Применение интегрального и дифференциального исчисления для решения практических задач. 11 класс
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики
«Применение методов математического анализа при решении практических задач».
Учитель: Вишневская Н.В.
Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.
2. Повторить алгоритмы решения.
3. Разобрать решение задач повышенной трудности.
4. Решить экономические задачи.
План проведения урока:
На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:
а) Области, где применяются методы математического анализа;
б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;
в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.
В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).
Заполняются таблицы.
Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.
Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).
Домашняя контрольная работа.
Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.
Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.
Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.
Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F.
Находят производную f этой функции.
Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.
Подставляя значение х = b находят искомую величину.
Домашние задачи (на доске):
Карточка № 7
Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, по направлению к О. В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О, скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.
а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?
б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?
V1 = 15 км/ч
65 км S1 О
S3 S2
65 км
Vл = 25 км/ч
V2 = 20 км/ч
Решение:
х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О, до момента отправления катера.
13 EMBED Equation.3 1415– время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.
В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415км от О; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О было равно 13 EMBED Equation.3 1415км; путь катера равен 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по теореме Пифагора
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Продифференцируем по х:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.
Карточка № 5
Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см3. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
у
А R В
dy Н
у
О х х
R = 3 м
Н = 5 м
уд. вес = 0,8 Г/см3
Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
Решение:
В плоскости сечения хОу АОВ – парабола, уравнение которой 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем параметр а.
Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н – у) равна dy. Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем 13 EMBED Equation.3 1415.
Из уравнения параболы 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. вес слоя жидкости равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины 13 EMBED Equation.3 1415, потребуется затратить элементарную работу 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Работа в классе.
Карточка № 6
Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?
Решение:
Согласно закону Гука сила F кГ, растягивающая пружину на х, равна 13 EMBED Equation.3 1415, k – коэффициент пропорциональности.
х = 0,01 м
F = 1 кГ
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая работа 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0,18 кГм.
Карточка № 8
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
Решение:
По закону Гука 13 EMBED Equation.3 1415.
х = 0,01 м
F = 1 кГ
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая работа 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0,125 кГм.
Карточка № 9
Сила F, с которой электрический заряд 13 EMBED Equation.3 1415 отталкивает заряд 13 EMBED Equation.3 1415 (того же знака), находящийся от него на расстоянии r, выражается формулой
13 EMBED Equation.3 1415,
где k – постоянная.
Определить работу силы F при перемещении заряда 13 EMBED Equation.3 1415 из точки 13 EMBED Equation.3 1415, отстоящей от 13 EMBED Equation.3 1415 на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415, в точку 13 EMBED Equation.3 1415, отстоящую от 13 EMBED Equation.3 1415 на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415, полагая, что заряд 13 EMBED Equation.3 1415 помещен в точке 13 EMBED Equation.3 1415, принятой за начало отсчета.
Решение:
Работа определяется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Карточка № 3
Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.
Решение:
Сила давления жидкости на площадку площадью S при глубине погружения х равна 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – удельный вес жидкости.
О
х С
dх
А В
Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ, ширину dx и находится на глубине х 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х, будет равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Удельный вес воды 1 см3 = 1 Г, следовательно вес 1м3 = 1000 кГ.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
1 кГ 13 EMBED Equation.3 1415 9,81 н
1 бар = 0,987 атм.
Ответ: 144000 кГ.
Карточка № 4
Скорость движения точки 13 EMBED Equation.3 1415 м/сек. Найти путь s, пройденный точкой за время Т = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 512 м; 64 м/сек.
Карточка № 1 (решается в классе на доске)
Средние совокупные издержки производства мыла 13 EMBED Equation.3 1415 (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:
13 EMBED Equation.3 1415.
Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q, и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой
13 EMBED Equation.3 1415.
Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?
Решение:
Выразим через Q сначала цену мыла из формулы 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда прибыль G можно выразить:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем критические точки этой функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Критические точки 100, –340, –120.
Отрицательные корни не имеют экономического смысла.
Q
13 EMBED Equation.3 1415
100
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
+
0
–
G
max
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Значит оптимальный годовой объем мыла 13 EMBED Equation.3 1415т, тогда цена 13 EMBED Equation.3 1415 (тыс. руб./т).
Тогда годовая выручка R составит: 13 EMBED Equation.3 1415 (тыс. руб.).
Ответ: 1 млн. руб.
Карточка № 10
Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.
Решение:
5 м
8 м
х
dx 12 м
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415м.
13 EMBED Equation.3 1415 кГм.
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 кГм.
Карточка № 2 (дополнительная)
Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек 13 EMBED Equation.3 1415 (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией
13 EMBED Equation.3 1415.
Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.
Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.
Решение:
Используя зависимости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, выразим 13 EMBED Equation.3 1415
Определим интервал значений цены Р, на котором функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет смысл.
600 т – это максимальный объем производства, значит при этом будет 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415– не имеет экономического смысла.
Значение 13 EMBED Equation.3 1415 определим из условия 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415– не имеет экономического смысла.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Оптимальная цена 13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Оптимальный объем производства:
13 EMBED Equation.3 1415 т.
Совокупные годовые издержки 13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Рентабельность 13 EMBED Equation.3 1415%.
Ответ: 11 %.
В конце урока дети получают тексты домашней контрольной работы.
у у 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а 0 b x 0 a b x
S = S =
y y
13 EMBED Equation.3 1415
13 E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native7Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native9Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native