Применение дифференциального исчисления для решения практических задач

Применениедифференциального исчисления для решения практическихзадач Преподаватель Серкова Н.А. Цель проекта: Изучение применения дифференциального исчисления для решения задач по физике, экономике, биологии, химии и географии Задачи: Найти информацию об истории возникновениядифференциального исчисления , изучить ее и систематизировать.Подбор задач из разных разделов биологии, которые решаются с помощью производнойУзнать, какие процессы регулирует производная в географии. Рассмотреть задачи по географии, которые решаются с помощью производнойПодобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью производной.Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга разработали теорию дифференциального исчисления И.Ньютон Г. Лейбниц «Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон»А.Поуг Главный его труд- «Математические начала натуральной философии»- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл. Исаак Ньютон (1643-1727) Интересно: Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу. Создатель Берлинской академии наук, основоположник дифференци- ального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx – это ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд». Г.В.Лейбниц. (1646-1716) В ходе проекта были рассмотрены примеры применения производной в биологии, химии, задачи в этих областях наук, которые решаются с помощью производной. Задача По известной зависимости численности популяции х(t) определите относительный прирост в момент времени t. Производная в биологии Справка: Популяция это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. Решение Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t1 x = x(t) Функция Интервал времени ∆t = t2 – t1 Приращение аргумента Изменение численности популяции ∆x = x(t2) – x(t1) Приращение функции Скорость изменения численности популяции ∆x/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент Lim ∆x/∆t t → 0 Производная Р = х' (t) Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областяхнаучно-производственной деятельности Задача Производная в химии Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество в-ва в момент времени t0 p = p(t 0) Функция Интервал времени ∆t = t– t0 Приращение аргумента Изменение количества в-ва ∆p= p(t0+ ∆ t ) – p(t0) Приращение функции Средняя скорость химической реакции ∆p/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента V (t) = p ‘(t) Производная помогает рассчитать: Некоторые значения в сейсмографииОсобенности электромагнитного поля землиРадиоактивность ядерно- геофизичексих показателей Многие значения в экономической географииВывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t. Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), N(t)=k N(t). Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует. В ходе проекта были рассмотрены следующие разделы физики:МеханикаГидродинамикаОптикаЭлектротехника ЗадачаЗависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением:s = 6+2t + 0,1t2 +0,03t3. Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.Решение:v(t) = s'(t) = 2 + 0,2t + 0,09t2; a(t) = v'(t) = 0,2 + 0,18t = 2; 0,18 = 1,8t; t = 10 c Задача:Зритель находится на расстоянии а м от плоскости экрана кинотеатра. Высота экрана h м. На какой высоте у от уровня глаз зрителя должен находиться нижний край экрана, чтобы видимость была наилучшей? ОПТИКА Решение:Видимость экрана будет наилучшей, если угол х – наибольший, где х – это угол зрения. Выразим х через h, у, а. ГИДРОДИНАМИКА Сила Р давления льда разлагается на две: F и R. R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R ( a )- угол наклона борта к вертикали (тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси – производная)Q – сила трения льда о борт.Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения).Если Q < F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q > F, то трение мешает скольжению льдины, и лед может смять и продавить борт.0,2R < R tg a , tg a > 0,2Q < F, если a > 110. Наклон бортов корабля к вертикали под углом a > 110 обеспечивает безопасное плавание во льдах Установить связь между экономикой и математикой. В ходе проекта В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных , которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.Также с помощью экстремума функции в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль , максимальный выпуск и минимальные издержки.Поэтому , производная важна для экономики, и мы рассмотрели основные аспекты. Производная решает важные вопросы Задача: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x1- прирост продукции, а y1 - приращение издержек производства. Решение:В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции. Где: MC - предельные издержки (marginal costs); TC - общие издержки (total costs); Q - количество. Предельные издержки производства и дополнительные затраты на производство Производительность труда В экономике очень часто объем произведенной продукции задается формулой. Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой  у = -2tі +10tІ +50t – 16, где t – время, выраженное в часах.  Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t0, необходимо найти предельное среднее значение средней производительности за период времени от t0 до t0 + Δt, т.е. уґ(х).ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции. Задачи ,решаемые с помощью производной, широко используются в производстве. Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом. Вывод: