Разработки уроков геометрии Геометрия 8 класс IIчасть по учебнику Л.С.Атанасяна

Урок 37РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Цели: закрепить изученный материал в ходе решения задач, проверить навыки решения задач с помощью признаков подобия.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
№ 613 (а) (по готовому чертежу проверить решение).
Решение

1) АВМ А1В1М1 (по третьему признаку подобия треугольников), так как по условию
и АМ = МС и А1М1 = М1С1,
поэтому .

2) А = А1.
3) АВС А1В1С1 по второму признаку подобия треугольников.
№ 613 (б).
Решение

1) АВН А1В1Н1 по первому признаку подобия треугольников.
Имеем .
2) По условию , поэтому .

3) АВС А1В1С1 по второму признаку подобия треугольников.
II. Решение задач.
№ 554 (устно).
№ 555 (а).

1) Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда MN = АР = 3х, а АМ = NP = 2х.
2) MВN PNС по I признаку подобия треугольников (MBN == PNС при АВ || PN и секущей ВС, MNВ = PСN при MN || АС и секущей ВС).

Имеем: ; ;
150 –30х –30х + 6х2 = 6х2; х = 2,5.
MN = AC = 3 · 2,5 = 7,5 (см), АМ = NP = 2 · 2,5 = 5 (см).
№ 562 (без записи в тетрадь по готовому чертежу).

1) Пусть NF = FK = MK = MN = х.
2) CFN СBA по I признаку подобия треугольников.
3) воспользоваться решением задачи № 543, то есть утверждением: в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам.

4) Имеем ; ; hx = ah – ax, x = .
III. Самостоятельная работа (проверочная).
Вариант I
1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD = 16 см и ВD = 9 см. Докажите, что АСD CВD и найдите высоту СD.
2. Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС треугольника АВС соответственно, АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ = 12 см, СN = 9 см. Докажите, что MN || ВС.
Вариант II
1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от гипотенузы АВ, равной 9 см, отрезок АD, равный 4 см. Докажите, чтоАВСАCD и найдите АС.
2. Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОВ = 15 см, ОС = 12 см, ОD = 10 см. Докажите, что АВСD – трапеция.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
1. Диагональ АC трапеции АВСD (АВ || СD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите SАВCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.
2. Угол В треугольника АВС в два раза больше угла А. Биссектриса угла В делит сторону АС на части АD = 6 см и СD = 3 см. Найдите стороны треугольника АВС.
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе; №№ 555(б), 605; вопросы 1–7, с. 160.
Для желающих: №№ 611, 563.
Урок 38КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала.
Ход урока
I. Краткий анализ самостоятельной работы и ее результаты.
II. Организация учащихся на выполнение работы.
III. Выполнение работы по вариантам.
Вариант I
1. На рисунке 1 АВ || СD. а) Докажите, что АО : ОС = ВО : ОD. б) Найдите АВ, если ОD = 15 см, ОВ = 9 см, СD = 25 см.
2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, KM = 10 cм, MN = 15 см, NK = 20 см.
Вариант II
1. На рисунке 2 MN || АС. а) Докажите, что АВ · BN = CВ · BM. б) Найдите MN, если AM = 6 см, ВM = 8 см, АС = 21 см.
2. Даны стороны треугольников PQR и АВС: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см и АВ = 12 cм, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
1. Докажите, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон.
2. Даны отрезок АВ и параллельная ему прямая а. Воспользовавшись утверждением, доказанным в задаче 1, разделите отрезок АВ пополам при помощи одной линейки.

Рис. 1 Рис. 2
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: повторить § 2 главы VII и теорему Фалеса.
Урок 39СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Цели: ввести определение средней линии треугольника, сформулировать и доказать теорему о средней линии треугольника; рассмотреть решение задач на применение этой теоремы и задачу о свойстве медиан треугольника.
Ход урока
I. Анализ контрольной работы. II. Решение задач.

1. АО : ОС = ВО : ОD. Докажите, что АВСD – трапеция или параллелограмм.
Решение
По второму признаку подобия треугольников АВО CОD, поэтомуBАО = ОСD, тогда АВ || DС.
АВСD – трапеция.


2. М и N – середины сторон АВ и ВС. Докажите, что MN || АС.
Решение
По второму признаку подобия треугольников АВС МВN, поэтомуBMN = АВС, тогда MN || AС.

III. Объяснение нового материала.
1. Дать определение средней линии треугольника.
2. Сформулировать теорему о средней линии треугольника.
3. Доказательство теоремы можно предложить учащимся провести самостоятельно.
IV. Закрепление изученного материала.
1. № 564 (устно).
2. № 567.

Решение
1) MN – средняя линия АВD. MN || DВ и MN = DВ.
2) РQ – средняя линия СВD. PQ || DВ и PQ = DВ.
3) Имеем MN || DВ и PQ || DВ, поэтому MN || PQ.

4) Получили MN
·
·PQ и MN = PQ = DВ, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм.
3. Задача 1 из § 3, с. 146–147 учебного пособия.
4. № 570.

Решение
1) АМО СDО (по двум углам MАО = DСО и АОМ == СОD).
2) .

V. Итоги урока.
Если АМ = МВ и МN = NC, то MN || ВC, MN = BC.


АА1, СС1, ВВ1 – медианы треугольника АВС.
(считать от вершины).

Домашнее задание: вопросы 8, 9, с. 160; №№ 565, 566, 571. № 571.

1) Пусть СС1 – медиана треуголь-ника АВС, СD и ОЕ – высоты треугольников АВС и АОВ.
2) Так как , то , то есть СD = 3 · ОЕ.
3) SАВС = 3SАОВ = 3S.

Урок 40СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВО МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА
Цель: закрепить изученный материал в ходе решения задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Три человека готовят решение задач № 565, № 566, № 571.
2. Остальные работают в это время устно:
1) Какие из отрезков являются средними линиями треугольника?


2) Сколько средних линий можно провести в треугольнике? Чему равен периметр полученного с помощью средних линий треугольника?
3) а) DЕ = 4 см, АВ – ?
б) DС = 3 см, DЕ = 5 см, СЕ = 6 см,
АВ – ?, ВС – ?, АС – ?

II. Решение задач.
№ 568 (а).
Решение

1) РМ || АC и РМ = АС.
2) KН || АC и KН = АС.
3) РМ || KН и РМ = KН, поэтому PMНK – параллелограмм.
4)РВМ=НСМ=НDK = РАK по двум катетам.
5) РMНK – ромб.

№ 617.
Решение

1) Аналогично доказывается, что MNQP – параллелограмм,
2) MQСD – параллелограмм, так как МD = QC, МD || QC, поэтому MQ = DС.
3) Аналогично в параллелограмме NBCP NP = ВС.
4) Имеем MQ = DС = ВС = NP.
5) Параллелограмм MNQP – прямоугольник.

III. Проверочная самостоятельная работа.
Вариант I
Площадь ромба 48 см2. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.
Вариант II
Площадь прямоугольника равна 36 см2. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.
Вариант III (для более подготовленных учащихся)
Площадь равнобедренной трапеции равна 40 см2. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данной трапеции.
IV. Итоги урока. Домашнее задание: № 568 (б), № 569.
Урок 41ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ
Цель: рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Один ученик у доски записывает решение № 618:

1) MN – средняя линия ВСD, МN || BD и MN = BD.
2) ВМК DАК (по двум углам).
.

3) ВD = ВK + KD, ВD = ВK + 2ВK, ВK = ВD.
4) АМN АKЕ (МN || BD).
, 2MN = 3KE.
5) ВD = 2 МN = 3KЕ, то есть KЕ = ВD.
6) ВK = KЕ = ЕD = ВD.
2. Остальные работают в это время устно:

АА1, ВВ1, СС1 – медианы АВС.
Докажите, что
а) ;
б) ;
в) .

II. Объяснение нового материала.
1. Ввести понятие среднего геометрического (среднего пропорционального) двух отрезков.
2. Решить устно задачи:
а) Найти длину среднего геометрического отрезков АВ и СD, если АВ = 8 см, СD = 50 см.
б) Найти длины отрезков KL и MN, если один из них в четыре раза больше другого, а длина их среднего пропорционального равна 12 см.
3. Устно: доказать, что

а) АВС АСD;
б) АВС СВD;
в) СВD АСD.

4. Из доказанного обосновать:
а) CD = .
б) AC = .
BC = .
5. Дать запись:




III. Закрепление изученного материала.
№ 572 (а, в).
а) Решение.
h = = 5
· 4 = 20.
c = ac + bc = 25 + 16 = 41.
a = .
b = .
в) Решение.
b = ; b2 = c
· bc, 144 = c
· 6, c = 24.
c2 = a2 + b2; 576 = a2 + 144; a2 = 432; a = 12.
a = ; a2 = c
· ac; 432 = 24
· ac; ac = 18.
№ 573 (устно).
ac = ; bc = .
№ 574 (а). I способ.
Решение

II способ.
Решение
или .
№ 575.
1) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда а = 3k, b = 4k.
По теореме Пифагора с2 = а2 + b2;
502 = 9k2 + 16k2 ;
k2 = 100;
k = 10;
a = 30 (мм), b = 40 (мм).
2) ac = = 18 (мм);
bc = = 32 (мм).
№ 578. (Решена в учебнике.) Законспектировать в тетрадях.
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 161; №№ 572 (б), 574 (б), 573.
Решение
Пусть АВ = 6х, тогда ВС = 5х.

По теореме Пифагора
AC = ===.
По доказанному в задаче № 573
AO = , OC = ,

AO – OC = = x.
АО – ОС = 11, поэтому .
АС = 61 см.
Урок 42ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Цель: закрепить изученный материал при решении задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Выполнить задание (устно): найдите неизвестные элементы прямоугольного треугольника:

(м).
.
(м).
(м).

(м).
2. Рассмотреть решение задачи № 576.
II. Решение задач.
1. № 577.
Решение
Треугольник является прямоугольным, так как в нем выполняется теорема Пифагора:
132 = 122 + 52.
2) Пусть DВ = х см, тогда
СВ2 = DВ · АВ; 25 = х · 13, х = 1 (см).
АD = АВ – DВ = 13 – 1 = 11 (см).


2. Решить (устно): АА1 || ВВ1 || СС1. Найти х и у.

3. № 384. Решена в учебном пособии, с. 149.
4. № 585 (а).
5. № 614.
Решение

1) АОD ВАD, поэтому1 = 2, тогда
2) АDС ВАD
;
CD = = 2 (см).

3) АВD, А = 90°, по теореме Пифагора: ВD = == (см).
4) ВСK, K = 90° по теореме Пифагора
ВС = == (см).
III. Итоги урока.






Домашнее задание: №№ 585 (в), 607, 623; подготовиться к самостоятельной работе.
№ 623. (Комментарий учителя обязателен.)

Воспользоваться задачей № 556.
Пусть ОА = а; ОС = с; ВС = b.АС || ВD, АD – искомый отрезок.


Для желающих.
Доказать, что в прямоугольном треугольнике квадрат медианы, проведенной к катету, равен разности квадрата гипотенузы и трех четвертей квадрата соответствующего медиане катета.
Решение

1) В АСD, С = 90°, по теореме Пифагора ;
2) в АСВ по теореме Пифагораb2 = c2 – a2;
3) Имеем ;
.

Урок 43ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ
Цели: проверить степень усвоения учащимися изученного материала и умения применять его к решению задач; рассмотреть решение задач на построение методом подобия.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Проверочная самостоятельная работа.
Скомпоновать для каждого ученика вариант из таблицы.
Таблица
Элементы прямоугольного треугольника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

a
6
5




1


12



b
8

24





40

5


c

13
25
100
29






10

hc







144
8


4,8

ac



36

3

108

7,2
5


bc




15
13







Ответы:
1) 10; 4,8; 3,6; 6,4.
2) 12; 4; 1; 11.
3) 7; 6,72; 1,96; 23,04.
4) 60; 80; 48; 64.
5) 20; 21; 14; 13.
6)
7) 3;
8) 180; 240; 300; 192.
9) 9; 41; 1; 39.
10) 16; 20; 9,6; 12,8.
11)
12) 8; 6; 6,4; 3,6.
Можно организовать тесты с выбором ответа. Второе или третье задание самостоятельной работы может быть таким: начертите отрезок и разделите его в отношении а : b.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

а
2
4
3
5
2
3
5
4
2
3
6
5

b
7
5
8
3
6
7
6
3
5
6
4
2


III. Объяснение нового материала.
1. Вспомнить с учащимися задачи на построение.
Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте а) медиану АМ, биссектрису АD и высоту АН треугольника АВС; б) прямую BN, параллельную медиане АМ. (Нет необходимости требовать, чтобы учащиеся фактически выполнили все построения циркулем и линейкой, достаточно, если они укажут в каждом случае последовательность выполнения операций.)
2. Задача 3 из п. 64.
IV. Решение задач.
№ 589.
Решение



Дано: Анализ (устно). Пусть АВС – искомый. Тогда любой треугольник А1В1С1, в котором А1В1 || АВ (А1 АС, В1 ВС), подобен треугольнику АВС по первому признаку подобия (А1 = А, С – общий). Следовательно, А1В1 : А1С = 2 : 1. А1 = hk. Таким образом, достаточно построить какой-нибудь треугольник А1В1С, в котором А1В1 : А1С = 2 : 1, А1 = hk, а затем отложить на луче СВ1 отрезок СВ = PQ и через точку В провести прямую, параллельную прямой А1В1. Точка А пересечения этой прямой с прямой А1С является вершиной искомого треугольника.


Построение.
1. Строим угол МА1N, равный данному углу hk.
2. Отмечаем произвольную точку С на луче А1N.
3. На луче А1М откладываем отрезок А1В1, равный 2А1С.
4. На луче СВ1 откладываем отрезок СВ, равный данному отрезку РQ.

5. Через точку В проведем прямую, параллельную А1В1. Она пересекает прямую А1С в точке А. Треугольник АВС – искомый.
Доказательство. АВС А1В1С1 по двум углам (А = А1 == hk, так как АВ || А1В1, С – общий), поэтому АВ : АС = А1В1 : А1С == 2 : 1. Треугольник АВС – искомый, так как А = hk, ВС = РQ по построению АВ : АС = 2 : 1.
Исследование (устно). Указанный способ решения задачи показывает, что задача всегда имеет решение. Все треугольники, удовлетворяющие условиям задачи, подобны по второму признаку подобия треугольников. (А = hk, АВ : АС = 2 : 1), следовательно, их углы соответственно равны, а так как в любом из этих треугольников ВС = РQ, то все они равны по второму признаку равенства треугольников. Таким образом, задача имеет единственное решение.
V. Итоги урока.
Домашнее задание: вопрос 12, с. 161; №№ 586, 587 (обязательно прокомментировать).
№ 586.
Дано: А, В, В > А, АK – биссектриса А.
Построить АВС.




Построение.
1) От произвольного отрезка АР отложим углы А и Р = В.
2) Точка О пересечения сторон углов А и Р.
3) Разделим А пополам биссектрисой АМ.
4) На луче АМ отложим отрезок АK.
5) Проведем через точку K прямую СВ || ОР.
6) Полученный треугольник АВС – искомый.
№ 587.
Решение
Дано: А, В, Н – высота, проведенная из вершины С.
Построить АВС.




Построение.
1) От произвольного отрезка ЕF отложим углыЕ = А, F =B.
2) C – точка пересечения сторон Е и F, отличных от EF.
3) Из точки С опустим перпендикуляр к отрезку EF.
4) О – точка пересечения перпендикуляра и отрезка ЕF.
5) От точки С на луче СО отложим высоту СD = Н.
6) Проведем через точку D прямую АВ || EF до пересечения с продолжением отрезков СЕ и СF.
7) Полученный треугольник АВС – искомый.























Урок 44ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ ПОДОБИЯ
Цель: закрепить умение решения задач на построение методом подобия.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Рассмотреть решение задач № 586, № 587.
II. Анализ самостоятельной работы.
III. Решение задач.
№ 590.
Решение
Дано:

Построить: АВС, С = 90°, АВ = PQ, .
Анализ. Задачу будем решать методом подобия. Сначала можно построить какой-нибудь прямоугольный треугольник АВ1С1 (С1 = 90°) так, чтобы , а затем, используя условие АВ = PQ, построить искомый треугольник АВС.

Построение.
1. Строим треугольник АВ1С1 так, чтобы С1 = 90°, С1А = Р1Q, С1В1 = Р2Q2 (п. 38, зад. 1).
2. На луче АВ1 отложим отрезок АВ = РQ.
3. Через точку В проведем прямую, параллельную В1С1. Она пересекает луч АС1 в точке С. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство.
АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (А – общий, С = С1, так как ВС || В1С1), поэтому С = 90°, .
Сторона АВ равна данному отрезку PQ по построению. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.
Исследование.
Из построения следует, что задача при любых данных отрезках PQ, Р1Q1 и P2Q2 имеет решение. Задача имеет единственное решение. В самом деле, если А1В1С1 и А2В2С2 удовлетворяют условиям задачи, то они подобны, а так как А1В1 = РQ, А2В2 = РQ, то А1В1 = А2В2 и, значит, А1В1С1 = А2В2С2.
№ 622.
Дано: АВС.
Построить А1В1С1 : = 2SАВС и А1В1С1 АВС.
Построение.
1) Построим АВF так, чтобы АВ ВF и BF = АВ (как описано в задаче № 290).
2) Построим АCЕ так, чтобы СЕ АС и СЕ = АС аналогично.
3) На лучах АВ и АС отложим соответственно отрезки АВ1 = AF и АС1 = АЕ.
4) Проведем отрезок В1С1.
5) Тогда АВ1С1 – искомый.


Доказательство.
1) По теореме Пифагора


2) по построению AB1 = AF = AB.
AC1 = AE = AC.
3) .
4) А1В1С1 АВС (по второму признаку).
5) = 2.
Поэтому АВ1С1 удовлетворяет всем условиям задачи.
IV. Самостоятельная работа.
Вариант I
Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведенной из вершины этого угла.
Вариант II
Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и биссектрисе прямого угла.
Вариант III(для наиболее подготовленных учащихся)
Постройте ромб по стороне и данному отношению 3 : 4 его диагоналей.
V. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 8–12 на с. 160–161; № 588, прочитать п. 65.
№ 588.
Дано: А, , AM – медиана.
Построить:
·АВС.
Построение.





1) На произвольной прямой отметим произвольно точку А и отложим А.
2) Пусть а – произвольный единичный отрезок.
3) На сторонах А отложим отрезки АВ1 = 2а и АС1 = 3а.
4) Проведем В1С1 и разделим его пополам точкой О.


5) Проведем луч АО и отложим отрезок АМ.
6) Через точку М проведем прямую b || B1C1; точки пересечения со сторонами угла А обозначим В и С.
7) АВС – искомый.
Доказательство.
1) АВС АВ1С1 (A – общий, AВ1С1 = AВС, как соответственные при ВС || B1C1 и секущей АВ).
2) .
3) Аналогично доказывается, что = 1.
4) Полученный АВС – искомый, так как АМ – медиана, по доказанному.
Урок 46СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Цели: ввести понятия синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника; вывести формулу тангенса угла как отношения синуса к косинусу этого угла и основное тригонометрическое тождество.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания и анализ самостоятельной работы.
II. Объяснение нового материала.
Изложить в виде лекции содержание пункта 66.
III. Закрепление изученного материала.
Выполнить №№ 591 (а, б), 592 (а, в, д), 593 (а).
IV. Итоги урока.




Домашнее задание: вопросы 15, 16, 17, с. 161; №№ 591 (в, г), 592 (б, г, е), 539 (б).
Для желающих.
Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов 2 : 3 и по его периметру.
Указание. Отрезок, равный периметру, разделить в отношении 2 : 3 : и построить треугольник по трем сторонам.



















Урок 45значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Цель: найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° и других углов.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1.


Записать sin
·, cos
·, tg
· для данных треугольников.
2. Катеты треугольника равны 3 см и 4 см. Чему равны синусы его острых углов.
3. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника равна 10 см, а катет ВС равен 8 см. Чему равны тангенсы его острых углов?
II. Объяснение нового материала.
1. Выполнить устно:

АВСD – параллелограмм.
Найти: SABCD.




АВСD – прямоугольная трапеция.
Найти: SABCD.




Найти: ВK.



2. Вычислить значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° и занести их в таблицу.
3. Показать, как пользоваться микрокалькулятором для вычисления значений других углов.
III. Закрепление изученного материала.
№ 593 (а) – для значения
· = 30°, № 593 (б) – для значений
· = 45°(устно), №№ 601, 594, 597 (б), 598 (а).
№ 594.

Дано: а) АВС, С = 90°,
АС = b, В =
·.
Найти: ВС, АВ, А.
Решение
1. .

2. AB = .
3. А = 90° –
·.
Дано: б) АВС, С = 90°, b = 10 cм,
· = 50°.
Найти: ВС, АВ, А.
Решение
1. BC =
· 8,39 (см).
2. AB =
· 13,05 (см).
3) А = 90° –
·.
№ 597 (б).
Решение

1) (см).
tg
· = = 1,25;
·
· 51°21,
tg
· = = 1,25;
·
· 38°39
или
· = 90° – 51°21 = 89°60 – 51°21 = 38°39.

№ 598.
Решение

1) sin
· = ; BO = AB sin
· = b sin
·. 2) cos
· = ; AO = AB cos
· = b cos
·.
3) S
·АВС = BO
· AC = BO
· AO.
4) S
·АВС = b sin
· · b cos
· = b2sin
· cos
·.

IV. Итоги урока.

Для вычисления неизвестных элементов(сторон или углов) прямоугольного треугольника используют определения синуса, косинуса и тангенса острого угла:


Здесь: а – катет, противолежащий углу
·;
b – катет, прилежащий к углу
·;
с – гипотенуза.
При решении задач необходимо: выбрать нужную формулу, подставить в нее известные величины, вычислить неизвестную величину, решив полученное уравнение.
Домашнее задание: вопрос 18, с. 161; №№ 595, 596, 598 (б); подготовиться к самостоятельной работе по § 3.











Урок 48СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.
Цели: повторить и обобщить изученный материал, выработать умение учащихся применять изученный материал при решении задач; подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Выполнить задания устно: найти х.
1)
2)
3)

4)
5)
6)

7)
8)
9)

II. Решение задач.
№ 601.
Решение
1) АОВ = СОВ = СОD = АОD (по двум катетам).
2) tgBCO = . BCO = 30°.

3) ОBC = 90° – BCO = 90° – 30° == 60°.
4) BCD = 2BCО = 30 · 2 = 60° == BАD.
АBC = 2ОBC = 60 · 2 = 120° == АDС.

№ 602.
Решение

1) tgBCА = ; BCА = 30°.
2) BАС = 90° – 30° = 60°.
3) САD = BСА = 30°.
DСА = BАС = 60°.

III. Самостоятельная работа.
Вариант I
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.
Вариант II
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
В треугольнике АВС АС = ВС, cos
· = . Найдите отношение высот АМ и CN треугольника АВС.
Можно проверить решение на этом же уроке с помощью закрытой доски.
Вариант I
Решение
1) B = С = 120°.
АBЕ = 120° – 90° = 30°.

соsАBЕ = .
; BE = 3 (см).
2) sinАBЕ = ; AE = 3 (см).
3) АD = ВС + 2АЕ = 4 + 2 · 3 = 10 (cм).

4) SАВСD = (см2).
Вариант II
Решение

1) ЕCD = BCD – BCЕ = = 150° – 90° = 60°.
sinЕСD =
ED = 2 (см).
2) сosЕCD = ;

; CE = 2 (см).
3) АD = ВС + ЕD = 3 + 2.
4) SАВСD =
· 2 = 6 + 2 (см2).
Вариант III
Решение

1) АМВ, М = 90°,
сosВ = ;
AM = ;
2) СNВ, N = 90°,

сosВ = ;
3) sinВ = ;
;
;
.
4) .
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 8–18, с. 160–161; №№ 603, 621, 626; подготовиться к контрольной работе.
Для желающих.
Радиомачта укреплена стальными канатами, наклоненными к земле под углом в 64°. Основание каждого каната удалено от мачты на 350 м. На какой высоте укреплены на мачте верхние концы канатов?

Решение
АВD, D = 90°,
tgА = ; BD = AD tgА,
ВD = 3,5 · 2,05
· 7,2 (м).




Урок 50Контрольная работа № 4
Цель: проверить знания и умения учащихся в решении задач и применении изученного материала.
Ход урока
I. Организация учащихся на выполнения работы.
II. Выполнение работы по вариантам.
Вариант I
1. В прямоугольном треугольнике АВС А = 90°, АВ = 20 см; высота АD = 12 см. Найдите АС и cos C.
2. Диагональ ВD параллелограмма АВСD перпендикулярна к стороне АD. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если АВ = 12 см,А = 41°.
Вариант II
1. Высота ВD прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DС, равный 18 см. Найдите АВ и соs A.
2. Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 3 см и составляет со стороной АD угол 37°. Найдите площадь прямоугольника АВСD.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
1. Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСD перпендикулярна к боковой стороне СD. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 10 см и 8 см.
2. Найдите отношение высот BN и AM равнобедренного треугольника АВС, в котором угол при основании ВС равен
·.
III. Итоги урока.
Домашнее задание: повторить п. 21 «Окружность», п. 37 «расстояние между двумя точками и от точки до прямой».
Для желающих.
С наблюдательной вышки А, находящейся на высоте 370 м над уровнем моря, ведется наблюдение за тонущей рыбачьей шхуной В и спасательным судном С, движущимся к ней на помощь со скоростью 30 км/ч. Рыбачья шхуна видна с вышки под углом 4°48, а спасательное судно – под углом 36°30 к горизонту. Успеет ли судно вовремя подоспеть на помощь к шхуне, если, по полученным сведениям, она может продержаться на поверхности воды около 30 минут?
Решение

АОВ, О = 90°
tgВ = ; OB =
· 4,405 км.
АОС, О = 90°
tgС = ; OC =
· 0,5 км.
СВ = ОВ – ОС = 4,405 – 0,5 = 3,905 км
t = = 0,13 (ч).
Ответ: успеет.
Урок 51ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
Цель: рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.
Ход урока
I. Анализ контрольной работы. II. Решение задач.
Решить устно:
1. Радиус окружности 5 см.
Найдите расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равную 8 см.
d = = 3 (см).



2. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности с центром О радиуса r, если а) ОА = 12 см, r = 8 см;б) АО = 6 см, r = 8 cм.
а)
АВ = ОА – r;
АВ = 12 – 8 = 4 (см).
б)
АВ = r – ОА;
АВ = 8 – 6 = 2 (см).

3. Докажите, что АВ < АВ1, используя неравенство треугольника.

Имеем ОА < ОВ1 + АВ1
ОВ + АВ < ОВ1 + АВ1, так как ОВ = ОВ1 = r, то АВ < АВ1.

III. Изучение нового материала.
Изложить весь материал п. 68 в виде небольшой лекции.
При обосновании утверждения о том, что прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек, полезно сделать рисунок.
IV. Закрепление изученного материала. Решить № 631 (а, г, д) – устно, № 632.
№ 632. Решение
Дано: окружность с центром в точке О и радиусом r, ОА < r.
Доказать: любая прямая р, проходящая через точку А – секущая.

1) Через точку А проведем произвольную прямую р, найдем расстояние от точки О до прямой р. Для этого проведем ОР р.
2) АОР, Р = 90°. Катет ОР меньше гипотенузы АО, АО < r по условию, значит, ОР < r , следовательно, прямая р – секущая. В случае если АО р, но АО < r, прямая р также является секущей.

V. Итоги урока.

d < r, прямая а – секущая.


d = r, прямая а имеет с окружностью одну общую точку.


d > r, прямая а не имеет общих точек с окружностью.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 187; № 631 (б, в) – устно, № 633; сделать работу над ошибками в контрольной работе.
Урок 52КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Цели: ввести определение касательной к окружности; рассмотреть свойство касательной и свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Выполнить устно.
По данным рисунка укажите взаимное расположение:

а) прямой АВ и окружности радиуса 1с центром С;
б) прямой ВС и окружности радиуса 2с центром А;
в) прямой АС и окружности радиуса ВСс центром В.

II. Изучение нового материала.
1. Определение касательной к окружности.
2. Свойство касательной к окружности.
доказывают учащиеся самостоятельно.
3. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.
доказывают учащиеся самостоятельно.
III. Закрепление изученного материала.
Решить № 635 (устно), №№ 639, 646, 636, 645.
IV. Итоги урока.
1) Прямая а – касательная к окружности.
2) r a.


АВ, АС – касательные к окружности 1 = 2 и АВ = АС.

Домашнее задачи: вопросы 3–7, с. 187; №№ 634, 638, 640; самостоятельно доказать признак касательной; подготовиться к самостоятельной работе по § 1.


Урок 54ГРАДУСНАЯ МЕРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Цель: рассмотреть градусную меру дуги окружности.
Ход урока
I. Анализ самостоятельной работы.
II. Объяснение нового материала.
Материал лучше дать в виде короткой лекции. Желательно, чтобы в тетрадях учащихся остался конспект этой лекции.

АОС, ВОС, АОВ – центральные углы;
АВ и АСВ – полуокружности;
АС и ВС меньше полуокружности;
ВАС и АВС больше полуокружности;
АС = АОС; ВС= ВОС; АВ == АСВ = АОВ.

ВАС = 360° – ВОС; АВС = 360° – АОС;
АС + АВС = АОС + (360° – АОС) = 360°.
III. Закрепление изученного материала.
Решить № 650 (а, в) – устно, № 651 (а), № 716.
№ 716. Решение

АВ = АОВ, СD = СОD, по условию АВ = СD, следовательно, АОВ == СОD.
Поэтому АОВ = СОD по двум сторонам и углу между ними.
(АО
·= ВО = СО = DО и АОВ = ОD.) Тогда АВ = СD.

IV. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 8, 9, 10, с. 187; №№ 650 (б), 651 (б), 652.
Для желающих.
1. Из точки, кратчайшее расстояние которой до окружности равно 25 мм, проведена к окружности касательная. Отрезок этой касательной между данной точкой и точкой касания равен 35 мм. Найти длину диаметра окружности.
Решение

АОВ, В = 90°.
По теореме Пифагора
ОА2 = ОВ2 + АВ2
(R + АC)2 = R2 + АВ2
(R + 25)2 = R2 + 352
R2 + 50R + 625 = R2 + 1225
R = 12.

Длина диаметра равна 24 мм.
2. Из точки, наибольшее расстояние которой до окружности 50 мм, проведена к окружности касательная. Отрезок этой касательной между точкой касания и данной точкой равен 40 мм. Найти длину диаметра окружности.
Решение

АВО, В = 90°.
По теореме Пифагора
ОА2 = АВ2 + ОВ2
(50 – R)2 = 402 + R2
2500 – 100R + R2 = 1600 + R2
R = 9

Длина диаметра окружности 18 мм.
Урок 51КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Цели: способствовать применению учащимися полученных знаний при решении задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Привести доказательства признака касательной к окружности.
Заслушать одного ученика.
II. Решение задач.
1. Две окружности разных радиусов внешне касаются. Докажите, что отрезок их общей касательной, заключенный между точками касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами этих окружностей.

ДОО1С, С = 90°
ОО1 = R + r
CО = R – r

= (r + R)2 – (R – r)2 == r2 + 2rR + R2 – R2 + 2rR – r2.


.
2. Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные к ней. Третья касательная пересекает первые две в точках С и D. Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен произведению отрезков СА и ВD.

Решение
1) Очевидно, что
·СОD – прямоугольный.
2) ОK2 = СK · KD, но АС = СK, ВD = KD, поэтому ОK2 = АС · ВD.

III. Самостоятельная работа.
Вариант I
1. KМ и KN – отрезки касательных, проведенных из точки K к окружности с центром О. Найдите KМ и KN, если ОK = 12 см, МОN = 120°.
2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ВD касается окружности с центром А и радиусом, равным ОС.
Вариант II
1. Найдите отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности радиуса r, если r = 9 cм. ВАС = 120°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВD. Докажите, что прямая ВD касается окружности с центром с и радиусом, равным АD.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
1. Прямые АВ, АС, MN – касательные к окружности. Найдите отрезки касательных АВ и АС, если периметр треугольника АMN равен 24 см.

2. Отрезок СD – высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла С. Найдите радиус окружности с центром А, которая касается прямой СD, если СD = 4 см, АВ = 12 см.
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 1–7, с. 187; № 648.
Для желающих.
Две окружности разных диаметров внешне касаются. К ним проведены две общие касательные АС и ВD, где А и В – точки касания с первой окружностью, а С и D – со второй. Докажите АСDВ – равнобокая трапеция.
































Урок 55ТЕОРЕМА О ВПИСАННОМ УГЛЕ
Цели: ввести понятие вписанный угол; доказать теорему об измерении вписанных углов и следствие из нее.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Выполнить устно:

1. ВС = 70°.
Найти углы АВО.


2. KМ – биссектриса угла АKВ. Доказать: ОМ биссектриса угла АОВ.

II. Объяснение нового материала.
1. Ввести понятие о вписанном угле. На закрепление этого понятия рассмотреть задание:
1) какие углы являются вписанными на рисунках?

2) На какую дугу опирается вписанный угол?
2. Разобрать только первый случай возможного расположения центра окружности относительно сторон угла.
3. Обсудить доказательство двух других случаев и оставить на самостоятельное рассмотрение.
4. Обсудить идею, на которой основано доказательство двух следствий из теоремы, и предложить учащимся самостоятельно провести его.
III. Закрепление изученного материала.
Выполнить №№ 653 (устно), 654 (устно), 655, 656, 658, 659 (устно), 661.
№ 656.
Решение

По теореме о величине вписанного угла ВАС = ВС. Рассмотрим два возможных случая расположения точки С на окружности:
1) точка С АВ;
2) точка С АВ.

В первом случае обозначим точку С через С1, во втором через С2.
1) ВС1 = 360° – АС – АВ = 360° – 43° – 115° = 202°, ВАС1 ==
· 202 = 101°,
2) ВС2 = АВ – АС2 = 115° – 43° = 72°, ВАС2 =
· 72 = 36°.
Ответ: 101°, 36°.
№ 658.
Решение

1) ВОD = ВD, АОD = 180°.
АОВ = АОD – ВОD == 180° – 110°20.
АОВ = 69°40.
2)АОВ–прямоугольный, ОВА = 90°. АОВ + ВАО = 90°.

Тогда ВАD = ВАО = 90° – АОВ = 90° – 69°40.
ВАD = 20°20.
3) ВОD – равнобедренный с основанием ВD, так как ВО = ОD, тогда ОВD = ОDВ как углы при основании.
4) ОDВ = = 34°50.
5) АDВ = ОDВ = 34°50.
№ 661.
Решение

1) По теореме о величине вписанного угла АСD = AD.
ВАС = BC.
2) АОС: АОС + ОАС + АСО = 180°

ОАС = 180° – ВАС.
3)АОD=АОС=180°–ОАС–АСО=180°–(180°–ВАС)–АСD=ВАС–АСD=(BC – AD) = (140° –– 52°) = 44°.
IV. Итоги урока.
Угол, вписанный в окружность, равен половинесоответствующего центрального угла


АСВ =
· АDВ =
·
1 = 2 = 3 = 4
АВ – диаметр, АСВ – прямой.
Домашнее задание: вопросы 11, 12, 13, с. 187; №№ 657, 660, 663; повторить I признак подобия треугольников.
Для желающих: №№ 662, 664.
Урок 56ТЕОРЕМА ОБ ОТРЕЗКАХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД
Цели: рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд и применение изученного материала при решении задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. найти градусную меру угла АВС (устно):



2. Рассмотреть решение задачи № 664.
II. Изучение нового материала.

1. Докажите, что АМС DМВ.

2. Доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.
III. Закрепление изученного материала.
Решить №№ 666 (а; б), 668, 670, 671 (а), 673.
№ 668.
Решение

1) АСВ – вписанный и опирается на полуокружность, следовательно, АСВ = 90°.
2) СD = .

№ 670.
Решение

1) АВР = АQВ, так какАВР = ВР (задача № 664) и АQВ = BP.
2) АВР АQB по двум углам(угол А – общий и АВР = АQB).

3) , AB2 = AP · AQ.
№ 671 (а). Для решения использовать задачу № 670.
№ 672.
Решение

1. Проведем касательную к окружности через точку А. Имеем АВ – касательная к окружности.
2. АС1 и АВ – секущая и касательная, значит, АВ2 = АВ1 · АС1
3. АС2 и АВ – секущая и касательная, поэтому АВ2 = АВ2 · АС2.
4. АВ1 · АС1 = АВ2 · АС2.

IV. Итоги урока.

1) АD и СВ – хорды;АЕ · ЕD = СЕ · ЕD.


2) АС – касательная; АВ – хорда;САВ = АВ.


3) АВ – касательная; AQ – секущая;АВ2 = АР · AQ.


4) АС1 и АС2 – секущие;АВ1 · AС1 = АВ2 · АС2.

Домашнее задание: вопросы 1–14, с. 187; №№ 666 (б), 667, 671; подготовиться к самостоятельной работе.
Для желающих: № 718 (решение в учебном пособии, с. 188–189) и задача.
Задача.
Через конец В диаметра АВ проведена секущая, которая пересекается в точке D с касательной, проведенной через другой конец диаметра А; радиус окружности равен 3 см. Найти длину отрезка касательной АD, если известно, что секущая ВD в точке пересечения с окружностью делится пополам.
Решение

1. 3 = AD, 1 = AD, 1 == 3.
2. АDС: 3 + 4 + АDС = 180°;
Из АВС: 4 = 90° –
·1; но 1 = 3, поэтому 4 = 90° – 3.
Имеем 3 + 90° – 3 + АDС = 180°
·
АDС = 90°.

3. Получили АВС равнобедренный, так как АD – медиана и высота.
4. АВ = АС = 6 см.
№ 667.
Решение

1) АВА1 – прямоугольный, так как вписанный угол А1ВА опирается на полуокружность.
2) 5 = 3 как вписанные и опирающиеся на одну дугу АВ1.
3) 1 = 90° – 5, 4 = 90° – 3, но 3 = 5, поэтому 1 = 4.
4) А1ВВ1 – равнобедренный, тогда ВС = В1С.

5) По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд АС ·· А1С = ВС · В1С.
ВС2 = АС · А1С, ВС = .
6) ВС = (см); BB1 = 8(см).








Урок 57РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: учить применять полученные знания при решении задач; способствовать развитию навыка решения задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
№ 667 рассмотреть решение на доске.
II. Решение задач (устно).

Найти: ВЕ и
·.
После решения задачи обратить внимание: угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.

· = (AB + CD).


2) SN = 4;
SP = 9;
SK = 3.
Найти: SR, SQ,
·.
После решения задачи обратить внимание: угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.


· = (PQ – NK).

3) АС : АВ : СВ = 3 : 7 : 8.
Найти: 1, 2, 3.


4) Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции АВСD (АD и ВС – основания) и касается стороны АВ в точке В.
Докажите, что ВD = .
Решение
1) Так как ВС || АD, то 1 = 2.

2) 3 = BED, 4 = BED, 3 = 4.
3) АВD ВСD (по двум углам).
; BD2 = BC
· AD;
ВD = .
III. Самостоятельная работа.
Вариант I

1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О, АОВ = 80°, АС : ВС == 2 : 3.
Найдите углы треугольника АВС.

2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке K, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка K делит хорду СD, если СD > АВ на 3 см?
Вариант II
1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О (см. рис. к задаче 1 I варианта), АВС = 80°, ВС : АВ = 3 : 2. Найдите углы треугольника АОВ.
2. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN?
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
1. Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно в точках K, M, N, KМ : MN : NK = 6 : 5 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

2. Хорды АВ, СD, EF окружности с центром О попарно пересекаются в точках K, М, N, причем каждая хорда делится этими точками на равные части. Найдите периметр треугольника KMN, если АВ = 12 см.

IV. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 1–14, с. 187; №№ 665, 669.
№ 669.
Решение
Дано:
Построить: отрезок ХY = .

Построение.
1) отложим на произвольной прямой l отрезки EF = АВ и FG = СD.
2) разделим отрезок EG пополам и получим точку H.
3) проведем окружность с центром в точке Н и радиусом ЕН.

4) Из точки F восстановим перпендикуляр m к прямой l и пусть K – любая из точек пересечения m с окружностью.
5) FK – искомый отрезок.
Для желающих.
Через точку пересечения окружности с биссектрисой описанного угла проведена хорда, параллельная одной стороне угла. Докажите, что эта хорда равна другой стороне вписанного угла.
Решение

1) Так как DЕ || АВ и ВD – биссектриса угла АВС, то 1 = 2 = 3.
2) 4 = 5 как вписанные, опирающиеся на одну дугу ВD.
3)
·ВСD =
·DЕВ (по стороне и двум углам).
4) DЕ = ВС.


Урок 58СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА
Цели: рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и ее следствие.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. № 669 вынести решение на доску.
2. Решить устно:
1) Докажите, что SАОС = SВОС.

2) Прямая m пересекает отрезок АВ в его середине. Докажите, что концы отрезка АВ равноудалены от прямой m.

II. Изучение нового материала.
1) Доказательство теоремы.
2) Доказательство следствия из теоремы.
Изложить лучше самому учителю в виде небольшой лекции.
III. Закрепление изученного материала.
Решить №№ 674, 675, 676 (а).
№ 674.
Решение

1) АОМ = ВОМ (по гипотенузе и острому углу), тогда АО = ОВ.
2) АОВ – равнобедренный, поэтому биссектриса ОD является высотой, то есть DО АВ.
3) Так как D ОМ, то АВ ОМ.

№ 675.

Решение
1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, то точки О1 и О2 лежат на биссектрисе угла (следствие из теоремы п. 69), и, значит, точки О, О1 и О2 лежат на одной прямой.
2) О1А m и О2А m (свойство касательной), следовательно, точки А, О1 и О2 лежат на одной прямой. Таким образом, точки А, О, О1, О2 лежат на одной прямой. Тогда точки О1 и О2 лежат на прямой ОА.

№ 676 (а).
Решение

1) АОВ = АОС (по гипотенузе и катету), тогда ОАВ = ОАС = BAC.
2) АОВ, В = 90°
sin ОАВ = ,
ВО = ОА · sinОАВ = = ОА · sin,

ОА = ; ОА = = 10 (см).
IV. Итоги урока.

OK = ON = OM.




Домашнее задание: вопросы 15, 16, с. 187; №№ 676 (б), 778 (а).












Урок 59СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Цели: ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку; рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре и следствие из него.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. № 778 (а) вынести решение на доску.
2. Решить устно:

1) Найти: SАВЕ.



2) ВМ = m, АВС =
·.
Найти расстояние от точки М до прямой АС.


II. Изучение нового материала.
1. Прямая KМ перпендикулярна к стороне АВ треугольника АВС и делит ее пополам. Точка М лежит на стороне АС. Докажите, что АС > ВС.
2. Ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку.
3. Доказать теорему о свойстве серединного перпендикуляра.
4. Доказать следствие из этой теоремы.
Доказательство теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку и следствия из нее также желательно изложить учителю самому.
III. Закрепление изученного материала.
Решить №№ 679 (б), 680, 682.
IV. Итоги урока.

АО = ОВ = ОС.




Домашнее задание: вопросы 17–19, с. 187–188; №№ 679 (а), 681, 686 (решена в учебном пособии).


Урок 60ТЕОРЕМА О ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКА
Цели: рассмотреть теорему о точке пересечения высот треугольника.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Решить устно:

1. Найти: РВKС, РАВС.


2. FK, FN серединные перпендикуляры.
АВ = 16
СF = 10
Найти расстояние от точки F до стороны АВ.

II. Изучение нового материала.
Теорему о точке пересечения высот треугольника учителю желательно прокомментировать по заранее заготовленному чертежу, а детальное доказательство предложить учащимся провести дома самостоятельно или с помощью учебника.
III. Закрепление изученного материала.

1. Решить устно:
Дуга АD – полуокружность.
Доказать MN АD.





2. Решить №№ 677, 684, 687.
№ 677.
Решение
1) АВО = 180° – АВN = 180° – – СВN = CВО, то есть ВО – биссектриса АВС, аналогично СО – биссектриса АСВ.
2) По теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ, ВС, АС. Таким образом, ОН1 = ОН2 = ОН3, где ОН1 АВ, ОН2 ВС, ОН3 АС.


2. Получили, что АВ, ВС, АС – касательные к окружности с центром в точке О и радиусом, равным ОН1.
№ 684.
Решение

1) По свойству углов при основании равнобедренного треугольника
САВ =
·СВА.
Тогда МАС = МАВ = САВ = СВА =МВС = МВА.

2) МАВ – равнобедренный, АМ = ВМ и точка М лежит на серединном перпендикуляре к АВ.
3) Так как АС = СВ, то точка С также лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Таким образом, СМ АВ.
№ 687.
Решение

1) построим серединный перпендикуляр m к отрезку АВ.
2) Точка М – точка пересечения m c а.
3) М – искомая.

Задача имеет решение в случае, если прямая АВ не перпендикулярна к данной прямой а.
IV. итоги урока.
Четыре замечательные точки треугольника.

1) О – точка пересечения медиан треугольника АВС.
АМ : МА1 = ВМ = МВ1 = СМ == МС1 = 2 : 1.




2) K – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС.
АK = KС = KВ.




3) М – точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС.
МС1 = МА1 = МВ1.




4) N – точка пересечения высот треугольника (или их продолжений).



Домашнее задание: вопросы 1– 20, с. 187–188; №№ 688, 720.
Рекомендовать решать № 720 методом от противного.
Для желающих.
Полуокружность с концами АВ и отмечена точка K. С помощью одной линейки постройте прямую, проходящую через точку K и перпендикулярную к прямой АВ.
Использовать решение и чертеж устной задачи урока.











Урок 61ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
Цели: ввести понятие вписанной окружности и описанного около окружности многоугольника; рассмотреть теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Выполнить устно:

1) а) Докажите, что АВМ == МСА.
б) АМ = 4, МD = 3, ВD = 4.
Найдите расстояние от точки М до стороны АС.



2) Найдите МKN и расстояние MN, если ОМ = , KМ = 3.



3) Найдите углы АВС, еслиОАС = 20° и АОС = 120°.




4) стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром О.
а) Найдите ОА, если r = 5 см,А = 60°.


б) Найдите r, если ОА = 14 дм,А = 90°.

II. Изучение нового материала.
Изложить в виде лекции п. 74 до замечания 2.
III. Закрепление изученного материала.
Выполнить №№ 701 (для остроугольного треугольника), 689, 691.
№ 689.
Решение

1) Центр О вписанной окружности искомого радиуса r лежит на биссектрисе СМ треугольника АВС, а так как СМ АВ, то вписанная окружность касается отрезка АВ в точке М. Поэтому ОМ = r.

Далее обсудить с учащимися различные способы решения этой задачи:
I способ.
1. АМ = AB = 5 см.
2. M и N – точки касания, следовательно, AN = АМ = 5 см, откуда CN = АС – АN = 8 cм.
3. В АСМ : СМ = = 12 (см).
4. В СON : СО2 = СN2 + ON2, то есть
(12 – r)2 = 82 + r2 144 – 24r + r2 = 64 + r2.
r = 3. ОМ = ON = 3 см.
II способ.
1. В АСМ : АМ = AB = 5 см.
СМ = = 12 (см).
2. Отрезок АО – биссектриса треугольника АМС (так как о – центр вписанной окружности), поэтому или ; 13r = 60 – 5r, r = 3.
ОМ = ОN = 3 см.
IV. Итоги урока.

1) Центр вписанной в треугольник окружности в точке пересечения биссектрис;
2) ОМ = ON = ОK – радиусы вписанной окружности;
3) окружность единственная для данного треугольника.

Домашнее задание: вопросы 21, 22, с. 188; №№ 701 (для прямоугольного и тупоугольного треугольников), 637, 690, 693 (а), 693 (б) – по желанию и используя № 697 III способ решения № 698.
№ 690.
Решение

1) О – центр вписанной окружности в треугольник АВС, который лежит на высоте (биссектрисе) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
2) ОМ = ОD – радиусы этой окружности.
3) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда ОВ = 12k см, ОD = ОМ = 5k см.

4) Прямоугольные треугольники ВDС и ВМО имеют общий угол В, и, значит, ВDС ВМО по первому признаку.
5) .
6) Из прямоугольного треугольника ВDС по теореме Пифагора имеем:DС = .
7) ; 5 = ;
625 = 3600 – 289k2
k2 = .
8) DC = = 25 (cм).
№ 693 (а).
Решение

1) АС || ОN, так как АС СВ и ON CВ.
СВ || ОK, так как СВ АС и OK АС, значит, четырехугольник KONC – прямоугольник, а так как KО = CN = r = ON = KC, то KONC – квадрат.
2) АKО = АМО (по катету и гипотенузе), поэтому АK = АМ.
3) ВNO = ВМО (по катету и гипотенузе).

4) РАВС = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + NB + CN + KC + АK.
РАВС = 2АМ + 2MВ + 2CN = 2(АМ + МВ + СN).
а) РАВС = 2(АВ + СN) = 2(26 + 4) = 60 (см).
б) Из АВС, С = 90° имеем по теореме Пифагора:
АС2 = АВ2 – СВ2 = АВ2 – (CN + NB) = 172 – (5 + r)2
ВС2 = АВ2 – АС2 = АВ2 – (АK + KС) = 172 – (12 + r)2
АВ2 = АС2 + ВС2
172 = 172 – (5 + r)2 + 172 – (12 + r)2
2r2 + 34r – 120 = 0 r2 + 17r – 60 = 0
r = 3 (второй корень не удовлетворяет условию задачи).
РАВС = 2(АВ + CN) = 2(17 + 3) = 40 (см).
Урок 62СВОЙСТВ0 ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО
Цели: доказать свойство описанного четырехугольника и научить применять его при решении задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. № 690 и № 693 (а) вынести решение на доску.
2. Решить устно.

1) Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если сторона треугольника 2.


2) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см.
Решение
ВМ = = 8
ОМ = r, ВО = 8 – r

АВМ ОВK (угол В – общий).
; r = 3.
3) Найти периметр треугольника АВС.

4) АВСD – равнобедренная трапеция.
Найти: DС и АВ.

II. Изучение нового материала.
1. Рассмотреть свойство описанного четырехугольника.
2. Решение задачи № 697.

Пусть окружность радиуса r с центром О вписана в многоугольник А1А2 Аn и пусть В1, В2, .., Вn – точки касания.
Тогда ОВ1 = ОВ2 = = ОВn = r и ОВ1  А1А2, ОВ2 А2А3, .., ОВn А1Аn.



рr,
где р – полупериметр многоугольника.
S = pr

III. Закрепление изученного материала.
Выполнить № 695 (устно), № 698.
IV. Самостоятельная работа обучающего характера.
Вариант I
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.
Вариант II
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
Докажите, что радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями а и b, равен .
Решение можно проверить в классе с помощью закрытой доски.
Вариант I

Используя решение задачи № 693, имеем РАВС = 2 (АС + r) = 2(10 + 2) = 24 (см).
SАВС = р · r = 12 · 2 = 24 (cм2).

Вариант II
Используя решение задачи № 693, имеем
АВ + ВС = AN + NB + MB + CM = АK + r + r + KС
АВ + ВС = АС + 2r; АС = АВ + ВС – 2r РАВС = 2 (АС + r) = 2 (АВ + ВС – 2r + r)
РАВС = 2(17–2) = 30 (cм) SАВС = р · r = 15 · 2 = 30 (cм2).
Вариант III

1) АВС + ВАД = 180°.
ВО и АО – биссектрисы.
ОАВ + ОВА = 90°, тогда АОВ = 90°.
2) ОК = .

V. Итоги урока.

1. АВСD – четырехугольник;
1) АВ + DС = АD + ВС, можно вписать окружность;
2) если вписана окружность, то АВ ++ DС = АD + ВС.


2. АВСD – равнобокая трапеция
1) АВ + DС = ВС + АD, если вписана окружность и наоборот.
2) 1 = 2 = 90°.
3) r = .

Для разносторонней трапеции выполняются только 1-е и 2-е свойства.
Домашнее задание: вопрос 23, с. 188; № 641, № 696, повторить решение задачи № 697.
Для желающих.

АВСD – трапеция, описанная вокруг окружности. АВ = СD, ВD = 5,
SАВСD = 12.
Найти: РАВСD.
Решение
1) ВK = ВМ = ЕТ KА = LD = DТ

2) Тогда ВK = ЕТ, KА = DТ. 3) Поэтому ЕD = АВ. 4) Пусть АВ = ЕD = х.
5) ВЕ = .
6) SАВСD =
· BE =
· BE = AB
· BE
SАВСD = x 122 = х2 (25 – х2) 144 = 25х2 – х4
х1 = 4, х2 = 3; АВ = 4, АВ = 3 не удовлетворяет условию задачи. РАВСD = 4 АВ = 16.
Урок 63ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Цели: ввести понятие описанной около многоугольника окружности; рассмотреть теорему об окружности, описанной около треугольника.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Решить устно:

1. АВСD – ромб,
СD = 32, ВС = 20.
Найти: r.
Решение
1) Из
·ВОС по теореме Пифагора
ОС2 = ВС2 – ОВ2 = 400 – 256 = 144 ОС = 12.
2) SАВСD = BD · AC = 32 12 = 384. 3) SАВСD = ВС · NM = 20 · MN.

384 = 20MN; MN = 19,2. 4) 2r = MN, r = 9,6.

2. АВСD – трапеция,
СО = 6, ОD = 8.
Найти: SАВСD.
Решение
1) СОD – прямоугольный,

CD = = 10.
2) SОСD = OC · OD = = 24.
3) SОСD = CD · OK = = 5 · OK.
5ОK = 24; ОK = 4,8; ВА = 9,6.
4) АВ + СD = ВС + АD = 9,6 + 10 = 19,6.
5) SАВСD =· 9,6 = 9,8 · 9,6 = 94,08 (см2).
II. Изучение нового материала.
Изложить в виде лекции материал п. 75 до замечания 2.
III. Закрепление изученного материала.
Решить №№ 711 (для тупоугольного треугольника), 702 (а), 704 (а, б), 706.
IV. Итоги урока.

1) Центр описанной около треугольника окружности в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2) ОВ = ОС = ОА – радиусы описанной окружности.
3) окружность единственная для данного треугольника.

Домашнее задание: вопросы 24, 25, с. 188; №№ 711 (для прямоугольного и равностороннего треугольников), 702 (б), 705 (б).








Урок 61СВОЙСТВА ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Цели: рассмотреть свойство вписанного четырехугольника; учить решать задачи на применение изученного материала.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Решить устно:

1. ОK = 5, АВ = 24.
Найти: R.
Решение
1) АОВ – равнобедренный, так как АО = ОВ = R, тогда АK = KВ.
2) В АKО, K = 90°.
АО = = 13.

2. № 705 (а).
3. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, причем АВ : : ВС : СА = 2 : 3 : 4. Найдите углы треугольника АВС.

4. Найти углы вписанного четырехугольника АВСD.

II. Изучение нового материала.
Доказательство свойства вписанного четырехугольника можно предложить учащимся разобрать самостоятельно по учебнику (хорошо успевающим – без помощи учебника).
III. Закрепление изученного материала.
Решить №№ 708 (а), 710.
IV. Самостоятельная работа.
Вариант I
Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13 см. Найдите площадь этого треугольника.
Вариант II
Меньший из отрезков, на которые центр описанной окружности равнобедренного треугольника делит его высоту, равен 8 см, а основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого треугольника.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)
Найдите площадь равнобедренного треугольника, в котором боковая сторона 4 см, а радиус описанной окружности 5 см.
V. Итоги урока.

1) Если около четырехугольника описана окружность, то А + С = В + D == 180
·.
2) если А + С = В + D = 180°, то около него можно описать окружность.

Домашнее задание: вопрос 1–26, с. 187–188; №№ 708 (б), 709.
Для желающих: № 729.
Урок 65РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Цель: продолжить отработку навыков решения задач по теме «окружность».
Ход урока
I. Анализ самостоятельной работы и проверка домашнего задания.
Выполнить устно:
1. № 642.

АВ и АС – касательные к окружности.
ОВ = 3, ОА = 6.
Найти: АС, АВ, 3, 4.

2. № 643. использовать чертеж к задаче № 642.
ОАВ = 30°, АВ = 5 см. Найти: ВС.
3. № 644.

Доказать АМС = 3ВМС.

4. № 683.
Решение
Допустим, что АМ ВС. Тогда по теореме о серединном перпендикуляре к отрезку АВ = АС, что противоречит условию задачи. Следовательно, если АВ АС, АМ не является высотой.
II. Решение задач.
№ 685.
Решение

1) По теореме о высотах треугольника NC – высота, то есть М NC.
2) АСN = ВСN (по гипотенузе и острому углу).
3) AN = NB.

№ 694.
Решение

1) d = 2r, АМ = AN = r. 2) BN = ВK, СМ = СK.
3) АВ + АС = AN + BN + AM + CM == r + ВK + r + СK.
АВ + АС = 2r + ВС = d + c.
По условию АВ + АС = m, тогда d = m – c.

№ 703.
Решение

1) По теореме о вписанном угле САВ = BC =
· 102° = 51°.
2) АВС = АСВ как углы при основании равнобедренного треугольника.

АВС =АСВ == = 64°30.
III. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 1–26, с. 187–188; №№ 707, 721, 728.
1. № 730 (устно).

2. АВСD – четырехугольник.
АВ : ВС = 5 : 12.
ВС + АВ = 34.
Найти: R.


3. Найти углы четырехугольника.

1. № 727.
2. Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с основанием 16 и боковой стороной 10.
а)

1) всD, д = 90
·
·
BD = = 6. 2) ао = во = со = r.
3) Dсо, D = 90
·
·
ПустьОD=х, тогда ВО = ОС = 6 + х
ОD2 = ОС2 – ДС2 х2 = (6 + х)2 – 82
х2 = 36 + 12х + х2 – 64.

б)

12х = 28 х = 2
1) R = ВD + ОD = 6 + 2.
2) R = ВD – ОD = 6 – 2= 3.

3. Найти угол
·.
а) если АВ = 120°, ВС = 80°.

б) если ВD = 60°, АС = 40°.


4. АВСD – трапеция равнобедренная.
ОС = 3, ОD = 4.
Найти: r, S.





Урок 66КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Цель: выяснить степень усвоения учащимися изученного материала.
Ход урока
I. Организация учащихся на выполнение работы.
II. Выполнение работы.
Вариант I
1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырехугольника АВСD и градусные меры дуг АВ, ВС, СD, АD.
2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
Вариант II
1. Отрезок ВD – диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырехугольника АВСD и градусные меры дуг АВ, ВС, СD, АD.
2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
Вариант III(для более подготовленных учащихся)

1. МА и МВ – секущие, АС и ВД – хорды окружности с центром О. Докажите, что АОВ = АKВ + АМВ.
2. Площадь равнобедренной трапеции АВСD с основаниями ВС и АD, описанной около окружности с центром О и радиусом 3 см, равна 60 см2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ОСD.

III. Итоги урока.
Домашнее задание. Повторить главу V «четырехугольники».