Исследовательская работа по математике Фрактальная геометрия

-45085153035


Учитель математики ГБОУ города Москвы «Школа с углубленным изучением иностранных языков №1288 имени Героя Советского Союза Н.В.Троян»
Красовская Наталья Петровна



ПРОБЛЕМА
Сегодня известно множество методов разработки декоративных текстур, которые широко используются при оформлении различных предметов и композиций в любой сфере деятельности человека. Какие же методы лучше или хуже? Как быстро придумать новые, перспективные варианты оформления чего-либо? Исследованию этого вопроса и посвящена данная работа.
АКТУАЛЬНОСТЬ
Процесс оперативного получения, обработки и дальнейшего использования различных декоративных орнаментов врывается во все сферы нашей жизни. Это могут быть обои, рисунки новых тканей, оформление парков, декорации театров, афиши, обложки печатных изданий и многое другое. И если раньше подобные операции занимали очень продолжительное время (например, новый рисунок на текстильных фабрика разрабатывался от нескольких дней до нескольких недель), то использование современных компьютеров сегодня позволяет генерировать тысячи рисунков в секунду. Дизайнерам остается только выбрать и скорректировать наиболее удачный и обойти конкурентов. Поэтому автоматизация разработки декоративных текстур, изучение и развитие современных математических методов проектирования в данной области знаний являются очень актуальными в настоящее время.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
Рассматривается один из самых популярных на сегодня метод разработки декоративных композиций - использование фракталов.
ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ
Исследуются известные алгоритмы получения фрактальных изображений и приводятся готовые решения компьютерных художников.
ЦЕЛЬ
Изучение различных источников информации о методах проектирования фракталов.
ЗАДАЧИ
Найти и изучить литературные и электронные материалы по данной тематике. Исследовать их с различных точек зрения.
В природе встречаются объекты, имеющие простую геометрическую форму - окружности, треугольники, сферы, конусы и так далее. Однако большинство природных объектов имеют более сложную и нерегулярную форму. Трудно формами классической геометрии описать форму горного хребта, облака или систему сосудов кровообращения [1].

372808576836Наблюдая реальные природные системы, мы часто можем видеть картину, состоящую из повторяющегося узора, увеличенного или
уменьшенного в несколько раз. Ствол дерева разделяется
на крупные ветви, затем крупные ветви делятся
на более мелкие. Теоретически элемент ветвления
повторяется бесконечное число раз, становясь
все мельче и мельче.
Горный ландшафт можно рассматривать как систему, состоящую из отдельных гор. Каждая гора состоит из гор меньшего размера и так до бесконечности. Природное свойство "самоподобие" является характерной чертой новых геометрических объектов - фракталов.
Понятие "фрактал" ввел в употребление в 1975 году профессор Гарвардского университета Бенуа Мандельброт.

В 1975-1980 годах он в своих статьях и докладах обосновал новое направление в науке, которое теперь называется "Фрактальная геометрия" [2]. В своих работах Мандельброт использовал труды математиков конца 19, начала 20 веков, таких как: Пуанкаре, Кантор, Пеано, Серпинский. Однако результаты работ перечисленных авторов до Мандельброта не представляли собой стройную систему и не могли быть представлены визуально без современной компьютерной техники.
Мандельброт называл фракталами "нерегулярные, но самоподобные" фигуры. Интерес к фракталам исследователь объяснял двумя причинами: многочисленными примерами самоподобия в природе и возможностью изучения фракталов с помощью математических методов и компьютеров.
Вторым важным свойством фракталов является дробная размерность. В классической геометрии размерность бывает только целой: линия имеет размерность 1, плоская фигура - 2, тело - 3.
Для того, чтобы понять дробную размерность, рассмотрим следующий пример. Разделим отрезок единичной длины на N равных частей. Пусть каждая часть имеет величину в 1/r меньшую, чем исходный отрезок. Тогда
N * r =1
Единичный квадрат можно также разбить на N частей:
N * r2 =1
Для единичного куба формула будет следующей
N * r3 =1
Таким образом, если обозначить переменной d - размерность геометрического элемента, формула, в общем виде, будет следующей:
N * rd =1
Определим из формулы величину размерности

ln (N)
257556012192000d =
ln (1/r)
Рассмотрим в качестве примера геометрического объекта дробной размерности "снежинку Коха".

Ее придумал Гельгом фон Кох в 1904 году. Пусть имеется некоторый отрезок прямой линии. Разобьем отрезок на три равные части. Уберем среднюю треть и заменим ее на два отрезка, каждый из которых имеет длину, равную удаленной части. Получим ломаную кривую, состоящую из четырех отрезков. Проделаем данную операцию еще раз, теперь с каждым из четырех отрезков. Получим ломаную линию, состоящую из 16 отрезков. Данную операцию можно выполнять многократно - теоретически до бесконечности. Если данные преобразования выполнить с равносторонним треугольником, то в результате получим снежинку Коха.

Определим размерность "снежинки". На каждом шаге мы имеем N = 4 копий исходного отрезка. Каждая из копий отрезка имеет длину, равную r = 1/3 от первоначального. Размерность снежинки
ln (4)
260413511430000d = = 1,2618
ln (3)
При количестве циклов, стремящемся к бесконечности, снежинка Коха сходится к некоторой кривой. Данная кривая существует, но ее длина в отличие от обыкновенной замкнутой кривой, бесконечна.
Для практических целей количество циклов можно принять большим, но конечным. Тогда можно изобразить снежинку Коха конечной длины. Фракталы, подобные снежинке Коха, используются, например, при исследовании береговой линии.
Другим известным фракталом является ковер (треугольник) Серпинского [4]. Его придумал Вацлав Серпинский в 1915 году. Пусть имеется равносторонний треугольник. Разобьем треугольник на четыре равных по площади треугольника и удалим среднюю часть. Затем повторим процесс разбиения для каждого из трех оставшихся треугольников. Выполняя процесс бесконечно (теоретически) получим фрактал - ковер Серпинского. Ковер это объединение N = 3 уменьшенных в два раза копий ( r = 1/2 ).


Размерность ковра Серпинскогоln (3)
254889010287000d = = 1,5850
ln (2)
Сам Мандельброт исследовал фракталы с помощью комплексных чисел
z = a + bi
где a - действительная часть комплексного числа;
b - мнимая;
i2 = -1.
Комплексное число имеет две координаты - действительную и мнимую - и легко может быть изображено на плоскости. Теория комплексных чисел хорошо разработана и входит в программное обеспечение компьютеров.
Мандельброт исследовал функцию комплексного переменного
z = fc(z) = z2 + c
где z - комплексная переменная;
с - комплексная константа
В математике известны способы решения уравнений методом последовательных приближений (итерационный метод).
Представим формулу как
z i+1 = zi 2 + c
Возьмем начальное значение z0, возведем его в квадрат и прибавим c, чтобы получить z1. Далее используем z1 для вычисления z2, а z2 для z3 и т.д. При вычислении итерационным методом важным является вопрос сходимости: приближаемся ли мы с каждым шагом к решению уравнения или наоборот. Удаляемся в бесконечность.
 
Сходимость зависит от значения первого приближения z0 и значения c. При одних значениях процесс быстро сходится к решению уравнения, при других удаляется от решения в бесконечность. Существуют и граничные значения при которых процесс итерации не приближает нас к решению уравнения, но и не устремляется в бесконечность. При определенных значениях c граница приобретает фрактальную структуру - имеет выраженное самоподобие. Эту границу можно изобразить на комплексной плоскости.



Если в изображении на комплексной плоскости использовать цвет, интенсивность которого характеризует скорость приближения к решению уравнения или удаления в бесконечность, то в результате мы получим изображения, похожие на абстрактную живопись. Такие изображения строятся с помощью несложных алгоритмов, а в результате получаются сложные картины. С помощью аналогичных алгоритмов в компьютерной графике можно получить изображения горного, лесного или космического ландшафта. Изображения строятся с помощью само подобных элементов, увеличенных или уменьшенных случайным образом. Фракталы позволяют значительно уменьшить объем графической информации, передаваемый по компьютерной сети.
Фрактальная геометрия находит применение при исследовании магнитных полей статистической механики, топографии, океанографии, метеорологии. Возможно применение фрактальной геометрии и при исследовании текстильных нитей.
Алгебраические фракталы воодушивили компьютерных художников на создание фрактальных композиций удивительной красоты. В этих композициях можно найти сходство с природными фракталами и проявление творческой фантазии художников [5].  


796290-1905
ВЫВОДЫ
Фракталы "ворвались" не только в сферу деятельности дизайнеров.
Новые идеи фрактальной геометрии помогут нам изучить многие загадочные явления окружающей природы.
         В настоящее время фракталы стремительно вторгаются во многие области физики. Фрактальные методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
3. Снежинка Коха [Электронный ресурс] / – Режим доступа: http://elementy.ru/posters/fractals/Koch. (Дата обращения 11 марта 2016 г.)
4. А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
5. В мире фракталов [Электронный ресурс] / – Режим доступа: http://fraktalsworld.blogspot.ru/p/blog-page_13.html. (Дата обращения 11 марта 2016 г.)