Практическая работа Вычислеие обратных матриц второго и третьего порядков

Практическая работа
Тема: Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
Цель: закрепить навыки вычисления обратных матриц второго и третьего порядка
Теоретическая часть:
О Минором Mij элемента aij определителя D=aij , где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Например, минор M12 , соответствующий элементу a12 определителя D = a11a12a13a21a22a23a31a32a33 получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е. M12 = a21a23a31a33О Алгебраическим дополнением элемента aij определителя D называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j
Т.о. Aij = (-1)i+j ∙ MijПример. Найти алгебраические дополнения элементов a13, a21, a31 определителя D = -12320-3325Решение
A13 = (-1)1+3∙M13 = 2032 = 4
A21 = (-1)2+1∙M21 = (-1) ∙ 2325 = –(2∙5–2∙3) = –4
A31 = (-1)3+1 ∙ M31 = 230-3 = –6
О Квадратная матрица A называется вырожденной, если е определитель равен 0 и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
О Если A – квадратная матрица, то обратной по отношению к A называется матрица, которая будучи умноженной на A (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.
A-1 – обратная матрица
A-1∙A=A∙A-1=E
При условии D=A≠0 обратная матрица находится по формуле
A-1 = A11D A12D … An1DA12D A22D … An2D… … … … A1nD A2nD … AnnDВычисление обратных матриц второго и третьего порядка
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
Находят определитель матрицы A.
Находят алгебраические дополнения всех элементов aij матрицы A и записывают новую матрицу.
Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют матрицу)
Умножают полученную матрицу на 1DПример. Найти матрицу, обратную матрице A = 1230-12307Решение:
Найдем определитель матрицы A:
D = 1230-12307 = 1∙(-1) 7+2∙2∙3+0∙0∙3–3∙(–1)∙3–0∙2∙1–0∙2∙7 = –7+12+9 =14
Поскольку D≠0, то матрица A невырожденная и, значит, можно найти обратную матрицу.
Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы АА11 = (-1)1+1-1207 = -7А12 = (-1)1+20237 = 6
А13 = (-1)1+30 = 3
А21 = (-1)2+12307 = -14А22 = (-1)2+21337 = -2
А23 = 6
А31 = 7А32 = -2А33 = -1
Запишем обратную матрицу -763-14-267-2-1Транспонируем матрицу:
-7-1476-2-236-1Умножим полученную матрицу на 1D = 114A-1 = 114 -7-1476-2-236-1 = -12-11237-17-1731437-114Проверим полученный ответ
А∙A-1 = 1230-12307 -12-11237-17-1731437-114 = 100010001 = Е
Задание.
Вариант 1Вариант 2
Вычислить определители четвертого порядка
2 -1 1 00 1 2 -13 -1 2 33 1 6 12 3 -3 42 1 -1 26 2 1 02 3 0 5Найти матрицы, обратные данным:
A = 1234A = 3457A = 322131534A = 120321012Содержание отчета:
Отчет должен содержать
-решение данных задач.