Задания школьного этапа олимпиады по математике с решениями для 9 класса.

Учитель Крюченкова В.М.
Школьный этап Всероссийской предметной олимпиады по математике Задания для 9 класса
№1. Малыш, Карлсон и Винни-пух ели варенье. Они начали одновременно и ели до тех пор , пока варенье не кончилось. Малыш успел съесть только одну девятую часть варенья. Если бы ели только Малыш и и Карлсон, Малышу досталась бы четверть всего варенья. Какая часть варенья досталась Малышу, если бы он ел только с Винни –пухом?.
Решение.
1. Малыш, Карлсон, Винни –пух съели все варенье
Малышу досталось 1/9 часть ,
значит Карлсон и Винни –пух съели 8/9 часть варенья, (то есть они ели как 8 Малышей)
2. Малыш и Карсон едят вместе.
Малышу досталось ¼ часть варенья, тогда Карлсон съел ¾ варенья
(то есть он ел как 3 Малыша).
3. значит Винни – пух ест как 8 – 3 = 5 Малышей.
4.Варенье едят Винни –пух и Малыш( 5частей съел Винни –пух, 1 часть съел Малыш, значит Малышу достанется 1/6 часть
Ответ 1/6 часть.
С
В
А
№2. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Площади треугольника АОВ и СОД равны. Доказать, ВС||АД.
Д


Так как площади треугольников равны, то АО *ВО = СО *ОД
То есть ВОДО = СОАО , отсюда следует треугольники ВОС и АОД подобны,
Значит накрест лежащие углы равны, а стороны параллельны ВС||АД.
№3 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3км/ч навстречу поезду, за 18секунд.Найдите длину поезда в метрах.Решение.
Скорость сближения пешехода и поезда 57 +3 = 60 км/ч.
1м/с = 3,6 км/ч
Значит, длина поезда (60*18) / 3,6 = 300 метров.
№ 4 №5. Для нумерации страниц книге понадобилось 559 цифр.Сколько страниц в книге,если нумерация начинается с его 3-й страницы?
Решение.
Если нумерация начинается с 3 стр., тогда на первые две страницы потратили 0 цифр.
С 3 по 9 страницу использовали 7 цифр.
С 10 по 99страницу использовали 90 * 2 = 180 цифр
559 – (180 +7) = 372 цифры осталось для обозначения страниц с тремя цифрами.
372 :3 =124 страницы.
Итого в книге 124 + 90 +7 +2 = 223 страницы.
Ответ : 223 страницы.
№6 Найдите все целые n, при которых значение выражения 2/(3n+11) значение целое число.
Решение.
Всё выражение должно быть целым числом, то
1). в числителе у нас стоит число 2 - целое число.
2). Рассмотрим знаменатель. Здесь значение знаменателя зависит целиком и полностью только от значения переменной n.  Чтобы вся дробь была целым числом, то числитель должен делиться на знаменатель нацело, отсюда:3)Знаменатель - также целое число.4)Знаменатель - один из делителей числа 2. это числа 1, 2, -1, -2 (речь идёт не о натуральных, а о целых числах).Таким образом, надо решить следующие уравнения:1) 3n + 11 = 1   3n = -10    n = -10/3 - но n не целое, что противоречит условию задачи, этот случай не подходит2) 3n + 11 = 2   3n = -9   n = -3 - подходит3) 3n + 11 = -1   3n = -12     n = -4 - подходит4) 3n + 11 = -2   3n = -13   n = -13/3 - не целое число, не подходитТаким образом, искомых значений 2 - n = - 4 и n = -3