Технологическая карта по теме Комбинаторика, 1 курс НПО

Технологическая карта по теме: «Комбинаторика», 14 часов
Цель: Ввести основные понятия комбинаторики, научить решать задачи на подсчет перестановок, сочетаний и размещений.
Планируемые результаты: Оперировать основными понятиями комбинаторики. Уметь решать комбинаторные задачи. Применять полученные знания при решении практических задач.
Основное содержание темы, термины и понятия: Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Темы уроков Основные понятия комбинаторики. Правила комбинаторики Решение задач на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний. Практическая работа №24 Нахождение числа размещений, перестановок Практическая работа №25 Решение задач на перебор вариантов Формула бинома Ньютона. Свойства
биноминальных коэффициентов
Практическая работа №26 Нахождение
биномиальных коэффициентов Треугольник Паскаля. Практическая работа №27 Разложение многочлена
п-ой степени Решение прикладных задач. Практическая работа №28 Решение
комбинаторных задач
Количество часов 1 2 2 1 1 2 2 3
Основные виды учебной деятельности Изучить правила комбинаторики и применять при решении комбинаторных задач.
Решать комбинаторные задачи методом перебора и по правилу умножения. Ознакомиться с понятиями комбинаторики: размещениями, сочетаниями и перестановками и формулами для их вычисления. Объяснять и применять формулы для вычисления размещений, перестановок и сочетаний при решении задач. Ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля. Решать практические задачи с использованием понятий и правил комбинаторики.
Формы контроля Лекция с элементами беседы Фронтальный опрос Индивидуальная работа Тестирование Работа в группах Индивидуальные задания Диктант Самостоятельная работа
Технологическая карта урока № 1
Тема Основные понятия комбинаторики
Цели урока Ввести понятия комбинаторики. Научить различать комбинаторные задачи.
Тип урока Урок открытия новых знаний.
Организационные формы урока Фронтальная, индивидуальная
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Историческая справка об истории появления комбинаторики, о первых комбинаторных задачах в практической деятельности человека.
Введение понятий: перестановки, сочетания, размещения.
Лекция с элементами беседы. Делают записи по мере изложения материала Понятия комбинаторики, размещение, сочетание, перестановки  Осознание цели урока (РЗнаково-символьные действия
3 Актуализация и фиксирование индивидуальных затруднений 10 друзей послали праздничные открытки друг другу так, что каждый из них послал 5 открыток. Докажите, что найдутся двое, которые пошлют открытки друг другу.
– Сколько открыток было послано 10 друзьям? 10*5=50
– Сколько открыток могло быть послано, если бы каждый поздравил каждого? 10*9=90
– Сколько открыток приходится на одну пару друзей? по 2
– Сколько открыток послано, если на одну пару друзей приходится 1 открытка? 90:2=45
Значит, найдется пара друзей, которые пошлют открытки друг другу.Оформите доказательство в тетрадях (один ученик у доски Устные ответы учащихся
Исправление ошибок.
Решение у доски и в тетрадях Правила сложения и умножения  Выполнение пробного учебного действия  (Р)
Умение выражать свои мысли (К)
4 Выявления места и причины затруднения Дадим определения: Что называется перестановкой? Что называют размещением?
–– Что называют сочетанием? Извлечение необходимой информации (П)
5 Построение проекта выхода из затруднения Различать задачи поможет таблица.
Заполнение таблицы:
формулы Все ли элементы участвуют Важен ли порядок
Перестановки да да
Сочетания нет нет
Размещения нет да
Устные ответы учащихся
Исправление ошибок.
Формулы комбинаторики Рефлексия способов и условий действий (П)
6 Первичное закрепление
На доске вы видите формулы. Какая группа формул соответствует перестановкам, размещениям, сочетаниям? Устные ответы учащихся
Выбор формулы Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
7 Самостоятельная работа с самопроверкой Вариант 1.
1. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев? А. 720; Б. 120; В. 250.
2. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9?
А. 60; Б. 64; В. 74.
3. Сколькими способами можно выбрать 4 марки из 10 марок?Ответ: А. 200; Б. 252; В. 210. Решение самостоятельно в тетрадях Оценка (р)
8 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 2-3
Тема Правила комбинаторики
Цели урока Ввести правила комбинаторики и научить применять их при решении задач.
Тип урока Урок открытия новых знаний.
Организационные формы урока Фронтальная, индивидуальная
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку, Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Ознакомление с правилами комбинаторики. Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил –правила суммы и правила произведения.
Выбор правила Выбор правила
Правило суммы Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить m + n способами. Если объект А можно выбрать m
 способами и если после каждого
такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары
А и В можно осуществить m · n 
способами.
Задача 1.
В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?
Решение.
Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).
Ответ: 24.
Задача 2.
Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?
Решение.
Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит  это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р8. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.
Ответ: 8! · 5!
Задача 3. 
В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?
Решение. Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:
С164 · С123 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
Ответ: 400 400.Разбор задач по теме.
Задача 4.Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.
Решение.
Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A73 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
Ответ: 210.
Задача 5.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?
Решение.
На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:
A107 – A96 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.
Ответ: 544 320. Делают записи по мере изложения материала
Записи в тетрадях
Правила комбинаторики
Применение формул, определение понятий  Знаково-символьные действиУмение выражать свои мысли (К)
Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
3 Закрепление материала Работа в парах : решение задач на правила сложения и умножения.
Вариант 1.1. Сколькими способами 6 различных книг можно поставить на книжную полку?
Ответ: А. 120; Б. 250; В. 720.
2. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр 2, 4, 6, 8?
Ответ: А. 74; Б. 64; В. 60.
3. Сколькими способами можно выбрать 5 открыток из 11 открыток?
Ответ: А. 252; Б. 210; В. 200.
Работа в парах в тетрадях Управление(к) поведением партнера
4 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 4-5
Тема Решение задач на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний.
Цели урока Ввести формулы для подсчета перестановок, размещений, сочетаний, научить различать и решать комбинаторные задачи
Тип урока Комбинированный урок.
Организационные формы урока Фронтальная, индивидуальная
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку, приветствие учителя Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности 13944605842000Заполнение таблицы
Разбор заданий самостоятельной работы. Делают записи по мере изложения материала
Выбор формул  Знаково-символьные действиУмение выражать свои мысли (К)
Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
3 Выявление знаний. Письменный контроль Самостоятельная работа по карточкам на определение перестановок, размещений и сочетаний, на правила комбинаторики с последующей проверкой. Самостоятельное решение в тетрадях Оценка (р)
4 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 6
Тема Практическая работа №24 Нахождение числа размещений, перестановок
Цели урока Ввести формулу перестановок с повторением. Научить решать комбинаторные задачи.
Тип урока Комбинированный урок.
Организационные формы урока Фронтальная, индивидуальная
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку, приветствие учителя Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Решение задач:
В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно:
А) назначить двух дежурных?  = 435
Б) выбрать 28 человек для участия в осеннем кроссе?  =  = 435
В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?
 = 3024 Делают записи по мере изложения материала
Фронтальный опрос Выбор формул Знаково-символьные действиУмение выражать свои мысли (К)
Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
3 Актуализация знаний, первичное усвоение новых знаний. Ввести формулу перестановок с повторением, разбор задач на перестановки с повторением. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове "математика"?
– К какому типу относится эта задача? (к перестановкам)
– Каким перестановкам? (с повторением)
– Почему? (буквы повторяются)
– Какую формулу применим?

Сколько различных слов, каждое их которых состоит из 6 букв, можно составить из букв слова "прямая"?
– К какому типу относится эта задача? (к перестановкам)
– Каким перестановкам? (без повторения)
– Какую формулу применим?
Записи в тетрадях Перестановки с повторением, выбор формул Выбор способов решения(П)
4 Выявление знаний. Письменный контроль Разбор задач: №1060,1061,1073(1-2),1079, Ш.А. Алимов, стр 321-325 Оценка (р)
5 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 7
Тема Практическая работа №25 Решение задач на перебор вариантов
Цели урока Формирование умений решать задачи на перебор вариантов
Тип урока Урок коррекции знаний и умений
Организационные формы урока Фронтальная, групповая
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку, приветствие учителя Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Разбор задач: №1081,1082,1083,1088, Ш.А.Алимов, стр 329 Делают записи по мере изложения материала
Выбор формул  Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
3 Определение типичных ошибок и коррекция знаний. Самостоятельное решение заданий : Ш.А.Алимов стр321-329
№1062 (1,2), №1075 (1-2), №1089 (1-2)
1 вариант решает под 1) номерами , а второй под 2) Оценка (р)
4 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 8-9
Тема Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов Практическая работа №26 Нахождение биномиальных коэффициентов
Цели урока Урок усвоения новых знаний.
Тип урока Ввести понятие бинома Ньютона, биномиальных коэффициентов. Научить разлагать в п-ую степень двучлен.
Организационные формы урока Фронтальная, групповая
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. Этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку, приветствие учителя Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Историческая справка о возведении в п-ую степень двучлена. Делают записи в тетрадях по конспекту учителя. Формула бинома, разложение по формуле.  Знаково-символьные действия
3 Актуализация знаний, первичное усвоение. Стр.72-73 М.И.Башмаков выписать формулу бинома, свойства биномиальных коэффициентов : 1) - 4). Решение на доске и в тетрадях Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
4 Первичное закрепление. Выполнить задание 1-2 по конспекту учителя. Выбор способов решения(П)
5 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 10-11
Тема Треугольник Паскаля. Практическая работа №27 Разложение многочлена п-ой степени
Цели урока Ознакомить с биномом Ньютона и треугольником Паскаля. Научить решать прикладные задачи
Тип урока Комбинированный урок.
Орг. формы урока Фронтальная, индивидуальная
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку Самоконтроль(Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Диктант :1.Упорядоченное множество, отличающееся только порядком элементов, называется…
2.Упорядоченное подмножество из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга либо самими элементами либо порядком их расположения, называется …
3. … из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
4. Число перестановок определяется формулой…
5.Число сочетаний определяется формулой…
6.Вычислить Р4 7.Вычислить Делают записи по мере ознакомления с материалом Возведение в степень бинома.  Знаково-символьные действи3 Актуализация знаний, первичное усвоение Стр.330 Ш.А.Алимов ознакомиться с таблицей значений биномиальных коэффициентов , треугольником Паскаля.
Как образуются числа в треугольнике Паскаля, что они выражают?
Выполнить №1092(1,2,3,4), №1106 (1,2,3) Устные ответы учащихся
Умение выражать свои мысли
4 Первичное закрепление. Стр 334, решение задач «Проверь себя» с разбором у доски Делают записи в тетрадях. Выбор способов решения
5 Рефлексия Подведение итогов Технологическая карта урока № 12-13-14
Тема Решение прикладных задач. Практическая работа №28 Решение комбинаторных задач
Цели урока Научить применять формулы и правила комбинаторики при решении нестандартных задач.
Тип урока Урок повторения
Орг. формы урока Фронтальная, индивидуальная
№ Этапы урока Деятельность учителя Деятельность
ученика Планируемые результаты
Предметные  УУД
1 Орг. этап Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку Подготовка к уроку, приветствие учителя Самоконтроль, готовность к уроку (Р)
2 Мотивирование учебной деятельности Фронтальный опрос по теме:
Что изучает комбинаторика
Назовите виды соединений
Чем они отличаются друг от друга
В чем состоят правила комбинаторики
Назовите формулы комбинаторики для числа перестановок, сочетаний и размещений
Что такое бином Ньютона Устные ответы
Умение различать и анализировать комбинаторные задачи.  
Умение выражать свои мысли (К)
3 Применение знаний в новой ситуации Решение нестандартных задач с разбором. Записи в тетрадях 4 Контроль усвоения Письменная самостоятельная работа по карточкам.
1.  Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
2. В 11«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
4. Вычислить: 6! -5! Самостоятельная работа учащихся. Анализ, синтез, сравнение, обобщение(П)
Выбор способов решения
5 Рефлексия Подведение итогов