Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Занятие кружка в 11 «А» классе.
Тема: «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью
способами на примере решения одной задачи».
Цель: 1) Рассмотреть 5 способов решения классической задачи на нахождение расстояния между диагоналями соседних граней единичного куба.
2) Развитие навыка у учащихся подходить к решению задач с разных точек зрения.
3) Снять неуверенность учащихся при решении стереометрических задач.
4) прививать интерес к математике.
5) Готовить учащихся к ЕГЭ по математике.
Ход занятия.
Задача. Найти расстояние между диагоналями А1С1 и АD1 в единичном кубе.

1-й способ: Метод нахождения длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

Пусть РЕ – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых А1С1 и АD1. Проведем
ЕN ⊥ А1D1, РК ⊥ А1D1. Тогда РN – проекция наклонной РЕ на пл. А1В1С1, по теореме о трех перпендикулярах РN ⊥ А1С1. КЕ – проекция наклонной РЕ на пл. А1D1D, аналогично
КЕ ⊥ АD1.
Рассмотрим отдельно развертку граней. ∆ А1КР равнобедренный, ∠А1РК = ∠ КРN =
= ∠РNК = 45°. Тогда ∆ РКN – равнобедренный, А1К = КN. Аналогично из нижнего рисунка ND1 = KN, отсюда следует, что А1К = КN = ND1= 13.
Найдем РN из треугольника КРN: РN = 132+132 = 29=23.
Из треугольника РNЕ РЕ = 232+132=13=33. Ответ: 33.
2-й способ: Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Проведем ВС1 ∥ АD1, АD1 ∥ ВС1, ВС1 ⊂ пл.А1ВС1 → АD1 ∥ пл.А1ВС1. Найдем расстояние от прямой АD1 до этой плоскости, например, от точки D1 до этой плоскости. У нас получилась пирамида D1А1ВС1. Ее объем можно найти двумя способами.
V = 13S∆A1C1B∙h, если за основание принять ∆А1С1В, h – искомое расстояние.
V = 13S∆A1C1D1∙ ВВ1, где ВВ1 – высота, проведенная к основанию А1ВС1.
13S∆A1C1B∙h= 13S∆A1C1D1∙ ВВ1, откуда h = 33. Ответ: 333-й способ: Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через данные скрещивающиеся прямые.

Проведем С1В ∥ D1А и АС ∥ А1С1, тогда пл. А1С1В ∥ пл. АD1С, т. к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум пересекающимся прямым другой плоскости. Найдем расстояние между этими параллельными плоскостями, оно и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Проведем диагональ В1D, она перпендикулярна нашим плоскостям и пересекает их в точках М и К. Эти точки делят диагональ В1D на 3 равные части. Это видно на отдельном рисунке (теорема Фалеса).
Расстояние между плоскостями – длина отрезка МК. МК = 13 В1D = 33. Ответ: 33.
4-й способ: Метод «экрана». Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость (так называемый «экран») до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

В качестве «экрана» возьмем плоскость В1D1D (на рисунке – синяя).
Проекцией прямой А1О1 на эту плоскость будет точка О1, проекцией прямой АD1 будет прямая ОD1. Найдем расстояние от точки О1 в плоскости DВВ1 до прямой ОD1, т. е. отрезок О1Н.
ОD1 = 12+222=32. По свойсвам пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике 222=32∙HD1; 12= 32∙HD1; HD1=16;
Из треугольника О1НD1 по теореме Пифагора находим О1Н = 222-162= 33. Ответ: 33.
5-й способ: Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью координат.

Введем систему координат, выбрав за начало координат точку В, ось абсцисс направим по лучу ВА, ось ординат – по лучу ВС, ось аппликат – по лучу ВВ1. За единичный отрезок выберем длину стороны куба.
Проведем ВС1 ∥ АD1, ВС1 ⊂ пл.А1ВС1 → АD1 ∥ пл. А1ВС1. Найдем расстояние от прямой АD1 до этой плоскости, например, от точки А до этой плоскости.
А(1; 0; 0).
Запишем уравнение плоскости А1ВС1 (назовем ее ∝) в общем виде: ax+by+cz+d=0.А1(1; 0; 1); С1(0; 1; 1); В(0; 0; 0). Все точки принадлежат искомой плоскости, значит, их координаты удовлетворяют уравнению плоскости, подставим их, при этом d = 0, т. к. плоскость проходит через начало координат.
a+c=0;b+c=0;0+0+0=0→ a=-c;b=-c. Подставляем эти коэффициенты в уравнение.
-cx-cy+cz+0=0, разделим обе части на с≠0.
x+y-z=0, т. е. a=1, b=1, c=-1 ρ(A;α) = ax0+by0+cz0+da2+b2+c2, где А(х0; y0; z0).
ρ(A;α) = 1∙1+1∙0+0∙(-1)+012+12+(-1)2 = 13=33. Ответ: 33.
Подведение итогов.