Методические указания Приложения определенного интеграла
Математика
Приложения определённого интеграла
Учебно-методическое пособие
Содержание
Введение...3
1. Приложение определённого интеграла к геометрическим задачам...4
1.1. Вычисление площадей плоских фигур...4
1.2. Вычисление объёмов тел вращения..11
2. Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач16
2.1. Путь, пройденный телом...16
2.2. Работа переменной силы....16
2.3. Вычисление силы давления жидкости.17
Ответы22
Литература..23
Введение
Дифференциальное и интегральное исчисления были созданы в XVII столетии Исааком Ньютоном и И.В. Лейбницем. Толчком к их созданию послужили проблемы механики, физики, астрономии и других разделов естествознания того времени.
Создание интегрального и дифференциального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, дало возможность изучать процессы и явления, которые невозможно было рассматривать раньше. Значение этого открытия трудно преувеличить: без него не было бы ни современной физики, ни механики, ни современной техники. Во всех отраслях современной науки и техники, где нужны точные методы исследования, используются производные и интегралы.
Настоящее учебно-методическое пособие посвящено изучению приложений определённого интеграла – одного из важнейших и эффективнейших орудий математики в решении практических проблем.
Цель этого пособия – сформировать у учащихся умение решать задачи прикладного характера.
Методические пособие состоит из двух разделов:
Приложение определенного интеграла к геометрическим задачам.
Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач.
Каждый из разделов содержит теоретические сведения по рассматриваемому вопросу, образцы решения задач и упражнения для самостоятельной работы с ответами. Задачи повышенной сложности помечены звездочками.
Нумерация формул, примеров, рисунков и упражнений двойная. Первое число показывает номер раздела, а второе номер формулы, примера, рисунка и упражнения в данном разделе.
Например: формула (2.3) – это третья формула второго раздела.
Методическое пособие содержит задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А, Б (для дифференцированного контроля знаний). Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б - более сложные задачи.
Данное учебно-методическое пособие предназначено для учащихся 11 классов, интересующихся математикой и собирающихся продолжить свое обучение в вузах.
1.Приложение определённого интеграла к геометрическим задачам
1.1. Вычисление площадей плоских фигур
1. Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 неотрицательна и непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по геометрическому смыслу определённого интеграла площадь S под кривой 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис 1.1) численно равна определённому интегралу 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. (1.1)
Рис. 1.1. Рис. 1.2.
Пример 1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Из чертежа видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника OAB равна разности двух площадей:
S=SOABC –SOBC,
каждая, из которых находится по геометрическому смыслу определённого интеграла. Решая систему 13 EMBED Equation.3 1415,
получаем, что точка B пересечения прямой y=4 и кривой x=13 EMBED Equation.3 1415 имеет координаты (2;4). Тогда SOABC=13 EMBED Equation.3 1415,
SOBC=13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
Окончательно 13 EMBED Equation.3 1415 (ед.2)
2. Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 неположительна и непрерывна на 13 EMBED Equation.3 1415(см. рис. 1.3).
Рис. 1.3. Рис. 1.4.
Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью S криволинейной трапеции «над кривой» 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 и интегралом 13 EMBED Equation.3 1415 Отражая кривую 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 уже неотрицательна на 13 EMBED Equation.3 1415, а площадь под этой кривой на 13 EMBED Equation.3 1415 из соображений симметрии равна площади13 EMBED Equation.3 1415(см. рис.1.4) .Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
Таким образом, если функция 13 EMBED Equation.3 1415 неположительна на13 EMBED Equation.3 1415,то площадь 13 EMBED Equation.3 1415 над кривой 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 отличается знаком от определённого интеграла 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Из рис. 1.5 видно, что искомая площадь 13 EMBED Equation.3 1415 криволинейного треугольника OAB может рассматриваться как площадь над кривой OAB на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Однако указанная кривая (ломаная) не задаётся одним уравнением. Поэтому для нахождения 13 EMBED Equation.3 1415 разобьём криволинейный треугольник 13 EMBED Equation.3 1415 на части, проецируя точку 13 EMBED Equation.3 1415 излома на ось абсцисс. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.5). Абсциссы точек 13 EMBED Equation.3 1415 задают пределы интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Окончательно 13 EMBED Equation.3 1415 (ед.2).
Рис. 1.5. Рис. 1.6.
3. Пусть на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 задана непрерывная функция 13 EMBED Equation.3 1415 общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция 13 EMBED Equation.3 1415 будет знакопостоянна или равна нулю. Рассмотрим, например, случай функции, изображенной на рис. 1.6. Площадь заштрихованной фигуры 13 EMBED Equation.3 1415
т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определённых интегралов: 13 EMBED Equation.3 1415
4. Приведём формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.
Теорема. Пусть на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 заданы непрерывные функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415такие, что 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда площадь 13 EMBED Equation.3 1415 фигуры, заключённой между кривыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3)
Проиллюстрируем теорему графически (см. рис. 1.7).
Рис. 1.7
Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415. (см. рис 1.7 а) 13 EMBED Equation.3 1415 откуда следует формула (1.3).
2) 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.7.б)
13 EMBED Equation.3 1415 откуда следует (1.3).
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.7 в)
13 EMBED Equation.3 1415 откуда следует (1.3).
4) Общий случай (см. рис. 1.7 г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 на отдельные отрезки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.8).
Рис. 1.8
Решение:
Найдём координаты точек пересечения параболы 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415, решив систему этих уравнений: (-1;-1) и (2;2). На отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся формулой (1.3), полагая 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Абсциссы точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения наших линий зададут пределы интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельной работы
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 1.2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и
расположенной в I четверти.
1.3.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 1.4. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
1.5. 13 EMBED Equation.3 1415 1.6. 13 EMBED Equation.3 1415
1.7. 13 EMBED Equation.3 1415 1.8. 13 EMBED Equation.3 1415
1.9. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 1.10. 13 EMBED Equation.3 1415
1.11. 13 EMBED Equation.3 1415 1.12. 13 EMBED Equation.3 1415 (I четверть)
1.13. 13 EMBED Equation.3 1415 1.14*. 13 EMBED Equation.3 1415 (I четверть)
1.15. 13 EMBED Equation.3 1415 1.16.13 EMBED Equation.3 1415
1.17*.13 EMBED Equation.3 1415
Индивидуальные задания
Раздел А
Задача 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком13 EMBED Equation.3 1415, осью Ox и прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415, отрезок 13 EMBED Equation.3 1415даны в таблице 1.
Таблица 1
№ вари-
анта
Функция
13 EMBED Equation.3 1415.
Пределы интегрирования.
a
b
1
13 EMBED Equation.3 1415
1
5
2
13 EMBED Equation.3 1415
-2
1
3
13 EMBED Equation.3 1415
-3
3
4
13 EMBED Equation.3 1415
-1
1
5
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
6
13 EMBED Equation.3 1415
-3
0
7
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
8
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·tion.3 1415
-1
0
25
13 EMBED Equation.3 1415
0
2
26
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
27
13 EMBED Equation.3 1415
0
2
28
13 EMBED Equation.3 1415
1
2
29
13 EMBED Equation.3 1415
-2
0
30
13 EMBED Equation.3 1415
-1
1
Задача 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (таблица 2).
Таблица 2
№
вари-
анта.
Уравнения линий.
№
вари-
анта.
Уравнения линий.
1
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Раздел Б
Задача.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (таблица 3).
Таблица 3
№
вари-
анта.
Уравнения линий.
№
вари-
анта.
Уравнения линий.
1
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15, 13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
1.2. Вычисление объемов тел вращения
Пусть на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 задана непрерывная функция 13 EMBED Equation.3 1415 Необходимо найти объём 13 EMBED Equation.3 1415 тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Рис. 1.9.
Для решения задачи разобьём отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 на элементарные отрезки точками: 13 EMBED Equation.3 1415 и на каждом из отрезков разбиения 13 EMBED Equation.3 1415 некоторым образом выберем точку 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 слагаемое которой 13 EMBED Equation.3 1415- это объём цилиндра с высотой 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом основания 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.9). Очевидно, что приближение для искомого объёма 13 EMBED Equation.3 1415 будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения 13 EMBED Equation.3 1415 поэтому за искомый объём 13 EMBED Equation.3 1415 естественно взять следующий предел 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415- максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение, стоящее в правой части последнего равенства, не что иное, как предел интегральной суммы для функции 13 EMBED Equation.3 1415 поэтому окончательно получаем
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)
Пример 1.4. Вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
По формуле (1.4) искомый объём 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.5. Найти объём тела, образованного вращением эллипса 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Так эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти
половину искомого объёма. По формуле (1.4) имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то эллипс является окружностью. Тогда объём тела вращения окружности вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 есть шар, объём которого
13 EMBED Equation.3 1415
Формально заменяя в формуле (1.4) переменную 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, получаем формулу для вычисления объёма 13 EMBED Equation.3 1415 тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ординат: 13 EMBED Equation.3 1415 (1.5)
(на рис.1.10 вращаемая криволинейная трапеция заштрихована).
Рис 1.10. Рис. 1.11.
Пример 1.6. Найти объём тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Проецируя вращаемую фигуру на ось ординат (рис.1.11), убеждаемся, что искомый объём 13 EMBED Equation.3 1415 равен разности двух объёмов: объёма 13 EMBED Equation.3 1415, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и объёма 13 EMBED Equation.3 1415, для которого вращаемая фигура ограничена линиями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (С учётом предстоящего применения формулы (1.5) уравнения кривых записаны в виде 13 EMBED Equation.3 1415 предполагающем переменную 13 EMBED Equation.3 1415 независимой). Применяя (1.5), получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Окончательно 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельной работы
Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1.18. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.19. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.20. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.21. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.22. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг каждой из следующих прямых: 1) 13 EMBED Equation.3 1415,
2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415
1.23. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг каждой из следующих прямых: 1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415 4)13 EMBED Equation.3 1415 5)13 EMBED Equation.3 1415
1.24. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг каждой из следующих прямых: 1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415 4)13 EMBED Equation.3 1415 5)13 EMBED Equation.3 1415 6)13 EMBED Equation.3 1415
1.25. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.26. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.27. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415
1.28. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг каждой из следующих прямых: 1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415 4)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
1.29. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг каждой из следующих прямых: 1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415
1.30. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
1.31. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг: 1) оси 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Индивидуальные задания
Раздел А
Задача.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг заданной оси области, ограниченной графиками заданных функций (таблица 4).
Таблица4
№ вар
Заданные функции.
Задан
ось.
№ вар
Заданные функции.
Задан
ось.
1
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
16
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
2
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Oy
17
·13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
3
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Oy
18
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
4
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
19
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
5
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
20
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
6
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
21
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
7
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
22
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
8
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
23
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
9
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
24
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
10
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
25
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
11
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
26
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
12
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
27
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
13
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
28
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
14
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
29
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
15
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
30
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
Раздел Б
Задача.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг заданной оси области, ограниченной графиками заданных функций (таблица 5).
Таблица 5
№; вар
Заданные функции.
Задн
ная
ось.
№; вар
Заданные функции.
Задан-
ная
ось.
1
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
16
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
2
13 EMBED Equation.3 1415
Оy
17
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
3
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
18
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
4
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
19
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
5
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
20
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
6
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
21
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
7
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
22
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
8
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
23
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
9
13 EMBED Equation.3 1415
x=2
24
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ox
10
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
y=-1
25
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ox
11
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
26
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
12
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
27
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
13
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
28
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
14
13 EMBED Equation.3 1415
Oy
29
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
15
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
30
13 EMBED Equation.3 1415
Ox
2. Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач
2.1. Путь, пройденный телом
Из школьного курса известно, что путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415,за промежуток времени 13 EMBED Equation.3 1415, выражается интегралом
13 EMBED Equation.3 1415 (2.1)
Пример 2.1. Автобус начинает двигаться с ускорением 1м/с2. Какой путь пройдет автобус за 12 секунд от начала движения?
Решение:
Скорость движения автобуса выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Согласно формуле (2.1) находим путь, пройденный автобусом за время от 13 EMBED Equation.3 1415до 13 EMBED Equation.3 1415 сек: 13 EMBED Equation.3 1415 м.
2.2. Работа переменной силы
Определенный интеграл широко применяется не только при вычислении различных геометрических величин, но и при решении ряда физических и технических задач. Так, например, известно, что работа 13 EMBED Equation.3 1415, совершаемая переменной силой 13 EMBED Equation.3 1415 на пути от точки 13 EMBED Equation.3 1415до точки 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляется по
формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (2.2)
Пример 2.2. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что для ее растягивания на 0,01 м нужна сила в 1 13 EMBED Equation.3 1415?
Решение:
Согласно закону Гука сила 13 EMBED Equation.3 1415, растягивающая или сжимающая пружину на 13 EMBED Equation.3 1415м, пропорциональна этому растяжению или сжатию, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415коэффициент пропорциональности. Из условия задачи известно, что для растяжения пружины на 13 EMBED Equation.3 14150,01м требуется сила 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
В задаче требуется найти работу, совершаемую при растяжении пружины на 0,05м из состояния покоя, поэтому переменная 13 EMBED Equation.3 1415 изменяется от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, подставив в формуле (2.2) 13 EMBED Equation.3 1415, найдем искомую работу 13 EMBED Equation.3 1415
2.3. Вычисление силы давления жидкости
Согласно закону Паскаля величина силы 13 EMBED Equation.3 1415 давления жидкости в ньютонах на горизонтальную площадку вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, (2.3)
где 13 EMBED Equation.3 1415-ускорение свободного падения в м/с2, 13 EMBED Equation.3 1415-плотность жидкости в кг/м2, 13 EMBED Equation.3 1415-площадь площадки в м2, 13 EMBED Equation.3 1415-глубина погружения площадки в м.
Если же площадка погружена в жидкость не горизонтально, то формула (2.3) неприменима, так как в этом случае сила 13 EMBED Equation.3 1415 давления жидкости изменяется с глубиной. Рассмотрим задачу вычисления силы давления жидкости на вертикальную площадку.
Задача. Пусть пластинка произвольной формы погружена вертикально в жидкость плотностью 13 EMBED Equation.3 1415 так, что расстояние от поверхности жидкости до верхней точки 13 EMBED Equation.3 1415 пластинки равно 13 EMBED Equation.3 1415, а до ее нижней точки 13 EMBED Equation.3 1415равна 13 EMBED Equation.3 1415(рис.2.1).
Требуется вычислить силу 13 EMBED Equation.3 1415 давления жидкости на пластинку.
Решение:
Разобьем пластинку на 13 EMBED Equation.3 1415 тонких полосок прямыми, параллельными поверхности жидкости:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Рис. 2.1. Рис. 2.2.
На глубине 13 EMBED Equation.3 1415 выделим одну из них (на рис. 2.1 она заштрихована) и обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415ее длину, а через 13 EMBED Equation.3 1415- ее ширину. Приняв (с некоторой погрешностью) полоску за прямоугольник, находим ее площадь
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Предположим (также с некоторой погрешностью), что давление во всех точках рассматриваемой полоски одинаково и равно давлению на глубине 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда силу 13 EMBED Equation.3 1415 давления жидкости на полоску площади 13 EMBED Equation.3 1415 можно определить по формуле (2.3) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Суммируя элементарные давления 13 EMBED Equation.3 1415 на каждую из 13 EMBED Equation.3 1415 полосок, найдем приближенное значение силы 13 EMBED Equation.3 1415 давления жидкости на всю пластинку
13 EMBED Equation.3 1415. При неограниченном увеличении числа 13 EMBED Equation.3 1415 делений данной пластинки так, что 13 EMBED Equation.3 1415, по определению полагаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, сила давления жидкости на вертикальную пластинку вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (2.4)
Пример 2.3. Треугольная пластинка с основанием 0,3м и высотой 0,6м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку (рис.2.2).
Решение:
Выделим на глубине 13 EMBED Equation.3 1415 тонкую пластинку (на рис. 2.2 она заштрихована) и найдем ее длину 13 EMBED Equation.3 1415. Из подобия треугольников 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как вершина пластинки лежит на поверхности воды, а высота пластинки равна 0,6м, то в формуле (2.4) следует положить 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Кроме этого, 13 EMBED Equation.3 1415м/с2 и 13 EMBED Equation.3 1415кг/м3, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения для самостоятельной работы
2.1.Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
2.2.При условиях предыдущей задачи найти, на какой глубине 13 EMBED Equation.3 1415 надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было одинаково.
2.3.Найти давление воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности воды.
2.4.Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой 13 EMBED Equation.3 1415 м и радиусом основания 13 EMBED Equation.3 1415 м. Плотность масла 13 EMBED Equation.3 1415.
2.5.При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара, если его ось имеет горизонтальное направление.
2.6.Шар лежит на дне бассейна глубиной 13 EMBED Equation.3 1415м. Определить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус 13 EMBED Equation.3 1415 дм, а плотность 13 EMBED Equation.3 1415.
2.7.Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом 13 EMBED Equation.3 1415 с поверхности земли на высоту 13 EMBED Equation.3 1415 км.
2.8.Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 113 EMBED Equation.3 1415 она растягивается на 1 см?
2.9.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого 13 EMBED Equation.3 1415, радиус 13 EMBED Equation.3 1415. (рис.2.3) 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 2.3. Рис.2.4.
2.10.Водопроводная труба имеет диаметр 6 см; один конец ее соединен с баком, в котором уровень воды выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления на заслонку.
2.11.Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6 м и находится на поверхности воды (рис. 2.4) Плотность воды 13 EMBED Equation.3 1415.
2.12.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой 13 EMBED Equation.3 1415 м и радиусом основания 13 EMBED Equation.3 1415 м, на его стенки, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Индивидуальные задания
Раздел А
Самостоятельно решите следующие задачи (номер варианта совпадает с номером задачи).
1.Скорость тела меняется по закону 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Какой путь пройдет тело за 10 с? Чему равна средняя скорость движения?
2.Скорость автобуса при торможении изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Какой путь пройдет автобус от начала торможения до полной остановки?
3.Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если сила в 2013 EMBED Equation.3 1415растягивает пружину на 5 см.
4.Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила в 10 13 EMBED Equation.3 1415?
5.Для сжатия пружины на 0,03 м необходимо совершить работу 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?
6.Вычислить работу, затраченную при сжатии пружины на 25 см, если известно, что при сжатии ее на 1 см необходима сила в 40 13 EMBED Equation.3 1415.
7.Силой в 80 13 EMBED Equation.3 1415пружина растягивается на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 15 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?
8.Вычислить общую силу давления воды на дно и стенки аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 0,9 м и 0,6 м, а высота равна 0,4 м. Аквариум доверху наполнен водой.
9.Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции, верхнее основание которой 38 м, нижнее 20 м и высота 12 м. Уровень воды доходит до верха плотины.
10.Цилиндрический резервуар наполнен маслом. Вычислить давление масла на боковую поверхность резервуара, если высота его 13 EMBED Equation.3 1415 м и радиус основания 13 EMBED Equation.3 1415 м. Плотность масла 13 EMBED Equation.3 1415 кг/м.
11.Треугольная пластина с основанием 0,9 м и высотой 0,12 м погружена в воду так, что ее вершина лежит на 0,03 м ниже поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластину.
12.Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить работу 24 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 150 Дж?
13.Рессора прогибается под нагрузкой 2 т на 105 см. Какую работу нужно затратить для деформации рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации.)
14.Вода заполняет полностью резервуар кубической формы с ребром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на дно резервуара.
15. Вода заполняет полностью резервуар кубической формы с ребром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на боковую стенку.
16.Скорость движения точки 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. Найти путь пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
17.Найти давление спирта 13 EMBED Equation.3 1415, находящегося в цилиндрическом баке высотой 3 м и радиусом 4 м на боковую стенку бака.
18.Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м.
19.Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой 13 EMBED Equation.3 1415м, нижнее 13 EMBED Equation.3 1415 м, а высота 13 EMBED Equation.3 1415 м.
20.Найти центр тяжести площади фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и осью 13 EMBED Equation.3 1415.
Раздел Б
1. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной 8 м, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из
частей шлюза, образуемую делением квадрата одной из его диагоналей.
2.Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м.
3.Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5 м,если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
4.Котел имеет форму параболоида вращения глубиной 13 EMBED Equation.3 1415 м и радиусом основания 13 EMBED Equation.3 1415 м. Определить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из такого наполненного котла.
5.За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания 13 EMBED Equation.3 1415 см2 и высотой 13 EMBED Equation.3 1415 см, вытечет через отверстие на дне площадью 13 EMBED Equation.3 1415 см2?
6.За какое время вода вытечет из конической воронки высотой 13 EMBED Equation.3 1415 см, радиусом нижнего основания 13 EMBED Equation.3 1415 см и верхнего 13 EMBED Equation.3 1415 см?
7.Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью наполовину наполнена маслом (удельный вес 0,9). Определить давление масла на каждую из плоских стенок цилиндра, если радиус ее равен 2 м.
Ответы
1.1. 13 EMBED Equation.3 1415 1.2. 13 EMBED Equation.3 1415 1.3. 13 EMBED Equation.3 1415 1.4. 13 EMBED Equation.3 14151.5. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
1.6.13 EMBED Equation.3 14151.7.13 EMBED Equation.3 14151.8.13 EMBED Equation.3 14151.9.13 EMBED Equation.3 14151.10.13 EMBED Equation.3 14151.11.13 EMBED Equation.3 1415 1.12.13 EMBED Equation.3 14151.13.13 EMBED Equation.3 14151.14.13 EMBED Equation.3 14151.15.13 EMBED Equation.3 1415 1.16. 13 EMBED Equation.3 1415 1.17. 13 EMBED Equation.3 1415
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.18.13 EMBED Equation.3 14151.19.13 EMBED Equation.3 1415.1.20.13 EMBED Equation.3 14151.21.13 EMBED Equation.3 1415
1.22.13 EMBED Equation.3 1415
1.23.13 EMBED Equation.3 1415.
1.24.13 EMBED Equation.3 14151.25.13 EMBED Equation.3 14151.26.13 EMBED Equation.3 14151.27.13 EMBED Equation.3 14151.28.13 EMBED Equation.3 14151.29.13 EMBED Equation.3 1415
1.30. 13 EMBED Equation.3 1415 1.31.13 EMBED Equation.3 1415
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.1. 13 EMBED Equation.3 1415 2.2. 13 EMBED Equation.3 1415 2.3.13 EMBED Equation.3 1415 2.4. 13 EMBED Equation.3 1415 2.5. 13 EMBED Equation.3 1415
2.6.13 EMBED Equation.3 1415 2.7. 13 EMBED Equation.3 1415 2.8.13 EMBED Equation.3 1415 2.9. 13 EMBED Equation.3 1415. 2.10.13 EMBED Equation.3 1415
2.11. 13 EMBED Equation.3 1415 2.12. 13 EMBED Equation.3 1415 2.13. 13 EMBED Equation.3 1415 2.14. 13 EMBED Equation.3 1415
Литература
Баврин И.И. Высшая математика, М., Академия, 2002.
«Высшая математика для экономистов», под редакцией профессора Кремера Н. Ш., М., «ЮНИТИ», 2000г.
Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», т. 1., М., «Наука», 1985г.
Марон И. А. «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах», М., «Наука», 1970г.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.I, М., «ОНИКС 21 век Мир и Образование», 2003г.
Шипачев В. С. «Задачник по высшей математике», М, «Высшая школа», 1998г.
Лунгу К.К., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. «Сборник задач по высшей математике, М., «Рольф»,2001.
«Сборник задач по высшей математике для экономистов», под редакцией профессора Ермакова В.И., М., «Инфра- М», 2004.
13PAGE 15
13PAGE 141415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native