Методические рекомендации для реализации программы дисциплины «Математика»
ОГБОУ СПО «Смоленский техникум железнодорожного транспорта, связи и сервиса»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для реализации программы дисциплины
«Математика»
Задание на контрольную работу №1
по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог».
Смоленск, 2013
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.
После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями.
Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.
Дисциплина «Математика» изучается на 1 курсе по заочной форме обучения. По учебному материалу выполняется одна контрольная работа.
Контрольная работа выполняется в соответствии с заданным вариантом в сроки, обусловленные учебным планом. Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами шифра студента по таблице вариантов, которые помещены перед каждым заданием на контрольную работу.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку черной или синей пастой. На контрольную работу наклеивается титульный лист с номером работы; наименованием предмета; фамилией, именем и отчеством студента и преподавателя; полным шифром студента и основой обучения. На первом листе контрольной работы записывается вариант студента и перечисляются соответствующие ему задания контрольной работы. Каждое задание выполняется с нового листа через клетку. В конце контрольной работы приводится список используемой литературы, а также дата выполнения и подпись студента.
После проверки работы преподавателем, студент должен выполнить работу над ошибками (если они имеются в работе). Работа над ошибками выполняется в той же тетради после рецензии преподавателя и сдается на повторную проверку.
ТАБЛИЦА ВАРИНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Задание на контрольную работу №1 составлено в 50 вариантах. Каждый вариант состоит из 9-и примеров.
В соответствии с таблицей 1 необходимо по двум последним цифрам шифра выбрать номера контрольных вопросов, на которые необходимо дать ответы.
Таблица 1
Две последние цифры шифра
Вариант
Номера примеров
Две последние цифры шифра
Вариант
Номера примеров
1
2
3
4
5
6
01 или 51
1
4,58,66,91,122,
155,182,212,243
26 или 76
26
29,38,87,116,147,156,209,241,267
02 или 52
2
5,53,67,92,130,
161,189,216,250
27 или 77
27
28,31,73,117,150,
160,211,217,268
03 или 53
3
6,49,75,93,127,
157,183,220,244
28 или 78
28
26,37,79,118,148,157,207,227,269
04 или 54
4
7,57,68,94,132,
162, 190,215,252
29 или 79
29
22,43,84,119,151,
153,210,218,270
05 или 55
5
11,48,77,95,126,
154,184,222,254
30 или 80
30
19,53,80,120,149,161,208,230,271
06 или 56
6
17,59,69,96,133,
160,191,225,245
31 или 81
31
25,52,74,91,122,
158,211,224,270
07 или 57
7
2,56,76,97,131,
163,185,221,255
32 или 82
32
20,51,81,92,132,
154,208,219,242
08 или 58
8
3,52,70,98,128,
156,192,214,251
33 или 83
33
26,44,75,93,123,159,206,228,243
09 или 59
9
9,47,78,99,124,
159,186,223,246
34 или 84
34
10,37,76,94,133,
155,210,220,272
10 или 60
10
12,55,71,100134,
153,193,217,253
35 или 85
35
28,36,77,95,124,
180,205,229,271
11 или 61
11
18,51,72,101,129,
164,187,224,247
36 или 86
36
16,54,83,96,134,
152,209,240,270
12 или 62
12
10,54,74,102,125,
158,194,218,249
37 или 87
37
15,36,82,97,125,
181,204,223,266
13 или 63
13
8,50,79,103,135,
165,195,219,248
38 или 88
38
11,55,78,98,135,
176,207,239,267
14 или 64
14
1,60,73,104,123,
152,188,213,242
39 или 89
39
24,35,66,99,126,
178,197,228,268
15 или 65
15
13,42,64,105,138,164,196,234,256
40 или 90
40
29,45,68,100,136,173,196,237,269
16 или 66
16
14,39,61,106,143,
169,199,212,257
41 или 91
41
22,56,67,101,127,
175,203,221,265
17 или 67
17
16,47,63,107,145,
165,201,233,258
42 или 92
42
17,34,72,102,137,
177,195,229,264
Продолжение таблицы 1
Две последние цифры шифра
Вариант
Номера примеров
Две последние цифры шифра
Вариант
Номера примеров
1
2
3
4
5
6
18 или 68
18
21,38,62,108,139,
170,204,214,259
43 или 93
43
21,33,69,103,128,
174,202,238,263
19 или 69
19
24,41,65,109,142,166,197,213,260
44 или 94
44
30,60,63,104,138,170,194,227,262
20 или 70
20
25,32,90,110,137,
163,205,225,261
45 или 95
45
14,32,70,105,129,
171,201,230,261
21 или 71
21
15,40,86,111,144,
171,202,232,262
46 или 96
46
12,59,64,106,139,
167,193,236,260
22 или 72
22
30,48,88,112,141,167,198,215,263
47 или 97
47
13,58,71,107,130,
172,200,222,259
23 или 73
23
20,39,89,113,146,
162,203,226,264
48 или 98
48
23,57,65,108,140,168,192,231,258
24 или 74
24
23,49,85,114,140,172,200,216,265
49 или 99
49
18,46,62,109,131,
169,199,235,257
25 или 75
25
27,50,90,115,136,
168,206,231,266
50 или 100
50
27,32,61,110,141,
166,190,226,256
ПРИМЕРЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1
Системы уравнений 1-30
Пользуясь формулами Крамера, решить систему уравнений.
№1. x+y-z=36 №2. 2x-4y+9z=28 №3. x+y+z=36 №4. 3x+5y+3z=16
x+z-y=13 7x+3y-6z=-1 2x -3z=-17 x+2y+z=8
y+z-x=7 7x+9y-9z=5 6x -5z=7 x-7y-2z=5
№5. 4x+y-3z=-1 №6. 4x-3y+z=43 №7. 3x+y+2z=11 №8. 2x+3y+4z=15
8x+3y-6z=-1 x+y-z=3 2x+2y-3z=9 x+y+5z=16
x+y-z=-1 2x+y =13 x-5y-8z=23 3x-2y+z=1
№9. 5x-19y-z=26 №10. 6x+3y-5z=0 №11. x+2y+z=4 №12. 2x+y=5
2x-5y-z=6 9x+4y-7z=3 3x-5y+3z=1 x+3z=16
8x-31y-4z=35 14x+6y-11z=6 2x+7y-z=8 5y-z=10
№13. 7x+2y+3z=15 №14. 2x-y+5z=27 №15. x-4y-2z=0 №16. 3x+y-2z=6
5x-3y+2z=15 5x+2y+13z=70 3x-5y-6z=-21 5x-3y+2z=-4
10x-11y+5z=36 3x-z=-2 3x+y+z=-4 4x-2y-3z=-2
№17. 5x+6y-2z=12 №18. 12x-13y-4z=-10 №19. 8x-y+3z=22 №20 . 7x-2y=-24
2x+5y-3z=9 7x-9y-11z=0 4x+y+6z=-1 6x-4y-5z=-37
4x-3y+2z=-15 12x-17y-15z=-7 13x+y+16z=5 4x+3y+6z=13
№21. 3x+2y-4z=8 №22. 2x-5y+3z=4 №23. 3x-3y+2z=2 №24. 3x+2y-4z=8
2x+4y-5z=11 4x+3y-5z=2 4x-5y+2z=1 2x+4y-5z=11
4x-3y+2z=1 5x+4y-2z=18 5x-6y+4z=3 4x-3y+2z=1
№25. 4x-2y-z=3 №26. x+y+z=4 №27. 2x+y-2z=1 №28. x-y+3z=-4
2x+y=8 x+2y+3z=7 x-y+3z=4 2x+y-2z=5
1,5x=4,5 x+y+5z=8 3x+y+z=4 3x+3y+z=6
№29. 4x-y+2z=8 №30. 2x+y-2z=4
3x-2y+5z=14 3x-y-5z=12
5x+3y-3z=2 4x+3y+2z=3
Функции. Последовательности. 31-121
Пределы. Найти пределы.
№31. lim (x+3)2 -9
x0 x
№32. lim x2+3x
x0 x2+x
№33. lim x2+x-6
x2 x-2
№34. lim x2-25
x5 x+5
№35. lim x2-121
x11 x-11
№36. lim x2+3x-10
x-5 x+5
№37. lim x2-1
x1 2x2-x-1
№38. lim x2+3x+2
x-1 x+1
№39. lim 49-x2
x-7 x+7
№40. lim x2-x-6
x3 x-3
№41. lim x2+x-12
x3 x-3
№42. lim x2-64
x8 8-x
№43. lim x3+27
x-3 2x2-3x-27
№44. lim 2x2+3x-35
x-5 3x2+16x+5
№45. lim x2-5x+6
x2 x2-12x+20
№46. lim x2+5x+6
x-2 x2+x-2
№47. lim x2-4
x2 x2-2x
№48. lim 2x2+7x+6
x-2 x+2
№49. lim x2-6x+9
x3 x2-3x
№50. lim x2-5x+6
x2 x-2
№51. lim x2-4x
x0 x2+x
№52. lim x2-5x+6
x3 x-3
№53. lim (x+4)2-16
x0 x
№54. lim x2-x-6
x-2 x+2
№55. lim x2+3x+2
x-2 x+2
№56. lim x2+2x
x0 x2+x
№57. lim (x+2)2-4
x0 x
№58. lim x2-4x+4
x2 x-2
№59. lim 36-x2
x-6 x+6
№60. lim x2-5x+25
x5 x2-5x
№61. lim 10-3x2
x
· 2x2+7
№62. lim x+x3
x
· x3+2x2
№63. lim 2x2-x+1
x
· x+4x2 -3x
№64. lim 6x2+x3
x
· 4x3-7
№65. lim 5x2-7x+3
x
· 4x2+3x-1
№66. lim x2-1
x
· 2+x2
№67. lim 9x2+3x-1
x
· x2
№68. lim 3x2-2x3-4
x
· 7x3+x2-5x
№69. lim 3x2-4
x
· 5x3+x2
№70. lim 8x3-16x
x
· 2x+2x3
№71. lim 5x2-3x+6
x
· 3-10x2
№72. lim 8x3+16x4-3
x
· 2+x-8x4
№73. lim 10x+8x2-4x
x
· 2x2-5x+3
№74. lim 6x2+3
x
· 2x2-2
№75. lim 8x3-4x2+1
x
· 4x3-3
№76. lim 3x2+4x-1
x
· 3+6x2-3x
№77. lim x2+1
x
· x2
№78. lim 2x
x
· x-1
№79. lim x4+x5
x
· 3x2-2x5
№80. lim 1-x2
x
· 1+2x2
№81. lim x3-3
x
· x3
№82. lim 2-x2
x
· 3+3x2
№83. lim 8-x+x2
x
· 3+2x2
№84. lim 3-x+x3
x
· 16+4x3
№85. lim 5+x
x
· x2-1
№86. lim x2-1
x
· x2+1
№87. lim 3x2+2x3
x
· 2x3-5
№88. lim x+x2
x
· 3x+2x2
№89. lim x2+x-3
x
· 2x2-1
№90. lim -3x2+4x3
x
· 2x3+5
№91. lim 3
x-2 x+2
№92. lim 5
x4 2x-8
№93. lim 2
x1 x-1
№94. lim 8
x3 2x-6
№95. lim 5
x
· x-2
№96. lim 4
x
· x2+x
№97. lim 8
x
· x-1
№98. lim 2
x4 8-2x
№99. lim 3
x
· 2x+1
№100. lim 5
x
· x+1
№101. lim 3
x
· x-1
№102. lim 2
x
· 2x+3
№103. lim 3
x5 10-2x
№104. lim 2
x5 2x-10
№105. lim 5
x
· 6x+1
№106. lim 2
x3 6-2x
№107. lim 8
x1 x-1
№108. lim 5
x3 21-7x
№109. lim 3
x4 12-3x
№110. lim 3
x
· 2x-4
№111. lim 5
x
· 6x-8
№112. lim 8
x1 1-x
№113. lim 4
x
· 2x+1
№114. lim 2
x3 9-3x
№115. lim 3
x
· 3x+1
№116. lim 5
x
· 2x-4
№117. lim 8
x
· 3x+1
№118. lim 3
x
· 4x-1
№119. lim 5
x4 8-2x
№121. lim -3x2+4x3
x
· 2x3+5
№120. lim 2
x6 12-2x
Производная функция. 122-151
Найти производную функцию.
№122. a) y=5x4+3sin x –cos x+9
б) f (x)=(x3-2x+7) 4 f (2)-?
№123. а) y=x3*4
·x-3* 3
·x-2
б) f (x)=3sin2x f ( П/6)-?
№124. а) 3x2-8/3x2+8
б) f (x)=arcos 2x f (1/4)-?
№125. а) y=(5x3-3)*(6x2+1) y(2)-?
б) f (x)=cos(3x2-1)
№126. а) y=4
·x3*x2*
·x-1* 5
·x-2
б) f (x)=sin23x f (П/18)-?
№127. а) y=x3*
·x2/4
·x3*
·x
б) y=sin25x y(П/20)-?
№128. а) y=(x3+4)*(x2+x-1) y(2)-?
б) f (x)=cos(x3-2)
№129. а) y=x4-3/x4+3
б) f(x)=cos3x*(sin3x+1) f (П/24)-?
№130. а) y=x4-3cos x+3sin x-ln x+29
б) f (x)=sin x*tg x f (П/4)-?
№131. а) y=3
·x+2/3*3
·x2-3/3
·x+25
б) y=ctg x-sin3x y(П/6)-?
№132. а) y=4ln x+x3 y(2)-?
б) y=5sin3x
№133. а) y=x5+2ln x y(-2)-?
б) f (x)=3sin(2x2-1)
№134. а) y=(2+sin x)/sin x y(П/4)-?
б) y=(x2+3)*
·(x2-3)
№135. а) y=arcos x+arcsin x y(1/
·2)-?
б) y=ln(4x3+x)5
№136. а) y=2arcsin x+3arccos x y(1/2)-?
б) f (x)=ln (x2+3)/(x2-3)
№137. а) y=(ln x+2)/(2-ln x)
б) y=52x-1
№138. а) y=(ex-1)/(ex+1)
б) y=tg24x
№139. а) y=(2-sin x)/(2+sin x) y(П/3)-?
б) y=ln(3x2-2)6
№140. а) y=cos x-sin x y(П/4)-?
б) y=ln((x3-3)/(x3+3))
№141. а) y=cos x*(2+sin x)
б) f (x)=3*5
·(3x2-1)3 f (0)-?
№142. а) y=5x4-3sin x+6cos x-ln x+11
б) f (x)=(x3+1)* 3
·(x2-1)2 f (1)-?
№143. а) y=(3+sin x)*(3-sin x) y(П/4)-?
б) y=ln(x3+5)4
№144. а) f (x)=(e x+2)/(ex-2)
б) y=sin x*cos x
№145. а) f (x)=2sin x*(1-cos x) f (П/3)-?
б) y=ln(x2-4)/(x2+4)
№146. а) f (x)=(x2-3x+1)/(x2+1) f (-1)-?
б) y=(sin x+2)*cos x
№147. а) y=10x4-e2x+
·2
б) y=(x3-1)/(x3+1) y(0,5)-?
№148. а) y=x2*ex*x+3x y(0)-?
б) f (x)=ln 7
·x3/(x-1)
№149. а) y=5
·(4x2-3)
б) y=5sin2x y(0)-?
№150. а) y=sin3 (8x2-1)
б) y=(3x2-1)/(2x+1) y(0)-?
№151. а) y=(8x2-1)*(4x-3) y(1)-?
б) y=ln (3-x2)/(3+x2)
Дифференциал функции. 152-181
Найти приближенное значение функции.
№152. y=3x2-x+2 при x=2,
·x=0,01
№153. y=2x2+3x-2 при x=3,
·x=0,002
№154. y=3x2+2x+10 при x=5,
·x=0,001
№155. y=3x2+4x при x=10,
·x=0,001
№156. y=4x2-5x при x=5,
·x=0,001
№157. y=2x3-x+10 при x=2,
·x=0,001
№158. y=5x2-3x+5 при x=5,
·x=0,02
№159. y=4x3-2x при x=5,
·x=0,001
№160. y=6x2+2x-1 при x=10,
·x=0,001
№161. y=6x3-2x при x=10,
·x=0,01
№162. y=4x2+2x при x=2,
·x=0,001
№163. y=5x3-2x при x=2,
·x=0,002
№164. y=4x2-3x при x=3,
·x=0,001
№165. y=5x3-2x при x=2,
·x=0,002
№166. y=7x3-x при x=2,
·x=0,002
№167. y=3x2+5x+1 при x=3,
·x=0,001
№168. y=x3+2x при x=2,
·x=0,1
№169. y=x2-2x при x=1,
·x=0,01
№170. y=2x3+5 при x=2,
·x=0,001
№171. y=x3 при x=10,
·x=0,03
№172. y=2x2-3x при x=5,
·x=0,01
№173. y=3x2-2x+4 при x=4,
·x=0,02
№174. y=2x2+2x-1 при x=3,
·x=0,02
№175. y=3x2+2x-3 при x=2,
·x=0,01
№176. y=3x3-2x при x=2,
·x=0,01
№177. y=2x2-x+3 при x=1,
·x=0,1
№178. y=3x2+2x-2 при x=3,
·x=0,02
№179. y=5x3+2x при x=2,
·x=0,001
№180. y=3x2+2x-1 при x=5,
·x=0,02
№181. y=2x2+3x-4 при x=3,
·x=0,01
Дифференциал функции. 182-211
Найти дифференциал функции.
№182. y=7x4-cos(x3+2)+ln x №205. y=e 3x*x-1+sin 4x
№183. y=
·(5x3-x+1) +sin(1-10x) №206. y=3x*sin 5x
№184. y=ln(x6-3)+tg x2 №207. y=e cos2x-tg 3x
№185. y=arccos 7x-3ln sin x №208. y=
·(3x2-1)+cos 6x
№186. y=e cos x+
·(3x2-1) №209. y=
·3*x3+sin 3x2
№187. y=cos43x №210. y=e sin x+cos(8x2-1)
№188. y=x4*ctg 2x №211. y=3x4+cos 7x3
№189. y=e sin 3x-ln sin x
№190. y=0,5 arcsin 4x+cos7x
№191. y=
·(9x3-x)+4e
·x
№192. y=
·2*x4+cos 4x2
№193. y= 5x2+sin 8x2
№194. y=
·(3x2-1)+cos 8x
№195. y=arctg 2x+5sin x
№196. y=arcsin 3x+3x2-ln x
№197. y=x3*tg 3x
№198. y=sin56x
№199. y=ln(x5+2)+sin 2x
№200. y=3x*x-1+ln cos x
№201. y=3
·x+sin 6x
№202. y=tg(3x-1)+ln 2x
№203. y=3sin x+sin 6x2
№204. y=ctg 3x-2tg x
Неопределенный интеграл. 212-241
Найти неопределенный интеграл.
№212. a)
·(1-6
·x +9 5
·x4)dx; б)
·x*dx/
·(1-4x2); в)
·cos 2x*dx/(5+sin 2x).
№213. a)
·e x*dx/3
·(1+e x); б)
·x*sin(x2+1)dx; в)
·x*e xdx.
№214. a)
·e xdx/(e x-2); б)
·x3*3
·(1-3x4)dx; в)
·cos(3-7x)dx.
№215. a)
·(x3-1/
·x)dx; б)
·dx/sin23x; в)
·x*sin x dx.
№216. a)
·(5/cos2(5x+2))dx; б)
·(3x2-4x3+3)dx; в)
·ln x dx.
№217. a)
·(x/
·(1+3x2))dx; б)
·(sin x+3x2-2)dx; в)
·(sin x*cos3x)dx.
№218. a)
·(2x+1)2dx; б)
·cos x*e sin xdx; в)
·cos2x*sin x dx.
№219. a)
·sin5x*cos x dx; б)
·x*cos x dx; в)
·(x+
·x-2x)dx.
№220. a)
·
·(3x-1)dx; б)
·x*ln x dx; в)
·(7x6-1/x+e x)dx.
№221. a)
·(5x4-3
·x2+1)dx; б)
·(sin 3x/(cos3x-2))dx; в)
·6x(x2-1)4dx.
№222. a)
·(5x3-8/x-sin x)dx; б)
·sin 6x dx; в)
·sin3x*cos x dx.
№223. a)
·(2sin x+3cos x)dx; б)
·x3*sin 3x4 dx; в)
·(e x/1+e x) dx.
№224. a)
·((x2+x+5)/2x)dx; б)
·x2*3
·(7+x3) dx; в)
·sin 2x/(4-cos 2x)dx.
№225. a)
·(3x+1)2/x dx; б)
·sin4x/(1+cos 4x)3dx; в)
·(2x3-2)5*x2 dx.
№226. a)
·((2+x)/x)2 dx; б)
· e x+2dx; в)
·x*ln x dx.
№227. a)
·x2*cos x3 dx; б)
·(x3+2x)/x dx; в)
·(3x3-2)5*x2dx.
№228. a)
·(3
·x-3/4 3
·x2)dx; б)
·x2*cos(3-x3)dx; в)
·(2x+1)/(x2+x+1)dx.
№229. a)
·(x3+2x+3sin x)dx; б)
·x3*sin3x4dx; в)
·(ln x)/x2dx.
№230. a)
·(e x+3x-2
·x)dx; б)
·x/(5-x2) dx; в)
·(ln x)/x4 dx.
№231. a)
·(4x-3*3
·x2) dx; б)
·e cos x*sin x dx; в)
·(ln x)/x3dx.
№232. a)
·(3x2+4
·x3-2)dx; б)
·x3/(1+x4)dx; в)
·sin4x*cos x dx.
№233. a)
·2/
·(1-x2)dx; б)
·cos x/(7-3sin x)dx; в)
·x9*3
·(x10-5)dx.
№234. a)
·(4x4-2x3+x2)/x2dx; б)
·sin x/(2-5cos x)dx; в)
·(3x4-5)6*x3dx.
№235. a)
·x3*(1+7x)dx; б)
·(x2+1)/(x3+3x)dx; в)
·(sin
·x)/
·x dx.
№236. a)
·(arctg3x)/(1+x2)dx; б)
·x5/(1+x6)dx; в)
·(e x+4x+4sin x)dx.
№237. a)
·(arcsin2x)/
·(1-x2)dx; б)
·(4x3+3x2+x)/x dx; в)
·(6x-1)/(3x2-x)dx.
№238. a)
·x3/(x4+2)dx; б)
·x4(5x5+5)3dx; в)
·(3
·x+2x-sin x) dx.
№239. a)
·(cos2x+3)/cos2x dx; б)
·sin3x*cos x dx; в)
·(1+x5)7*x4dx.
№240. a)
·(5x-1/x5+3/cos2x)dx; б)
·sin x*cos5x dx; в)
·tg x dx.
№241. a)
·(2*sin3x+3)/sin2x dx; б)
·x2/
·(x3-1)3 dx; в)
·ctg x dx.
Определенный интеграл. 242-271
Вычислить определенные интегралы.
0 0
№242. a)
·(3x2+1)dx; б)
·sin2x*cos x dx.
-1 -П/2
1 3
·/2
№243. a)
·(1/2x+4x2)dx; б)
· cos x/3 dx.
-1 0
1 1
№244. a)
·(2x+1)dx; б)
·x2*e x*x*xdx.
0 0
0 1
№245. a)
·(
·x+1/
·x)dx; б)
·
·(1-x) dx.
1 0
1 0
№246. a)
·(3x2-3
·x)dx; б)
·sin x * e cos x dx.
-1 -П/2
4 П /4
№247. a)
·(3x2-2x+4)dx; б)
·sin 8x dx. 1 -П/8
2 2
№248. a)
·2dx/5x; б)
·e x/(e x-1) dx.
1 0
8 2
№249. a)
·(2+x)/x2dx; б)
· x4 dx/(1+x5).
2 0
2 П/4
№250. a)
·(2x2+1)/x dx; б)
·sin x*cos5 x dx.
1 -П/2
1 0
№251. a)
·(1-3
·x2) dx; б)
·sin(4x+ П/4) dx.
-1 -П/4
4 2
№252. a)
·x+1/
·x dx; б)
·(x5-x)/(1-3x2+x6)dx.
1 0
2 2П
№253. a)
·dx/ 3
·x2; б)
·sin x/(cos x+1) dx.
1 3/2П
4 П/4
№254. a)
·(0,5x3-3
·x) dx; б)
· dx/sin22x.
1 П/8
3 П/3
№255. a)
·(x2-3x) dx; б)
·cos(3x-П/3) dx.
0 0
2 2
№256. a)
·2x(1+x2) dx; б)
·е 2x-1dx.
1 0,5
8 2
№257. a)
·(x-3
·x)/x dx; б)
·x
·(5x2+1) dx.
1 1
2 П/4
№258. a)
·(x-1)2/x2 dx; б)
·е sin x
·cos x dx.
1 0
П/2 3
№259. a)
·(3cos x+2sin x) dx; б)
·е 2x /(10-е 2x) dx.
0 0
0,5 П/3
№260. a)
·2 dx/
·(1-x2); б)
·cos4x*sin x dx.
0 0
П
·П
№261. a)
·(x*cos x+1)/x dx; б)
·x*sin x2 dx.
П/2 0
П/3 П/2
№262. a)
·(2/cos2x +sin x) dx; б)
·sin(П -4x) dx.
0 0
П 0
№263. a)
·(е x-cos x) dx; б)
·3x3/4
·(1+x4) dx.
0 -1
1 0
№264. a)
·3 dx/(1+x2); б)
·x2*еx*x*x-1 dx.
·3/3 1
·3/2 1
№265. a)
· dx/2
·(1-x2); б)
·x3/(1+x4) dx.
·2/2 -3
4 2
№266. a)
·[(x-3)2-4] dx; б)
·5 dx/
·(5x-1).
1 1
1 1
№267. a)
·(2x+4x2-5) dx; б)
·(2x3+1)4*x2 dx.
-1 0
2 П/2
№268. a)
·(3x3-2x+8) dx; б)
·sin x*cos2x dx.
0 0
1 П/2
№269. a)
·(2-
·x3) dx; б)
·cos x dx/(2-sin x).
0 0
9 П/6
№270. a)
·(1-x)/
·x dx; б)
·е sin x*cos x dx.
1 0
4 П/3
№271. a)
·(2x+3x2-5) dx; б)
·sin x dx/(3-cos x).
0 0
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОРАБОТЫ №1
Системы линейных уравнений
Определителем третьего порядка 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415называется число, которое может быть найдено следующими способами:
1. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение системы уравнений
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
методом Крамера осуществляется по формулам:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 где
. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Вычисление пределов функций
Число 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется пределом последовательности x1,х2,,xn , если для всякого сколь угодно малого положительного числа 13 EMBED Mi
·crosoft Equation 3.0 1415 найдется такое положительное число N, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. В этом случае пишут: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Число 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется пределом функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если для любого сколь угодно малого 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 найдется такое 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Это записывают так: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Аналогично 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Условно записывают 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где М - произвольное положительное число. В этом случае функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется бесконечно большой при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется бесконечно малой при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415).
Путем элементарных рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно получить следующие наиболее часто встречающиеся пределы (постоянная 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415):
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (первый замечательный предел);
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (второй замечательный предел) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
Функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется непрерывной в точке если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности и точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
2) существует предел 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) этот предел равен значению функции в точке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
При нахождении пределов часто используется тот факт, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, для которых они определены.
Пример 1. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример 2. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Здесь 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 3. Вычислить предел 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Здесь 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Неопределенность 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
При этом возможны частные случаи:
Числитель 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и знаменатель 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 дроби
· многочлены.
Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.
Пример 4. Вычислить предел 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Здесь 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Имеем неопределенность 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Разложим числитель и знаменатель на множители. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример 5. Найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
2. Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.
Пример 6. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. При 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415числитель и знаменатель стремятся к нулю. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415то теорему о пределе частного применять нельзя. Для раскрытия неопределенности 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, получим:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Пример 7. Найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. При 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда получим:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3. Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.
Пример 8. Найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. Подстановкой предельного значения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 убедимся, что имеем неопределенность 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Применяем тригонометрическую формулу 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Неопределенность вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1. Числитель и знаменатель дроби при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415- полиномы.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.
Пример 9. Найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример 10. Найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (выбираем из двух вариантов 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415), т.е на 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Неопределенность вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.
Пример 11. Найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Дифференциальные исчисления функций одной переменной
Функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 описывает зависимость между двумя переменными ве личинами 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Если независимая переменная 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в точке13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 получила прираще ние 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415), то переменная 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 получит приращение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Предел отношения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 стремится к нулю, называется производной функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в точке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и обозначается 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Производная сложной функции
Пусть 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 является не независимой переменной, а функцией независимой переменной 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Таким образом, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. В этом случае функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется сложной функцией 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, а переменная 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
· промежуточным аргументом.
Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 существует и равна произведению производной функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 по промежуточному аргументу 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 на производную промежуточного аргумента 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 по независимой переменной 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.
Формулы дифференцирования
С – постоянная, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 функции аргумента 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
7. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
2. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Основные элементарные функции
Сложные функции
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
8а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
9а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
10а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
11а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
12а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
14а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
15а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
16а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
17а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
18а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
19а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
20а
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример 1. Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример 2. Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 3. Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пример 4. Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и вычислить ее значение при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Используя формулы 8а и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513, имеем: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Вычислим значение производной при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 5. Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 6. Найти производную функции 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
Пример 7. Найти производную функции 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: полагая 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, получим 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
Пример 8. Найти производную функции.
Решение. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
Производные высших порядков
Производная функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в общем случае является функцией от 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Если от этой функции вычислять производную, то получим производную вто рого порядка или вторую производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Второй производной функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется производная от ее пер вой производной 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Вторая производная функции обозначается одним из символов: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 10. Найти вторую производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение. Сначала найдем первую производную:
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
Пример 11. Найти вторую производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции:
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
Неопределенный интеграл.
Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Определение: совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. Таким образом, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Здесь f(x)- подынтегральная функция, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415- подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Если функция13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 имеет первообразную, то 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Если 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415- дифференцируемая функция, то 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Если функция13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 имеет первообразную, то при 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 верно равенство 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Если функция13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 и 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 имеют первообразные, то 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Таблица неопределенных интегралов.
1. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
8. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
2. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
9. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
3. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
10. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
4. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
11. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
5. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
12. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
6. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
13. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
7. 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415;
Пример 1. Для функции 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (2;2).
Решение: так как при всех 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415верно равенство 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 то 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415- одна из первообразных функции 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. Следовательно, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415 С – некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F(2)=2, то есть 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415откуда 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Значит, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 2. Найти интеграл 13 EMBED MathType 5.0 Equation 141513 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 3. Найти интеграл 13 EMBED MathType 5.0 Equation 141513 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
Пример 4. Найти интеграл 13 EMBED MathType 5.0 Equation 141513 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: так как 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, то 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 5. Найти интеграл.
Решение: так как 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, т13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415о 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 6. Найти интеграл 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: так как 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, то 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 7. Найти интеграл 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение:13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415
Определенный интеграл.
Пусть функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 определена на отрезке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Разобьем этот отрезок на n частей точками 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, выберем на каждом элементарном отрезке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415произвольную точку 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и обозначим через 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 длину каждого такого отрезка.
Определение. Интегральной суммой для функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 на отрезке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется сумма вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определение. Определенным интегралом от функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 на отрезке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Для любой функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, непрерывной на отрезке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, всегда существует определенный интеграл 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Для вычисления определенного интеграла от функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, служит формула Ньютона – Лейбница: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 преобразуется с помощью подстановки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в определенный интеграл относительно новой переменной 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. При этом старые пределы интегрирования 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, которые находятся из исходной подстановки: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Таким образом, имеем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 1. Вычислить определенный интеграл: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 2. Вычислить определенный интеграл: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Пример 3. Вычислить определенный интеграл: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 4. Вычислить определенный интеграл: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 5. Вычислить определенный интеграл: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: положим 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, тогда 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. Вычисляем новые пределы интегрирования: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Поэтому
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Пример 6. Вычислить определенный интеграл: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415.
Решение: преобразуем подкоренное выражение: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. Положим 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, откуда 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. Найдем новые пределы интегрирования: 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415, 13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. Следовательно,
13 EMBED MathType 5.0 Equation 1415. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
Определение функции. Способы задания функции. Основные элементарные функции.
Определение предела функции. Основные теоремы о пределах.
Определение непрерывности функции. Точки разрыва.
Производная функции. Определение. Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Производная функции. Физический смысл производной.
Производные высших порядков.
Производная второго порядка и её механический смысл.
Производная. Правила дифференцирования.
Формулы дифференцирования.
Сложная функция. Правило дифференцирования сложных функций.
Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл дифферен циала.
Приложение дифференциала к приближённым вычислениям.
Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума.
Экстремумы функции. Достаточные условия существования экстремума.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
Схема исследования функций и построения графиков.
Первообразная. Неопределённый интеграл. Геометрическая интерпретация.
Основные свойства неопределённого интеграла.
Таблица основных интегралов.
Непосредственное интегрирование.
Методом замены переменных.
Метод интегрирования по частям.
Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.
Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньюто на - Лейбница.
Вычисление определённого интеграла методом замены переменной.
Вычисление площадей плоских фигур.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика», М., «Высшая школа», 1991 г.
Зайцев И.Л. «Элементы высшей математики для техникумов»,
М., «Высшая школа», 1974 г.
Мордкович А.Г. «Математический анализ», М., «Высшая школа», 1990 г.
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. «Элементы дискретной математики», М., «Инфра-М», 2002 г.
Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа для техникумов», ч. 2, М., «Высшая школа».
Цыпкин А.Г. «Справочник по математике», М., «Высшая школа», 1983г.
Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», М., «Роскнига», 2001 г.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native