Методика изучения тригонометрических функций.

Методика изучения тригонометрических функций.
1. Введение понятий sin13 EMBED Equation.3 1415, cos13 EMBED Equation.3 1415, tg13 EMBED Equation.3 1415 для острого угла прямоугольного треугольника рассматривается: Погорелов - 8 кл. стр. 102,108; Атанасян - 8 кл. стр. 180.
Изучение тригонометрических функций sin13 EMBED Equation.3 1415, cos13 EMBED Equation.3 1415, tg13 EMBED Equation.3 1415 для угла13 EMBED Equation.3 1415:
Погорелов - 8 кл. стр. 132.
Атанасян - 9 кл. стр.239.
При введении данных понятий используется окружность радиуса R (Погорелов) и R=l (Атанасян), взятая на координатной плоскости. От положительного направления оси х откладываем значения угла13 EMBED Equation.3 1415. Используя определения для прямоугольного треугольника, получаем:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 (Погорелов);
sin a = у (Атанасян).


3.Рассматриваем произвольный угол, как положительный, так и отрицательный.
Используется окружность радиуса R. Но теперь рассматривается поворот начального радиуса, как в положительном, так и в отрицательном направлении:


ОА- начальный радиус.

Определения sin13 EMBED Equation.3 1415, cos13 EMBED Equation.3 1415, tg13 EMBED Equation.3 1415 сохраняются и вводится определение ctg13 EMBED Equation.3 1415 .
4. Введение радианной меры угла.
Как известно из геометрии углы измеряются с помощью дуг. Дугу при этом выражают либо в долях окружности, либо в долях радиуса.

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла подобны, а следовательно:


13 EMBED Equation.3 1415



Итак, радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.
Возникает вопрос, когда это отношение равно 1? Или, какой смысл единицы измерения в радианной мере?
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, углом в 1 радиан называют центральный угол, которому соответствует дуга, равная длине радиуса окружности.
Посмотрим, как связаны градусная и радианная меры:
Градусная мера Радианная мера
180o 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Введение тригонометрических функций.
Если любому действительному числу х поставить в соответствие х рад, а углу в х рад поставить в соответствие sinx, то имеем функцию, где числу х ставится в соответствие sinx:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Изучение свойств тригонометрических функций.
Возьмём тригонометрическую функцию у = sinx.
Замечание: в школьном учебнике Колмогорова свойства этой функции изучаются раздельно. Покажем изучение этих свойств одним блоком.
Основные понятия: 1. Определение sinx;
Определение периодичности функции;
Определение четной функции;
Определение возрастания (убывания) функции.
Оформим свойства функции у = sinx в виде таблицы:
Свойства функции
Рисунок
Доказательство

1. Область определения: D(sinx)=R

x13 EMBED Equation.3 1415R

2. Область значений: E(sinx)=[-1;1]

sinx=y
13 EMBED Equation.3 1415

3 .Периодичность

Совершив поворот на угол х, мы получим точку А единичной окружности.



х13 EMBED Equation.3 1415 А

13 EMBED Equation.3 1415





4. Нули функции:
13 EMBED Equation.3 1415







sinx - ордината точки на единичной окружности. Ордината равна нулю в точках А и В. Для точки А соотв. углы: 0; 213 EMBED Equation.3 1415; 413 EMBED Equation.3 1415, Для точки В:13 EMBED Equation.3 1415;313 EMBED Equation.3 1415,...,-13 EMBED Equation.3 1415; -3л,....
Объединив решения, получим:
...-313 EMBED Equation.3 1415,-213 EMBED Equation.3 1415,-13 EMBE
·D Equation.3 1415,0, 13 EMBED Equation.3 1415, 213 EMBED Equation.3 1415, 313 EMBED Equation.3 1415,...





5. Знаки функции


sinx- это ордината. Ордината положительна, если точки расположены на верхней части окружности.

6. Четность, нечетность:
Функция
у = sinx - нечетная.

Возьмём углы х и х . Получим точки А и В.
Точки А и В симметричны относительно оси Ох, значит их ординаты противоположны sin(-x) = -sinx (знак "-" можно вынести из под знака синуса).

7. Возрастание функции:
13 EMBED Equation.3 1415Убывание функции:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим изменение угла от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415: угол увеличивается, ордината
возрастает.
Если с увеличением х, у возрастает, то функция возрастающая.

8. Экстремумы: sinx = 1, если
13 EMBED Equation.3 1415,
Sinx=-1, если
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


sin - это ордината. Ордината наибольшая в точке А, а наименьшая в точке В.


В точке А 13 EMBED Equation.3 1415
В точке В13 EMBED Equation.3 1415
Далее используем периодичность.




Замечание: Дополнительно следует рассмотреть:
доказательство того, что 2П- наименьший положительный период функции у = sinx;
доказательство того, что функция возрастает на указанном промежутке и убывает на указанном промежутке без обращения к рисунку.
Доказательство 1):
Мы уже показали, что функция у= sinx - периодическая. Следовательно, существует Т-период. По определению периодической функции: для любого х из области определения выполняется равенство:
sin(x + Т) = sinx.
Возьмём 13 EMBED Equation.3 1415, тогда sin(T +13 EMBED Equation.3 1415) = sin13 EMBED Equation.3 1415 = 1. Т.к. sinx=l только при 13 EMBED Equation.3 1415то Т+ 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+ 2лk13 EMBED Equation.3 1415Т=213 EMBED Equation.3 1415k.
Наименьшее положительное число есть 2П при n=1.
Доказательство 2):
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим разность 13 EMBED Equation.3 1415.
Оценим разность13 EMBED Equation.3 1415. Наименьшее значение будет, если уменьшаемое наибольшее, а вычитаемое наименьшее.
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Оценим сумму13 EMBED Equation.3 1415: сумма будет наименьшей, если каждое слагаемое наименьшее. Сумма будет наибольшая, если каждое слагаемое наибольшее. Следовательно:


Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 функция y=sinx возрастает на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 Аналогично доказывается убывание функции у =sinx.
8. График функции у = sinx.
Существует три подхода к построению графика функции у = sinx :
1)график функции строится после изучения всех свойств - этот подход очень важный, так как мы показываем, что от аналитической записи можно придти к графику. В этом случае мы отмечаем нули функции, область значений, точки максимума, минимума, учитывая промежутки возрастания и убывания функции, а также периодичность. Строим график функции y=sinx.


2)на основе определения sinx:


Для слабого класса удобен именно этот путь построения графика, а уже из графика выведение всех свойств этой функции.
3) график строится как во втором случае, свойства называются по графику, как во втором случае.







































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native