Методическая разработка по теме:Решение одной стереометрической задачи несколькими способами

Решение одной стереометрической задачи различными способами.
Задача: В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки C1 до плоскости AB1C.
Решение.
1 способ (поэтапно-вычислительный)
Так как прямая A1C1 параллельна АС, то прямая A1C1 параллельна плоскости AB1C. Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A1C1 до плоскости AB1C. Например, расстояние от центра О1 квадрата A1B1C1D1 до плоскости AB1C равно h.
Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую В1О, где О – центр квадрата ABCD. Прямая О1Е лежит в плоскости ВВ1 D1 D, а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О1ЕАС и О1Е – перпендикуляр к плоскости AB1C, а О1Е = h.
Так как В1О1 =, О1О = 1, то ОВ1 = .
SДABC=  О1Е В1О= В1О1
· О1О или h, откуда h=.
Ответ: .

2 способ (метод объемов)
Рассмотрим пирамиду С1В1АС и найдем ее объем двумя способами.

V= SДACC1 В1О1= SДACB1 h; SДACC1=; В1О1 =; SДACB1=.
h=.
Ответ: .







3 способ (координатный)
Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке С
С(0;0;0), В1(1;0;1), А(1;1;0), С1(0;0;1).
Составим уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С и В1. Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0. Получим систему  или 
Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az = 0; x – y – z = 0
По формуле находим расстояние от С1 до плоскости AB1C:
d = 
Ответ: .

Рисунок 1Рисунок 2Рисунок 4