Презентация по математике Теория вероятности в ЕГЭ

Рожкова Елена ВикторовнаТеория вероятности Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей. (Джеймс Максвелл)Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно-статистические закономерности


Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные: черепаха научиться говорит; вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит; ваш день рождения – 19 октября день рождение вашего друга – 30 февраля; вы выиграете участвуя в лотереи; вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи; вы проиграете партию в шахматы; на следующей недели испортиться погода; вы нажали на звонок, а он не зазвонил; после четверга будет пятница; после пятницы будет воскресенье.
m – число исходов, благоприятствующих событию n – число всех возможных исходов Какова вероятность того, что из 5 цыплят один будет синего цвета? Кубики1. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков?{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1-11-21-31-41-51-62-12-22-32-42-52-63-13-23-33-43-53-64-14-24-34-44-54-65-15-25-35-45-55-66-16-26-36-46-56-6Рассмотрим событие А, которое означает, что в сумме выпадет 6 очков.Количество равновозможных исходов – 36.Количество благоприятных исходов – 5.Р(А) = Монеты1. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.Решение. Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна: Деление на группы1. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?Решение. На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна ПроизводствоФабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится 15 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Ответ округлите до сотых. Решение: Обычная ошибка в таких задачах – вместо отношения 170 к 185 берут отношение 155 к 170 – связана зачастую с невнимательным прочтением условия задачи.Р(А)=170185=0,92  1. В квадрат со стороной, равной 1, бросают случайную точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25? Решение.Площадь всего квадрата равна 1.Множество точек, расстояние от которых до ближайшей его стороны не превосходит 0,25 – это закрашенная на рисунке часть квадрата (внутри данного квадрата расположен квадрат со стороной, равной 0,5).Площадь этой части равна 1-0,5² =0,75.Отсюда вероятность равна Р(А)= 0,75/1=0,75 Ответ: 0,75Разные задачи Деление на группы3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.Решение. Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.

ЗадачаОтвет: 7. Независимые событияСобытие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B.Пример 1. При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.Пример 2. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событийP(AВ) = P(А)⋅Р(В) Теорема произведения вероятностей 3. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.Решение. Начинает игру – О, не начинает - РТребуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. О Р ОВероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.Монеты Производство4. Номера российских автомобилей состоят из записанных последовательно одной буквы, трех цифр и двух букв. При этом используются только буквы АВЕКМНОРСТУХ. С какой вероятностью все цифры и все буквы в номере автомобиля будут разными?Решение.Количество всех исходов: 12 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 12 ∙ 12{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}БукваЦифраЦифраЦифраБукваБуква12 способов10 способов10 способов10 способов12 способов12 способовА: «Все цифры и все буквы в номере автомобиля будут разными»Количество благоприятных исходов: 12 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 11 ∙ 10{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}БукваЦифраЦифраЦифраБукваБуква12 способов10 способов9 способов8 способов11 способов10 способовР(А) = .Ответ: Решение:Сначала обозначим путь (или пути), которым паук достигнет выхода D. Так же красными точками обозначим развилки. То есть, это точки в которых паук выбирает один из двух путей.Разные задачи3. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D. 1. Найти вероятность поражения цели при совмест­ной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, B и С).Решение. Поскольку события А, В И С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формулеВыстрелы

Производство3. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Виды случайных событий События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании. Пример несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное;совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событийP(A+В) = P(А)+Р(В) Теорема сложения вероятностей Решение: Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него 0,4·0,9 = 0,36 или если схватит не пристрелянный револьвер и попадает из него 0,6·0,2 = 0,12Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.Выстрелы Разные задачи5. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. 0,38Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Производство6. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: 3. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели, вероятность попадания при первом выстреле равна 0.3, а при каждом последующем - 0.7.Сколько потребуется выстрелов для того, чтобы вероятность хотя бы одного попадания по цели была не менее 0.97?ВыстрелыРешение: Вероятность промахнуться (1-0,3)*(1−07)n; Полная система событий, следовательно попасть P=1- (1-0.3)*(1−07)n ≥ 0,97; Упростив , получим n ≥ 2,616240950Ответ n ≥ 3  Спасибо за внимание!