Урок по алгебре и началам анализа 10 класс «Решение логарифмических уравнений».
Тема: «Решение логарифмических уравнений».
«Уравнение - это золотой ключ,
открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль
Цель урока: сформировать умения решать логарифмические уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.
Цели:
образовательная: закрепить с учащимися основные приемы и методы решений
логарифмических уравнений. Обеспечить овладение учащимися основными
алгоритмическими приемами решения уравнений.
развивающая: а) способствовать формированию умений у учащихся применять теоретические знания при решении практических заданий;
б) способствовать развитию у учащихся навыков логических рассуждений;
в) формировать устойчивость внимания;
г) развивать грамотную математическую речь.
воспитательная: а) воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности;
б) воспитывать умение анализировать свою работу и работу одноклассников.
в) воспитывать устойчивый интерес к изучению предмета.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный методы.
Оборудование: Проектор, компьютер, экран, презентация к уроку, карточки с заданиями, тесты.
Ход урока:
Организационный момент (2 мин.)
Устная работа. (8 мин.)
Обобщение систематизация знаний (27 мин.)
Самостоятельная работа(35 мин.)
Подведение итога(5 мин.)
1. Организационный момент.
Приветствие учеников, проверка посещаемости. Постановка целей, задач и основных моментов урока.
2. Устная работа.
1. Вычислить:
1) log 2 16 (4)
2) lg 0,001 ( -3)
3) log 2 log 3 81 ( 2)
4) 0,32log0,36 (36)
5) 42+ log45 (80)
6) log 6 4 + log 6 9 ( 2)
7) log 1/3 36 - log 1/3 12 ( -1)
8) log481log43 ( 4)
2. Вопросы: 1). Какие уравнения называются логарифмическими?
2) Что называют корнем логарифмического уравнения?
3) Что значит «решить уравнение»?
4)Как мы можем установить, является ли полученное значение корнем уравнения или нет?
5) Сколько существует методов решения логарифмических уравнений?
3. Решите устно уравнение: 1) log2х = 3; 2) log3х = - 2;
3) log2х = log23 + log25; 3) log4х = log420 - log453. Обобщение и систематизация знаний:
1 метод: По определению логарифма:
Пример: log3(5х – 1) = 2.
Решение:log3(5х– 1) = 2,5х – 1 = 32,5х - 1 =9,х = 2.
Ответ: 2.
2 метод: Метод потенцирования.
Пример: log44x-2=log42x-2 О.Д.З: 4x-2>02x-2>0; ⟺ 4x>22x>2; ⟺ x>12x>1; x∈1;+∞; Потенцируем, т.е. освобождаемся от знаков логарифмов:
4x-2=2x-2; 4x- 2x=-2+2; 2x=0; x=0 ∉1;+∞
Ответ: корней нет.
3 метод: Метод введения новой переменной.
Пример: log32x+5log3x+6=0; О.Д.З: x>0;
Введем новую переменную: log3x=a; a2+5a+6=0; D= 25 – 24=1; a1=-5+12=-2; a2=-5-12=-3;
Делаем обратную замену: log3x=-2; 3-2=x; x1=19 log3x=-3, 3-3=x; x2=127 Ответ: x1=19; x2=127.
4 метод: Метод логарифмирования.
x1-log5x=0.04;
Прологарифмируем обе части уравненияlog5x1-log5x=log50,04;
(1-log5x)log5x=log50,04;
log5x-log52x=log4100;
-log52x+log5x=log125; -log52x+log5x=log55-2;
-log52x+log5x=-2log55; О.Д.З: x>0;
-log52x+log5x=-2; log52x-log5x-2=0;Введем новую переменную:
log5x=y, y2-y-2=0; D=1+8=9 y1,2=1±32; y1=2; y2=-1Делаем обратную замену:
log5x=2; log5х = -1
Х=52 х= 5-1x1=25; x1=15. Ответ: x1=25; x1=15.5 метод. Приведение к одному основанию.
6 метод. Функциональные методы решения логарифмических уравнений:
Теорема.
Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример: log3 x + log8 (5 + x) = 2 ОДЗ: х > 0
5 + x > 0 0 < x < 5
Подбором находим корень уравнения x = 3. Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая. Значит, тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 3.
Теорема.
Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример:
log0,5 8/х = 2 – 2х
ОДЗ: x > 0
Подбором находим корень уравнения x = 2.
Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие
Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая
(как убывающая функция от убывающей)
Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая
Тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 2
Утверждение: Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут равны M.
Так как , , то
только тогда, когда log25 (x+1) =0 и - х =0,
следовательно х=0
Ответ: 0
IV. Решение уравнений
Этот этап урока может быть организован различно: учащиеся выполняют самостоятельно решение уравнений с последующей проверкой, кто-то из учащихся показывает решение на доске и пр.
4. Самостоятельная работа по карточкам по вариантам:
1вариант:
Решите графически уравнение: log2x=-x+1;Решите уравнения: а) log0,212x+8=log0.211x+7; б) log22x-4log2x+3=0; в) x1+log3x=9; г) log3x-2+log3x+2=log32x-1. 2 вариант:
Решите графически уравнение: log9x=-x+1;Решите уравнения: а) log23x-6=log22x-3;
б) log42x-log4x-2=0; в) xlog3x=81; г) log0,6x+3+log0,6x-3=log0,62x-1. 3 вариант:
Решите графически уравнение: log3x=4-x;Решите уравнения: а) log614-4x=log62x+2; б) log122x+3log12x+2=0; в) xlog2x=16; г) log0,4x+2+log0,4x+3=log0,41-x. 4 вариант:
Решите графически уравнение: log5x=6-x;
Решите уравнения: а) log167x-9=log16x+3; б) log0,22x+3log0,2x-6=0; в) xlog0,5x-2=0,125; г) log11x+4+log11x-7=log117-x.
Подведение итога: выставление оценок и проверка самостоятельной работы.
Если осталось время:
Расшифруй фамилию известного путешественника, расположив ответы в порядке убывания. Чем он знаменит и в каком веке он жил?
Б log6.51=У log525=Л log3x=log35К log3x=4О log2x=3М log6,56,5=Сегодня на уроке мы рассматривали различные методы решения логарифмических уравнений, решение которых от вас, ребята, требует хороших теоретических знаний, умений применять их не практике, требует внимания, трудолюбия и сообразительности. Именно по этой причине логарифмические уравнения, неравенства и системы логарифмических уравнений (вы будете их решать на следующих уроках), выносятся на вступительные экзамены в ВУЗы.
Домашнее задание: № 175 страница 287.