Урок по математике в 9-м классе Решение уравнений и систем уравнений

МбОУ Каминская СОШ
"Решение уравнений и систем уравнений"
Урок по математике в 9-м классе
Резник Ольга Федоровна учитель математики 1 квалификационной категории
17.10.2014

Цель урока:
Обобщение знаний учащихся, умений и навыков по решению уравнений различного вида и систем уравнений разными способами. Закрепить навыки решения уравнений, способствовать выработке умений при решении задач.
Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы; отработка способов решения уравнений и систем уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.
Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.
Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, развивать: интерес предмету.
Ход урока:
I. Вступление.
1. Вступление учителя:
“Математика в своей сущности достаточно таинственна и романтична и обладает особой красотой, но не каждому, к сожалению, суждено видеть эту красоту.
Проведем сегодняшний урок в открытой форме. И надо постараться провести его так, чтобы как математик Харди, который однажды произнес, и его слова остались бессмертными: “В мире нет места для некрасивой математики”.
2. Устный опрос
Учитель: решение систем уравнений 2ой степени сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним методы решения квадратных уравнений.
К таким методам относятся:
Разложение на множители;
Введение новой переменной;
Графический способ.
Разложение на множители:
Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.
Вспомним способы решения систем уравнений.
Способ сложения;
Способ подстановки.
3. Историческая справка
Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие?
Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия.
Обратимся к историческому путеводителю.
Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.
Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.
И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры
4. Математический диктант
Укажите коэффициенты a,b и с квадратного уравнения
а) ,
б) ,
в) .
2. Сколько корней имеет квадратное уравнение
а) ,
б) ,
в) ?
3. Запишите формулу корней квадратного уравнения.
Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в уравнении 2а для выполнения задания? (Нет, потому что свободный член этого уравнения отрицателен, при а >0, следовательно, дискриминант положителен).
Обратите внимание на уравнения 1в и 2б. чем они отличаются от остальных уравнений? (Старший коэффициент в каждом из этих уравнений равен 1). Такие уравнения имеют свое название. Какое?
5. Разминка (двое решают у доски)
1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого. Ответ: (-13;-21),(21;13)
2. Длина прямоугольника больше его ширины на 6 см. Найдите стороны прямоугольника, если площадь его равна 112 см2.
Ответ: (8;14)
6. Решить графически уравнение:
a) 8x=x-2;
б) x2=3x.
7. Каким способом лучше решать систему?
а) x2-2y2=14x2+2y2=18
б)x+y=5xy=68. Игра “Домино”.
Решить 4 системы уравнения и для каждого системы подобрать карточку с соответственными корнями этой системы. Сложить цепочку.
Ребята решают в парах.
1 вариант..5;2,2;-1x2+2y=6y=x-13;2y2-x=-1x=y+32;3,3;23x-2y=52x+5y=164;3,-2;6x+y=5xy=6 2 вариант.
4;2,2;4x2-2y=54y=x-38;5,-6;-9x2+y2=174y+x=04;-1,-4;1xy=8x+y=63;-12x+3y=35x+6y=9Перевернуть карточки. Должно получиться слово, если все сделано правильно. По порядку читаются слова.
На каждой карточке на обратной стороне написано слово из четверостишия. В результате получается фраза:
Не всегда уравненьяРазрешают сомненья,Но итогом сомненьяМожет быть озаренье.
А.Н.Колмогоров
9. Исследовательская работа “Трудная задача”.
1. Картина Богданова-Бельского “Трудная задача” известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той “трудной задачи”, которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:
(102 + 112 + 122 + 132 + 142)/365.
Задача в самом деле, нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.
Числа 10, 11, 12, 13, 14 обладают любопытной особенностью:
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.
Алгебра дает нам средство поставить вопрос об одной особенности ряда чисел более широко: единственный ли этот ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?
2. Решение: Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2
Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел, тогда уравнение будет иметь более простой вид
(x - 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2
x1 = 11; x2 = -1.
Существует, значит, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского
10,11,12,13,14;
и ряд
-2,-1,0,1,2.
Так как
(-2)2+ (-1)2+ 02 = 12+ 22.
10. Решение старинных задач “Математические жемчужины”.
Что есть лучшего? Сравнив прошедшее. Свести его с настоящим.
(Козьма Прутков)
Эта задача пришла к нам из далекого-далекого прошлого.
Жизнь Диофанта.
История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, подчеркнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Вот эта надпись.
На родном языке На языке алгебры
Путешественник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. xЧасть шестую его представляло прекрасное детство. x/6
Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. x/12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. x/7
Прошло пятилетие; он был осчасливен рождением прекрасного первенца сына. 5
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравнению с отцом. x/2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. x = x/6 + x/12 + x/7 + x/2 + 5 + 4
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?
Учащиеся, заполнив правый столбец таблицы, решая уравнения, находят, что x = 84, узнают следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года
11. Итоги урока, выставление оценок