Туынды жане дифференциал математикадан ?олданбалы курсы

Акмола облысы
Буланды ауданы
Айнакөл орта мектебі математика пәнінің мұғалімі Абдыкаримова Алма Алимжановнаның математикадан қолданбалы курсы:
«Туынды және дифференциал»
261620499745
КММ Айнаколь орта мектебі
2012ж.
Математика мугалімдерінің аудандық әдістемелік бірлестігінің отырысында қаралып талқыланған.
Абдыкаримова Алма Алимжановна
«Туынды және дифференциал»

Бұл оқу құралы математикадан Ұлттық бірыңғай тест тапсырушыларға арналған. Сондай-ақ жоғарғы сынып оқушылары, студенттер,мұғалімдер үшін көмекші құрал ретінде дайындалды. Математика курсындағы туынды,дифференциал есептердің түрлерін шығара білуге үйретеді.

Мазмұны:
1-бөлім. Туынды табу кестесі-----------------------4
2- бөлім. «.Математикадан қолданбалы курс:----5 «Туынды және дифференциал».
3- бөлім . Шығарылған есептер-------------------15
4- бөлім. Жаратылыстану-математика бағыты 10-сынып «Алгебра және анализ бастамалары» оқулығында «Туынды» тарауын қайталауға арналған тест нұсқаларының шешу тәсілдері.-----------25
5- бөлім. Функция графигіне жүргізілген жанама туралы тест есептері----------------------------42
6- бөлім . Интервалдар әдісі . Туындының геометриялық және физикалық мәні-------51
7 - бөлім. ҰБТ есептер --------------------- 62
Әдебиеттер------------------------------------78

1 – бөлім
Туынды табу кестесі
f (x) f ' (x)
y= C y' = 0
y=x y' =1
y=xny' =n ∙xn-1y=1xy' =− 1x²y=1xny' =− nxn+1y=xy' =12xy =nxy' = 1nnxn-1y= exy' =exy=axy' =ax∙lnay=lnxy' = 1xy=logaxy' = 1xlnay=sin x y' = cos x
y=cos x y' = − sin x
y=tg x y' = 1cos²xy=ctg x y' = − 1sin²xy=arcsin x y' =11-x²y=arcos x y' =− 11-x²y=arctg x y' =11+x²y= arcctg x y' =− 11+x²2-бөлім
Математикадан қолданбалы курс: «Туынды және дифференциал».
Түсінік хат
Математиканы оқыту процесінің мақсаты- жеке оқушының есеп шығаруын дамыту және математикалық ойлау қабілетін дамыту үшін жаратыластану-математика бағытындағы оқытуға сәйкес мектептегі білім сапасын арттыру болып табылады. Бейімдік оқытудың мақсаты-математика пәні мазмұны ғылым жетістігіне сай болып, оны түсініп қолдануға және де басқа ғылымдарды жәй ғана меңгерту емес,жеке тұлғаның интелектуальдық қорын ұлғайту. Математиканың ерекше орны басқа ғылымдарды меңгеруде негіз болатын ойлаудың сапалық та, сандық та дамуына әсер етуінен көрінеді.
Курс материалы жоғары оқу орнының бағдарламасынан көшірілмеген, бірақ математика ғылымының әдісі мен пәнінің бірлігіне қарай отырып, мектеп бағдарламасы ескеріліп құрылған. Оқушыларға мектеп курсының материалына жоғарғы оқу орнының жалпы тұжырымдары мен теорияны меңгеруіне және қолданбалы құндылығын көрсетуге қалыптастыру.
Бұл проблема ерте бастан математиканы тереңдетіліп оқытылатын сыныптарға арналған.
Математика сабақтарында олар шек ұғымымен, туынды,күрделі функцияларды дифференциалдау, туындыны қолданылуы таныстырылады.
Шексіз аз шамалардың қасиеттері, функцияның шектерін есептеу(III деңгейдегі қиындығы жоғары:есептерді дифференциалдау, анықталмаған функция,функцияның параметрлік берілуі, жанама және нормалдың теңдеулері, толық дифференциал, функцияны интегралдау, мектеп бағдарламасында,яғни тереңдетілген кластарда шығарылмаған есептер).
Курстың өткізілу барысында ағымдағы:бақылау жұмысы, коллоквиумдар, семинар-практикумдар.
Курстың оқыту мақсаты:
-айнымалы шамалырдың шегі ұғымын,шектерді есептеу дағдыларын бекіту(III деңгейлі қиындығы жоғары есептер),анықталмаған функция ұғымын, функцияның параметрлік берілуі,нормаль теңдеу, полярлық бұрышы бойынша радиус-вектордың туындысының геометриялық мағынасы, туындының қолданбалы мағынасын ашу;
-функцияны интегралдау,құрамындағы квадрат үшмүшесі бар функцияны бөліктеп интегралдау, тригонометриялық функциялардың кейбір кластары бойынша интегралдаудың қолданбалы мағынасын ашу.
Оқушылардың математикалық дайындығына қойылатын талаптар.10-11 сынып .
Курсты үйрену нәтижесінде білу керек:
функцияның шегі анықтамасы;
шектер туралы теоремалар;
тамаша шектер;
шексіз аз шамалардың қасиеттері;
дифференциалдау таблицалары;
туындының геометриялық,механикалық мағынасы,
функцияның екінші ретті туындысы;
функцияны зерттеуде туындының қолданылуы;
Толық дифференциал анықтамасы.
Меңгеруі керек:
функцияның шектерін табу;
функцияның үзіліссіздікке зерттеу;
шектеусіз аз шамаларды салыстыру;
күрделі функциялардың туындыларын табу;
күрделі көрсеткіштік функцияның туындысын табу;
функцияның дифференциалын есептеу;
жанама мен нормальды теңдеулерін құру;
функцияның туындыларын қолдану;
анықталмаған функцияның туындыларын табу;
бірнеше тәелсіз айнымалылары бар функцияның туындысын табу.
Оқу мазмұны.10-11 сынып.
Айнымалы шамалардың шегі. Шектелген функциялар. Шектер туралы теоремалар. Тамаша шектер. Функцияның үзіліссіздігі, қасиеттері. Шексіз аз шамаларды салыстыру. Функцияның туындысы. Туындының геометриялық мағынасы. Анықталмаған функцияның,күрделі функцияның туындысы. Кері функция және оны дифференциалдау. Функцияның параметрлік берілуі. Дифференциал. Параметрмен берілген функцияның туындысы. Жанама мен нормаль теңдеуі. Туындының қолданылуы.
Бірнеше тәуелсіз айнымалысы бар функциялар. Негізгі ұғымдар мен белгіленулер. Дербес туынды. Толық дифференциал.
Туынды
10-11 сынып (аптасына 1сағат, барлығы- 34сағат)
I.Шек. функцияның үзіліссіздігі (8сағ)
Айнымалы шамалардың шегі. Шексіз үлкен айнымалы шамалар. Функцияның шегі. Шектелген функция. Шексіз аз шама және олардың қассиеттері. Шектердің негізгі теоремалары. Тамаша шектер. Функцияның үзіліссіздігі, қасиеттері.
Негізгі мақсаты: Функция шегі ұғымын енгізу,үзіліссіздікке зерттеуде дағдыны қалыптастыру, тамаша шектерді пайдаланып,функцияның шегін есептеу(III-деңгейлі есептер).
II. Туынды және дифференциал(17сағат)
Туынды анықтамасы,туындының геометриялық мағынасы. Функцияны дифференциалдау. Күрделі функция, күрделі көрсеткіштік функцияның туындысы. Кері функция және оны дифференциалдау. Параметрмен берілген функцияны дифференциалдау. Дифференциал. Функцияның дифференциалының геометриялық мағынасы. Жоғары ретті дифференциалдар. Параметрмен берілген анықталмаған функицяның жоғары ретті туындысы. 2-ші ретті туындының геометриялық мағынасы.
Жанама мен нормальдің теңдеуі. Полярлық бұрышы бойынша радиус-вектордың геометриялық мағынасы.
Негізгі мақсаты: оқушыларды дифференциалдық есептеулер әдістерімен таныстыру, әр түрлі ретті дифференциалдар, есеп шығарудағы білім мен білікті қалыптастыру. Нормаль теңдеуін ұғындыру, полярлық бұрышы бойынша радиус-вектордың геометриялық мағынасын үйрету. Оқушылардың күрделі параметрмен берілген функцияны,көрсеткіштік функцияны дифференциалдауға үйрету.
III. Туындыны қолдану.(5сағ)
Туындының түбірлері туралы теоремалар. Ақырғы өсімшелер туралы теоремалар. Екі шексіз аз,шексіз үлкен шамалардың қатынастарының шектері.1-ші және 2-ші ретті туындыларды қолданып,функцияны зерттеп,графигін тұрғызу.
Негізгі мақсаты: туынды түбірі ұғымын енгізу, екі функцияның өсімшесінің қатынасы туралы, екі шексіз аз және үлкен шамалардың қатынастарының шектерін,1-ші ,2-ші ретті туындыны қолдану,функцияны зерттеу(III деңгейлі есептер).
IV.Бірнеше тәуелсіз айнымалылары бар функциялар(4сағат)
Негізгі ұғымдар. Дербес туынды. Толық дифференциал.
Негізгі мақсаты: Бірнеше тәуелсіз айнымалысы бар функция туындысын есептеуге дағдыландыру,толық дифференциал ұғымын үйрету.
10-11 сынып(34сағат)
№1 Тақырыптар Сағат саны мерзімі
I Шек. функцияның үзіліссіздігі 1 1 Айнымалы шамалардың шегі. Шексіз үлкен айнымалы шама. 1 2 Функцияның шегі. 1 3 Шексіздікке ұмтылғандағы функция шегі. Шектелген функциялар. 1 4 Шексіз аз шама және олардың қассиеттері. 1 5 Шектер туралы теоремалар.Тамаша шектер. 1 6 Функцияның үзіліссіздігі. Үзіліссіз функциялардың кейбір қассиеттері. 1 7 Шексіз аз шамалары салыстыру. 1 8 Коллоквиум. 1 II. Туынды және дифференциал 9 Қозғалыс жылдамдығы. Туынды анықтамасы. 1 10 Туындының геометриялық мағынасы. Функцияның дифференциалдануы. 1 11 Күрделі функцияның туындысы 1 12 Анықталмаған функция және оны дифференциалдау. 1 13 Күрделі көрсеткіштік функцияның туындысы. 1 14 Кері функция және оны дифференциалдау. 15 Функцияның парамеитрлік берілуі. 1 16 Параметрлік түрдегі кейбір қисықтардың теңдеуі. 1 17 Параметрмен берілген функцияның туындысы. 1 18 Дифференциал. Функцияның дифференциалын есептеу. 1 19 Дифференциалдың геометриялық мағынасы. 1 20 Әр түрлі туындылар. Әр түрлі дифференциалдар. 1 21 Параметрмен берілген анықталмаған функцияның әр түрлі реттегі туындысы. 1 22 2-ші ретті туындының механикалық мағынасы. 1 23 Жанама мен нормаль теңдеуі. 1 24 Полярлық бұрышы бойынша радиус-вектордың туындысының геометриялық 1 25 Семинар-практикум. 2 III. Туындының қолданылуы. 26 Туынды түбірі туралы теорема(Ролль теоремасы) 1 27 Ақырғы өсімшелер туралы теоремалар.(Ланграж теоремасы) 1 28 Екі функцияның өсімшесінің қатынасы туралы теорема(Коши теоремасы) 1 29 Екі шексіз аз шамалар қатынасының шегі. Екі шексіз үлкен шамалар қатынасының шегі. 1 30 Практикум функцияны зерттеу,графиктерін тұрғызу(өсу және кемуі,максимум) 1 IV. Бірнеше тәуелсіз айнымалылары бар функциялар 31 Негізгі ұғымдар және шектелуі 1 32 Дербес туынды. 11 33 Толық дифференциал. 1 34 Семинар-практикум. 1 3 – бөлім
Шығарылған есептер.
1.f (x)= 4x² + 7x -3 функциясының туындысын тауып f '(0) + f '(-1)
өрнегінің мәнін есепте.
Шешуі : 1)f'x=(4x2+7x-3)'=8x+72) f'0=8∙0+7=73) f'-1=8∙-1+7=-14) f'0+f'-1=7+-1=6 Жауабы:6.
2.f (x) = 3+5x 1 -3x функцияның туындысын тап:
Шешуі : f '(x) = 3+5x 1 -3x ʹ =3+5х'∙ 1-3х-3+5х∙ 1-3х' 1-3х² =
= (3'+5х)΄∙1-3х-(3+5х)∙(1'-(3х)' ) 1-3х² = 5· 1-3х-( 3+5х)∙-3) 1-3х² = = 14 1-3х².
Жауабы: 14 1-3х².
3. f (x) = 3x-1 x-5 функциясы туындысының х =4 нүктесіндегі мәнін тап .
Шешуі :1) f ' (x) = 3х-1 х-5' ʹ =3х-1'∙ х-5-3х-1∙ х-5' х-5² =
=3·х-5-(3х-1)∙1(х-5)² = 3х-15-3х+1(х-5)² = − 14(х-5)² .
2) f ' (4) = − 14(4-5)² =− 14(-1)² = − 14 Жауабы:−14.
4.f (x)=ln( 1- 0,2x) функциясының туындысын табыңыз.
Шешуі : f ʹ(x)= 1-0,2х'1-0,2х=-0,21-0,2х = - 151-0,2х = - 151-0,2х = 1х-5 . Жауабы: 1х-55. f (x) = х³-7,5х² +18х + cos π3 – 3+cos²x+sin²x функциясының 0;52аралығындағы ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі : Ықшамдаймыз cos π3 =12 , cos²x+sin²x = 1.
Демек f (x)=х³-7,5х² +18х + 12 -2 = =х³-7,5х² +18х -1,5.
f ʹ(x)=3х²-15х +18
f ʹ(x)=0
3х²-5х+6=0 ,
х²-5х+6 =0 ,
х₁=2, х₂=3кризистік нүктелері.
f (0)= 0 – 0 + 0 - 1,5= - 1,5.
f (2)= 8-7,5∙4 +18∙2 - 1,5 = 12,5.
f (2,5)=2,5³-7,5∙2,5² +18∙2,5 -1,5 = 13,25.
х =3 мәнін есептемейміз, ол қарастырып отырған аралыққа жатпайды. Функцияның ең кіші мәні
f(0) =−1,5
Жауабы: f(0) =−1,5.
6. Функцияның туындысын тап : y =3(x2-1) ²
Шешуі :1) y = (x²-1)23 түрінде жазамыз.
2) у 'ʹ = 23 (x²-1)23 - 1 x2-1'= 23 (x²-1)- 13 ∙ 2х =
= 4х3 ∙ 13х²-1 = 4х33х²-1 .
Жауабы: 4х33х²-1 .
7. у = 5х³ -13х + 2 тендеуімен берілген қисыққа абсциссасы х = - 1 нуктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін тап.
Шешуі :у ' = (5х³ -13х + 2 )'ʹ =15х² -13;
k = у (x) = у (-1) = 15∙(-1)² -13 = 2 ;
Жауабы: 2.
8. y = tgx∙ cos²x функциясының туындысын тап.
Шешуі :1)у= tgx∙ cos²x =sinxcos⁡x ∙ cos²x = sinx ∙ cosx = 12 sin2x;
2) у '=(12 sin2x)' = cos 2x.
Жауабы: cos2x
9. y = x + lnx функциясының туындысын тап.
Шешуі : y'=(x + lnx )' = 1 + 1x Жауабы: 1 + 1x10. y =ln2x функциясының туындысын тап.
Шешуі : y'ʹ=(12ln(2x))'ʹ =12 ∙ 12x ∙(2x)ʹ = 12x.
Жауабы: 12x.
11. y =ln²(x2-1) функциясының туындысын тап.
Шешуі : y'ʹ=(ln²(x2-1))'ʹ= 2ln(x2-1)(ln(x2-1))'ʹ =
=2ln(x2-1)∙1x²-1 ∙(x2-1)'ʹ = 2ln(x2-1)∙ 1x²-1∙2x =4xln(x2-1)x2-1 .
Жауабы: 4xln(x2-1)x2-1.
12. y = 2∙5x +3ex функциясының туындысын тап.Шешуі : y'ʹ= (2∙5x + 3ex )' = 2∙ 5x∙ln5 + 3ex.
Жауабы: 2∙ 5x∙ln5 + 3ex.
13. y = ex+ 1 ex -1 функциясының туындысын тап.
Шешуі :
yʹ' =( ex+ 1 ex -1)' = (ex+ 1)' (ex -1)-(ex -1)(ex+ 1)'(ex -1)² = - 2ex(ex -1)² .
Жауабы: - 2ex(ex -1)² .
14.y = ex-e-xex+e-x функциясының туындысын тап.
Шешуі : y'ʹ = (ex-e-xex+e-x )'ʹ = (ex-e-x) ́∙ (ex+e-x)-(ex+e-x) ́∙ (ex-e-x)(ex+e-x)² = 4e0(ex+e-x)² = 4(ex+e-x)²;
Жауабы: 4(ex+e-x)².
15.y = x² - 2x функциясының графигіне
абсциссасы х0=3 нүктесінде жүргізілген жанаманың тендеуін жаз.
Шешуі : 1)у0= 3² - 2 ∙3 = 3 нүкте ( 3;3)
2)у' = 2х-2, f '(3) = 2∙3 -2 = 4
3)қисықтағы ( 3;3) нүктесін және осы нүктеден өтетін жанаманың
f '(3)=4 бұрыштық коэффициентін пайдалана отырып ,іздеген
у-3=4(х-3),немесе у= 4х-9 теңдеуін табамыз.
Жауабы: у= 4х- 9
16. ОХ осімен 45° бұрышпен қиылысатын нүктесінің у=х²-х-12 параболасына жанаманың қиылысу нүктесінің координатасын тап:
Шешуі : 1)tgα=у'=(x2-x-12)'=2x-1, α=45°tg45°=2x-1, 1=2x-1, x=12)y(1)=1-1-12=-12;
нүкте М(1;-12)
Жауабы: (1;-12)
17. y=3x қисығына қай нүктеде жүргізілген жанама абциссалар осімен 60°бұрыш жасайды?
Шешуі : у΄(х) =( 3х )΄ =13 х-23;
y' (x)=k = tg60°,13 х-23 =3 ; х- 2 3 = 33 ;
х- 2 3=332 ; x=(332)- 3 2=3-94 , жанасу нүктесінің ординатасы
х=(3-94 )13=3-34 іздеген нүкте К(3-94;3-34 ) Жауабы: К(3-94;3-34 )18.y = 4x² − 6x функциясының кризистық нүктелерін , монотондық аралығын , экстремум нүктелерін тап.
Шешуі :1) у '= 8х – 6 , 8х – 6= 0 , х = 34 - кризистік нүкте,
2) у ʹ <0 , -∞;34 аралығында ,
у ʹ >0 , 34;+∞ аралығында , сондықтан (− ∞ ; 34 ] аралығында функция
кемиді , ал [3 4;+∞ ) аралығында өседі.
х= 34 нүктесінде функция үзіліссіз , ал оның туындысы таңбасын минустан плюске ауыстырады. Сондықтан , х = 34 -минимум нүктесі.
3) х = 34 болғандығы функцияның мәнін табамыз
уmin= 4∙ 916 − 6∙ 34 =− 94 ;
Жауабы: 34 кризистік нүкте;
(− ∞ ; 34 ] аралығында функция кемиді;
[ 3 4;+∞ ) аралығында функция өседі;
уmin=− 94 .
19.у(х)= −2х³ −3х² + 4 функциясының-2;-0,5 аралығындағы ең кіші және ең үлкен мәндерін тап:
Шешуі :1)функцияның кризистік нүктелерін табамыз:
у '(х)=−6х²−6х = −6х (х + 1),
осыдан −6х (х + 1)=0;
х=0 және х= -1 кризистік нүктелері.
2) -2;-0,5 аралығында х= -1 кризистік нүктесі жатады.
у(-2) = 8 ,
у(-1) = 3 ,
у(-0,5) = 3,5
осыдан х=-1 нүктесінде функцияның 3 ке тең ең кіші мәні,
ал х =-2 нүктесінде функцияның 8 ге тең ең үлкен мәні жататыны шығады.
Жауабы: min y(x) =y(-1) =3 , max y(x) =y(-2) = 8
-2;-0.5 -2;-0.5
20.у =1+sinx1-sin⁡x функциясының туындысын тап,
у '(π4) тап.
Шешуі :1)у '(х) =1+sinx)'∙(1-sin⁡x - 1+sinx)∙(1-sin⁡xʹ́(1-sinx)²=
=2cos⁡x(1-sinx)²
у ' (π4) = 2cosπ4(1-sinπ4)² = 2∙22(1-22)² = 223-22.
Жауабы: 223-22.

4-бөлім
Жаратылыстану-математика бағыты 10-11 сынып «Алгебра және анализ бастамалары» оқулығында «Туынды» тарауын қайталауға арналған тест нұсқаларының шешу тәсілдері.
1.у=3х³-4,5х² функциясының туындысын табыңдар.
А) 34 х4- 32х3; В) 9х-9; C) 9x²-9x; Д) 9х²-8х.
2. у=х-2 түзуі у=f(x) функциясының
х0=1 абциссасында жанайды. f(-1)-ді табындар.
А)-3; В) 2; C) 3; Д)-2.
3.f(x)=13x²-7x+5 функциясының туындысын тауып f '(0)+f '(-1) өрнегінің мәнін есептендер.
А)-40; В) 30; C) 25; Д)-10.
4. y= xx²+1 функциясының туындысын табыңдар:
А)1(x2+1)³; В) 12(x2+1)³;
C) - 1(x2+1)³; Д) 12x²+1.
5. y=(13x-6)24 функциясының туындысын табыңдар.
А)13(13x-6)24; В) 24(13x-6)23;
C) (x-6)23; Д)8(13x-6)23.
6. y(x) = tgx функциясының x = π3 нүктесіндегі туындысының мәнін есептендер:
А)34; В) 43; C) -4; Д) 4.
7.f(x)=2x³-5x функциясының графигіне М(2;6) нүктесінде жүргізілген жанаманың көлбеулік бұрышының тангенсін табыңдар.
А)tgα=29; В) tgα=19 ;
C) tgα=13; Д) tgα=17.
8. f(x) = (x4-1)x4+1 функциясының туындысы неге тең?
А)7x8; В) 12x9; C) 8x7; Д)5x5.
9. y = 4cos²3x функциясының туындысын табыңдар:
А)-12sin6x; В) 12sin6x; C) 8cos6x ; Д) 24cos6x.
10. Егер f (x)=(1-2x)(2x+1) болса , онда
f 'ʹ(0,5) мәнін табыңдар.
А)3; В) -4; C) 2; Д)0.
11.Абциссасы x0=1 нүктесінде y=x4+x функциясының графигіне жүргізілген жанаманың теңдеуін жазындар.
А)y=x+3; В) y=5x-3; C) y=3x+7; Д)y=x-7.
12.Абциссасы x0=1 нүктесінде f(x) =x функциясының графигіне жанама жүргізілген. Абсцисса x=31 болғандағы жанама графигінің ординатасын табыңдар.
А)17; В) 19; C) 16; Д)15.
13. f (x) = x³ + x функциясының туындысы неге тең.
А) 3х + 2x ; В) 3х² + 2x ; С) 3х² + 12х;
Д) 3х² + 1х.
14. . f(x) = tg π4-x функциясының
х = - 3 4π туындысын есептендер.
А)мәні жоқ ; В) - 34; С)1 ; Д) -1.
15.Нүкте түзу бойымен S(t) = 2t³ +t² -4 заңы бойынша қозғалады. t =2 кезіндегі нүктенің жылдамдығын анықтаңдар.
А)20; В)28; С) 64; Д)16.
16. f(x)=1cos5x функциясының туындысын табыңдар.
А) 5tg5xcos5x; B) tg5x + 1; C)1tg5x;
D) − sin5x5cos²5x.
17. f(x) =x - 1x функциясының х = 2 нүктесіндегі туындысын есептендер:
А) 2; В)1,5; С) 1+ 2; Д) – 1,5 .
18.f(x) = ctg x3 функциясының туындысын табыңдар.
А)-3cos²x3; В) 3cos²x3; С) − 13sin²x3; Д) – 1cos²x3.
19.f(x)=2x3-3x2 +6 функциясының туындысын тауып,f '(-2), f '(2) өрнегінің мәнін есептеңдер.
А)-18;6; В)36;12; С) 22;-10; Д )-16;5.
20.f (x)= x33- 2x2-12x+5 функциясы берілген f '(x)=0 теңдеуін шешіндер.
А)-3;4; В)-2;6; С) 3;-4; Д)2;-6.
21. y=(2x+1)² және y=(x+2)² функцияларының графигіне абсциссасы x0 нүктесінде жүргізілген жанамалар параллель болса,онда x0 неге тең.
А) -4; В) 3; С) 0; Д) 1.
22.f(x)=9x - 13x3 функциясы берілген f '( x)≥0 теңсіздігін шешіңдер.
А) (-3;3); В) (-∞;-3]∪ [3;∞) ; С) (-∞; -3)∪3;∞; Д) [-3;3].
23.f(x)=13 sin3x-12x туындысын табыңдар және f '(x)<0 теңсіздігін шешіңдер.
А)(-π9+πn3;14π9 +2πn 3) n∈Z;
В) (π9+2πn3;5π9 +2πn 3), n∈Z ;
С) (- π9+πn3;5π9 +πn 3), n∈Z ;
Д ) (- π9+2πn3;π9 +2πn 3) n∈Z .
24.f(x)=(4x + 24x)∙ (4x - 24x) функциясының туындысын табыңдар.
А) 3x-1xx; В) 1x-1xx; С) 12x+2xx; Д)2x2-x3;
25. f(x)= sin5xcos6x-cos5xsin6x функциясының туындысы неге тең ?
А)- cosх; В)- sinх; С) 1; Д) cosх.

Есептердің шығарылуы:
1.у=3х³-4,5х² функциясының туындысын табыңдар.
А) 34 х4- 32х3; В) 9х-9; C) 9x²-9x; Д) 9х²-8х.
Шешуі: Көпүшенің туындысын табу үшін әрбір қосылғыштан жеке-жеке туынды табамыз.
Сонда у´=(3х³-4,5х²)'ʹ=9x²-9x.
Жауабы: C) 9x²-9x.
2. у= х-2 түзуі у=f (x) функциясының
х0=1 абсциссасында жанайды.
f '(-1)-ді табындар.
А)-3; В) 2; C) 3; Д)-2.
Шешуі: y=f(x0)+f '(x0)(x-x0) жанаманың теңдеуі
х-2=f(1)+f '(1)(х-1)
f '(x0)=k k=1
f(-1)=(-1)-2=-3
Жауабы: А)-3.
3. f(x)=13x²-7x+5 функциясының туындысын тауып f '(0)+f '(-1) өрнегінің мәнін есептендер.
А)-40; В) 30; C) 25; Д)-10.
Шешуі: Туындысын табамыз;
f '(x)=(13x²-7x+5)' =26x-7
f '(0)=26∙0-7= -7, f '(-1)=26∙(-1)-7=− 33;
f'(0)+f '(-1)= -7 - 33= - 40
Жауабы: А)-404. y=xx²+1функциясының туындысын табыңдар:
А)1(x2+1)³; В) 12(x2+1)³; C) - 1(x2+1)³; Д) 12x²+1.
Шешуі: Бөлшектің туындысының формуласын қолданамыз:
(uv)'ʹ= u'v-uv'v²y'=xx2+1'=x'x²+1-x(x²+1)'(x²+1)²= x²+1-x2x2x²+1(x2+1)= x²+1-x²x²+1(x2+1) = x²+1-x²x²+1x²+1=1(x2+1)³ Жауабы: А)1(x2+1)³.
5.y=(13x-6)24 функциясының туындысын табыңдар.
А)13(13x-6)24; В) 24(13x-6)23; C) (x-6)23; Д)8(13x-6)23.
Шешуі:(xn)'=nxn-1 дәреженің туындысының формуласын қолданамыз.
y'ʹ=((13x-6)24)'ʹ= 24(13x-6)23∙ (13x-6)' = =24∙ 13 ( 13x-6)23=8( 13x-6)23 Жауабы: Д)8(13x-6)23.
6. y(x) = tgx функциясының x = π3 нүктесіндегі туындысының мәнін есептендер:
А)34; В) 43; C) - 4; Д) 4.
Шешуі: y'ʹ(x)=(tgx)'ʹ=1cos² xy'ʹ(π3)=1cos²π3 = 1(12)² =4
Жауабы: Д) 4.
7.f(x)=2x³-5x функциясының графигіне М(2;6) нүктесінде жүргізілген жанаманың көлбеулік бұрышының тангенсін табыңдар.
А)tgα=29; В) tgα=19 ; C) tgα=13; Д) tgα=17.
Шешуі:f '(x0 )=tgα=k x0-нүктеде өтетін жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең туындының геометриялық мағынасын береді. Cонда
f'(x)=(2x³-5x)'=6x²-5
x0=2 y=6 тең болатын нүктеден өтеді.
tgα=6∙(2)²-5=6∙4-5=19
Жауабы: В )tgα=19 .
8.f(x)=(x4-1)(x4+1)функциясының туындысы неге тең?
А)7x8; В) 12x9; C) 8x7; Д)5x5.
Шешуі:Екі мүшенің айырымы мен қосындысының көбейтіндісінің формуласын қолданамыз.
f(x)=(x4-1)x4+1=x4 2-12=x8-1,
f '(x) = (x8 -1)'ʹ=8x7- 0=8x7 Жауабы: С) 8x7.
9.y=4cos²3xфункциясының туындысын табыңдар:
А)-12sin6x; В) 12sin6x; C) 8cos6x ; Д) 24cos6x.
Шешуі: 2cos²x=1+cos2x формуласын қолданамыз,
сонда y=2∙2cos²3x=2∙(1+cos6x)
y'ʹ=(2+2cos6x)'ʹ= (2)'ʹ+( 2cos6x)'ʹ= =0+2(-sin6x)∙(6x)ʹ=−12sin6x
Жауабы: А)-12sin6x.
10. Егер f (x)=(1-2x)(2x+1) болса,онда f '(0,5) мәнін табыңдар.
А)3; В) -4; C) 2; Д)0.
Шешуі:f(x)=(1-2x)(1+2x)=(1)² - (2x)²=1 - 4x²
f '(x)=(1-4x²)'ʹ=0-8x
f '(0,5)=−8∙0,5=−4
Жауабы: В) −4
11.Абцисассы x0=1 нүктесінде y=x4+x функциясының графигіне жүргізілген жанаманың теңдеуін жазындар.
А)y=x+3; В) y=5x-3; C) y=3x+7; Д)y=x-7.
Шешуі:y=f(x0)+fʹ'(x0)(x-x0) жанаманың теңдеуі
f(1)=14+1=2,
f ' (x)=yʹ=(x4+x)'ʹ=4x3+1 f ' (1)=4∙13+1=4+1=5
y=2+5(x−1)=2+5x-5=5x-3,
y=5x-3
Жауабы: В) y=5x-3
12.Абcциссасы x0=1 нүктесінде f(x) =x функциясының графигіне жанама жүргізілген. Абcцисcа x=31 болғандағы жанама графигінің ординатасын табыңдар.
А)17; В) 19; C) 16; Д)15.
Шешуі:f(1)=1 =1,
f '(x)= x'=12x , f '(1)=121=12,
y=1+12(x-1)=1 + 12x -12 = 12x + 12y=12x+1 2 жанаманың теңдеуі.
х=31 y = 12∙31+12=312+ 12 = 312 =16
Жауабы: C)16.
13. f (x) = x³ + x функциясының туындысы неге тең.
А) 3х + 2x ; В) 3х² + 2x ; С) 3х² + 12х;
Д) 3х² + 1х.
Шешуі : f '(x) =х³+x ' =х³' + (х )' =
3х² + 12х.
Жауабы:С ) 3х² + 12х;
14. . f(x) =tg π4-x функциясының х = - 34 π туындысын есептендер.
А)мәні жоқ ; В) - 34; С) 1 ; Д) -1.
Шешуі : f '(x) = tg π4-x' = 1cos²π4-xf '(- 34 π )= 1cos²π4-(-34 π) =1cos²π =1-1² =1.
Жауабы:С )1.
15.Нүкте түзу бойымен S(t) = 2t³ +t² -4 заңы бойынша қозғалады. t =2 кезіндегі нүктенің жылдамдығын анықтаңдар.
А)20; В)28; С) 64; Д)16.
Шешуі : Туындының физикалық мағынасы қозғалған дененің t уақыт ішіндегі жүрілген жолдын туындысы ,сол t уақыттағы жылдамдығын анықтайды.
S'(t) =ν(t)
ν(t) =(2t³ + t² -4)'ʹ =6t² + 2t ,
ν(2)= 6∙2² + 2∙ 2=24 +4 =28.
Жауабы:B)28.
16. f(x)=1cos5x функциясының туындысын табыңдар.
А) 5tg5xcos5x; B) tg5x + 1; C)1tg5x; D) − sin5x5cos²5x.
Шешуі :
f '(x) = 1cos5x'ʹ = 1'cos5x-1∙(cos5x)'cos5x² =
0∙cos5x-1∙-sin5x∙(5x)'cos²5x = sin5x∙5cos²5x = 5∙sin5xcos5x∙cos5x = 5tg5x cos5x.
Жауабы: A ) 5tg5x cos5x .
17. f(x) =x - 1x функциясының х=2 нүктесіндегі туындысын есептендер:
А) 2; В)1,5; С) 1+ 2; Д) – 1,5 .
Шешуі : f '(x) =( x - 1x )' = 1 + 1х² .
f '(2)= 1 + 1(2 )² = 1 + 12 = 1,5.
Жауабы: В) 1,5.
18.f(x) = ctg x3 функцияcының туындысын табыңдар.
А)-3cos²x3; В) 3cos²x3; С) − 13sin²x3; Д) – 1cos²x3.
Шешуі : f '(x)=(ctgx3 )'=-13sin²x3 ∙ (x3 )'= − 13sin²x3;
Жауабы:С ) − 13sin²x3;
19.f(x)=2x3-3x2 +6 функциясының туындысын тауып,f '(-2), f '(2) өрнегінің мәнін есептеңдер.
А)-18;6; В)36;12; С) 22;-10; Д )-16;5.
Шешуі : f '(x)=(2x3-3x2+6)'ʹ=6x2-6x+0=6x2-6x
f '(-2)=6∙(-2)²-6∙(-2)=24+12=36,
f '(2)=6∙2²-6∙2=24-12=12
Жауабы:B) 36;12 .
20.f (x)= x33 - 2x2-12x+5 функциясы берілген f '(x)=0 теңдеуін шешіндер.
А)-3;4; В)-2;6; С) 3;-4; Д)2;-6.
Шешуі : f ' (x)=( x33 - 2x2-12x+5) ' = x2-4x- 12+0 = =x2-4x-12
x2-4x-12=0, D=42- 4(-12)=16+48=64
x1 = 4-82 = -2, x2 = 4+82 = 6
Жауабы:B) -2; 6
21. y=(2x+1)² және y=(x+2)² функцияларының графигіне абcциссасы x0 нүктесінде жүргізілген жанамалар параллель болса,онда x0 неге тең.
А) -4; В) 3; С) 0; Д) 1.
Шешуі : Параллель түзулердің бұрыштық коэффициенттері өзара тең. f'(x0)=k ,cонда әрбір функциялардан жеке-жеке туынды тауып теңестіреміз.
y'ʹ=((2x+1)²)'ʹ=2(2x+1)∙(2x+1)'ʹ=2(2x+1)∙2=8x+4
y'ʹ=((x+2)²)'=2(x+2)∙(x+2)'ʹ=2(x+2)∙1=2x+4
8x+4=2x+4
8x-2x=4-4
6x=0,
х=0. Жауабы: С) 0
22.f(x)=9x - 13 x³ функциясы берілген f '( x)≥0 теңсіздігін шешіңдер.
А) (-3;3); В) (-∞;-3]∪ [3;∞) ; С) (-∞; -3)∪3;∞; Д) [-3;3].
Шешуі : f '(x)=( 9x - 13 x³ )'= 9 - x2 9-x2 ≥0, (3-x)(3+x)≥0 Жауабы:Д)[-3;3]
23.f(x)=13sin3x-12x туындысын табыңдар және
f '(x)<0 теңсіздігін шешіңдер.
А)(- π9+πn3;14π9 +2πn 3), n∈Z ;
В) (π9+2πn3;5π9 +2πn 3), n∈Z ;
С) (- π9+πn3;5π9 +πn 3),n∈Z ;
Д ) (- π9+2πn3;π9 +2πn 3),n∈Z ;
Шешуі :f'(x)=( 13sin3x-12x )'= 13cos3x∙3x'-12 = cos3x - 1 2cos3x<12 ,
π3 +2πn<3x<5π3 + 2πn , nϵZπ9+2πn3<x<5π9 +2πn 3 , nϵZ Жауабы: В) (π9+2πn3;5π9 +2πn 3), nϵZ
24.f(x)=(4x + 24x)∙ (4x - 2 4x) функциясының туындысын табыңдар.
А) 3x-1xx; В) 1x-1xx;
С) 12x+2xx; Д)2x2-x3;
Шешуі :Екі мүшенің қосындысы мен айырмасының көбейтіндісін тауып, өрнекті ықшамдаймыз.
f(x)=( 4x + 24x)∙ (4x - 24x)=( 4x)²- (24x)²= x- 4x = =x-4xf'(x)=( x-4x)'=x-4'∙x-x-4∙x'x2=x-x-4∙12xx=
= x-x-42xx = 2x-x+42xx = x+42x∙x = 12x + 2xx .
Жауабы:C) 12x+2xx .
25. f(x)= sin5xcos6x-cos5xsin6x функциясының туындысы неге тең ?
А)- cosх; В)- sinх; С) 1; Д) cosх.
Шешуі : sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ екі бұрыштың айырмасының синусы формуласын қолданамыз, сонда
sin5xcos6x-cos5xsin6x =sin(5x- 6x) =sin (−x) = − sinx
f(x) = − sinx
f'(x) = (− sinx)'ʹ = − cosх.
Жауабы:А) − cosх;

5– бөлім
Функция графигіне жүргізілген жанама туралы тест есептері.
1.у=2х+1² және у= х+2² функцияларына х0 нүктесінде жүргізілген жанамалар параллель болатын болса , онда х0 табыныз.
А)-4 ; В)3 ; С)1; Д)-2; Е) 0.
Шешуі : Жанамалар параллель түзулер болғандықтан , олардын бұрыштық коэффициенттері тең болу керек .Яғни , k1 = k2 немесе
f1′x0 =f2ʹ'x0
42x0+ 1 = 2x0+ 2 тендеуін шешіп , х0=0 табамыз .
Жауабы: Е) 0.
2.Абсциссасы х = − π6 болатын нүктеде у = ctg 3x3 қисығына жүргізілген жанама Ох осіне қандай бұрышпен көлбеген ?
А) π9 ; В) π3 ; С) 5 π6 ; Д) π6 ; Е) 2π3Шешуі :Функцияның туындысын табайық.
у'= − 3sin²3x , сонда f ' -π6 = − 3 sin²π2 = − 3.
Берілген нүктедегі туындының мәні теріс , демек жанама мен Ох осінің оң бағыты арасындағы бұрыш доғал .
tg α =− 3, демек α = 2π3 .
Жауабы: Е) 2π3.3. а – ның қандай мәнінде у= − 10х + а түзуі у = 3х² − 4х – 2 функциясының графигіне жанама болады ?
А) а =5; В) а =-5; С) а =-1; Д) а =-10; Е) а =-2;
Шешуі : Жанама түзу мен берілген функцияның ортак бір ғана нүктесі
бар ,яғни 10х + а = 3х² −4х −2. Осыдан
3х² + 6х – 2 – а = 0 квадрат тендеуі шығады. Мұнда дискриминант нөлге тең болуы керек .
36 + 4∙3∙2+а = 0.
Бұдан а = −5 табамыз .
Жауабы: В) а =-5;
4.у = х² + 3х – 1 функциясының графигіне жүргізілген жанаманың
қандай нүктесінде абсцисса осімен 1350 -қа тең бұрыш құрайды ?
А)(2;-2); В) (-2;-3); С) (-2;3); Д) (2;-3); Е) (2;3);
Шешуі : Жанаманың Ох осімен жасайтын бұрышы 1350 -қа тең ,яғни
tg 1350 = −1 = f′x0у' =2х + 3 .
2х + 3 = −1 тендеуін шешу арқылы ізделінді нүктенің абсциссасын табамыз. х0 =− 2, осы мәнді берілген функцияға қою арқылы у0 = −3 аламыз.Сонымен нүктенің координаталары ( -2 ;-3) болады.
Жауабы: В) (-2;-3).
5.Абсциссасы х=0 нүктесінде f (x) = 5x³ + 9x – 27 функциясының графигіне жанама жүргізілген. Жанама мен Ох осінің қиылысу нүктесінің абсциссасын табыңыз.
А)1 ; В)-2 ; С)2; Д)4; Е) 3.
Шешуі : Алдымен жанаманың теңдеуін жазамыз. f0 =− 27. Функцияның туындысын табайық
f 'ʹ(x) =15х² + 9 , сонда f 'ʹ(0)=9. Жанаманың теңдеуінің формуласын пайдаланып , у = 9х – 27 аламыз. Жанама мен Ох осінің қиылысу нүктесінің абсциссасын табу үшін у=9х – 27 және у= 0 функцияларын теңестіреміз. Осыдан х = 3 .
Жауабы: Е) 3.
6 . в-ның қандай мәнінде у = 3х + b түзуі
у = 2х²-5х + 1 функциясының графигіне жанама болады ?
А) b=7 ; В) b=-7 ; С)b=-1 ; Д) b=2 ; Е)b=3.
Шешуі : Жанама мен берілген функция бір нүктеде қиылысады , демек
3х + b = 2х² - 5х + 1 . Бұдан 2х² -8х +1 – b =0 тендеуін аламыз. Тендеудің түбірі біреу болуы керек , сондықтан D =0.
64-4∙2∙(1- b) =0 , сонда b = -7.
Жауабы: В) b=-7 .
7. Ордината осін (0;6) нуктесінде қию үшін у = х + 3х функциясының
графигіне жанаманы қандай нүктеде жүргізу керек ?
А)(0;1) В) )(1;4) С) (-1;4) Д) (0;4) Е) (-4;1)
Шешуі : у'= 1- 3х². Түзудің тендеуі у =kx + l . (0;6) нуктесі жанамаға тиісті ,
демек l =6. Жанаманың тендеуінің формуласынан l = f(x0) – f 'ʹ(x0) x0.
Осыдан х + 3х –( 1 − 3х²)∙х = 6 .
Сонда х= 1 , у = 3 + 33 = 4 .
Жауабы: В) (1;4)
8. а параметрінің қандай мәнінде 2х³3 -8х + а = 0 қисығы абсцисса осімен жанасады?
А) а=163 ; В) а=53 а= − 53 ; С) а= − 163 ; Д) а=193 а= − 193 ; Е) а=323 , а= − 323Шешуі:Есеп шартына сәйкес жанаманың тендеуі
у =0 түзуі болады.Яғни
k =0 , f '(x0)= 2x² - 8 = 0 . Бұл тендеудің түбірлері х1=-2, х2=2.
Алынған мәндерді берілген тендікке апарып қойсақ ,
а = − 323 және а = 323 болатынын көреміз.
Жауабы: Е) а=323 , а= − 3239.у = х² - 2х функциясының графигіне жүргізілген жанаманың қандай
нүктесінде Ох осіне параллель болады ?
А)(1;-1) В)(2;-2) С)(1;-1) Д)(-1;1)
Е)(-2;2)
Шешуі: Жанама Ох осіне параллель , демек жанаманың бұрыштық коэффициенті нөлге тең . k = f ʹ (x0) = 0 ,
2х-2 = 0, х = 1 .
х-тің мәніне сәйкес у = -1 табамыз. Ізделінді нүкте: (1;-1).
Жауабы: С)(1;-1)
10.у=2х+3 функциясының графигіне жүргізілген жанама қандай нүктеде Ох осімен 450 бұрыш жасайды ?
А)(-1;2) В)(-1;1) С)(1;1) Д)(1;-1)
Е)(-1;-1)
Шешуі: y'=12x+3, tg45°=f ʹ(x0). Осыдан 12x+3 = 1, мұнда 2х + 3 > 0.
Алынған тендеуді шешеміз , сонда х = -1 .
Ал у = 2∙-1+ 3 =1.
Жауабы: В)(-1;1)
Өз бетімен шығаруға берілген есептер.
у = 4х-3 функциясының графигіне А( 2;3) нүктесі арқылы өтетін
барлық жанамалардың тендеуін жазыңдар.
Жауабы: у =2х - 1; у = 0,4х + 2,2.
2.у = lnх функциясының графигіне жүргізілген жанаманың қандай
нүктесінде у = х – 1 түзуіне параллель болады?
Жауабы: (1;0)
3.у=2х+1 функциясының графигіне А(1;2) нүктесі арқылы өтетін барлық жанамалардың тендеуін жазындар .
Жауабы: у = х + 1 ; у =13 х + 1 23.
4. у =12 (х-1)² параболасының графигіне (-1;2) және (2;0,5) нүктелерінде жүргізілген жанамалар қандай нүктеде қиылысады ?
Жауабы: (12 ;-1)
5. у = х және у = 13 хх функцияларына х0 нүктесінде жүргізілген жанамалар параллель болатын болса , онда х0 нүктесін табыныз.
Жауабы: 1.
6.Абсциссасы х = 3+ 13 нүктесінде f(x) = x² − 23+13 x + 3+ 13 функциясының графигіне жанама жүргізілген . Жанама мен Ох осінің оң бағыты арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабы: π6 .
7. у =− 2х + 6 түзуіне параллель болатын у = х² + 4 функциясының графигіне жүргізілген жанаманың тендеуін жазыңдар.
Жауабы: у = 3 – 2х .
8.у =− 3х² + 6х + 1 функциясы графигінің ордината осімен қиылысу нүктесі арқылы өтетін жанамасының тендеуін жазындар .
Жауабы: у = 6х + 1 .
9. а – ның қандай мәнінде абсциссасы x0 = 1 болатын у = х² - а х
функциясының графигіне жүргізілген жанама М( 2;3) нүктесі арқылы өтеді?
Жауабы: а = 0.
10.у= 4−х² параболасына x0 = 1 абсциссасы арқылы жүргізілген жанаманың Оу осімен қиылысу нүктесін табындар.
Жауабы: (0;5)
6– бөлім
Интервалдар әдісі . Туындының геометриялық және физикалық мәні.
1нұсқа.
1.Нүкте координаталық түзу бойымен
s(t)=t2-5t+3 заңы бойынша қозғалып келеді.[4;6] аралығында vорттап.
А) 3; В) 5; С) 7,5; Д)10.
Шешуі: vt=s't=(t2-5t+3)'=2t+5v(4)=2∙4 − 5= 3, v(6)=2∙6− 5=7
vорт= 3+72 = 5
Жауабы: В) 5.
Нүкте координаталық түзу бойымен s(t)=-t2+10t-7 заңы бойынша қозғалып келеді. vлез3 тап.
А) -5; В) 14; С) 19; Д)4.
Шешуі: vt=s't=(-t2+10t-7)'= =-2t+10vлез (3)= −2∙3+10 = 4
Жауабы: Д)4.
3.Нүктенің осін айнала қозғалысы φt=-t3+12t2+7t заңы бойынша жүреді, мұндағы φt- радиандағы бұрыш, t-секундтағы уақыт. α үдеуі кейбір t уақыт мезетінде 9 радс2 тең екендігі белгілі. Осы t уақыт мезетін тап.
А) 5; В) 4; С) 2,5; Д)3,5.
Шешуі : φ't=-t3+12t2+7t'= -3t2+24t+7at=-3t2+24t+7'=-6t+24
-6t+24 = 9, -6t=-15, t=2,5 Жауабы: С) 2,5.
4.fx=-x2-4x+2 функциясының графигіне жүргізілген жанаманың, абсциссасы x0=-1 нүктесінде теңдеуін тап.
А) y=−2x-3; В) y=2x-1; С) y=−2x+3;
Д) y=2x+3.
Шешуі: f(−1)=−(−1)²−4∙(−1)+2 = −1+4+2=5
f ʹ'(x)=(−x2-4x+2)'=-2x-4 f ʹ(−1) = −2∙(−1) − 4 = 2− 4 = −2
y=5−2(x+1)= −2x+3
Жауабы: С) y= −2x+3.
5.f(x)=3x+2функциясының графигіне екі параллель жанамалар жүргізілген, олардың біреуі графиктің абcциссасы x 0=-1 нүктесі арқылы өтеді. Басқа жанама берілген функцияның графигін кейбір нүктеде жанайды , осы нүктенің абcциссасын тап.
А) -2; В) 2; С) 1; Д)-3.
Шешуі:
f '(x)= − 3x+22; f '(-1)= − 3-1+22 = 3;
3x+22= -3; (x+2)² = 1; x+2⃒=1;

x+2=1x+2=-1x≠-1x=-3 Жауабы: Д)-3.
6.f(x)=x2-4x+5 функциясының графигіне жүргізілген жанаманың теңдеуін жазыңдар, егер бұл жанама (0;4) нүктесі арқылы өтсе және жанау нүктесінің абcциссасы оң болса.
А) y=2x+4; В) y= −2x+4; С) y= −4x+4; Д) y=4x-3.
Шешуі: f(x0 )= х02-4х0+5,
f '(x) = 2x−4;
f 'ʹ(x0 )=2x0 − 4;
y = x02 − 4x0 +5+2x0 -4x-x0 ;4 = x02 − 4x0 +5+2x0 -40-x0 ;4 = x02 − 4x0 +5-2x02+4x;x02=1; x0 ≠-1; x0 =1;f1=12-4∙1+5=2;f '1=2∙1-4=-2;y=2-2x-1;y=-2x+4; Жауабы: В) y=−2x+4.
7 . 3x > 4 – x теңсіздігін шеш.
А) (0;1) 3;+∞; В) (-∞;0)1;3;
С) (-∞;-1)1;3 Д) (-∞;1)(3;+∞) Шешуі: х≠03x>4x-x2x; 3-4x+x2x>0; (x²-4x+3)x>0; x-1x-3x>0; x∈0;13;+∞; Жауабы:А)(0;1) (3;+∞)8.x2-92-x2x+3 ≥0 теңсіздігін шешіңдер, берілген теңсіздікті қанағаттандыратын бүтін сандардың көбейтіндісін табыңдар.
А) -6; В) 6; С) 12; Д)0.
Шешуі:
2-x≥0x≠1,5 x≤2x≠1,52-x≫0 x-3x+3x+1,5≥0;x1= − 3; x2=-2; x3=2;
-3∙-2∙2=12 Жауабы: С) 12;
9.а-ның қандай мәндерінде барлық оң сандары x3-ax+x>0 теңсіздігінің шешімдері болып табылады?
А) a<0; В) a≥1; С) a≤1; Д)a≥0.
Шешуі: x(x²−(a−1))>0 x>0 болғандықтан
x²−(a−1)>0 ; x2>a-1;x2>0 ; сондықтан, a-1≤0; a≤1; Жауабы: С) a≤1;
10. y=x−2 түзуі y = f(x) функциясының графигін x 0=-1 нүктесінде жанайды.
f (-1) табыңдар.
А) 1; В) -3; С) -2; Д)2.
Шешуі:Жанасу нүктесі ортақ болғандықтан
y(-1)=y; f(x)=-1−2 = −3
Жауабы: В) -3.
2нұсқа.
1.Нүкте координаталық түзу бойымен
s(t) = t² − 3t + 5 заңы бойынша
қозғалып келеді. 5;7 аралығында voрт тап.
А) 24 ; В) 18 ; С)9; Д) 6.
Шешуі: v (t) = s '(t) = (t² -3t +5)'ʹ =2t – 3
v (5) = 2∙5 – 3 = 7 v (7) = 2 ∙7 – 3 = 11
voрт = 7+112 = 9
Жауабы: С)9.
2. Нүкте координаталық түзу бойымен
s(t) = −t² + 9t + 8 заңы бойынша қозғалып келеді . vлез(4) тап.
А) 9 ; В) 25 ; С) 1 ; Д)− 2,5 .
Шешуі: v (t) = s 'ʹ(t) = ( −t² + 9t +8 )' = −2t + 9
vлез(4) = − 2∙4 + 9 = 1
Жауабы: С) 1.
3.Нүктенің осін айнала қозғалысы φt=-t3+8t2- 3 заңы бойынша жүреді, мұндағы φt- радиандағы бұрыш, t-секундтағы уақыт. α үдеуі кейбір t уақыт мезетінде 4радс2 тең екендігі белгілі. Осы t уақыт мезетін тап.
А)8; В) 4 ; С)6 ; Д) 2.
Шешуі: φ't=-t3+8t2 -3'=-3t2+16t;at=-3t2+16t'=-6t + 16
-6t + 16= 4, -6t=-12, t=2.
Жауабы: Д) 2.
4.fx=-x2+ 6x+8 функциясының графигіне жүргізілген жанаманың, абсциссасы x0=-2 нүктесінде теңдеуін тап.
А) у = 2х − 6; В) у = 10х + 12; С) у = 4х + 8 ; Д) у =− 10х + 8.
Шешуі: f ʹ'(x)=( − x2+ 6x+8)'=-2x+6. f (− 2) = −4 – 12 + 8 = − 8
f '(− 2) =−2∙(−2) + 6 = 10
y= −8 + 10(x + 2) = 10x + 12.
Жауабы:В)у =10х + 12.
5. f (x) =− 4x-3 функциясының графигіне екі параллель жанамалар жүргізілген, олардың біреуі графиктің абциссасы x 0=1 нүктесі арқылы өтеді. Басқа жанама берілген функцияның графигін кейбір нүктеде жанайды , осы нүктенің абциссасын табындар
А) -1 ; В) 5; С) 2; Д) − 3.
Шешуі: f ( 1) = − 41-3 = 2; f ' (x) =4(x-3)² ;
f ' (1) = 4(1-3)² =1; 4(x-3)² =1;
( х – 3 )² = 4;
х-3 = 2; х-3=2х-2=-2 х≠1х=5 .
Жауабы:В) 5.
6 . f (x) = x2+3x+5 функциясының графигіне жанамалар
жүргізілген жанаманың теңдеуін жазыңдар, егер бұл жанама (0;1) нүктесі арқылы өтсе және жанау нүктесінің абсциссасы
теріс болса.
А) у= 2х + 1; В) у = х + 1; С) у = − х + 1;
Д) у = −2х −5.
Шешуі:
f (x0) =x0² + 3x0 + 5 ; f ʹ (x) = 2x + 3;
f '(x0) = 2x0 + 3 ;
y = x0² + 3 x0 + 5 +( 2x0 + 3)( x - x0 );
1 = x0² + 3 x0 + 5 +( 2x0 + 3)( 0 - x0 );
1 = x0² + 3 x0 + 5 −2x0²−3x0;
x0 ² = 4; x0 =±2; x< 0 → x =−2
f(−2) = 4 −6 + 5 = 3; f'(−2) = −4 + 3 =−1;
y = 3− 1 ∙(x + 2);
y =− x + 1;
Жауабы:C) у = − х + 1 <0;
7. 5x <6-х теңсіздігін шеш.
А) (-∞;0)∪(1;5); В) (0;1)∪5;+∞; С) (1;5); Д) (-∞;-1)∪(1;+∞) Шешуі:
х≠0 5x<6x-x2x; 5-6x+x2x <0;
(5-6x+x²)x<0; x-1x-5x<0;x∈(-∞;0)∪(1;5) Жауабы: А) (-∞;0)∪(1;5);
8. (4-x2)x+17-2x ≤ 0 теңсіздігін шешіңдер, берілген теңсіздікті қанағаттандыратын бүтін сандардың көбейтіндісін табыңдар.
А) - 2; В) 2; С) 6; Д) - 6.
Шешуі:
7-2x≠0x+1≥0 x≠3,5x≥-1 x+1≫0(2-x)(2+x)(3,5-x)≤0;(x-2)(x+2)(x-3,5)≤0 x1=-1; x2=2; x3=3;
-1∙2∙3=-6; Жауабы: Д) - 6.
9. .m-ның қандай мәндерінде барлық теріс сандары x3+mx+2x<0 теңсіздігінің шешімдері болып табылады?
А) m≥-2; В) m≤-2; С) m>2; Д) m<2.
Шешуі:
x(x²+m+2)<0 , x<0 болғандықтан
x²+m+2>0 ; x2>-m-2; x2>0;сондықтан, -m-2≤0;m≥-2; Жауабы:A) m≥-2;
10.y = − x+3 түзуі y = g(x) функциясының графигін x 0=-2 нүктесінде жанайды. f (-2) табыңдар.
А) 1; В) 3; С) 5; Д)-3.
Шешуі:Жанасу нүктесі ортақ болғандықтан
y(−2)=−(−2)+3=5; Жауабы: С) 5

7-бөлім
ҰБТ есептер .
1.Функцияның туындысын табыңыз: f (x) =2-3x .
А) 2-3x∙ln2; В)-3∙2-3x∙ln2; С) -2х∙2-3x∙ln2;
Д)-3х∙2-3x∙ln2; Е)-3∙2-3x.
2.Материалдық нүктенің түзу бойымен қозғалыс жылдамдығы
V (t)=4t + 1t заңы бойынша өзгереді .0,25≤ t≤1 болған уақытта
жылдамдықтың ең үлкен мәнін табыңыз.
А)5 ; В)3 ; С)7; Д)0 ; Е)4.
3.Абсциссасы х=0 болатын нүктеде у =tg3x3 қисығына жүргізілген
жанама Ох осіне қандай бұрышпен көлбеген ?
А)π3 ; В) π6 ; С) π4 ; Д)2π ; Е) π2 .
4. f (x) = х³х²-3 функциясының экстремум нүктелерінің ординаталарының қосындысын табыңыз.
А) − 2927; В)1127 ; С) − 427 ; Д) 427 ; Е) 0.
5.у =ln(ех+1) функциясының туындысын табыңыз:
А)ех2 ; В)ехех+1 ; С) ехех-1 ; Д) ехе-1 ; Е)− ехех+1.
6. f (x) =х+ 4х функциясының 1;3 кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз.
А) ең кіші f (x) =4; ең үлкен f (x) =5.
В) ең кіші f (x) =413; ең үлкен f (x) =5.
С) ең кіші f (x) =4; ең үлкен f (x) =413.
Д) ең кіші f (x) =0; ең үлкен f (x) =4.
Е) ең кіші f (x) =−4; ең үлкен f (x) = 4.
7. f (x) = 3х+55х+3 функциясы берілген . f '(x) табыңыз.
А)-3(5х+3)²; В) 16(5х+3)²; С) 34(5х+3)² ; Д) -16(5х+3)² ; Е) 3(5х+3)².
8.Абсциссасы х =1 нүктесінде f (x) =х функциясының графигіне жанама жүргізілген . Абсциссасы х =31 болғандағы жанаманың ординатасын табыңыз.
А)16; В)19; С)18 ; Д)17; Е)15.
9. Функцияның туындысын табыңыз: f (x) =57-2x.
А) 57-2x∙ln5; В) 77-2x ∙ 57-2x∙ln5;
С)(7-2х)∙ 57-2x;
Д) (7-2х)∙ 57-2x∙ln5; Е)-2∙57-2x∙ln5.
10.Абсциссасы х0=π2 нүктесінде f (x) =sinx2 функциясының графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін табыңыз.
А)3π4; В)24; С)3 ; Д)32; Е) 23.
11.у(х) =cos x2 функциясының туындысын табыңыз.
А)-2х∙sin x2; В) х∙ cos x2; С)2х∙ cos x2;
Д)2 sin x2; Е)- 2х∙ cos x2.
12.y = 2x² − 1 функциясының графигіне х0 = 3 нүктесінде жүргізілген
жанаманың тендеуін жазыңыз.
А) y = 9х-3 ; В) y = 2х-1; С) y =18х-19;
Д) y =12х-19; Е) y =4х+5.
13.у(х) =13 х³−1,5х² −4х функциясының өсу және кему аралықтарын табыңыз.
А)(-∞;-1]∪[0;+∞) аралығында өседі ;[-1;0] аралығында кемиді.
В) (-∞;-1]∪[4;+∞) аралығында өседі ;[-1;4] аралығында кемиді.
С) (-∞;-1]∪[4;+∞) аралығында кемиді;[-1;4] аралығында өседі
Д). (-∞;4] аралығында өседі ;[4;+∞] аралығында кемиді.
E) (-∞;-1]∪[0;+∞) аралығында кемиді ;[-1;0] аралығында өседі .
14. Функциясының туындысын табыңыз:
f (x) = 3x²-6x .
A)3(x-1)x²-2x; B) 6(x-1)3x²-6x; C) 123x²-6x;
D)126x-6; E)(6x-6) 3x²-6x.
15.f(x)= 0.5x4-2x3 функциясының экстремум нүктелерін табыңыз.
А) экстремумы жоқ; В) хmax=0. C) хmin=3.
D) хmax=3, хmin=0. Е) хmax=0, хmin=3.
16.S(t) =t²-3t+2t² заңы бойынша түзу сызықты қозғалатын материалдық нүктенің тоқталатын t уақыт мезетінің мәнін
табыңыз.
А) 4 ; В) 34; С) 49; Д)3; Е) 43.
17. Функцияның туындысын табыңыз:
f (x) =tgx + ctgx .
A)-4 cos2xsin²2x ; B) 1; C) −1; D) -cos2xsin²2x; E) 4 cos2xsin²2x∙
18. Функцияның туындысын табыңыз:
f (x) =(4x + 24x ) ∙(4x − 24x ).
A)34xx + 23xx; B) 12x + 2xx; C) 1x − 1xx;
D) 2x²2 − x3; E) 3x − 1xx.
19.Егер f (x) =sin³ x2 болса , f ' (π2) мәнін табыңыз.
А) 328; В)1; С) 2; Д)- 223; Е) 28.
20. у = х5 − 5х функциясының :
а) нөлдерін;б) өсу аралықтарын в) кему аралықтарын анықтаңыз.
А) а)-5,5; б)(-∞,-5)ᴗ(5,+∞); в)[-5,5).
В) а)-5,5; б)(-∞,+∞) в)жоқ.
С) а)5,-5; б)жоқ; в)(∞,-5),(-5,-∞).
Д) а)-5,0,5; б)[-5,0)ᴗ(5,+∞); в) (∞,-5),(0,5).
Е) а)-5,5; б)(-∞,0)ᴗ(0 ,+∞); в)жоқ.
21.Туындыны табыңыз : f (x) =(х2-36)12.
А) хх²-36 ; В) -хх²-36 ; С) х-6х²-36; Д) 2хх²-36 ; Е) 1х²-36.
22.Егер y (x) = sin 3xcos5x-cos3xsin5x болса ,
у' (π3) табыңыз .
А) - 22; В ) - 32 ; С) -1; Д) 1; Е) 32 .
23.Туындыны тап : f (x) = − 19(соs x)9.
А) -8cos x sinx; В) 8cos x sinx ; С) sin8x cos x ; Д) cos8x sinx ; Е) 18 cos x sinx.
24. f (x) = sin2x функциясының х0 = π4 нүктесінде жүргізілген жанамамен Ох осі арасындағы бұрышты табыңыз:
А)0 ; В)− π2 ; С) π2 ; Д) 3π2 ; Е) π.
25. f (x) =е1+2х - 4х3 функциясының графигіне х0 = - 0,5 нүктесінде
жүргізілген жанаманың тендеуін жазыңыз.
А) у= -1 + х ; В) у= 2 – х ; С) у= х + 1 ;
Д) у= 1 - х ; Е) у= 0,5 – х .
26.f(x)=(2+3x)(3x-2) функциясының туындысын табыңыз.
А)18x; В)9x²; С)36x ; Д)18; Е)18x².
27.Егер f(x)=sin(3x+π3) болса, f'xтабыңыз.А)3sin⁡(3x+π3); В) -3cos⁡(3x+π3); С) 3cos⁡(3x+π3); Д) 13cos⁡(3x+π3); Е)- 13sin⁡(3x+π3)28.y=2x-1 функциясының графигіне қандай нүктеде жүргізілген жанама,Ох осімен 45°бұрыш жасайды?
А)(-1;1); В)(12;0) С)(0;1) ; Д)(-1;0); Е)(1;1).
29.y=15x5-12x4 функциясының кему аралығын табыңыз.
А)(-∞;0); В) [0;2] С)(0;+∞) ; Д)(2;+∞); Е)(-∞;2).
30Функцияның туындысын табыңыз f(x)=ex+1ex-1А)ex(ex-1)²; В) 2ex+1(ex-1)²; С) -ex(ex-1)² ; Д) -2ex+1(ex-1)²; Е-2ex(ex-1)².
31. Функцияның туындысын табыңыз
y=x∙cosx.
А)cosx2x; В) cosx-sinxx ; С) - sinx2x ; Д) cosx-2xsinx2x ; Е) cosx-2xsinx2x;
32.y=(1+x-x²)4 функцияның туындысын табыңыз.
А)(1-2x)4; В)(1-2x)3 ; С)2(1-x) ;
Д)4(1+x-x2)³∙(1-2x); Е)4(1+x-x²)3.
33. Функцияның туындысын табыңыз:
f(x) = x5-x4+4x.
А)7x3-5x2+1x ; В) 5x4+3x3+7x2 ; С) 4x3-3x2-4x2 ; Д) x3-4x2-1x ; Е) 3x4-2x3-4x² ;
34. Функцияның туындысын табыңыз f(x)=sinxcos2x+cosxsin2x.
А)sin3x; В)3cos3x; С) -3cos3x ; Д)cos3x; Е)3sinx.
35. f(x) = 15x5-4x2+6 функциясының [0;2] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндерін табыңыз.
А)6,3;6 В)6;3,6 С)3,6;3 Д)-3,6;6 Е)6,3;3,6
36.Функцияның туындысын табыңыз y=xexА) ex+1xex ; В) x+ex ; С) ex-1 ; Д) xex; Е) xex+ex;
37.y(x) = x - x функциясының (0;1) интервалындағы ең кіші мәнін табыңыз.
А) - 14 ; В) 14 ; С)1 2 ; Д) - 12 ; Е)1;
38.f(x)=(2x-3)x функциясының f '(1)+f(1) қосындысын табыңыз.
А)2,75 ; В)10,5; С)15; Д)0,5; Е)7,5;
39.y=-x2+2x+8 функциясының
а) нөлдерін;б) өсу аралықтарын в) кему аралықтарын анықтаңыз.
А) а)2;-4 б)(-∞,2]; в)[2;∞).
В) а)-1,2; б) (-∞,2]; в) [2;∞).
С) а)4,-2; б)( -∞;-1]; в) [1;∞).
Д) а)-2,4; б) (-∞;1] в) [1;∞).
Е) а)-4,2; б)(-∞,-3]; в) [-3;∞).
40.y(x)=x∙ctgx функцияның туындысын табыңыз.
А) − x sin2x ; В) 1− xsin2x ; С)1+ xsin2x ;
Д)ctgx − xsin2x ; Е)ctgx;
41.y=6x²+8x функциясының экстремум нүктелерін табыңыз.
А)xmax=-23 ; В) xmin=23 ; С) xmax=43 ;
Д) xmin=-23 ; Е) xmin=-43 ;
42.f(x)=x²-3x функциясының f '(2)табыңыз.
А)-3; В)-2; С)-1 ; Д)1; Е)2;
43.f(x)=x²-3x-10 функциясының [-2;-1] кесіндісіндегі
а)ең үлкен;
в)ең кіші мәндерін табыңыз.
А) а)0; б)-5;
В) а)-5; б) -10;
С) а)-5; б) 0;
Д) а)-10; б) -12;
Е) а)0; б)-6;
44. Функцияның туындысын табыңыз: f(x)=ln(2x+1)
А)33x+1 ; В)1x+1 ; С)22x+1 ; Д)21-2x ; Е)33x+1;
45. f(x) = x+22x+1 функциясының берілген, f '(1) нүктесіндегі туындыны табыңыз:
А) - 13 ; В) 3 ; С)13 ; Д)- 3; Е)0;
46.y(x)=x²+2x+3 функциясының туындысы арқылы өсу аралықтарын табыңыз.
А)(0;∞;) ; В) [-2; ∞]; С)(- ∞;+∞) ;
Д)(- ∞;-1] ; Е)[-1;∞).
47.f(x)=cos3xфункциясының x=π2 нүктесіндегі туындысын есептеңіз.
А)0,5 ; В)-3; С)1,5; Д)-1,5; Е)3;
48. Tуындысы арқылы функциясының өсу аралығын табыңыз:f(x)=4x3+12А) (- ∞;+∞); В) [0; ∞] ; С) [ 1;∞); Д)[-1;1]; Е)[-1;∞).
49.y(x)=3x3-9 функциясының [0;3] кесіндісіндегі ең кіші мәнін табыңыз.
А)-90 ; В)-27; С)-12; Д)-9 ; Е)-6̣
50. f(x) = e2x-e2x2 функциясының туындысын табыңыз және fʹ(0) мәнін есептеңіз.
А)5 ; В)-6 ; С)2 ; Д)3; Е)-2;
51.f(x)=14x²+3x-6 функциясының туындысын тауып f ʹ(0),f ʹ(-1) өрнегінің мәнін есептеңіз.
А) 6;28 В)3;31 С)3;-25 Д)-3;-28
Е)-6;5
52.y(x)=2lnx-2x функциясының [1;2] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндерін табыңыз.
А)2(ln2-2);-2 В)2(ln2-2);2 С)2;-2ln2 Д)2ln2;-2 Е)2;-2
53.f(x)=e-3x-e3x3 функциясы берілген,
f ʹ(0)нүктесіндегі туындыны табыңыз:
А)-1 ; В)0 ; С)3; Д)-2; Е)6.
54.f(x)=2x+x4 функциясы берілген , f '(1) нүктесіндегі туындыны
табыңыз:
А)7 ; В)5 ; С)2 ; Д)6 ; Е)3;
55.y=x-42x-3 функциясының экстремум нүктелерін табыңыз:
А)xmin=-2; xmax=1,5 В )экстремум нүктелері жоқ С) xmax=1;xmin=-2 Д) xmin=1,5;xmax=2 Е) xmax=2;xmin=1
56.y=x²-2x-3 функциясының кему аралығын көрсетіңіз.
А) [-1;1] ; В) [-1; 0] ; С) (- ∞;+∞) ; Д) [ 1;∞); Е)(-∞;1].
57.f(x) = ( x+1)xфункциясының туындысының х=2 нүктесіндегі мәнін табыңыз.
А)722 ; В) 728 ; С) 22 ; Д) 724 ; Е) 24

Жауаптары:
1 В 20 Е 39 Д
2 А 21 А 40 Д
3 А 22 Д 41 Д
4 Е 23 Д 42 Д
5 В 24 А 43 Е
6 А 25 Д 44 С
7 Д 26 А 45 А
8 А 27 С 46 Е
9 Е 28 Е 47 Е
10 В 29 В 48 А
11 А 30 Е 49 Д
12 Д 31 Д 50 С
13 В 32 Д 51 С
14 А 33 С 52 А
15 С 34 В 53 Д
16 Е 35 Д 54 В
17 А 36 Е 55 В
18 В 37 А 56 Е
19 А 38 Д 57 Д

Пайдаланған әдебиеттер:
1.Әбілқасымова А.Е.,Бекбоев И.Б., Абдиев А.А.,Жұмағулова З.Ә. «Алгебра және анализ бастамалары» .Алматы «Мектеп»баспасы ,2011.
2. «Математика және физика» журналы .2010-2012ж.
3.Математика.Мырзахан Қабасұлы.Алматы ,2005.
4.Рустюмова И.П.,Рустюмова С.Т.Пособие для подготовки ЕНТ Алматы ,2010 .
5.Сұрақ кітапшалары .
6. Виленкин Н.Я.,Ивашев-Мусатов О.С,Шварцбурд С.И. «Алгебра и математический анализ для 11класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным узучением математики»-Москва. Просвещение 1993.
7.Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление»для ВУЗов-1том.
8.Рыжик В.И. «Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу» для 10-11классов. Учебное пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики»Москва. Просвещение 1997.