Исследовательская работа на тему: «Старинные задачи – их прошлое и настоящее»

Районная научно-практическая конференция учащихся 8-11 классов общеобразовательных учреждений «Мир вокруг нас»
Секция:
«Математика, физика, ИКТ»
Тема:
«Старинные задачи – их прошлое и настоящее»
Автор: Воробьев Алексей,
учащийся 9 класса
МОУ «СОШ» с.Каменка
Турковского района
Саратовской области
Научный руководитель:
Чучкова Наталья Викторовна,
учитель математики
МОУ «СОШ» с.Каменка
Турковского района
Саратовской области
Турки 2013 год
Оглавление
От автора …………………………………………………………………..……..3
Введение..…………………………………………………………………………4
1. Задачи Ахмеса…………………………….………………………………. …..4
2.Старинные русские задачи из книги Л.Ф.Магницкого «Арифметика»……..6
3.Старинные задачи русских писателей.……………………………………….10
4.Задача сербского сатирика БраниславаНушича…………………………….15
Вывод……………………………………………………………………………..16
Список использованных источников……………………………………...……17
«Чтобы решить вопрос, относящийся к числам
или к отвлечённым отношениям величин,
нужно лишь перевести задачу
с родного языка на язык алгебраический».
Исаак Ньютон
От автора
Все знают, что математика- предмет не простой. Людей, совершенно не способных к математике, не бывает, но всё же одним она дается немного, а иногда и намного легче, чем другим. А вам как? Ведь только вы сами и сможете ответить на этот вопрос. Но для этого надо испытать себя. И здесь математика имеет значительные преимущества перед другими предметами, так как испытывать себя в ней можно очень рано. Не случайно многие открытия в математике были сделаны, да и сейчас делаются людьми, ещё не достигшими тридцати, а иногда и двадцати лет.
Я выбрал задачи, которые труднее тех, которые мы решаем на уроках. Чтобы справится с ними, надо проявить смекалку – обычных методов тут может и не хватить. Но кроме смекалки нужны настойчивость и целеустремленность, так как без этих качеств трудно заниматься любимым делом, не только математикой.
Цель работы:
Формирование умения выбирать более удобный способ решения
математических задач.
Задачи:
познакомиться с правилом ложного положения, занимательными задачами из старых математических рукописей и печатных руководств;
сравнить «старые» и «новые» способы решения задач;
научиться применять в жизненных ситуациях простые арифметические решения.
План исследования:
Найти старинные задачи.
Узнать способ их решения по-старинному, без букв.
Перевести с родного языка на алгебраический.
Сравнить эти способы решения.
Сделать выводы.
Введение
В древнейших рукописях египтян (около 4 тысяч лет) сохранился папирус Ахмеса. В нём даются решения 84 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике. Некоторые из этих задач показались бы довольно сложными ученику- старшекласснику нашей школы. Представляете себе, как трудно было их решить 4 тысячи лет назад! Ведь у древних египтян не было ни удобного способа записи чисел, ни наших правил арифметических действий, ни таблицы умножения.
Большая часть задач папируса Ахмеса относится к арифметике: задачи на арифметические действия, на пропорциональное деление и т. д. При этом сгруппированы они не по математическому содержанию, а по тому, о чём в них идёт речь.
В Древнем Египте ещё не знали и не подозревали о том, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как с известными величинами. С дробями у них тоже были сложности. Однако египтяне придумали метод решения таких задач, который назвали «методом кучи».
Свою работу я хочу начать с задачи-шутки:
Шла баба в Москву и повстречал 3 мужиков. Каждый из них нёс по мешку, в каждом мешке по коту.
Сколько существ направлялось в Москву?
ответ: в Москву шла одна баба.
Эта задача (в различных редакциях и с некоторыми видоизменениями) встречается
1) в папирусах египтянина Ахмеса (1700 г. До н. э.),
2) у Леонарда Пизанского (1202 г.),
3) в «Школьной арифметике» Даниэля Адамса.
1. Задачи Ахмеса
В папирусе Ахмеса предлагается задача, имеющая отвлечённый характер. Например:
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений, на каждом растении 7 мер зерна. Сколько всех вместе?
Тут интересно, что в задаче надо ответить на вопрос:сколько всех вместе? Автора задачи не интересует, о каких вещах или предметах идёт речь, однородны они или разнородны,- важно только их общее количество. Значит, очень давно египтяне уже представляли себе не число кошек, или колосьев, или мышей, а именно само по себе число. Но ведь это совсем не так просто.
Некоторые задачи были не слишком сложны, но вели к интересным выводам. Такова задача, о которой я сказал только что. В ней надо сосчитать сумму пяти чисел, из которых каждое следующее в 7 раз больше предыдущего. Чтобы решить её, надо было только терпеливо умножать на 7 и складывать.
Но такие суммы часто встречаются и получили особое название: сумма геометрической прогрессии.
В XIII веке итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи, привёл в своей книге задачу, почти не отличающуюся от египетской(хотя со времён Ахмеса и минуло несколько тысячелетий):
Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов, каждый осёл несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?
От задачи Ахмеса она отличается добавлением одного слагаемого.
И на Руси решались похожие задачи. Ещё в XIX веке в деревнях загадывали:
«Шли семь старцев.
У каждого старца по семи костылей.
На каждом костыле по семи сучков.
На каждом сучке по семи кошелей.
В каждом кошеле по семи пирогов.
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всего?»
А ведь это та же задача Ахмеса! Прожившая тысячелетия, она сохранилась почти неизменной!
Старинное решение задач:
7 + 7*7 + 7*7*7 + 7*7*7*7+7*7*7*7*7 =19607.
Современное решение задач:
по формуле суммы первых 5 членов геометрической прогрессии:
S5 = 7*(75 - 1) = 19607.
7 - 1
Ответ: всех вместе 19607.

2.Старинные русские задачи из книги Л.Ф.Магницкого «Арифметика»
Задача1
Летела стая гусей, а навстречу им ещё гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столька, да ты, гусь вот тогда нас было бы сто гусей».
Египетский математик Ахмес, решая эту задачу, сказал бы:«Считай с четырёх».
Это значило: «Считай, что в стае было 4 гуся». Тогда по условию задачи получим:
4 + 4 + 2 + 1 = 11 (гусей).
А так как нужно получить не 11, а 99 гусей
(100 – 1 = 99; 99 : 11 = 9),
то надо взятое вначале число 4 умножить на 9.
Получится правильный ответ 36 гусей.
Поскольку вначале делается неправильное предположение, что число гусей равно 4, этот способ называют теперь «Правилом ложного положения» или «фальшивым правилом».
Предлагаем перевод задачи с родного языка на алгебраический
На родном языке На языке алгебры
Сколько в стае гусей? Х
Если нас столько, да ещё столько, Х +Х
да ещё полстолька, Х +Х + ½ Х
да четверть столька, Х +Х + ½ Х +¼Х
да ты, гусь, Х +Х + ½ Х +¼Х + 1
тогда было бы 100 гусей. Х +Х + ½ Х +¼Х + 1 = 100
Сколько гусей было в стае? Х = 36.
Ответ: 36 гусей
«Правилом ложного положения» или «фальшивым правилом» решается еще одна задача из книги Магницкого.
Задача 2
Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище».Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?
Делаем первое предположение: учеников было 24.
Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолько, четверть столько и 1», имели бы:
24+24+12+6+1=67,
то есть на 100-67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи),
число 33 называем «первым отклонением».
Делаем второе предположение: учеников было 32.
Тогда имели бы:
32+32+16+8+1=89,
то есть на 100-89=11 меньше это «второе отклонение».
На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, даётся правило: помножить первое предложение на второе отклонение, а второе предложение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:
32*33 – 24*11
33 – 11 =36.
Учеников было 36.
Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию.
Например:
Первое предположение: 52.
52+52+26+13+1=144.
Получили на 144-100 =44 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 40.
40+40+20+10+1=111.
Получили на 111-100=11 больше (второе отклонение).
40*44-52*11
44-11 =36.
Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.
При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.
Предлагаем перевод задачи с родного языка на алгебраический
На родном языке На языке алгебры
Сколько в классе учеников? Х
Если учеников столько, да ещё столько, Х +Х
да ещё полстолька, Х +Х + ½ Х
да четверть столько, Х +Х + ½ Х +¼Х
да твой сын, Х +Х + ½ Х +¼Х + 1
тогда будет 100 учеников Х +Х + ½ Х +¼Х + 1 = 100
Сколько было у учителя учеников? Х = 36.
Ответ: 36 учеников.
Задача 3
Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
Допустим, что в клетке были только фазаны.
У фазана две ноги, значит, всего было бы 2 . 15 = 30 (ног).
В действительности ног было 42, значит 12 «лишних»
(42 – 30 = 12).
Чьи это ноги? Конечно, кроличьи.
Но у каждого кролика на 2 ноги больше, чем у фазана,
значит, эти «лишние» 12 ног принадлежат 6 кроликам
(12 : 2 = 6).
Но если кроликов было 6, то фазанов 15 – 6 = 9.
Действительно, у 6 кроликов 24 ноги, у 9 фазанов 18 ног.
Всего 24 + 18 = 42 (ноги), что соответствует условию задачи.
В клетке было 6 кроликов и 9 фазанов.
Решим задачу, применяя буквы
На родном языке На языке алгебры
В клетке сидели фазаны и Х
кролики. Y
Сосчитали головы. Их оказалось 15. Х + Y = 15
Подсчитали ноги. Их было 42. 2Х + 4Y = 42
Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке? Решаем систему:
Х + Y = 15;
2Х + 4Y = 42.
Х = 6, Y = 9.
Ответ: 6 кроликов, 9 фазанов.
3.Старинные задачи русских писателей.
Задача Л.Н.Толстого « Артель косцов»
Известный физик А. В. Цингер в своих воспоминаниях о Л. Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась великому писателю:
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.
Сколько косцов было в артели?»

Решение задачи в старину.
За единицу (1) примем дневной объем работы артели. Если косцов, к примеру, 10, то на одного человека приходится в день 1/10 часть работы. Т.е. если мы узнаем, какая часть работ приходится на одного, то будем знать число косцов. А в условиях задачи есть такой участок, это луг, скошенный на второй рабочий день.
1. Первую половину дня все работали на первом поле, естественно, они сделали 1/2 всей работы. Во второй половине дня на этом поле работало пол артели и поэтому сделали в 2 раза меньше – 1/4. Всего первое поле составляет 1/2 + 1/4 = 3/4. Т.е. первое поле – это 3/4 от всей работы артели за день.
2. На втором поле в тот день сделано 1/4 – здесь пол артели работало пол дня. Заметим, мы учли весь дневной объем работ, проверим: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1.
На второй день осталась дневная норма одного косца. Теперь известно, что первое поле в 2 раза больше второго, т.е. 3/4 = 2*(1/4 + доля одного работника). Отсюда доля одного работника равна = 3/4 * 1/2 – 1/4. Вычисляем, находим 1/8.
Значит в артели 8 косцов.
После напечатания первого издания «Занимательной алгебры» проф. А. В. Цингер прислал автору подробное и весьма интересное сообщение, касающееся этой задачи. Главный эффект задачи, по его мнению, в том, что «она совсем не алгебраическая, а арифметическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой».
«История этой задачи такова, - продолжает проф. А. В. Цингер. - В Московском университете на математическом факультете в те времена, когда там учились мой отец и мой дядя И. И. Раевский (близкий друг Л. Толстого), среди прочих предметов преподавалось нечто вроде педагогики. Для этой цели студенты должны были посещать отведенную для университета городскую народную школу и там в сотрудничестве с опытными искусными учителями упражняться в преподавании.СредитоварищейЦингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам - чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров (умерший очень молодым, кажется, от чахотки) утверждал, что на уроках арифметики учеников портят, приучая их к шаблонным задачам и к шаблонным способам решения. Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие не шаблонности очень затрудняли «опытных искусных учителей», но легко решались более способными учениками, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил несколько) относится и задача об артели косцов.Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простоеарифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.

Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает 1/3 луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в1/2 - 1/3 =1/6.
Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было 6/6 + 2/6 = 8/6 , то косцов было 8.
Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым - уже стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом ».
Решим задачу, применяя буквы
На родном языке На языке алгебры
Число косцов Х
Размер участка, скашиваемого одним косцом в 1день Y
Большой луг косили полдня Х косцов, скосили ХY
2
Вторую половину дня большой луг косила только половина артели, скосили ХY
4
Площадь большого луга 3ХY
4
Маленький луг косили полдня Х/2 косцов, скосили ХY
4
Прибавим недокошенный участок Y (площадь, скашиваемая одним косцом в 1 день) Y
Площадь меньшего луга ХY +4Y
4
Учитывая, что первый луг вдвое больше второго, получим уравнение 3 ХY = 2
ХY+4Y
После простейших преобразований получим уравнение 3Х = 2Х + 8.
Х = 8.
Ответ: 8 косцов.
Задача от А.П. Чехова.
В своем рассказе «Репетитор» Антон Павлович Чехов предлагает интересную задачу. Послушайте отрывок из этого произведения:
Гимназист VII класса Егор Зиберов милостиво подает Пете Удодову руку. Петя, двенадцатилетний мальчуган в сером костюмчике, пухлый и краснощекий, с маленьким лбом и щетинистыми волосами, расшаркивается и лезет в шкап за тетрадками. Занятие начинается…
«Ну-с, — обращается он к Пете. — Теперь по арифметике... Берите доску. Какая следующая задача?
Петя плюет на доску и стирает рукавом. Учитель берет задачник и диктует:
— «Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?» Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
— Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
«Странно... — думает он, ероша волосы и краснея. — Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая»...
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
«Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то».
— Решайте же! — говорит он Пете.
— Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! — говорит Удодов Пете. — Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
— Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил... понимаете? Теперь, вот, надо вычесть... понимаете? Или, вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
— И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. — Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
— Вот-с... по-нашему, по-неученому.
Учителю становится нестерпимо жутко…
В рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зиберов не сумел решить арифметическую задачу, а отец репетируемого ученика, отставной губернский секретарь Удодов, пощелкав на счётах, получил правильный ответ. Попробуем решить эту задача арифметически. Вот она.
Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а чёрное – 3 руб.?
Решение задачи в старину.
Если бы купец приобрёл сукно одного типа, например синее, то он заплатил бы 138*5 = 690 руб. Образовавшаяся разность в 150 руб. получена за счёт того, что чёрное сукно повышено в цене на 2 руб. Значит, чёрного сукна было 150:2 = 75 аршин, а синего было 138-75 = 63 аршина.
Ответсинего 63 аршина, черного 75 аршин.
Решим задачу, применяя буквы
На родном языке На языке алгебры
Куплено аршин синего сукна, Х
аршин черного сукна. Y
Купец купил всего аршин синего и черного сукна Х + Y = 138
За синее сукно заплатил рублей 5Х
За черное сукно заплатил рублей 3Y
Купец заплатил за всю покупку 5Х + 3Y = 540
Решаем систему:
Х + Y = 138;
5Х + 3Y =540.
Х = 63, Y =75.
Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.
Конечно, проще всё согнать в систему уравнений с 2-мя неизвестными, чем подумать логически!
4.Задача сербского сатирика БраниславаНушича из его «Автобиографии»
Если шофёру господина министра социального обеспечения 40 лет 3 месяца и 12 дней, а мост в городе Квибек в Канаде имеет длину 577 метров, то на скольких желтках нужно замесить лапшу, чтобы накормить четырёх человек различного возраста, если принять во внимание, что ширина полотна на железных дорогах Боснии 0,7 метра?
Можно ли решить эту задачу старинным способом? Нет. Задача не имеет решения.
По её условию также нельзя составить и уравнение, потому что заданные величины между собой никак не связаны. Они не имеют никакого отношения друг к другу.
Вывод.
В своей работе я преследовал несколько целей.
Во-первых, я начал искать занимательные задачи в старых математических рукописях и печатных руководствах. Мне хотелось познакомиться с неизвестными ранее старинными способами решения, требующими логического мышления, наглядно продемонстрировать различные подходы к решению таких задач в современной математике.
Во-вторых, я хотел показать, в каких жизненных ситуациях и как стоит принимать решения: с чего начинать, какими соображениями руководствоваться при этом, какие выводы сделать, исходя из полученных результатов.
В-третьих, я надеялся научиться старинным методам решения задач, чтобы почувствовать себя на месте древних мудрецов. То, что этому можно научиться, мне кажется, уже ни у кого не вызывает сомнений.
Должен сказать, что своих целей я достиг. Мною были решены все эти задачи.
Сравнивая старинные и современные способы решения, делаю следующие заключения:
В старину вначале делали неправильное предположение, т.е. решали задачи по «Правилу ложного положения».
Такой способ требовал большой сообразительности, поэтому решить задачу могли лишь некоторые мудрецы.
С помощью букв условие задачи научились записывать в виде формул, уравнения, систем уравнений,что намного облегчает их решение.
Трудности возникают иногда при составлении уравнений.
Решить же уравнение и систему может каждый современный школьник.
Школьникам предлагаю следующие рекомендации при решении задач:
установить связи между величинами или показать, что их нет вообще;
выразить одну величину через другую или через несколько величин;
выяснить, не являются ли одни величины функциями других.
Список использованных источников
Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.
Нагибин Ф.Ф., Капин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4-8 кл. сред шк. – М.: Просвещение, 1988.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. 1980.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.
Internet источник: http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2173&Itemid=34