Презентация по геометрии Вписанная, описанная, вневписанная окружность

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 9 – 11 классов«Вписанная, описанная, вневписанная окружности".Составил учитель математикипервой категорииГавинская Елена Вячеславовна.г.Калининград 2015-2016 учебный год Вписаннаяокружность. §1. Определение окружности, вписанной в угол. Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. А §2. Определение окружности, вписанной в выпуклый многоугольник.Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны. При этом многоугольник называется описанным около этой окружности. §3. Свойства вписанной окружности.Теорема (для выпуклого многоугольника): «Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, причем в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности».ОАЕСВОкр.(т.О; r) – вписанная в четырехугольник АВСЕ,ОА, ОВ, ОС, ОЕ -биссектрисы углов. В частности, для треугольника:Теорема 1: «В каждый треугольник можно вписать окружность, притом ровно одну, причем ее центр — это точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр)». ОНМЕт.О - инцентр (продолжение)Теорема 2: «Площадь треугольника можно вычислить как произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности».ОНМЕr Теорема 1:(признак вписанной в четырехугольник окружности)«В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон». Оabcda + b = c + dВ частности, для четырехугольника: (продолжение) Теорема 2:(признак вписанной в параллелограмм окружности)«В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом».ОАСМВ Описаннаяокружность. §1. Определение окружности, описанной около выпуклого многоугольника.Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. При этом многоугольник называется вписанным в эту окружность.О Теорема 1(для выпуклого многоугольника):«Если около данного выпуклого многоугольника можно описать окружность, то все серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности, причем около выпуклого многоугольника можно описать не более одной окружности».§2. Свойства описанной окружности. Следствие(из теоремы 1):«Если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности)». (продолжение) В частности, для треугольника.Теорема 2:«Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров». В частности, для треугольника.Теорема 3:«У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы». В частности, для четырехугольника.Теорема 4(признак окружности, описанной около четырехугольника):«Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан)».ОАВСК В частности, для четырехугольника. Следствие(из теоремы 4):«Можно описать окружность вокруг:любого прямоугольника (частный случай - квадрат) любой равнобедренной трапеции». Теорема 5(признак окружности, описанной около трапеции):«Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне».О.В частности, для четырехугольника.САМВ Вневписанная окружность.BACKaK1K2 §1. Определение.Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.ABCKaKbKcrarbrc Определение элемента вневписанной окружности.Три вневписанные окружности к сторонам треугольника. Радиусом вневписанной окружностью треугольника называется отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой- либо стороне треугольника или её продолжению.ABCKaKbKcrarbrc Теорема 1.«Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вневписанной окружности треугольника». §2. Свойства вневписанной окружности. Теорема 2.«Для любого треугольника существует единственная вневписанная окружность, касающаяся данной его стороны». (продолжение) (продолжение)Теорема 3.«Для каждого треугольника существует только три вневписанных окружности». ABCKaKbKcrarbrc Теорема 4.«Если вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжения стороны AB в точке P3, то A P3 = p, где p — полупериметр треугольника ABC». (продолжение) (продолжение)Теорема 5.«Если вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC, касаются стороны BC в точках M и N, то BM = CN».ABCKaKbKcrarbrcr (продолжение)Теорема 6.«Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны».ABCKaKbKcrarbrcr


(продолжение)Теорема 7.«Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольника образуют центры окружностей касающихся прямых АВ, ВС, СА». Иллюстрация:
style.rotation (продолжение)В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями. Иллюстрация:
style.rotation (продолжение)Теорема 8: « Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей». Иллюстрация:
(продолжение)Теорема 9: «Отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольника». Иллюстрация:
§3. Формулы для вневписанной окружности.ABCKaKbKcrarbrc
Историческая справкаНазвана по имени Xристиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836г. Христиан Генрих фон Нагель (нем. Christian Heinrich von Nagel; 28 февраля 1803, Штутгарт — 27 октября 1882) — немецкий математик.Изучал теологию в Тюбингене, затем там же, а с 1830г. в Ульме преподавал математику в гимназии. Известен рядом работ по геометрии треугольника — в частности, работой (Лейпциг, 1836), в которой впервые описана срединная точка треугольника, в дальнейшем получившая название точки Нагеля.§4. Точка Нагеля. Определение. Точка Нагеля — это точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями. Обычно обозначается N. Иллюстрация: Теорема .«Если точки таковы, что каждый из отрезков ATА, BTВ и CTС делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля».  Иллюстрация:Свойство точки Нагеля. Определение.В каждом треугольнике следующие девять точек: середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью девяти точек данного треугольника (или окружностью Эйлера).  Окружность Эйлера. Теорема 1. «Если H — точка пересечения высот данного треугольника, а O — центр его описанной окружности, то центром окружности девяти точек является середина отрезка OH».  Иллюстрация:Свойства окружности Эйлера. Теорема 2. «Точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющим ортоцентр с центром описанной окружности, и делит его в отношении 1:2 считая от центра описанной окружности».  Иллюстрация:Свойства окружности Эйлера. Теорема 3.«Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности Эйлера является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности».  Иллюстрация:Свойства окружности Эйлера. Теорема 4.« Точки симметричные ортоцентру относительно оснований высот и середин сторон лежат на описанной окружности».  Иллюстрация:Свойства окружности Эйлера. Прямая линия Эйлера – это линия, проходящая через центр описанной окружности, точку пересечения медиан, центр окружности Эйлера и ортоцентр.  Иллюстрация:Важное замечание для окружности Эйлера. Связь между описанной и вписаннойокружностями. Теорема 1:« Центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный (равносторонний)».ОЕАВ∆АВЕ -правильный «Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозначают радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Тогда d² = R²-2RrОО1АВСdRr Теорема 2: Формулы для вычислениярадиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной в треугольник окружности:Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности:ОЕАВ Формулы для вычислениярадиусов вписанной и описанной окружностей.Радиус описанной около треугольника окружности:Радиус описанной около правильного многоугольника окружности:ОЕВА