Синус, косинус, тангенс угла

Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла».
Тип урока: изучение нового материала.
Класс: 9.
Цель урока:
- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;
- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;
- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.
Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный метод.
Оборудование: мультимедиа проектор, презентация.
План урока:
Орг. момент (2 мин);
Актуализация знаний (5 мин);
Изучение нового материала (22 мин);
Первичное закрепление нового материла (13 мин);
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).
Ход урока:
Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.
Актуализация знаний.
Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).
Запись в тетрадях:
Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.
Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.
– что называют синусом острого угла?
Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
Учитель: что называют косинусом острого угла?
Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 
Учитель: что такое тангенс острого угла?
Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).
1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВСАВ = 6,ВС = 3,угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.

Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.
(ученики самостоятельно решают в тетрадях)
Решение
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
      sin A = ВСАВ = 36 = 12.
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
      cos B = ВСАВ = 36 = 12.
В итоге получается:
sin A = cos B = 12.
Или:
sin 30º = cos 60º = 12.
3. Изучение нового материала
Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.
Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)
Запись в тетрадях:
Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что = 0 .
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin = MDOM , a cos = ODOM.
Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin ордината у точки М, cos это абсцисса х точки М.
Запись на доске и в тетрадях:
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
sin = MDOM , a cos = ODOM.
Но OM = 1, MD = y, OD = x,
поэтому sin = y, cos = x. (1)
Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = ух, то тангенс будет равен отношению синуса угла к косинусу угла tg = sincos. Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла к синусу ctg = cossin .
Итак, синус острого угла равен ординате у точки М, а косинус угла - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. tg = ух, то tg = sincos, ctg = cossin .
Учитель: если угол прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или = 0 , то синус и косинус угла также определим по формулам (1).
Таким образом, для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 синусом угла называется ордината у точки М, косинусом угла - абсцисса х точки М.
Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180 справедливы неравенства:
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.
Запись в тетрадях:
Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1.
Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.
Запись в тетрадях:
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1
Учитель: так как tg = sincos , то при = 90 тангенс угла не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg = cossin не определен при = 0 , = 180 , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:
tg 0 = 0, tg 180 = 0.
ctg 90 = 0.
Запишите это в тетради. (слайд 7)
Запись в тетрадях:
Т.к. tg = sincos , то при = 90 тангенс угла не определен.
tg 0 = 0, tg 180 = 0,
т.к. ctg = cossin , то при = 0 , = 180 катангенс угла не определен
ctg 90 = 0.
Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).
Запись в тетрадях:

Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.
Запись в тетрадях:
Основное тригонометрическое тождество.
Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство
sin2 + cos2 = 1, (4)
Которое выполняется для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)
Запись в тетрадях:
Для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 верно
sin2 + cos2 = 1 - основное тригонометрическое тождество.
Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.
Знаки синуса.
Так как sin = уR , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)
Запись в тетрадях:
т.к. sin = уR ,
I , II ч - sin > 0, III, IV ч - sin < 0
Учитель: знаки косинуса. Так как cos = xR , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.
Запись в тетрадях:
Так как cos = xRI , IV ч - cos > 0, II, III ч - cos < 0
Учитель: знаки тангенса и катангенса.
Так как tg = ух, а ctg = ху, то знаки tg и ctg зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg > 0 и ctg > 0, если угол является углом 1 или 3 четверти; tg < 0 и ctg < 0, если угол является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.
Запись в тетрадях:
tg = ухI , III ч - tg > 0, II, IV ч - tg < 0
ctg = хуI , III ч - ctg > 0, II, IV ч - ctg < 0.

Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)
sin (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Запись в тетрадях:
Формулы приведения.
sin (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)
Запись в тетрадях:
Формулы для вычисления координат точки.
Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin = y, cos = x координаты точки М соответственно равны cos и sin . Вектор ОМ имеет те же координаты, что и точка М, т.е. ОМ (cos ; sin ). Вектор ОА имеет те же координаты, что и точка А, т.е. ОА (х; у). По лемме о коллинеарных векторах ОА = ОА ∙ ОМ, поэтому
x = ОА ∙ cos ,
y = OA ∙ sin . (7)
Запишите все в тетрадь со слайда.
Запись в тетрадях:
sin = y, cos = x
М(cos ; sin ), ОМ(cos ; sin ), ОА (х; у).
По лемме о коллинеарных векторах ОА = ОА ∙ ОМ, поэтому
x = ОА ∙ cos ,
y = OA ∙ sin . (7)
4. Закрепление изученного материала
Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.
К доске вызываются ученики.
Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 ( 12 ; 32), М3 (22 ; 22), М4 (- 32; 12), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1012.
Дано: М1(0; 1), М2 ( 12 ; 32), М3 (22 ; 22), М4 (- 32; 12), А(1; 0), В(- 1; 0)
Найти: sin, cos, tg углов: АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ
Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х2 + у2 = 1.
Запись на доске и в тетрадях:
М1 (0; 1), 02 + 12 = 0 +1 = 1, следовательно М1 ∈ Окр (0; 1).
М2 ( 12 ; 32), 122 +322 = 1, 14 + 34 = 1, 1 = 1, следовательно М2 ∈ Окр (0; 1).
М3 (22 ; 22), 222+ 222= 1, 12 + 12 = 1, 1 = 1, следовательно М3 ∈ Окр (0; 1).
М4 (- 32; 12), - 322 + 122 = 1, 34 + 14 = 1, 1 = 1, следовательно М4 ∈ Окр (0; 1).
А(1; 0), 1 2 + 02 = 1 = 1, следовательно А ∈ Окр (0; 1).
В(- 1; 0), (-1)2 + 02 = 1 = 1, следовательно В ∈ Окр (0; 1).

Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.
Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. sin = y, cos = x, tg = sincossinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0.
sinАОМ2 = 32 , cosАОМ2 = 12, tg АОМ2 = 3.
sinАОМ3 = 22 , cosАОМ3 = 22, tg АОМ3 = 1.
sinАОМ4 = 12 , cosАОМ4 =- 32, tg АОМ4 = - 13.
sinАОВ =0 , cosАОВ =-1, tg АОВ = 0.
Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известнее косинус.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1013 (а, б)
Дано: а) cos = 12.
б) cos = - 23.
Найти: sin
Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.
Запись на доске и в тетрадях:
sin2 + cos2 = 1
a) sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - 122 = 1 - 14 = 34;
sin2 = 34Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен 32.
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится в 1 ч., то sin > 0,
sin = 32
б) sin2 = 1 - - 232 = 1 - 49 = 59;
Ученик: так как угол находится во 2 ч., то sin > 0
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится во 2 ч., то sin > 0,
sin = 53 .
Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1015 (а, в)
Дано: а) cos = 1;
в) sin = 22 и 0 < < 90.
Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.
Запись на доске и в тетрадях:
a) tg = sincos,
sin2 + cos2 = 1;
sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - 12 = 1 - 1 = 0; sin = 0.
tg = sincos = 01 = 1.
в) sin2 + cos2 = 1;
cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - 222 = 1 - 12 = 12;
т.к. 0 < < 90 , cos > 0, cos = 22.
tg = sincos = 1.
5. Подведение итогов урока и домашнее задание
Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:
Что называется синусом угла?
Ученик: синус острого угла равен ординате у точки.
Учитель: что называется косинусом угла?
Ученик: косинус острого угла равен абсциссе х точки
Учитель: что такое тангенс угла?
Ученик: тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.
Учитель: А что такое катангенс угла?
Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.
Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?
Ученик: sin2 + cos2 = 1 является основным тригонометрическим тождеством.
Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?
Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .
Учитель: а как определить знаки синуса или косинуса?
Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .
Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)
Запись на доске и в тетрадях:
Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)
Учитель: урок окончен. До свидания.
Решение домашней работы.
№ 1014.
Дано: а) sin = 32;
б) sin = 14;
в) sin = 0.
Найти: cos .
Решение.
а) Выразим cos из основного тригонометрического тождества sin2 + cos2 = 1.
cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - 322 = 1 - 34 = 14;
cos = ± 12.
б) Аналогично:
cos2 = 1 - 142 = 1 - 116 = 1516;
cos = ±154.
в) cos2 = 1 - 0 = 1
cos = ± 1.
№ 1015(б, г).
Дано: б) cos = - 32;
г) sin = 35 и 90 < < 180 .
Найти: tg .
Решение.
б) tg = sincos,
sin2 + cos2 = 1;
sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - - 322 = 1 - 34 = 14,
sin = ± 12.
tg = sincos = ±12- 32 = ± 33.
г) cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - 352 = 1 - 925 = 1625т.к. 90 < < 180 , то sin > 0, sin =45 ,
tg = sincos = 3545 = 34.