Конспект урока по математике на тему Гауссова кривая. Закон больших чисел

Конспект по алгебре и началам анализа
Учитель: Денисенко Н.В.
Тема: Гауссова кривая. Закон больших чисел.
Класс: 11.
Цели:
Познакомить учащихся с гауссовой кривой, показать ее значение в теории вероятностей и статистике.
Показать на примерах красоту и универсальность некоторых математических моделей реальных явлений жизни.
Познакомить учащихся с законом больших чисел, обозначить его применение в реальной жизни.
Обучить методам приближенного вычисления вероятностей Pn(k) наступления k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания с двумя исходами при большом количестве испытаний.
Расширить культуроведческую компетенцию школьников, затронув биографии великих математиков Гаусса и Лапласа.
Обучить учащихся работе с таблицами приближенных значений для гауссовой функции.
Научить работе с алгоритмами использования функции Гаусса в приближенных вычислениях.
План:
1. Вступительное слово учителя. Разбор и анализ самостоятельной работы по теме «Независимые повторения испытаний с двумя исходами».
2. Примеры использования для разных физических явлений одинаковых математических моделей.
3. Функция Гаусса и ее график. Работа с гистограммами – примеры их разных областей жизни.
4. Формула гауссовой функции: причина ее возникновения, особенности.
5. Таблица приближенных значений для гауссовой функции. Примеры.
6. Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях. Задача.
7. Вероятность Pn(k1≤k≤k2) того, что число «успехов» k в n испытаниях Бернулли находится в пределах от k1 до k2.
8. Функция Φx=0xφtdt. Ее геометрический смысл и график.
9. Алгоритм использования функции в приближенных вычислениях. Задача.
10. Анализ и сравнение изученных вероятностей.
11. Закон больших чисел.
12. Заключительное слово учителя, подведение итогов урока.
13. Домашнее задание.
Оборудование: тетрадь, интерактивная доска, карточки.
Организация: вступительное слово учителя, работа с таблицами и гистограммами, объяснение нового материала, решение задач, заключительные выводы по теме.
Ход урока:
Организационный момент.
Разбор и анализ самостоятельной работы по теме «Независимые повторения испытаний с двумя исходами».
Примеры использования для разных физических явлений одинаковых математических моделей.
Уникальность и красота математики состоит в том, что очень многие физические явления реального мира, имеющие совершенно разную природу, могут быть описаны одними и теми же математическими объектами.
На физико-математических факультетах университетов в первом семестре изучают механические колебания. Они могут быть созданы пружинными или математическими маятниками. В следующем семестре рассматриваются темы, связанные со светом. Как известно, свет, с одной стороны, имеет корпускулярную природу, а с другой – волновую. Несмотря на то, что механические колебания и свет имеет принципиально разную природу и совершенно разные причины, оба эти явления задаются одним и тем же уравнением колебаний.
Более того, еще в эпоху древнейших цивилизаций ученые-математики делали поразительной точности вычисления. Древние египтяне и майя не имели полного представления о движении и положении небесных светим, не знали, по каким орбитам движутся планеты и как они расположены относительно Солнца. Им, как наблюдателям с Земли, было видно, что красная планета через определенные промежутки времени останавливается и начинает движение в обратную сторону. Сегодня нам известно, что планеты движутся не «туда-обратно», а по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. Древнейшим математикам это было неизвестно. Тем не менее, это не помешало им с поразительной точностью вычислить год и день, когда Марс вновь изменит свою траекторию движения.
Как видите, успехи в математике иногда опережали реальные открытия. То же самое можно сказать и о теории относительности Эйнштейна. Еще никому из людей не приходилось летать со скоростью света, однако четко выверенные математические формулы и модели уже существуют.
Функция Гаусса и ее график. Работа с гистограммами – примеры их разных областей жизни.
Так и в теории вероятностей и математической статистике существуют свои универсальные модели, которые могут быть применимы для изучения самых различных явлений. К таковым относится, например, функция Гаусса. Эта функция введена немецким математиком К.-Ф. Гауссом (1777-1855).
Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, астроном, геодезист и физик. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии.

Гауссова функция задается весьма сложной формулой
φx=12πe-x22.На интерактивную доску выводится изображение гауссовой кривой.
Это «колоколообразная» кривая. Она имеет единственную точку максимума, симметрична относительно оси ординат, площадь под этой кривой равна единице. Она очень быстро асимптотически приближается к оси абсцисс:если оценить площадь под гауссовой кривой на отрезке [-3;3], то получится более 99% всей площади.
Удивительно, что в формуле гауссовой функции одновременно присутствуют два замечательных иррациональных числа: π и e, в первоначальных определениях которых, казалось бы, нет ничего общего. Число π возникло при нахождении длины окружностей и площади кругов, а число e появляется в связи с введением показательных и логарифмических функций. Оказывается, что эти столь различные числа вместе используются при описании многих статистических и вероятностных явлений.
Гауссова кривая появляется при статистической обработке данных. Как мы видели на предыдущих уроках, гистограммы (столбчатые диаграммы) распределения большого объема информации незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел. Если ширина вертикальных столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией. Например, на рис. 1 представлена гистограмма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.
На интерактивную доску выводится рисунок 1.

Приведем пример из военного дела. Производилось 500 измерений боковой ошибки при стрельбе с самолета. На графике (рис. 2) по оси абсцисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси ординат — частоты этих ошибок.
На интерактивную доску выводится рисунок 2.

Приведем пример из биологии. Измерялся размер 12 000 бобов, и по оси абсцисс откладывались величины отклонений от среднего размера бобов, а по оси ординат — соответствующие частоты (рис. 3).
На интерактивную доску выводится рисунок 3.

Примеры, как видите, взяты из совершенно различных областей, а графики функций, выравнивающих гистограммы, похожи друг на друга. Оказывается, что такому же закону подчиняется распределение и горошин по весу, и новорожденных младенцев по весу, и частиц газа по скорости движения, и множества других явлений окружающего нас мира. Подобно тому как графики всех парабол получаются с помощью линейных преобразований вдоль координатных осей из одной-единственной параболы у = х2, все эти кривые распределения получаются из одной-единственной кривой, а именно из гауссовой кривой. Ее очень часто называют также кривой нормального распределения.
5. Формула гауссовой функции: причина ее возникновения, особенности.
Как же возникла эта кривая? В теории вероятностей гауссова кривая возникает при попытке практического использования формулы Бернулли. Теорема Бернулли дает абсолютно точный ответ для вероятности Pn(k) наступления k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания с двумя исходами: Pnk=Cnk⋅pk⋅qn-k.
Но если мы будем вычислять по этой формуле, например,
P100(49)=C10049⋅(0,7)49⋅(0,3)51,
то абсолютная точность не упростит, а усложнит нам задачу. Поэтому используются методы приближенного вычисления вероятностей. Оказывается, что в огромном числе различных ситуаций все приближения могут быть произведены с помощью одной-единственной функции – гауссовой функции y=φx.
Доказал возможность такого использования функции y=φx французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827) - французский астроном, математик, физик, иностранный почетный член Петербургской АН, автор классических трудов по теории вероятностей и небесной механике, и, наконец, человек, который составил космогоническую гипотезу образования всех тел солнечной системы, называемую его именем и в общих чертах, неизмененную поныне.

Таблица приближенных значений для гауссовой функции. Примеры.
Для использования столь громоздкой формулы гауссовой функции имеются подробные таблицы ее значений. Они составлены для значений аргумента с шагом 0,01.
На интерактивную доску выводится таблица.

Для знакомства и работы с таблицей к доске приглашается ученик, который вместе с классом находит по данному значения аргумента значение функции в таблице, и наоборот (всего 2 примера).
Рассмотрим способ использования гауссовой кривой для приближенных вычислений в теореме Бернулли.
7. Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях.
Алгоритм использования функции в приближенных вычислениях
Для вычисления вероятности следует:
проверить справедливость неравенства npq 10;
вычислить по формуле
по таблице значений гауссовой функции вычислить
предыдущий результат разделить на

Рассмотрим внимательнее неравенство npq 10. Так как q=1-p, то pq=p(1-p) и наибольшее значение этого квадратичного выражения (относительно p) достигается при p=0,5. Наибольшее значение равно 0,25. Значит,
0,25n≥npq≥10.Поэтому из условия 1) алгоритма следует, что n≥40. Это значит, что указанный алгоритм дает хорошую точность приближения, когда испытание с двумя исходами независимо повторяется как минимум несколько десятков раз. При меньшем числе повторений точность приближения резко ухудшается.
Задача.
Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет 110 мальчиков.
Решение:
Будем действовать по предложенному алгоритму. В нашем случае п = 200, p = q = 0,5. Значит, npq = 50 > 10 и npq≈7,07. При этом число «успехов» k равно 110.
Тогда:

Используя таблицы, вычисляем ответ:

8. Вероятность Pn(k1≤k≤k2) того, что число «успехов» k в n испытаниях Бернулли находится в пределах от k1 до k2.
Вероятности Pn(k), как правило, весьма малы. Это вполне объяснимо даже и без вычислений, на интуитивном уровне. Если монету бросить 1000 раз, то практически невероятно выпадение ровно 694 «орлов» или именно 427 «решек» и т. п. Поэтому при большом числе п в схеме Бернулли для числа k «успехов» устанавливают не одно точное значение, а некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу k. Например, найти вероятность того, что в 1000 бросаниях монеты «орел» выпадет от 500 до 600 раз, или вероятность того, что среди 200 новорожденных будет от 70 до 110 мальчиков. Вероятность того, что число «успехов» k в n испытаниях Бернулли находится в пределах от k1 до k2, обозначают так: Pn(k1≤k≤k2).
9. Функция Φx=0xφtdt. Ее геометрический смысл и график.
Для вычисления вероятностей Pn(k1≤k≤k2) снова используют гауссову функцию y=φ(x). Удобнее только ввести сначала некоторую дополнительную функцию Ф. Для этой функции также составлены таблицы значений, а связана она с φ следующим образом. Если аргумент х положителен, то Ф(х) равно площади под гауссовой кривой на отрезке от 0 до х. Более точно, Φx=0xφtdt. Если х < 0, то Ф(х) = - Ф(х).
На интерактивную доску выводятся следующие графики.

Кроме того, из графиков видно, Ф(0) = 0. Значит, функция Ф нечетна, а ее график симметричен относительно начала координат. Ясно также, что эта функция возрастает на всей прямой. График функции y=Φ(x) изображен на рисунке ниже.
На интерактивную доску выводятся график.

10. Алгоритм использования функции в приближенных вычислениях. Задача.
Алгоритм решения задач на нахождение Pn(k1≤k≤k2) аналогичен уже рассмотренному для .
Алгоритм использования функции в приближенных вычислениях
Для вычисления вероятности Pn(k1≤k≤k2) следует:
проверить справедливость неравенства npq 10;
вычислить x1 и x2по формулам

по таблице вычислить значения и
найти разность
Pnk1≤k≤k2= Φx2-Φx1.Задача.
Политика П. поддерживает в среднем 40% населения. Какова вероятность того, что из 1500 случайно опрошенных людей политика П. поддерживают от 570 до 630 человек?
Решение.
Считаем, что опрос 1500 человек происходит независимо и что вероятность поддержки политика П. отдельным респондентом, т. е. вероятность p «успеха», равна 0,4. Тогда
q=1-p=0,6 и npq=1500∙0,4∙0,6=360>10, npq≈19.
Значит, мы имеем дело с частным случаем схемы Бернулли, в которой число «успехов» k находится в пределах от 570 до 630.
x2=1,58.Поэтому P1500570≤k≤630= Φx2-Φx1=Φ1,58-Φ-1,58=2Φ1,58=2∙0,4429≈0,886.11. Анализ и сравнение изученных вероятностей.
Видим, что значение вероятности в данном случае гораздо больше по значению, чем то, которое мы определяли в предыдущей задаче.
Допустим теперь, что мы провели n независимых повторений испытания с двумяы исходами и пусть «успех» мы наблюдали равно k раз. Тогда число kn естественно назвать частотой «успеха». Насколько же частота «успеха» в n испытаниях Бернулли отличается от вероятности p «успеха» в одном испытании? Использование функций φ и Φ позволяет доказать, что при достаточно большом числе n повторений испытаний с двумя исходами числа kn и p практически совпадают. Об этом говорит один их важнейших законов в теории вероятностей – закон больших чисел.
12. Закон больших чисел.
Для каждого положительного числа r при неограниченном увеличении числа n независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота kn появления «успеха» отличается менее чем на r от вероятности p «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.
В частности, если нам неизвестна вероятность случайного события А, которое может происходить или не происходить в результате некоторого испытания, то мы можем многократно повторять это испытание и вычислять частоту наступления этого события А. При большом числе повторений практически несомненно, что таким образом найденная частота приблизительно будет равна вероятности Р(А) этого случайного события.
13. Заключительное слово учителя, подведение итогов урока.
14. Домашнее задание.
Из задачника Мордковича: № 25.9 (а, б); № 25.10 (б); № 25.14 (а, б); № 25.16 (б).