Лекция по математике на тему Многогранники. Усечённая пирамида

Лекция по теме «Многогранники. Усечённая пирамида»
Мы продолжаем знакомство с многогранниками.
На прошлом занятии вы познакомились с частным видом пирамиды –правильной пирамидой.
Напомню, что пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник. Высотой такой пирамиды называется отрезок, проведённый из вершины в центр основания.
Если ABCDE –правильный пятиугольник, то SABCDE-правильная пирамида.
SO-высота.
SO┴( ABCDE)
1.Изобразим произвольную пирамиду SA1 A2… An.
2. Проведём секущую плоскость параллельно основанию, пересекающую боковые рёбра пирамиды в точках В1 В2… Вn.
3.Секущая плоскость разбила пирамиду на два многогранника, один из которых так же является пирамидой., а другой называется усечённой пирамидой.


Итак, усечённой пирамидой называется многогранник, гранями которого являются многоугольники А1 А2… Аn и В1 В2… Вn(верхнее и нижнее основания), расположенных на параллельных плоскостях и четырёхугольников А1 А2 В1 В2, А2 А3 В2 В3,…Аn-1 Аn Вn-1 Вn(боковые грани).
Отрезки, соединяющие вершины оснований называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.
На чертеже изображена усечённая пирамида ABCDA1 B1 C1 D1.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к плоскости другого.
ABCDA1 B1 C1 D1-усечённая пирамида.
ABCD и A1 B1 C1 D1 –основания
А А1В1 В-боковая грань
А А1-боковое ребро
ОО1-высота
Рассмотрим боковую грань А1 А2 В1 В2 усечённой пирамиды .Стороны А1 А2 и В1 В2 параллельны, так как принадлежат параллельным прямым по которым плоскость S А1 А2 пересекается с параллельными плоскостями альфа и бета.
Стороны А1 В1 и А2 В2 не параллельны, так как их продолжения пересекаются в точке S.
Таким образом мы доказали, что боковая грань правильной усечённой пирамиды
А1 А2 В1 В2 -является трапецией.
Очевидно, что все боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. β
α
(желательно сопоставлять объекты чертежа со словами, можно анимацией либо просто выделять)
Если усечённая пирамида получена путём сечения параллельно основанию правильной пирамиды , то усеченная пирамида будет так же правильной.
Основания правильной усечённой пирамиды –это правильные многоугольники, а боковые грани- равнобедренные трапеции.
Высота боковой грани называется апофемой.

А А1В1 В- равнобедренная трапеция.
В1Е-апофема.
Сумма площадей боковых граней называется площадью боковой поверхности усечённой пирамиды. Эта площадь равна произведению апофемы на полусумму периметров.
Доказательство следует из того, что боковые грани усечённой пирамиды- это равные равнобедренные трапеции, площади которых равны произведению полусуммы оснований на высоту- апофему. Вынося за скобку общий множитель –апофему и 12, в скобках получим сумму оснований. А это в свою очередь есть периметр оснований- правильных многоугольников.

Применим свои знания при решении задач:
Задача 1.
Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм. Точки О и О1-центры оснований пирамиды. Найти высоту и апофему пирамиды, если боковое ребро равно 2 дм.
Для начала проведём краткий анализ задачи: так как усечённая пирамида правильная, то боковые рёбра-равные равнобедренные трапеции. В основании лежат правильные треугольники, значит все углы этих треугольников будут по 60 градусов.
Решение:
1. Дополнительное построение: построим СМ перпендикулярно АВ, С1М1 перпендикулярно А1В1 и соединим точки М1 и М.
По теореме о трёх перпендикулярах М1М перпендикулярен АВ(одновременно М1М перпендикулярна А1В1), значит М1М-апофема.
2. Поскольку точки О и О1-центры оснований пирамиды, то ОО1-высота h.
Дополнительное построение: построим С1L перпендикулярно СМ и М1 N так же перпендикулярно СМ.
Тогда С1L= ОО1= М1 N=h(как расстояния между параллельными прямыми).
3.Треугольники АВС и А1 В1 С1-правильные, значит ОС и О1С1-радиусы описанных окружностей треугольников АВС и А1 В1 С1.
Найдем ОС и О1С1по формуле для нахождения радиуса описанной окружности
ОС=АВ = 4 =4 дм
2sin600 2*√32 √3
О1С1=А1В1 =2 = 2 дм
2sin600 2*√32 √3
4.Найдем длину отрезка СL как разность между длинами отрезков ОС и О1С1:
СL= ОС- О1С1= 4 - 2 =2 дм
√3 √3 √35.Из прямоугольного треугольника СС1L найдём
С1 L по теореме Пифагора:
С1 L=√ СС12- СL2=√22-(2)2=√8 =2√6 дм
(√3)2 √3 3
Так как С1L= ОО1=h, следовательно высота h равна 2√6 дм
3
6. По определению синуса из прямоугольного треугольника А1 С1 М найдём длину отрезка С1М1:
С1М1=А1С1*sin600=2*√3 =√3 дм
2
Длину отрезка О1М1 найдем как разность длин отрезков С1М1 и С1О1:
О1М1= С1М1- С1О1=√3-2 =1 дм
√3 √37.Из прямоугольного треугольника АСМ по определению синуса найдём длину отрезка СМ:
СМ=АС*sin600=4*√3 =2√3 дм
2
Из разности отрезков СМ и СО найдем длину ОМ:
ОМ= СМ – СО=2√3-4 =2 дм
√3 √3 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник M1NM и найдем длину отрезка M1М по теореме Пифагора:
M1М=√h2+MN2
Здесь неизвестна длина отрезка MN. Её можно найти как разность длин отрезков ОМ и ОN:
MN= ОМ – ОN.
В свою очередь ОN= О1 М1=1 дм, так как
√3
О1 М1 NО-прямоугольник.
Значит MN= ОМ – ОN= ОМ- О1 М1=2 - 1 =1 дм
√3 √3 √3Таким образом:
M1М=√h2+MN2=√(2√3)2 +1 =√8 +1 =√9=√3 дм
(3)2 (√3)2 3 3 3Ответ: M1М=√3 дм, О1О=2√6 дм
3

Дано:АВСА1 В1 С1-усечённая пирамида, АВ=ВС=АС=4 дм, А1В1=В1С1=А1С1=2 дм, АА1=2 дм
Найти: высоту, апофему
Решение:
1.Д.п. СМ┴АВ, С1М1┴ А1В1→ М1М┴ АВ и
М1М┴ А1В1( по т.т.п.)
М1М-апофема.
2. ОО1-высота h.
Д.п. С1L┴ СМ, М1 N┴ СМ.
С1L= ОО1= М1 N=h(как расстояния между параллельными прямыми).
3.Δ АВС и Δ А1 В1 С1-правильные→ ОС и О1С1-радиусы описанных окружностей.
ОС=АВ = 4 =4 дм
2sin600 2*√32 √3
О1С1=А1В1 =2 = 2 дм
2sin600 2*√32 √3
4.
СL= ОС- О1С1= 4 - 2 =2 дм
√3 √3 √35.Δ СС1L-прямоугольный, по теореме Пифагора:
С1 L=√ СС12- СL2=√22-(2)2=√8 =2√6 дм
(√3)2 √3 3
6. С1М1=А1С1*sin600=2*√3 =√3 дм
2
О1М1= С1М1- С1О1=√3-2 =1 дм
√3 √37.
СМ=АС*sin600=4*√3 =2√3 дм
2
ОМ= СМ – СО=2√3-4 =2 дм
√3 √38.Δ M1NM-прямоугольный, по теореме Пифагора:
M1М=√h2+MN2
MN= ОМ – ОN.
ОN= О1 М1=1 дм(О1 М1 NО-прямоугольник.)
√3
MN= ОМ – ОN= ОМ- О1 М1=2 - 1 =1 дм
√3 √3 √3M1М=√h2+MN2
M1М==√(2√3)2 +1 =√8 +1 =√9=√3 дм
(3)2 (√3)2 3 3 3Ответ: M1М=√3 дм, О1О=2√6 дм
3
Сегодня мы расширили свои знания по теме многогранник, познакомились с новой фигурой-пирамидой и её элементами, научились решать задачи применяя новые полученные знания.