
Найти: наименьшее S0.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019
Долг (млн.руб.) S0,8S0,3S0
Найти наименьшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
Решение.
Находим выражение для каждой из выплат:
V1=S1+0,1-0,8=0,3∙S,V2=S0,81+0,1-0,3=0,58∙S,V3=S∙0,31+0,1=0,33∙S.Решаем неравенство:
Vmax-Vmin=0,58∙S-0,3∙S<C,S<3,6.Следовательно, S=3.Задача 7
Известно: r,n, Dk.
Неизвестно: S0, Σn.
Найти: 100ΣnS0-1.
В конце сентября 2016 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
в течение первого месяца каждого квартала долг увеличивается на 6% по сравнению с долгом на конец предыдущего квартала;
в течение второго месяца каждого квартала необходимо выплатить одним платежом часть долга;
долг на начало каждого квартала должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Квартал 1 2 3 4
Долг (в процентах) 10075 40 0
На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение.
Представим последовательность долгов в частях:
Квартал 1 2 3 4
Долг (в процентах) 1 0,75 0,4 0
По формуле (3) определяем общую сумму выплат:
Σn=S01+0,06+0,06∙0,75+0,4=1,129∙S0.Чтобы узнать, на сколько процентов общая сумма выплат будет больше суммы кредита, надо найти значение выражения:
100ΣnS0-1=100∙1,129∙S0S0-1=12,9.Задача 8
Известно: S0,r,n, Dk.
Неизвестно: Σn.
Найти: 100ΣnS0-1.
Виктория Викторовна взяла в банке кредит 1 500 000 рублей на 5 лет при условии:
долг будет возвращаться пятью платежами, производимыми в конце каждого из пяти лет;
имеющийся в начале каждого (начиная с первого) года долг будет в конце года увеличиваться на 15%;
в конце года, уже после начисления процентов, часть долга необходимо погасить в таком объеме, чтобы остаток был равен сумме указанной в таблице:
Год 1 2 3 4 5
Текущий долг (в рублях) 1 200 000 900 000 600 000 300 000 0
На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение.
По формуле (1) находим общую сумму выплат:
n=15+0,1515+12+9+6+3=21,75.Чтобы узнать, на сколько процентов общая сумма выплат будет больше суммы кредита, надо найти значение выражения:
100ΣnS0-1=100∙21,7515-1=45.Источники задач
https://ege.sdamgia.ru/http://alexlarin.net/Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года: учебно-методическое пособие Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-наДону: Легион,2016. – 384 с.
Семенов А.В. Единый государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие./А.В. Семенцов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров; под редакцией И.В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2017. – 192 с.