Исследовательская работа по математике на тему Комбинаторика ( 9 класс)

МУНИЦИПАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ПЕРВЫЕ СТУПЕНИ»





Комбинаторика
(Решение задач с помощью кругов Эйлера)




Подготовил:
ученик 9 класса
МОУ «СОШ № 64» г. Саратова
Шведов Евгений
Руководитель:
учитель математики
первой квалификационной категории
Афанасьева Светлана Анатольевна.

Саратов 2014

Содержание:

I. Введение.3
II. Комбинаторика. Решение задач с помощью кругов Эйлера .... 4
Из истории комбинаторики... 4
Комбинаторные конфигурации ... 7
Решение задач с помощью кругов Эйлера 10
III.Заключение.16
IV.Список используемой литературы.. 17
Приложение.18









Введение
Во все времена представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.
Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из данных объектов.
Выбор объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.2
Гипотеза работы: Показать, что решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера имеет практическое применение.
Основополагающий вопрос: А все ли мы знаем о комбинаторике?
Проблемно-тематический вопрос: Как решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера помогают нам в изучении математики, так и в жизни в дальнейшем?
Цель работы: показать широту применения решений комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера для привития интереса учащихся к данной науке.
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения науки комбинаторики;
Уметь составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера;
Поработать с ресурсами Internet;
Применять полученные знания в дальнейшем обучении;
Расширить и углубить представление о практическом значении математики в жизни;
Уметь работать с научно-познавательной литературой, анализировать, делать выводы;
Работать над созданием собственного банка задач на личном сайте в системе ucoz.
Актуальность выбранной темы заключается в необходимости решения комбинаторных задач на уроках математики, применении их в жизни, т.к. они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых веяниях жизни. Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.
Из истории комбинаторики
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
Комбинаторика возникла в XVII веке. Тогда широко были распространены лотереи, игры в карты и кости. И первые комбинаторные задачи касались именно азартных игр, так как возникало много вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.
Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне ее. Теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Готфридом Вильгельмом Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». (Приложение № 1)
Основные его интересы Метафизика, эпистемология, наука, математика, теодицея. В 1666 году Готфрид Вильгельм Лейбниц написал одно из своих многочисленных сочинений  «Об искусстве комбинаторики» («De arte kombinatoria»). Опередив время на два века, 21-летний Лейбниц задумал проект математизации [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет «всеобщая характеристика». Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял. Идеалом для Лейбница было создание такого языка науки, который позволил бы заменить содержательные рассуждения исчислением на основе арифметики и алгебры: « с помощью таких средств можно достичь удивительного искусства в открытиях и найти анализ, который в других областях даст нечто подобное тому, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] дала в области чисел». Лейбниц многократно возвращался к задаче «математизации» формальной логики, пробуя применять при этом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] и комбинаторику  область математики, основным создателем которой являлся он сам; материалом для этого ему служила традиционная силлогистика, достигшая к тому времени высокой степени совершенства.
Комбинаторные конфигурации
Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.
Правило суммы:
Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m + k способами.
Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A | число элементов множества A, через A B - объединение множеств A и B, через AxB - декартово произведение множеств A и B. Тогда для непересекающихся множеств A и B выполняется равенство:
| A B | = | A | + | B |.
Например:
В столе 5 роз и 3 тюльпана. Сколькими способами можно выбрать один цветок, что бы он был розой или тюльпанов?
Решение:
Розу можно выбрать 5 способами, а тюльпан – другими 3 способами. Применяя правило суммы, получим, что выбор розы или тюльпана можно осуществить 8 способами.
Ответ: 8 способов.
Обобщением правила суммы является правило произведения.
Правило произведения:
Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A, B) можно выбрать m*k способами.
Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x1, x2, , xn) произвольной конечной длины n. На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так: | Aх B | = | A | | B |
Например:
Сколько различных четырёхзначных чисел можно оставить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если цифры в числе не повторяются.
Решение: поставить на первое место одну из пяти цифр можно выполнить пятью способами; поставить на второе место одну из оставшихся четырёх цифр четырьмя способами; поставить на третье место одну и оставшихся трёх цифр можно тремя способами; поставить н четвёртое место одну из оставшихся двух цифр можно двумя способами.
По правилу произведения получаем, что число различных четырёхзначных чисел с неповторяющимися цифрами составленных из цифр 5, 6, 7, 8, 9 есть 5*4*3*2=120
Ответ: 120 способов
Перестановка
Пусть дано множество 13 QUOTE 1415 из n различных элементов. Размещения из n элементов по n элементов называется перестановками из n элементов.
Число n при этом называется порядком перестановки.
Определение: Число способов расставить n различных предметов на n мест с учётом порядка называется числом перестановок из n элементов, обозначается по формуле 13 QUOTE 1415 и вычисляется по формуле 13 QUOTE 1415, где n
· 0. 1
Размещение
Любое упорядоченное подмножество, составленное из k
·n различных элементов множества 13 QUOTE 1415, называется размещением из n элементов по k.
Два размещения считается различными, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком. Например, размещение 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 – различные.
Определение: Число способов взять из n различных предметов k предметов с учётом порядка называется числом размещений из n элементов по k, обозначается по формуле
13 QUOTE 1415, где 0< k
· n; отметим, что 13 QUOTE 1415.1
Сочетание
В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Определяется по формуле
13 QUOTE 1415, где 0 < k
· n
Например:
3 ящика с продуктами надо отправить в 3 магазина из 10. Сколькими способами можно это сделать: а) все ящики были разны, б) все коробки одинаковы?
Решение: а) так все коробки различные, то для подсчёта числа способов отправки3 коробок применяется формула числа размещений из 10 элементов по 3. Имеем: 10*9*8=720
б) так как все коробки различные, то для подсчёта числа способов отправки3 коробок применяется формула числа сочетаний из 10 элементов по 3. Имеем: 10*9*8/1*2*3=120
Примеры комбинаторных соединений:
Нужно расставить 3 книги на полке (например 1-ая; 2-ая; 3-я или 2-ая; 1-ая; 3-я )
Составить пятизначные числа, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись (например, 23451; 34521; 12543)
Существуют две схемы выбора элементов:
Без повторений
С повторениями
Разделы комбинаторики
Перечислительная комбинаторика
(или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.
Структурная комбинаторика
К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.
Вероятностная комбинаторика
Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.
Топологическая комбинаторика
Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
Решение задач с помощью кругов Эйлера
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер (см. Приложение № 2) использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.
Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера  Венна.(см.Приложение №3)
Наиболее трудной темой при сдаче ГИА по информатике для учащихся является «Логика». Например, задание № 18. Решать их можно, в том числе, и с помощью кругов Эйлера.  (см. Приложение № 4).
Задача №1
В классе учатся 40 человек. Из них по русскому имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «тройки и по русскому языку. Сколько людей учатся без «троек»? Сколько людей имеют «тройки» по двум из трёх предметов?

Дальнейшие расчёты не составляют труда.
40-(4+4+11+4+6+2+5)=4 человек учатся без «троек»
6+4+2=12 человек имеют «тройки» по двум предметам
Ответ: 4 человек учатся без «троек», человек имеют «тройки» по двум предметам.6


Задача №2
В небольшом городке NN живут 10000 человек. Недавно среди них был проведён опрос «какие машины вам нравятся больше всего?». Результат был таким: 5 000 людям нравятся отечественные машины, 6 000 людям иностранные машины, а 7 тысяч довольны и общественным транспортом. 2000 людям нравятся отечественные машины, но при этом готовы поездить на автобусах. 4000 предпочитаю иностранные машины и автобусы. 2500 людей любят и отечественные и иностранные машины. И только 1000 человек всем довольны. Сколько человек участвовало в опросе?
Решение:
2000 – 1000 = 1000 людей любят только отечественные машины и автобусы
4000 – 1000 = 3000 людей любят только иностранные машины и автобусы
2500 – 1000 = 1500 людей любят и отечественные, и иностранные машины
5 000 людям нравятся отечественные машины, но при этом 1000+1500+1000=3500 людей предпочитают и другие машины, следовательно только отечественные авто любят 500 человек. Также иностранные машины предпочитают 500 людей, а автобусы – 2000 человек. Теперь находим общее количество людей.
3000+1000+500+2000+1000+500+1000=9000 человек
Ответ: 9000 человек участвовали в опросе.


Задача №3
На стройке работают 30 рабочих. 17 рабочих строят обувной магазин, 20 рабочих строят парикмахерскую. Сколько рабочих работают на обоих объектах?
Решение: 30 – 17= 13 людей строят только обувной магазин. Теперь от 20 отнимем 13 и найдём, что и там, и тут работают только 7 человек.


Задача № 4
Часть туристов разговаривает на английском, а часть на немецком. Английский – 90% , немецкий - 60%.Сколько учеников в классе изучают сразу два языка.
Решение: от всего класса (100%) отнимем английских туристов (90%), получим туристов говорящих только по-английски (10%). А теперь от всех, изучающих немецких (60%), отнимем эти 10%. Получим говорящих на обоих языках (50%).

Задача №5
В классе 30 человек.19-ходят на кружок по математике, 10-на кружок по русскому языку, 1-человек ходит на русский и на математику.
Сколько человек не посещают кружки?
Решение:
19-1=18
10-1=9
30-(18+9+1)=2 человека не посещают ни математику, ни русский.


Задача № 6
Из 90 детей на футбол ходят 35 детей, на волейбол 28 и на баскетбол 27 детей. На футбол и волейбол ходят одновременно 10 детей, на футбол и баскетбол – 8 детей, на волейбол и баскетбол - 5, на все три – 4. Сколько детей никуда не ходят?
Решение:
10-4=6 ходят на футбол и волейбол
8-4=4 ходят на футбол и баскетбол
5-4=1 ходят на волейбол и баскетбол
На футбол ходят 35 детей, но 4+4+6=14 из них ходят и на другие секции, следовательно, только на футбол ходят 21 ребёнок. Аналогично получаем, что на волейбол ходят 17, а на баскетбол 18. По условию задачи всего 90 детей. 21+17+18+1+4+6+4=71 детей ходят хотя бы на одну секцию, следовательно, 19 детей никуда не ходят.



Задача № 7
100 шестиклассников участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие пирожки нравятся им нравятся больше: с мясом, с капустой и картошкой. В результате 20 опрошенных выбрали с мясом, 28-с капустой, 12 с картошкой. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение пирожкам с мясом и капустой, 6-учеников-с мясом и картошкой, 4 ученика с капустой и картошкой, а 9 ребят совершенно равнодушны к пирожкам. Некоторые из школьников ответили, что одинаково любят и мясом, и картошкой, и капустой. Сколько таких ребят?
Решение:
Пусть X – искомое число учеников, любящие все виду пирожков. Тогда: 20+28+12+13+6+4+9+Х=100 Х=6

Заключение
Моя работа заключалась в том, чтобы узнать подробнее об одном из разделов математики - комбинаторике. Я постарался выяснить, какие комбинаторные методы применяются в наше время. Научился составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера. В школьных учебниках мало комбинаторных задач. А ведь они включены в олимпиадные задания, ГИА и ЕГЭ. Поэтому мне захотелось помочь учителям и ребятам в изучении данной темы. Я надеюсь продолжить работу над этой темой, разработать уже задачи для учащихся старших классов. Самое главное я считаю, что своей работой я заинтересовал и учащихся нашей школы, и учителей. Ведь придумывая самостоятельно задачи, ребята будут развивать в себе еще логическое мышление и творческие способности.







Список используемой литературы

Дихтярь М. Б., Эргле Е. В. Элементы комбинаторики в школьном курсе математики – Саратов: ГОУ ДПО «СарИПКиПРО», 2007.- 48 с.
Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989. – 352с.
Коннова Е. Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. 6-9 класс. Часть 2. ООО «Легион», 2010. – 112 с.
Коннова Е. Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. 6-9 класс. Часть 1. ООО «Легион», 2010. – 112 с.
Глейзер Г. И. история математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981. – 239 с.
Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя. М.: Просвещение, 1984.- 286с
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]







Приложение №1

Лейбниц Готфрид Вильгельм
Дата рождения: 1 июля 1646г.
Место рождения: Лейпциг, Германия
Дата смерти:14 ноября 1716
Место смерти: Ганновер, Германия
Направление: Европейская философия
Основные интересы Метафизика, эпистемология, наука, математика, теодицея.

Приложение №2























Леона
·рд Э
·йлер (1707-1783)
российский и швейцарский математик, внёсший значительный
вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии
и ряда прикладных наук.
Приложение №3
Задача, решаемая с помощью диаграммы Эйлера – Венна.
Ребятам поручили изготовить кубики. Несколько кубиков сделали из картона, а остальные из дерева. Кубики были двух размеров: большие и маленькие. Часть из них покрасили в зеленый цвет, другую – в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Зеленых кубиков большого размера было 6. Больших зеленых из картона было 4. Красных кубиков из картона было 8,красных кубиков из дерева – 9. Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11. Сколько же всего получилось кубиков?
Решение. Выполняем рисунок.

Заполняем диаграмму.
1) Надо начинать с того подмножества, для которого указаны три свойства. Это большие зеленый кубики из картона – таких кубиков 4.
2) Далее ищем подмножества, для которого указаны два свойства из перечисленных трех. Это большие зеленые кубики – 6. Но это подмножество состоит из картонных и деревянных. Картонных было 4. Значит, деревянных 6-4=2.
3) Больших деревянных кубиков 7. Из них зеленых – 2. Значит, красных будет 7-2=5.
4) Красных, деревянных, кубиков- 9, из них 5–большие. Значит, маленьких красных кубиков из дерева будет 9-5=4.
5) Маленьких деревянных кубиков 11. Из них красных – 4. Значит, маленьких зеленых кубиков из дерева 11-4=7.
6) Всего зеленых кубиков 16. Зеленые кубики помещены в кольцеобразную часть, состоящую из четырех частей. Значит, маленьких зеленых кубиков из картона 16-(4+2+7)=3.
7) Осталось последнее условие: красных кубиков из картона было 8. Нам и не надо узнать, сколько из них маленьких, сколько больших.
8) Считаем: 2+5+8+4+4+7+3=33.
Ответ: всего было изготовлено 33 кубика.


Приложение №4
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса
указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды
запросов слева направо в порядке возрастания количества страниц, которые
нашёл поисковый сервер по каждому запросу. По всем запросам было
найдено разное количество страниц.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется
символ «|», а для логической операции «И» – «&».
Код Запрос
А Солнце & Воздух
Б Солнце | Воздух | Вода
В Солнце | Воздух | Вода | Огонь
Г Солнце | Воздух








Решение:
А)
Б)
В)
Г)
Теперь раскладываем по порядки возрастанию и получаем: А, Г, Б, В.
Ответ: А, Г, Б, В.






Задачи для самостоятельного решения.
1.В школьных кружках занимаются 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Ответ: 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. 5 человек заняты только спортом.
2. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
3. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?
Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.
4. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 в волейбол, 12 в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 в футбол и баскетбол, а 5 в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?
Ответ: 4 ученика играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно.













13PAGE \* Arabic \* MERGEFORMAT14415



Рисунок 1Рисунок 18Рисунок 17ldots, n,Рисунок 241, 2,\ldots, n,Рисунок 25\{ 1, 2,\ldots, n \}Рисунок 3Рисунок 22\langle 1,3,2,5\rangleРисунок 7Рисунок 12Рисунок 17ldots, n,Рисунок 241, 2,\ldots, n,Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 315