Учебный лист по геометрии Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей (7 класс)
Учебный лист
по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей»
(3 часа)
ЗНАТЬ:
УМЕТЬ:
- условия взаимного расположения прямой и окружности;
- определение секущей и касательной к окружности;
- свойства касательной к окружности;
- теорему о о перпендикулярности диаметра и хорды и обратную к ней;
- условия взаимного расположение двух окружностей;
- определение концентрических окружностей.
- проводить касательную к окружности;
- использовать свойства касательной при решении задач;
- решать задачи на применение теоремы о перпендикулярности диаметра и хорды;
- решать задачи на условия взаимного расположения прямой и окружности и двух окружностей.
В результате изучения темы нужно:
Литература:
1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012
2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамaра». 2012
3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы «Атамaра». 2012
4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы «Атамaра». 2012
5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамaра». 2012
Приобретать знания – храбрость,
Приумножать их – мудрость,
А умело применять их – великое искусство.
Помни, что работать нужно по алгоритму.
Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.
Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.
Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.
Желаю успеха!
ЗАДАНИЕ 1
1) Рассмотри взаимное расположение прямой и окружности и заполни таблицу (3б):
Случай 1: Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (не пересекаются)
a d - расстояние от точки (центра окружности) до прямой
r – радиус окружности
d > r,
Случай 2: Прямая и окружность имеют только одну общую точку (касаются)
d - расстояние от точки (центра окружности) до прямой
r – радиус окружности
a - касательная
d = r,
Случай 3: Прямая имеет с окружностью две общие точки (пересекаются)
d - расстояние от точки (центра окружности) до прямой
r – радиус окружности
АВ – хорда, секущая
d < r,
Расположение прямой и окружности
Рисунок
Условия взаимодействия (расстояние до прямой и радиус (d и r))
Количество общих точек
2) Прочти определения, теоремы, следствия и выучи их (5б):
Определение: Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется касательной к окружности.
Теорема 1:
Диаметр окружности, разделяющий хорду пополам, перпендикулярен к этой хорде.
Теорема 2 (обратная теореме 1):
Если диаметр окружности перпендикулярен к хорде, то он разделит хорду на две равные части.
Следствие 1: Если расстояние от центра окружности до секущей прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая пересекает окружность в двух точках.
Следствие 2: Хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.
Теорема 3: Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Следствие 3: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной.
Следствие 4: Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не пересекается с окружностью.
Теорема 4:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3) Ответь на вопросы (3б):
1) Как могут располагаться прямая и окружность на плоскости?
2) Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?
3) Как нужно провести касательную к окружности через точку, лежащую на окружности?
4) Сколько касательных можно провести к окружности через точку:
а) лежащую на окружности;
б) лежащую внутри окружности;
в) лежащую вне окружности?
5) Дана окружность
· (O; r) и точка А, лежащая внутри окружности. Сколько точек пересечения будет иметь: а) прямая ОА; б) луч ОА; в) отрезок ОА?
6) Как разделить хорду окружности пополам?
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 1
ЗАДАНИЕ 2
1) Прочти текст и рассмотри рисунки. Сделай рисунки в тетради, запиши выводы и выучи их (3б):
Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух окружностей. Взаимное расположение двух окружностей связано с расстоянием между их центрами.
Пересекающиеся окружности: две окружности пересекаются, если они имеют две общие точки. Пусть R1 и R2 – радиусы окружностей
·1 и
·2, d – расстояние между их центрами. Окружности
·1 и
·2 пересекаются тогда и только тогда, когда числа R1, R2, d являются длинами сторон некоторого треугольника, т. е. удовлетворяют всем неравенствам треугольника:
R1 + R2 > d, R1 + d > R2, R2 + d > R1.
Вывод: Если R1 + R2 > d или |R1
·R2| < d, тогда окружности пересекаются в двух точках.
Касающиеся окружности: две окружности касаются, если они имеют одну общую точку. Имеют общую касательную а. Пусть R1 и R2 – радиусы окружностей
·1 и
·2, d – расстояние между их центрами.
Окружности касаются внешним образом, если они расположены
вне друг друга. При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. Окружности
·1 и
·2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R1 + R2 = d.
Окружности касаются внутренним образом, если одна из них расположена внутри другой. При внешнем касании центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Окружности
·1 и
·2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда |R1
·R2|=d.
Вывод: Если R1 + R2 = d или |R1
·R2|=d, тогда окружности касаются в одной общей точке, лежащей на прямой, проходящей через центры окружностей.
Непересекающиеся окружности: две окружности не пересекаются, если они не имеют общих точек. В этом случае одна из них лежит внутри другой, либо они лежат вне друг друга.
Пусть R1 и R2 – радиусы окружностей
·1 и
·2, d – расстояние между их центрами.
Окружность
·1 и
·2 расположены вне друг друга тогда и только тогда, когда R1 + R2 < d. Окружность
·1 лежит внутри
·2 тогда и только тогда, когда |R1
·R2| > d .
Вывод: Если R1 + R2 < d или |R1
·R2| > d, тогда окружности не пересекаются.
2) Запиши определение и выучи его (1б):
Определение: Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими (d = 0).
3) Ответь на вопросы (3 б):
1) Как могут располагаться две окружность на плоскости?
2) От чего зависит расположение окружностей?
3) Верно ли утверждение, что две окружности могут пересекаться в трех точках?
4) Как располагаются окружности, если:
а) расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов;
б) расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов;
в) расстояние между центрами больше суммы двух радиусов;
г) расстояние между центрами окружностей равно нулю.
5) К какому из перечисленных трех случаев взаимного расположения двух окружностей, относятся концентрические окружности?
6) Как называется прямая, проходящая через точку касания окружностей?
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 2
ЗАДАНИЕ 3
Молодец! Можно приступить к проверочной работе №1.
ЗАДАНИЕ 4
1) Реши на выбор четные или нечетные задачи (2б.):
1. Ука зать ко ли че ство общих точек пря мой и окруж но сти, если:
а) рас сто я ние от пря мой до цен тра окруж но сти – 6 см, а ра ди ус окруж но сти – 7 см;
б) рас сто я ние от пря мой до цен тра окруж но сти – 7 см, а ра ди ус окруж но сти – 6 см;
в) рас сто я ние от пря мой до цен тра окруж но сти – 8 см, а ра ди ус окруж но сти – 8 см.
2. Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:
1. R=16cм, d=12см; 2. R=8 см, d=1,2 дм; 3. R=5 см, d=50мм
3. Каково взаимное расположения окружностей если:
d = 1дм, R1 = 0,8дм, R2 = 0,2дм
d = 40см, R1 = 110см, R2 = 70см
d = 12см, R1 = 5см, R2 = 3см
d = 15дм, R1 = 10дм, R2 = 22см
4. Укажите количество точек взаимодействия двух окружностей по радиусам и по расстоянию между центрами:
а) R = 4 см, r = 3 см, ОО1 = 9 см; б) R = 10 см, r = 5 см, ОО1 = 4 см
в) R = 4 см, r = 3 см, ОО1 = 6 см; г) R = 9 см, r = 7 см, ОО1 = 4 см.
2) Реши одну задачу на выбор (2б.):
1. Найти длины двух от рез ков хорды, на ко то рые раз де ля ет ее диа метр окруж но сти, если длина хорды – 16 см, а диа метр ей пер пен ди ку ля рен.
2. Найти длину хорды, если диа метр ей пер пен ди ку ля рен, а один из от рез ков, от се ка е мых диа мет ром от нее, равен 2 см.
3) Выполни на выбор четные или нечетны задачи на построение (2б):
1. Постройте две окружности радиусами 2 см и 4 см, расстояние между центрами которых равно нулю.
2. Начертите две окружности разных радиусов (3 см и 2 см), чтобы они касались. Отметьте отрезком расстояние между их центрами. Рассмотрите возможные варианты.
3. Постройте окружность с радиусом равным 3 см и прямую расположенную на расстоянии 4 см от центра окружности.
4. Постройте окружность с радиусом равным 4 см и прямую расположенную на расстоянии 2 см от центра окружности.
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 4
ЗАДАНИЕ 5
Молодец! Можно приступить к проверочной работе №2.
ЗАДАНИЕ 6
1) Найди ошибку в утверждении и исправь ее, обосновав свое мнение. Выбери любых два утверждения (4б.): А) Две окружности касаются внешним образом. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6. Б) Две окружности имеют, по крайней мере, три общие точки. В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек. Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей. Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.
2) Реши на выбор четные или нечетные задачи (66.):
1. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 19 см, а радиус малой окружности меньше на 4 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.
2. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 26 см, а радиус малой окружности в 2 раза меньше. Найдите расстояние между центрами окружностей.
3. Возьмите две точки D и F так, чтобы DF = 6 см. Начертите две окружности (D, 2см) и (F, 3 см). Как расположены между собой эти две окружности? Сделайте вывод.
4. Расстояние между точками А и В равно 7 см. Начертите окружности с центрами в точках А и В, радиусами, равными 3 см и 4 см. Как расположены окружности? Сделайте вывод.
5. Между двумя концентрическими окружностями с радиусами 4 см и 8 см расположена третья окружность так, что она касается первые две окружности. Чему равен радиус этой окружности?
6. Окружности, радиусы которых равны 6 см и 2 см, пересекаются. Причем большая окружность проходит через центр меньшей окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №6
Проверочная работа № 1
Выбери один из вариантов теста и реши ( 10 вопросов, по 1 баллу за каждый):
1 вариант
1. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется
А) хордой; В) диаметром;
С) секущей; D) касательной.
2. Через точку, лежащую на окружности, можно провести .. касательных
А) одну; В) две;
С) ни одной; D) нет правильного ответа.
3. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая
А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках;
С) не пересекается с окружностью;
D) нет правильного ответа.
4. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая
А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках;
С) не пересекается с окружностью;
D) нет правильного ответа.
5. Окружности не пересекаются и не касаются, если
А) R1 + R2 = d; В) R1 + R2 < d;
С) R1 + R2 > d; D) d = 0.
6. Касательная и радиус, проведенные в к точке касания ...
А) параллельны; В) перпендикулярны;
С) совпадают; D) нет правильного ответа.
7. Окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 3 см, радиус большей - 5 см. Чему равно расстояние между центрами?
А) 8 см; В) 2 с м; С) 15 см; D) 3 см.
8. Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между центрами равно 4, а радиусы равны 11 и 7:
А) внешнее касание; В) внутреннее касание;
С) пересекаются; D) не пересекаются.
9. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 7,2 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 0,4 дм:
А) касаются; В) не пересекаются.
С) пересекаются; D) нет правильного ответа.
10. Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна 70 мм?
А) внутри окружности; В) на окружности.
С) вне окружности; D) нет правильного ответа.
2 вариант
1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и перпендикулярная радиусу, называется
А) хордой; В) диаметром;
С) секущей; D) касательной.
2. Из точки, не лежащей на окружности, можно провести к окружности .. касательных
А) одну; В) две;
С) ни одной; D) нет правильного ответа.
3. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая
А) касается окружности в одной точке; В) пересекает окружность в двух точках;
С) не пересекается с окружностью;
D) нет правильного ответа.
4. Окружности пересекаются в двух точках, если
А) R1 + R2 = d; В) R1 + R2 < d;
С) R1 + R2 > d; D) d = 0 .
5. Окружности касаются в одной точке, если
А) R1 + R2 = d; В) R1 + R2 < d;
С) R1 + R2 > d; D) d = 0 .
6. Окружности называются концентрическими, если
А) R1 + R2 = d; В) R1 + R2 < d;
С) R1 + R2 > d; D) d = 0 .
7. Окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности 3 см. Радиус большей окружности - 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей?
А) 8 см; В) 2 с м; С) 15 см; D) 3 см.
8. Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между центрами равно 10, а радиусы равны 8 и 2:
А) внешнее касание; В) внутреннее касание;
С) пересекаются; D) не пересекаются.
9. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 7,2 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 3,25 см:
А) касаются; В) не пересекаются.
С) пересекаются; D) нет правильного ответа.
10. Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна 4 см?
А) внутри окружности;
В) на окружности.
С) вне окружности;
D) нет правильного ответа.
Оценка: 10 б. – «5», 9 - 8 б. – «4», 7 – 6 б. – «3», 5 б. и ниже – «2»
Проверочная работа № 2
1) Заполни таблицу. Выбери один из вариантов (6б):
а) взаимное расположение двух окружностей:
1 вариант
2 вариант
Радиус первой окружности, см
6
3,2
9
3
7
5
Радиус второй окружности, см
2
1,5
4
4
4
2
Расстояние между центрами окружностей, см
3
4,7
5
5
0
9
Вывод о взаимном расположении окружностей
б) взаимное расположение прямой и окружности:
1 вариант
2 вариант
Радиус окружности
4 см
1,8 см
3,5 дм
6, 2 м
Расстояние от центра окружности до прямой
7 см
3,5 дм
5,12 м
9,3 см
8,25 м
Вывод о взаимном расположении окружности и прямой
Прямая пересекает окружность
Прямая касается окружности
Прямая
не пересекает окружность
2) Реши одну задачу на выбор (2б.):
1. Найти длины двух от рез ков хорды, на ко то рые раз де ля ет ее диа метр окруж но сти, если длина хорды – 0,8 дм, а диа метр ей пер пен ди ку ля рен.
2. Найти длину хорды, если диа метр ей пер пен ди ку ля рен, а один из от рез ков, от се ка е мых диа мет ром от нее, равен 0,4 дм.
3) Реши одну задачу на выбор (2б):
1. Постройте окружности, расстояние между центрами которых меньше разности их радиусов. Отметь расстояние между центрами окружности. Сделайте вывод.
2. Постройте окружности, расстояние между центрами которых равно разности радиусов этих окружностей. Отметь расстояние между центрами окружности. Сделайте вывод.
Оценка: 10 - 9 б. – «5», 8 - 7 б. – «4», 6 - 5 б. – «3», 4 б. и ниже – «2»
РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ
по теме : «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей»
Ф.И. __________________________________________, класс _____
№
Max баллов
Полученный балл
Кто проверил
Кого проверил
оценка
1
3б
5б
3б
2
3б
1б
3б
3
10б
4
2б
2б
2б
5
10б
6
4б
6б
итого
54 б
ИТОГО: 54 балла
«5» - 45 - 54 б;
«4» - 34 - 44 б;
«3» - 16 - 33 б.
фђ Заголовок 315