Презентация для итогового повторения и подготовки к ЕГЭ по теме Теория вероятности

События А и В, связанные с некоторым опытом, называются совместными, если существует испытание, при котором реализуются оба события.События А и В, связанные с некоторым опытом, называются несовместными, если не существует испытания, при котором реализуются оба события.Пример. Пусть опыт состоит в бросании игральной кости. Рассмотрим три связанных с этим опытом события:А - число выпавших очков четноеВ - число выпавших очков нечетноеС -число выпавших очков делится на триСобытия А и В несовместны, так как не существует испытания, при котором выпавшее число очков будет одновременно и четным, и нечётным.События А и С совместны так как существует испытание (выпадение 6 очков), когда реализуется и А, и С.События В и С совместны так как существует испытание (выпадение 3очков), когда реализуется и В, и С.

P(A+B)=P(A)+P(B)  для несовместных А и ВP(A+B)=P(A)+P(B)Р(АВ) - для совместных А и ВСумма событий А+В – это событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В в данном испытании.Произведение событий АВ – это событие, состоящее в том, что произойдут оба события А и В в данном испытании. Решение:Эти события несовместны, то вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.0,25+0,1=0,35
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.0,35+0,2=0,55
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение:Рассмотрим событияА = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе станется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Другое решение.Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.События А и В не являются независимыми. Так как, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако по условию эта вероятность равна 0,12.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,35 + 0,35 − 0,2 = 0,5 вероятность что кофе закончится хотя бы в одном автомате1-0,5=0,5 – кофе останется в обоих автоматах
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,16= 0,44 вероятность что кофе закончится хотя бы в одном автомате1-0,44=0,56 – кофе останется в обоих автомата
Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.Например, монета брошена два раза. Вероятность появления «орла» в первом испытании (событие А) не зависит от появления или не появления «орла» во втором испытании (событие В ). В свою очередь, вероятность появления «орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события А и В независимые; если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.P(AB)=P(A)P(B)  для независимых А и В

Решение:Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. События попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,02048Ответ: 0,02.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.1-0,85=0,15 – вероятность, что промахнулся0,85*0,85*0,85*0,85*0,15=0,0783009Ответ 0,08
Решение:Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. так как события несовместные то вероятность что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.Решение:Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,25 · 0,04 = 0,01.Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,75 · 0,02 = 0,015. так как события несовместные то вероятность что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,01 + 0,015 = 0,025.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.Решение:Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,7 · 0,01 = 0,07.Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,3 · 0,03 = 0,009. так как события несовместные то вероятность что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,07 + 0,009 = 0,079.
Решение:Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение:Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,56 · 0,3 = 0,168.