Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей
Рассмотрим разные способы нахождения суммы конечных числовых последовательностей. Сначала найдем формулы для суммы n первых натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы их кубов. Далее, зная эти формулы будем вычислять суммы некоторых конечных числовых последовательностей.
Найти формулу суммы n первых членов натуральных чисел:
1+2+3+…+n;
Решение.
Эту сумму можно вычислить по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии. Sn=1+n2∙n=n(n+1)2;
1+2+3+…+n=n(n+1)2 (1)
Ответ: n(n+1)2.
Найти формулу для суммы
12+22+32+…+n2;
Решение.
13=13;
23=(1+1)3=13+3∙12+3∙1+1;
33=(2+1)3=23+3∙22+3∙2+1;
…
(n+1)3=n3+3n2+3n+1;
Сложим почленно эти равенства и получим:
13+23+33+…+(n+1)3=13+13+23+…+n3+312+22+32+…+n2+31+2+3+…+n+n;
(n+1)3=13+312+22+32+…+n2+31+2+3+…+n+n;
Отсюда находим сумму квадратов n первых натуральных чисел:
12+22+32+…+n2=n+13-1-31+2+3+…+n-n3==13n+13-1-3∙nn+12-n=162n3+6n2+6n-3n2-3n-2n==n(2n2+3n+1)6=nn+1(2n+1)6;
12+22+32+…+n2=nn+1(2n+1)6 (2)
Ответ: nn+1(2n+1)6.
Найти формулу для суммы
13+23+33+…+n3;
Решение.
14=14;
24=(1+1)4=14+4∙13+6∙12+4∙1+1;
34=(2+1)4=24+4∙23+6∙22+4∙2+1;
…
(n+1)4=n4+4∙n3+6∙n2+4n+1;
Теперь сложим эти равенства почленно. Мы получим:
(n+1)4=14+413+23+33+…+n3+612+22+32+…+n2+41+2+3+…+n+n;
Отсюда находим сумму кубов n первых натуральных чисел:
13+23+33+…+n3==14n+14-1-6∙nn+12n+16-4∙nn+12-n==14(n+12-1)(n+12+1)-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n==n4n+2n2+2n+2-n+12n+1-2n+1-1==n4n+1n2+2n+2-2n-1-2+n2+2n+2-1==nn+14n2-1+n+1=n2(n+1)24; Итак,
13+23+33+…+n3=n2(n+1)24 (3)
Ответ: n2(n+1)24.
Найдите сумму: 1∙2+2∙3+3∙4+…+n(n+1).
Решение: an=nn+1=n2+n;
a1=12+1;
a2=22+2;
a3=32+3;
…
an=n2+n;
Сложим почленно эти равенства и получим:
a1+a2+…+an=12+22+32+…+n2+(1+2+…+n);
Обозначим a1+a2+…+an=Sn. По формуле (1) и (2) получим:
Sn=nn+1(2n+1)6+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)3.
Ответ: nn+1(n+2)3.Найдите сумму: 1+18+75+…+n(2n-1)2.
Решение: an=n(2n-1)2=n4n2-4n+1=4n3-4n2+n;
an=4n3-4n2+n;
a1=4∙13-4∙12+1;
a2=4∙23-4∙22+2;
…
an=4n3-4n2+n;
Сложим почленнно эти равенства и получим:
Sn=413+23+…+n3-412+22+…+n2+(1+2+…+n);
Sn= 4∙n2(n+1)24-4∙nn+1(2n+1)6+n(n+1)2==nn+1nn+1-4∙2n+16+12=nn+1(6n2-2n-1)6;
Ответ: nn+1(6n2-2n-1)6.
Найдите сумму всех попарных произведений чисел 1, 2, 3, …,n.
Решение: 1∙2+…+n-1n=(1+2+…+n)2-(12+22+…+n2)2;
Sn=12n2n+124-nn+12n+16=nn+14nn+12-2n+13==nn+14∙3n2+3n-4n-26=nn+1(3n2-n-2)24;
Ответ: nn+1(3n2-n-2)24.
Найдите сумму: (a+1a)2+(a2+1a2)2+…+(an+1an)2.
Решение: an=(an+1an)2=a2n+2+1a2n;
a1=a2+2+1a2;
a2=a4+2+1a4;
a3=a6+2+1a6;
…
an=a2n+2+1a2n;
Сложим почленно эти равенства и получим:
Sn=a2+a4+…+a2n+2n+(1a2+…+1a2n), где
Sn'=a2+a4+…+a2n, Sn''=1a2+…+1a2nэти суммы можно вычислить по формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Sn'=a2∙(a2n-1)a2-1, Sn''=1a2(1a2n-1)1a2-1=a2n-1a2n(a2-1);
Sn=a2∙a2n-1a2-1+a2n-1a2na2-1+2n=a2n-1a2-1a2+1a2n+2n==(a2n-1)∙(a2n+2+1)a2na2-1+2n;Ответ: (a2n-1)∙(a2n+2+1)a2na2-1+2n.
Найдите сумму: 11∙2+12∙3+…+1n(n+1).
Решение:
11∙2=11-12;
12∙3=12-13;
...
1n(n+1)=1n-1n+1;
Сложим почленно эти равенства и получим:
Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1;
Ответ: nn+1.
Найдите сумму: 11∙2∙3+12∙3∙4+…+1nn+1(n+2).
Решение:
11∙2∙3=1211∙2-12∙3;
12∙3∙4=12(12∙3-13∙4);
…
1nn+1(n+2)=12(1nn+1-1n+1n+2);
Сложим почленно эти равенства и получим:
Sn=1211∙2-12∙3+12∙3-13∙4+…+1nn+1-1n+1n+2==1211∙2-1n+1n+2=n2+3n4n+1n+2Ответ: n2+3n4n+1n+2.
Найдите сумму первых k членов последовательности, заданной формулой –го члена an=2n+1n2(n+1)2.
Решение: an=2n+1n2(n+1)2=(n+1)2-n2n2(n+1)2=1n2-1(n+1)2;
a1=112-122;
a2=122-132;
…
ak=1k2-1(k+1)2;
Сложим почленно эти равенства и получим:
Sk=112-122+122-132+…+1k2-1(k+1)2=1-1(k+1)2;
Ответ: 1-1(k+1)2.
Задания для самостоятельного выполнения
Найдите сумму:
12+32+52+…+(2n-1)2; Ответ: n2n-1(2n+1)3.
1∙2+2∙5+3∙8+…+n3n-1;Ответ: n2(n+1).
12∙7+17∙12+…+15m-3(5m+2);
1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+k∙k!; Ответ: k+1!-1.